CC BY
130
МАКРОЭКОНОМИЧЕС КИЙ АНАЛИЗ: МЕТОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ
УДК 330.42, 330.356
Д. О. Неустроев
Новосибирский государственный университет ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090, Россия E-mail: dima.neustroev@mail.ru
МОДЕЛЬ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА УЗАВЫ - ЛУКАСА С ОТРАЖЕНИЕМ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРИРОДНЫХ РЕСУРСОВ
Предложена модификация модели экономического роста Узавы - Лукаса. В модель добавлены природные ресурсы как фактор производства. Рассмотрены необходимые и достаточные условия оптимального развития в рамках данной модели. Определены в общем виде темпы прироста основных макроэкономических показателей на траектории сбалансированного роста.
Ключевые слова: модель Узавы - Лукаса, человеческий капитал, природные ресурсы.
Введение
Вопрос влияния человеческого капитала на развитие экономической системы является сегодня достаточно актуальным. Этому вопросу уделяется значительное внимание как в зарубежной, так и в отечественной литературе. Существует целый ряд моделей, где человеческий капитал выступает как фактор экономического роста, например, двухсекторная модель эндогенного экономического роста Узавы - Лукаса. Тем не менее в реальной экономике фактор наличия значительного количества доступных и востребованных природных ресурсов также играет важную и не всегда однозначную роль. Учет влияния природных ресурсов на экономическую динамику особенно актуален для стран, экономика которых существенно зависит от результатов деятельности добывающих отраслей. К таким странам относится Россия. Поэтому, при написании данной статьи, была поставлена цель - синтезировать анализ влияния человеческого капитала и природных ресурсов в рамках единой модели, в связи с чем предложена модификация модели Узавы - Лукаса с отражением в ней фактора природных ресурсов.
Обзор литературы
Характерной чертой двухсекторной модели экономического роста Узавы - Лукаса является присутствие в ней человеческого капитала и анализ его влияния на экономический рост. Изначально Хирофуми Узава (И1го/ыт1 Uzawa) в своей статье [1] анализирует модель экономического роста с нейтральным по Харроду уровнем технологического развития, т. е. производственную функцию вида
^ [ К (г), Аи (Г) ЬР (Г)],
где К ^) - объем основного капитала; Аи ^) - уровень производительности труда; ЬР ^) -объем трудовых ресурсов, задействованных в производстве. Факторами, влияющими на производительность труда, были образование, здоровье, общественные блага и т. д. Влияние
1818-7862. Вестник НГУ. Серия: Социально-экономические науки. 2012. Том 12, выпуск 4 © Д. О. Неустроев, 2012
данных факторов отражает суть второго, образовательного сектора экономики в данной модели. У Узавы он представлен в виде
Au (t)/ Au (t) = ф[ (t) / L(t)],
где AU (t) есть приращение производительности труда в момент времени t, таким образом,
Av (t) / AU (t) - темп прироста производительности труда. Далее, используя принцип максимума Понтрягина, Узава анализирует динамику модели, при условии максимизации уровня потребления. И если в его статье понятие человеческого капитала прямо не упоминается, хотя и ощущается интуитивно, то позже, в конце 1980-х гг. публикуется статья [2] Роберта Лукаса (Robert Lucas), где, модифицируя данную модель, он конкретно говорит о человеческом
капитале. Технологический прогресс у него имеет смешанный характер и уже не строго нейтрален по Харроду, как было у Узавы. Производственная функция теперь имеет вид
Y(t) = AK(t)р [bL (t)h(t)L(t)fP ha (t)*, (1)
где A - технологический уровень, являющийся константой; bL (t) - в трактовке Лукаса доля времени, которое рабочий уделяет производственному процессу; h(t) - удельный уровень человеческого капитала; ha (t )* - внешний эффект от человеческого капитала. Второй, образовательный сектор, отвечающий за накопление человеческого капитала, представлен в виде
h(t) = h(t)c G (1 - bL (t)), (2)
где 1 - bL (t) - свободное время, которое работник использует на накопление человеческого капитала; функция G (1 - bL (t)) имеет линейный вид, а параметр ^ отражает степень влияния
существующего накопленного человеческого капитала на его приращение. В дальнейшем своем анализе Лукас принимает ^ = 1. Как и Узава, далее он рассматривает динамику данной системы с использованием теории оптимального управления.
