Управление капиталом Фонда социального страхования Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

А.В. Китаева, А. Ф. Терпугов УПРАВЛЕНИЕ КАПИТАЛОМ ФОНДА СОЦИАЛЬНОГО СТРАХОВАНИЯ

Рассматривается диффузионное приближение для процесса изменения капитала Фонда социального страхования. При этом предполагается, что средства от предприятий и организаций поступают в Фонд непрерывно во времени со скоростью со, страховые выплаты образуют пуассоновский поток интенсивности X и являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами со средним аі и дисперсией а2 - аі2. При значении капитала 5" > £0 Фонд начинает выделять деньги на социальные программы со скоростью с (5). Эта модель подробно описана в [1]. В данной статье найдены функция с (5) и порог 50, дающие минимум дисперсии скорости выплат по социальным программам при фиксированных вероятностях наличия этих выплат и разорения Фонда. Применение полученных результатов позволяет стабилизировать работу Фонда. Рассмотрены случаи непрерывного и разрывного в точке 5 = 5о управления.

Основной задачей деятельности Фонда социального страхования является рациональное использование капитала Фонда, что достигается оптимизацией выплаты средств по социальным программам.

Эти выплаты, в отличие от выплат по страховым случаям, носят детерминированный характер, и будет естественно поставить их в зависимость от капитала Фонда £(/) в текущий момент времени. Скорость выделения средств Фондом на социальные программы будем обозначать с (£), причем с (£) = 0 при £ < £0 Таким образом, выплаты по социальным программам производятся только в случае превышения капиталом Фонда некоторого порогового значения £0, что также является вполне естественным, так как прежде всего Фонд стремится фиксировать вероятность разорения (случай £ < 0) на пренебрежимо малом уровне и осуществляет только выплаты по страховым случаям при капитале, меньшем некоторого критического значения.

Нашей задачей является нахождение функции с (£), обеспечивающей в некотором смысле стабильную работу Фонда.

В качестве основной модели деятельности Фонда возьмем модель, рассмотренную в [1], придерживаясь обозначений упомянутой статьи. Вообще, данная работа основана на идеях, выдвинутых в [1].

Поставим задачу минимизировать дисперсию скорости изменения капитала Фонда за счет детерминированной компоненты с(£) = с0 - с*(£) при фиксированной вероятности выделения средств на социальные программы Р(£ > £0). Итак,

при P(S > S0) = щ .

(1)

Плотность капитала Фонда

Учитывая, что c(s) = g (s) + агХ, получим

2 g (s)

D(c(S)) =

= C

fc0 "f a^k2 g'2(s)

Co + j

+ a1a2k2g'(s) + aj2k2g(s) Ids

2C S V 4 g (s)

S0 4

-C 2 a12k 2.

Таким образом, пришли к вариационной задаче

" f a2k2 '2( ) Л

2— g—s- + a1a2k2g'(s) + a12k2g(s) I ds ^ min 4 g (s) ) g(s)

при фиксированном j g (s)ds .

Уравнение Эйлера имеет вид

, 2 а2—2 +—*

Ф' + Ф2 - 1

a22k2

(2.1)

Я'( ?) *

где ф = —------; к - неопределенный множитель Ла-

2 Я (?)

гранжа.

Н а2к2 +к* 0

Нетрудно показать, что в случае ——— > 0 не

a2 k 2

существует функции g, удовлетворяющей полученному уравнению и наложенному ограничению.

а^к2 + к*

Пусть

a22k2

■ = -ß . Тогда решение уравнения

(2.1) имеет вид

Ф = ß tg(c -ß)

c(s) = a2kßtg(c -ßs) + a1k .

(2.2)

P( s) =

Z,

C exp-(c0 - ajk) (s - S0) при s < S0

a2k

Cg(s)

при s > S0

где с — некоторая постоянная величина.

Рассмотрим случай непрерывного управления, т.е. найдем с из условия с(£0) = с0. Получим

где

C =

g (s) = exp

2

----j (c(s) - ajk)ds

n 0 J

a2k S

V 2 S0

c =

c0 aj k a2k ’

Легко видеть, что среднее значение

ад

M(c(S)) = Са1— и P(S > S0) = C j g(s)ds.