C тех пор данная модель не раз использовалась исследователями для анализа и эмпирической оценки влияния человеческого капитала на развитие экономической системы. Рассмотрим некоторые из работ. В статье [3] на основе эндогенных моделей автор анализирует влияние налоговой политики на долгосрочные темпы экономического роста. Опираясь в том числе на описанную выше Лукасом модель, он пытается в определенной степени ее обобщить и включает в образовательный сектор (2) долю физического капитала, таким образом, образовательный сектор модели Узавы - Лукаса становится частным случаем модели Ребело. В то же время в производственной функции (1) он не рассматривает внешний эффект ha (t)*. В результате своего исследования он приходит к заключению об обратной зависимости между налогом на доход и темпами экономического роста. Вопросы налогообложения в рамках модели Узавы - Лукаса рассматриваются также в работах [4; 5]. В работе [6] авторы более детально рассматривают динамику модели Узавы - Лукаса и ее сбалансированную траекторию. Они анализируют область значений параметров данной модели, принадлежность к которым приводит к положительным темпам экономического роста. Анализ сбалансированной траектории, переходной динамики и параметров модели также можно найти в работах [7-10] и др. Двухсекторная модель Узавы - Лукаса является сегодня неотъемлемой частью монографий, посвященных теоретическим концепциям экономического роста. Мы видим ее анализ в работах Р. Бэрро и К. Сала-и-Мартина [11], Д. Асемоглу [12], а также в монографиях [13-15] и др. Следует выделить монографию [16], которая полностью посвящена анализу данной модели.
Ввиду того, что в данной статье предлагается модификация макромодели с отражением природных ресурсов, то необходимо упомянуть и некоторые из работ, где природные ресурсы рассматривались как один из факторов в моделях экономического роста. Это, например, [17], где авторы в качестве природных ресурсов рассматривают удельный выпуск нефтяной отрасли, удельную нефтяную ренту и удельные резервы нефти и в каждом случае происходит оценка производственной функции. В работах [18-21] рассматривается влияние
природных ресурсов на развитие экономической системы в рамках определенных макромоделей.
Модель
Модифицируем двухсекторную модель Узавы - Лукаса, включив в нее влияние природных ресурсов на экономическую систему. Для определения оптимальной траектории развития системы необходимо использование методов теории оптимального управления с целью максимизации функции полезности при соответствующих ограничениях. Именно максимальная получаемая индивидом полезность является наиболее предпочтительным вариантом развития экономической системы.
Рассмотрим двухсекторную модель экономического роста следующего вида:
Y (t) = A(t) K (t)“ S (t )p [b(t) H (t)]1-“-p, (3)
H (t) = H (t) z (1 - b(t) )-5hH (t), (4)
где Y (t) - валовой внутренний продукт; A(t) - общий уровень технологического развития; S (t) - природные ресурсы; H (t) - объем накопленного человеческого капитала; 5H - уровень амортизации человеческого капитала; b(t) - доля человеческого капитала, занятого в производстве; z - коэффициент эффективности накопления человеческого капитала.
Объем накопленного человеческого капитала можно представить в виде произведения трудовых ресурсов и удельного накопленного человеческого капитала, соответственно (3) и (4) можно представить в следующем виде:
y = Akаsp (bh)1-а-р, (5)
h = hz(1 -b)-8Hh , (6)
где y, k , s и h представляют собой удельные величины ВВП, основного капитала, природных ресурсов и накопленного человеческого капитала соответственно.
Получаемая агентами полезность от потребления задана в следующей форме:
c1-0 - 1
u (c) = -—— , (7)
1 - и
где 0 - коэффициент относительной несклонности к риску Эрроу - Пратта, который определяется как
- u"(c)c =0
u'(c) ,
следовательно, эластичность межвременного замещения также будет величиной постоянной, которая равна 1/ 0.
Агенты в экономике максимизируют приведенный поток получаемой полезности (7) согласно
? c1-0 -1
max f--------e ptdt, (8)
J 1-0 0 1 w
где p - норма временного предпочтения.
Для решения задачи максимизации получаемой полезности рассмотрим сначала ситуацию, когда решения принимаются централизованно, т. е. в данном случае оптимизацией занимается некий социальный планировщик (Social Planner), который действует в интересах агентов экономической системы и пытается максимизировать их полезность. Опишем далее данную задачу оптимизации.
Продукция первого сектора может быть использована на потребление, инвестиции в основной капитал и на инвестиции в разработку новых природных ресурсов. Таким образом, ограничение примет вид
c + iK + iS = y = Ak“sp (bh)1-“-P, (9)
где с - удельное потребление; 1к - удельные инвестиции в основной капитал; 18 - удельные инвестиции в природные ресурсы.
Динамика основного капитала и природных ресурсов описывается следующим образом:
к = \К -8кк , (10)
5 = ^-5^ , (11)
где 5к - норма выбытия основного капитала; 5Х - норма использования природных ресурсов; у и ^ - параметры, отражающие доступность и возможность освоения новых природ-
ных ресурсов в экономике.
Для решения задачи оптимизации, используя (6), (8)-(11), запишем гамильтониан, который примет вид
с1-0 - 1
НР = С------------1+ Х1
1 -0 1
ГР
Ака5Р (Ъй)1 “ Р - с --5кк + Х2 [Нг (1 - Ъ)-5Нй] + Х3(г|7,у-5^), (12)
где Нр означает, что в данном случае мы решаем задачу планировщика, а Л,1, Х2 и Х3 есть неявные цены изменения переменных состояния, которыми в данном случае являются к, Н и 5, т. е. содержательно это означает изменение полезности в момент времени I, которое произойдет в результате изменения переменных состояния также в момент времени ^. Переменными управления в данном случае являются с, Ъ и .
Условиями максимизации будут следующие равенства:
НР = 0, НР = 0, НР = 0; Х = рХ, - Нр;
. (13)
Х 2 = рХ 2 -НР; Х 3 =рХз-НР,
где НР есть частная производная по / Исходя из (12) при условиях (13), мы получим следующие тождества:
с-0-Х1 = 0; (14)
Х1 (1- а-р) - Х 2 Нг = 0; (15)
-Х1 +Хз уф*-1 = 0; (16)
Х =рХ1 -Х1 ^а — -5к ^; (17)
XX =рХ2-Х1 (1 -а-р)-Х2 [г(1 -Ъ)-5я]; (18)
Х3 =рХ3 - Х1^-— + Х35х. (19)
5
Условия трансверсальности имеют вид
1 ип[е-р \(1 )к (I) ] = 0,
Нт[е-р Х 2(1 )й(^) ] = 0, (20)
Нт[еХ3(^ )5 (^) ] = 0.
Проанализируем теперь децентрализованное принятие решений, т. е. когда агенты в экономике самостоятельно максимизируют полученную полезность. Бюджетное ограничение репрезентативного агента выглядит следующим образом:
с + 1к +^ {ЪН) + гк + д5,
где w - ставка заработной платы; г - рентная цена капитала; q - рентная цена природных ресурсов. Динамика капитала и невозобновляемых ресурсов имеет аналогичный вид (10) и (11). Для максимизации полезности (8) определим гамильтониан:
состояния и управления те же, что и в случае централизованного принятия решений. Исходя из условий максимизации (13), получим следующие тождества:
Условия трансверсальности аналогичны (20).
Как известно, условиями максимизации прибыли для фирмы на конкурентном рынке являются равенство предельной производительности фактора производства и его цены. Таким образом, ставка оплаты труда и рентные цены можно определить следующим образом:
где у - частная производная производственной функции по определенному фактору производства. Подставив (27) в (21)-(26), мы получим тождества, идентичные выражениям (14)-(19). Таким образом, мы видим, что условия оптимальности для централизованного решения в нашем случае абсолютно идентичны условиям оптимальности при децентрализованном принятии решений. Естественно предположить, что так бывает далеко не всегда. Допустим, если бы в модели учитывался фактор внешнего влияния от человеческого капитала ка (^)^, который изначально присутствует у Лукаса, то условия были бы различными, что можно объяснить тем, что данный внешний фактор не учитывался бы при децентрализованном принятии решений. Данная ситуация, но с отсутствием природных ресурсов, достаточно подробно описана в [16].