с = arctg e + P^o-

В этом случае максимальное значение капитала Фонда

с + п/2 ^ if с п

Sm =-= S0 +-I arctg-+-

m p 0 P 2

Найдем функцию g (s), учитывая, что g (S0) = 1. Получим

g(s) = C0S2.(C вУ. = I1 + Y2)c°s2 (arctgy-P(s-So)),

cos2(c -PS0) v 7

и

гДе Y = в • Найдем

m m

J g(s)ds = J (1 + cos2(c -ßs))ds =

1 + y I n Y

1 arctg y+—+-

(3)

2в V" 2 1 + у2^

Условие связи в вариационной задаче примет вид

у(1 + у2 )(агС£ у + л/2) + у2 = .

Нетрудно показать, что уравнение (3) имеет единственный положительный корень

0 < Y о <

1 -П1

Y 2 ) tg|^— (s - S0)

Yo

1 1 «2k

Y1 ß !

получим

С = arctg Y1 +ߣo. Sm = S0 +

arctg Yi + п/2 ß ’

Я(?) =(1 + YÍ! )соб2 (с -Р?).

Условие связи в задаче (1) можно записать в виде

Y(1 + Yl2 ) (агс^ Yl + П/2) + YYl = 1—п.

Найдем дисперсию с(?):

Б(с(£)) = а2к2 п1 + (1 - п1) х

2 2- к 2 , 2к 2 ~ 2 (1 + Yl2 )((С^ У1 + п/2)^1

с0 - 2са1а2к + а2 к с ---------------------------

Выразив у из (4) и подставив в (5), рассмотрим D(c(S)) как функцию параметра уь стремясь ее минимизировать. Задача сведется к минимизации функции

f (Yi) = ( + Yi2 )2 (arctg Yj +n / 2)2 -yf. Нетрудно показать, что

f (Yi) t, lim f (yi) «1,33.

Yi ^-O

Для того чтобы y1 ^ -oo, возьмем ci < aiX и устремим ß к нулю. Найдем

lim c(s) =

= a1X + a2 Xc1 lim

tg (arctg Y1 - ^1(s - So)/Y1)

Yi^-o yi

= aiX + a2X5i (i + q (5 - S0 ))-i. Условие (4) перепишем в виде

Таким образом, оптимальная скорость выделения средств на социальные программы в случае непрерывного управления

С (s) =

Y1 (1 + Yi2) ((ctg Y1 + п / 2) + Y12 = 1—n

c1 - a1X

П1 Со fl^1^

Найдем

2кс (!+"У 0) Ч(0 , £ £

--------7-2-------ч при £т > ? > £0,

( ?-£0)^

^ 0 - в противном случае.

При этом капитал Фонда не может превышать величины

£т = £0 +у ( arCtg Y 0 + П

При приближении капитала к максимально возможному значению скорость выделения денег на социальные расходы начинает неограниченно возрастать.

Теперь откажемся от требования непрерывности управления капиталом Фонда и будем искать постоянную величину с в (2.2) из условия с(£0) = с1. Обозначая через

с, а, к с

lim (yi (i + Yj2)(arctgyi +n/2) + yj2) = -2/3 ,

Yi^-o ' ' ' '

~ 2~fi 11 откуда ci = - c I i------I.

3 l ni)

Таким образом, оптимальная скорость выделения средств на социальные программы будет иметь вид

( / \-i 1

С (s) =

a2hc

1-І 1,5—1—+ c(s - So)

п1 -1

при Sm > s > S0

0 - в противном случае.

Максимальная величина капитала Фонда

£т = £0 + 1,5 П . т 0 с(1 -П1)

Как и в случае непрерывного управления, при стремлении капитала Фонда к максимальному значению скорость выделения денег на социальные программы начинает неограниченно возрастать.

Итак, отказ от непрерывности управления капиталом Фонда позволяет уменьшить дисперсию с(£) при фиксированной вероятности наличия выплат по социальным программам, при этом зависимость с (£) от п1 имеет существенно более простой вид. Заметим, что непрерывность с (£) нарушается только при ? = £0, где происходит скачок величины

а2кс +2 1 = с0- а1к Г1 + 2_

(4)

(5)

1 / V 1

Критический уровень капитала, при принижении которого прекращаются выплаты по социальным программам, найдем из условия фиксации вероятности разорения фонда на любом желаемом уровне а0

Р(£ < 0) = СХр(-2г£°> = а0

Получим S0 = -

1 -п1 ln(1 -п1) + ln а0 2<5

ЛИТЕРАТУРА

i. Змеев О.А. Диффузионное приближение в математических моделях Фонда социального страхования // Труды II Всерос. ФАМ конф. Ч. II. Красноярск, 2002. С. 80 - 85.

Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» i8 мая 2005 г.