Условия (13) являются необходимыми, но не достаточными. Достаточное условие оптимальности рассмотрено в приложении А.
Проанализируем динамику макроэкономических переменных на траектории сбалансированного роста (ТСР). На ТСР темпы роста у, к, 5, к, с, 1К и - константы.
Из (10) мы можем получить выражение для темпа прироста капитала (gk), который со-
Учитывая, что 5К - константа, и то, что на ТСР темп роста капитала - величина постоянная, можно сделать вывод, что отношение инвестиций в основной капитал к основному капиталу есть величина постоянная на ТСР, т. е. темп роста инвестиций в основной капитал равен темпу роста основного капитала.
+ А,2[йг(1 -Ъ)-5яй] + Х3-5х5),
где Иа означает, что в данном случае мы решаем децентрализованную задачу. Переменные
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
Хз — рХ з — + X з5х.
(26)
У г—Ук—а к;
(27)
w — Уъь —(1 -а-Р)ЪуЙ,
ставит
Прологарифмировав и продифференцировав (14), мы получим темп прироста потребления
(ёе):
ёе =- =
(28)
Используя (28) и (17), получим
е = _Р + “. У._5л.
е 0 0 к 0
Учитывая, что параметры р, 0, а и 5^ - константы, а темп прироста удельного потребления - величина постоянная на ТСР, то отношение выпуска к капиталу на ТСР должно быть постоянным, а это означает, что на ТСР темп роста выпуска равняется темпу роста основного капитала. Прологарифмировав и продифференцировав (16), получим темп прироста инвестиций в природные ресурсы (ё ):
ё = — = <Ьг~
1
(У-1)
( • • Л
_Х3
Х3
V )
(29)
Так как из (28) темп прироста Х1 на ТСР - константа (поскольку темп прироста потребления является постоянной величиной на ТСР) и на ТСР темп роста инвестиций в природные ресурсы также константа, то исходя из (29) можно сделать вывод, что темп прироста Х3 также является величиной постоянной на ТСР.
Используя тождества (16) и (19), мы получим
( • Л
5 Х3
> + 5„ —3
с1 =
Рууп
(30)
Прологарифмировав и продифференцировав (30) и учитывая, что темп прироста Х3 является величиной постоянной на ТСР, получим следующее тождество:
(У_1)^ = Л _У.
Ч ^ У
Исходя из (11), мы получим выражение для темпа прироста природных ресурсов ():
_5* .
(31)
(32)
Так как темп роста природных ресурсов на ТСР - константа, то, исходя из (32), темп прироста функции инвестиций /(?) = /_у должен равняться темпу прироста природных ресурсов:
/ (?)
(33)
Из (31) и (33) мы получим, что на ТСР темп прироста инвестиций в природные ресурсы равняется темпу прироста выпуска и, как следствие, темпу прироста капитала. Используя (9) и (10), получим тождество для темпа прироста капитала:
к = У _ е _ к _5 Г.
к к к к
Так как выше уже было доказано, что на ТСР темп прироста выпуска равен темпу прироста основного капитала и темпу прироста инвестиций в природные ресурсы и что темп при-
роста основного капитала на ТСР - константа, мы может утверждать, что отношение потребления к основному капиталу является величиной постоянной на ТСР, т. е. темп роста потребления равен темпу роста основного капитала.
Л'
Прологарифмировав и продифференцировав производственную функцию (5), учитывая, что на ТСР доля человеческого капитала, задействованного в производственном секторе, является константой (доказательство данного утверждения представлено в приложении Б), мы получим тождество для темпа прироста выпуска:
У к 5 , лк
— = а— + В- + (1 -а-В)—.
У к 5 V !Н
Учитывая соотношение темпов прироста инвестиций в природные ресурсы и темпов прироста самих природных ресурсов, а также доказанное нами равенство на ТСР темпов прироста выпуска, капитала и инвестиций в природные ресурсы, определим темп прироста человеческого капитала, который составит (яи):
И у
gh = т = у —,
И у
где у =
1 -а - Ру
1 -а-р
Учитывая, что величина у< 1 (если мы предполагаем убывающую предельную отдачу от инвестиций), можно сделать вывод, что темп прироста человеческого капитала на ТСР несколько выше темпа роста выпуска. Темп прироста человеческого капитала в абсолютном выражении исходя из (6) составит
И = *(1 -Ь)-5н .
Таким образом, соотношение темпов прироста основных макроэкономических показателей и их абсолютные значения будут выглядеть следующим образом:
у = к = с = К = ^ = 1 И [г(1 - ь )-5н ] (34)
у к с 1К г8 у 5 у И у
или эквивалентно, приняв g за темы роста выпуска на ТСР, получим:
О* gh [ г (1 - Ь )-5 н ]
Я = Я = о = Я = Я = —— = = —-------------—
О <5 у <5 с О с> is
к у у у
На сбалансированной траектории мы можем ввести следующую переменную:
X
х = —, (35) е&
где х - любая из макроэкономических переменных. Подобный подход мы можем увидеть, например, в [17]. В таком случае производственную функцию (5) можно записать в следующем виде:
- / ~ 1-а-В
у = Ака5Р (ЬИ) . (36)
Так как яЬ = 0, то (36) запишется в виде
~ о / ~\1-а-В
у = А£а5Р (ЬИ) . (37)
Используя (35) и (10), получим
к = ( 1к ) о, . (38)
(к + о )е°
Подставив (38) в (37), прологарифмируем производственную функцию и получим
1пу = 1п А + а[ 1пiк - 1п(5к + я) - я,] + р 1п5 +
(1 -а -р)1пЬ + 1пИ).
Используя (35), получим
1п у = 1п А - а 1п (5 к + я ) + (1 -а-р) 1п Ь + а 1п iк +р 1п 5 + (1 - а- р) 1п И. (39)
Итак, переходя к темпам прироста, мы получим из (39) следующее выражение для темпа прироста удельного выпуска на сбалансированной траектории:
У nS r>\ h
— = а— + р—+ (1 -а-р)— .
y iK s h
Данное выражение соответствует полученному ранее равенству темпов прироста капитала и инвестиций в основной капитал. Переход к темпам прироста инвестиций в основной капитал был сделан с целью более удобной возможной эмпирической оценки данной модели, поскольку далеко не все страны ведут учет динамики основного капитала, а использование метода непрерывной инвентаризации (perpetual inventory method) или иного подхода к определению динамики основного капитала может в определенной степени исказить полученные оценки.
Результаты
Результатом описанных в статье рассуждений стало определение темпов прироста основных макроэкономических показателей, характерных для предложенной модели. Используя выражение (Б.11), для доли человеческого капитала, задействованного в производстве на ТСР, определенной в приложении Б, а также тождество (34), получим следующие значения темпов прироста на ТСР:
y = k = c = = S = z -5Я (z-5Я)(1 -9)(1 -а-р—-р(1 -а-р-у— ;
y k c iK is у у[р(у-1 + 0) + 0(а-1— ’
s y(z-8Я) y[(z-8h)(1 -0)(1 -а-р)-р(1 -а-р-у)]| , s у у[р(у -1 + 0) + 0(а-1)] ’
h = z-8 (z -8h)(1 -0)(1 -а-р)-р(1 -а-р-у)
h Z H р(у-1 + 0) + 0(а -1) .
Заключение
Описанная в данной статье модификация модели Узавы - Лукаса представляет интерес для анализа экономической системы, так как описывает равновесные темпы роста основных макроэкономических показателей в модели, факторами производства которой являются не только труд и капитал, но также человеческий капитал и природные ресурсы. Несомненно, это усложняет ее верификацию, так как требуется большее количество статистической информации. Тем не менее в настоящий момент описанная модель проходит эмпирическую проверку на данных по группе стран, в том числе России.
Список литературы
1. Uzawa H. Optimum Technical Change in an Aggregative Model of Economic Growth // International Economic Review. 1965. Vol. 6 (1). Р. 18-31.
2. Lucas R., Jr. On the Mechanics of Economic Development // Journal of Monetary Economics. 1988. Vol. 22 (1). Р. 3-42.
3. Rebelo S. Long-Run Policy Analysis and Long-Run Growth // Journal of Political Economy. 1991. Vol. 99 (3). Р. 500-521.
4. Gorostiaga A., Hromcova J., Garcia M. A. L. Optimal Taxation in the Uzawa - Lucas Model with Externality in Human Capital / Instituto Valenciano de Investigaciones Economicas, S. A. (Ivie), Working Papers. Serie AD. 2011. 18 p.
5. Gomez M. Optimal Fiscal Policy in the Uzawa - Lucas Model with Externalities // Economic Theory. 2003. Vol. 22 (4). Р. 917-925.
6. Benhabib J., Perli R. Uniqueness and Indeterminacy: Transitional Dynamics in a Model of Endogenous Growth / C.V. Starr Center for Applied Economics. New York University, 1993. 27 p.
7. Bethmann D. The Open-Loop Solution of the Uzawa - Lucas Model of Endogenous Growth with N Agents // Journal of Macroeconomics. 2008. Vol. 30 (1). Р. 396-414.
8. Gomez M. Equilibrium Efficiency in the Uzawa - Lucas Model with Sector-Specific Externalities // Economics Bulletin. 2006. Vol. 8 (3). Р. 1-8.
9. Xie D. Divergence in Economic Performance: Transitional Dynamics with Multiple Equilibria // Journal of Economic Theory. 1994. Vol. 63 (1). Р. 97-112.
10. Mulligan C. B., Sala-i-Martin X. Transitional Dynamics in Two-Sector Models of Endogenous Growth // The Quarterly Journal of Economics. 1993. Vol. 108 (3). Р. 739-773.
11. Barro R. J., Sala-i-Martin X. Economic Growth. Cambridge, Mass.: MIT Press, 2004. xvi, 654 p.
12. Acemoglu D. Introduction to Modern Economic Growth. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2009. xviii, 990 p.
13. Aghion P., HowittP. Endogenous Growth Theory. Cambridge, Mass.: MIT Press, 1998. xiii, 694 p.
14. Savvides A., Stengos T. Human Capital and Economic Growth. Stanford, Calif.: Stanford Economics and Finance, 2009. x, 240 p.
15. Баранов А. О., Неустроев Д. О. Взаимоувязка макромоделей и точечных динамических межотраслевых моделей с позиции отображения влияния инновационных процессов на развитие экономической системы // Инновационное развитие Сибири: теория, методы, эксперименты / Под ред. В. И. Суслова. Новосибирск: ИЭОПП СО РАН, 2011. Гл. 4. С. 53-64.
16. Mattana P. The Uzawa - Lucas Endogenous Growth Model. Aldershot; Hants; Burlington: Ashgate, 2004. xxv, 155 p.
17. Cavalcanti T. V. V., Mohaddes K., Raissi M. Growth, Development and Natural Resources: New Evidence Using a Heterogeneous Panel Analysis. University of Cambridge, 2009. 28 p.
18. Groth C., Schou P. Can Non-Renewable Resources Alleviate the Knife-Edge Character of Endogenous Growth? // Oxford Economic Papers. 2002. Vol. 54 (3). Р. 386-411.
19. Farnstrand Damsgaard E. Exhaustible Resources, Technology Choice and Industrialization of Developing Countries. Research Institute of Industrial Economics, Working Paper Series. 2010. 31 p.
20. Benchekroun H., Withagen C. Global Dynamics in a Growth Model with an Exhaustible Resource. McGill University, Department of Economics, Departmental Working Papers. 2008. 28 p.
21. Gaitan B., Roe T. L. Natural Resource Abundance and Economic Growth in a Two Country World. DEGIT, Dynamics, Economic Growth, and International Trade, DEGIT Conference Papers. 2005. 29 p.
22. Mangasarian O. L. Sufficient Conditions for the Optimal Control of Nonlinear Systems // SIAM Journal on Control. 1966. Vol. 4 (1). Р. 139-152.
23. Simon C. P., Blume L. Mathematics for economists. N. Y.: Norton, 1994. xxiv, 930 p.
24. Arrow K. J., Kurz M. Public investment, the rate of return, and optimal fiscal policy. Baltimore: Johns Hopkins Press, 1970. xxviii, 218 p.
Приложение А
Анализ достаточного условия оптимальности в рассматриваемой задаче оптимального управления
Для решения задачи оптимального управления необходимо убедиться в том, что гамильтониан (12) представляет собой выпуклую функцию по отношению к переменным состояния и управления. В этом заключается условие достаточности Мангасаряна [22]. Для того чтобы функция была выпуклой, необходимо, чтобы ее матрица Гессе была отрицательно полуопре-делена [23]. Проверка знаков главных миноров данной матрицы, которая будет иметь размерность 6 х 6, представляется весьма затруднительной ввиду невозможности точно определить знак ряда миноров. Поэтому воспользуемся условием достаточности Эрроу, показанным в работе [24]. Из (14)-(16) определим значения переменных управления и под-
ставим их в гамильтониан (12). Оптимальными значениями переменных управления, максимизирующих гамильтониан, являются:
с = я,е;
b=
Я, (1 -а -p)Akаsp Ла+Р
Я2 z
(A.1)
(A.2)
f Я, V-1
ЯзУП
(A.3)
V 3!'1У
Подставив (Л.1)-(Л.3) в (12), получим следующее выражение для гамильтониана (назовем
еГ0 Яшах):
яГі е; -1
H max = 11 -е +я,
Ak а sp
1-а-р
f я, (1 -Q-P)AkаSP Л а+Р 1
я2 z
-я,е-
я,
Лу-1
яз УП
-6Kk
+ я2
f -
1 f
hz 1 —
h V
V -
я, (1 -а - p)Akаsp
я 2 z
1 -
Ла+р Г я, Л
-5Hh + яз
J Vя з mJ
_ J -
У
У-1
-5ss
(A.4)
Согласно условию достаточности Эрроу необходимо, чтобы гамильтониан (Л.4) являлся выпуклой функцией относительно переменных состояния к, к и 5. Таким образом, матрица Гессе будет иметь вид
Hess =
f Hi Hkh Hks Л
Hhk Hhh Hhs
V H sk H sh H ss J
(A.5)
Необходимо, чтобы главные миноры нечетного порядка данной матрицы были неположительны, а четного - неотрицательны. Главные миноры определены следующим образом:
^ а + Р ^
-аря2 z
Hkk =-
1 -а-p
— < 0 (так как а + Р < 1),
k2 (а+pA
я2 z
я, (1 -а - p)Akаsp
Hhh = О,
а+р
-аря2 z
Hs =-
а + р 1 -а-р
— < 0 (так как а + Р< 1),
:(а+р}2
я2 z
-а-p)Ak а s р J
Hkk Hkh
Hhk Hhh
Hkk Hks
H sk Hss
Hhh Hhs
Hh Hss
а+р
1
*S =
Нкк Нк Н*
Нкк Нкк Нк5 = 0
Нк Нк Нш
Мы видим, что матрица Гессе (А.5) отрицательно полуопределена и соответственно условие достаточности Эрроу для данной модели выполняется.
Приложение Б
Определение значения доли человеческого капитала, задействованного в производстве (Ь ), на траектории сбалансированного роста
Для определения равновесного значения доли человеческого капитала введем следующие переменные:
И И с 1, цП
Ф =7, Ф2 =-, Фэ =7, Ф4 = 7, Ф5 =------.
к , к к ,
Из выражения (15) получим соотношение Х1 / X2, которое будет определено следующим образом:
Х1 кгЬ
Х2 (1 -а-р)_у (1 -а-р)у4
Используя (17), получим соотношение Х1/ Х1:
фГф2ь
а+р
(Б.1)
А,
^ = р-аУ + 5^ =р-гЛЬ1-<х-рф1-аф-р + 5^ .
А
к
(Б .2)
Из (18), используя (Б.1), получим X2/ X2:
X
А2=р-г+5я.
(Б.3)
Взяв производную (Б.1) и используя (Б.2) и (Б.3), найдем темп прироста величины Х1 / X2: . ( ■ ■ ■ >
V А2 у
Ч Л
V А2 у
( ■ • Л
\ Х 2
\ -Х2
V У
(1 -а-р)
Фа ф2ь
а+р
аФ + рф2 + (а + Р)Ь Ф Ф2 Ь
(1 -а-р)
фГф2ь
а+р
( • • • Л
Ф оФ2 / п\Ь
а-*-1 + р_іі + (а + р)-
Ь
Фі Ф2
Используя выражения (6), (9) и (10), найдем величину
Ф1_
Ф1
(• Л к к
к к
V у
Фь Ф1'
У
= г(1 -Ь)-5я -к + Фз +Ф4 + 5,
(Б.4)
(Б.5)
Используя выражения (6) и (11), найдем величину — :
Ф2
■ ( ■ ■ ^
Ф1
Ф2
= г(1 -Ь)-5Я -Ф5 + 5 .
(Б6)
г
У
Подставив (Б.2), (Б.3), (Б.5) и (Б.6) в тождество (Б.4) и преобразовав его, получим следующее выражение для темпа прироста доли человеческого капитала, задействованного в производстве:
Ь а
- = г-Ь--------
Ь (а+р)
р
(а + р)
Ф5 +Х,
где х =
(г-8Я)(1 -а-р) + 8* (1 -а)-8яр (а + р)
(Б.7)
Используя выражения (9), (10), (14) и (17), найдем величину —:
Фэ
• (• • Л
Фэ
Фэ
с к с к
к т-5-8 * (і-н+Фэ+Ф4.
(Б.8)
Используя выражения (9)-(11) и (33), найдем величину — :
Ф4
• ( • • Л
Ф4.
Ф4
1 s к ф5 8„ у
=-------к ----------------к + ф3 +ф4 +8 К •
у 5 к у у к
(Б9)
Используя полученное на сбалансированной траектории равенство — = у—, получим
к к
г(1 - Ь)-8н -у(у -Фэ -Ф4 -8к 1 = °-
(Б10)
Используя выражения (Б.7)-(Б.10) и учитывая, что на ТСР Ь , ф3 и ф4 равны нулю, получим следующую систему уравнений:
р
г - Ь -
а
(а+р)
(а+Р)
Ф5 +Х= 0
У (ат)-!'’* (ЬЬ+Ф4 )=0
—----- -у + (ф3 +ф4 )+8к =0
у у к
г(1 -Ь)-8н -V
У-(фв +Ф4 )-8 К
у
= 0
решив которую относительно Ь , ф3 +ф4, ф5 и —, получим следующие значения:
к
Ь* (г -8н )(1 -е)(1 -а-р)-р(1 -а-р-у)
((3 +Ф4 )* =
а
г [Р(у-1 + 0) + 0(а-1)]
(р + 8н - г -0 - 8К ) + р[р(а + у -1) - а] + 8К [р(а-1)(1 - у -0) -0 (1 - 2а)
а
(Б11)
+
Ф5 =
[0(а+р-1)-р(1 -у)]
8н [0(1 -а-р)-а(1 -р)] + г[(1 -р)(а-0) + а-0] а[0(а + р-1)-р(1 -у)] у(8н -г + р)(1 -а-р) + 8^ [0(р + а- 1)-р(1 -у)] р(у-1 + 0)-0(1 -а)
Г У V е(1 -а-р)(8н -8К - г ) + р(у-1)(8к +р)
I к) а[0(а-1)-р(1 -0-у)] '
В данном случае мы видим, что значение доли человеческого капитала, задействованного в производстве на ТСР (6*), выражено исключительно через константы модели и, следовательно, представляет собой величину постоянную.
Материал поступил в редколлегию 29.05.2012
D. O. Neustroev
UZAWA - LUCAS GROWTH MODEL WITH NATURAL RESOURCES
This article offers a modification of the Uzawa - Lucas growth model. The model includes natural resources as a factor of production. The necessary and sufficient optimal growth conditions for this model were considered. Growth rates of the main macroeconomic indicators along balanced growth path were derived.
Keywords: Uzawa - Lucas model, human capital, natural resources.
