CC BY
129
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Сер. 10. 2012. Вып. 4
УДК 517.97+519.86
Ю. А. Кузнецов, О. В. Мичасова
ОБОБЩЕННАЯ МОДЕЛЬ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА С УЧЕТОМ НАКОПЛЕНИЯ ЧЕЛОВЕЧЕСКОГО КАПИТАЛА
Введение. В настоящее время существует большое количество исследований, которые изучают человеческий капитал как ключевой фактор экономического роста. Впервые человеческий капитал был включен в неоклассическую модель экономического роста в классической работе Р. Лукаса [1]. В ней человеческий капитал играет приблизительно ту же роль, что и научно-технологический прогресс. Это заметно сближает модель Лукаса с известной моделью Узавы [2], однако данные модели и принципиально отличаются. Лукас впервые ввел в рассмотрение концепцию своеобразного дуализма человеческого капитала. Существенной чертой его модели является явное выделение двух путей (каналов) влияния человеческого капитала на экономический рост. Эти два типа воздействия могут быть обозначены как внутренние эффекты (описывающие непосредственное повышение эффективности производства, связанное с ростом квалификации работников) и внешние (экстерналии, externalities). Последние характеризуются некоторым средним значением человеческого капитала в экономической системе в целом.
Механизм накопления человеческого капитала в модели Лукаса предполагает, что обучение происходит в рамках своеобразного образовательного сектора экономики -именно там работники осуществляют накопление и развитие своего человеческого капитала. Модель Лукаса позволила, в частности, объяснить ряд эмпирических фактов, касающихся различий в темпах экономического роста. Дальнейшее развитие данного направления исследований привело как к детальному изучению, так и к ряду уточнений и обобщений модели Лукаса [3-6]. Следует особо отметить работу [7], в которой рассматривается некоторая модификация модели Лукаса, учитывающая амортизацию человеческого капитала и наличие убывающего эффекта масштаба в производственной функции человеческого капитала.
Модель. В настоящей работе строится и исследуется математическая модель экономического роста с учетом накопления физического и человеческого капиталов, обобщающая ряд подобных моделей, включая классическую модель Лукаса,
Кузнецов Юрий Алексеевич — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического моделирования экономических систем механико-математического факультета Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского. Количество опубликованных работ: около 200, в том числе 1 монография и 2 учебных пособия. Научные направления: экономико-математическое моделирование, математические модели теории экономического роста, оптимальное управление экономическими системами, качественная теория динамических систем. E-mail: Yu-Kuzn@mm.unn.ru.
Мичасова Ольга Владимировна — кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры математического моделирования экономических систем механико-математического факультета Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского. Количество опубликованных работ: 43. Научные направления: математические модели теории экономического роста, эко-нометрическое моделирование, теория человеческого капитала. E-mail: miov6@yandex.ru.
© Ю. А. Кузнецов, О. В. Мичасова, 2012
и учитывающая как убывающий эффект масштаба в производственной функции человеческого капитала, так и наличие внешнего эффекта человеческого капитала в сфере образования.
Обобщенная модель экономического развития двухсекторной экономической системы включает в себя производственный сектор и сектор знаний (образовательный сектор), формирующий человеческий капитал h(t) репрезентативного экономического агента. Логично предположить, что экстерналии в производственном секторе определяются не только средним уровнем человеческого капитала ha(t) (как в классической модели Лукаса), но и зависят от средней доли активного времени, которую агент тратит на производственную деятельность ua(t). Более того, примем, что экстерналии влияют и на образовательный сектор, в отличие от классической модели Лукаса. Причем внешний эффект определяется и средним уровнем человеческого капитала ha(t), и долей времени, посвященной накоплению человеческого капитала (обучению и повышению квалификации). Естественно также считать, что, в принципе, экономический агент заинтересован в том, чтобы тратить на каждый из видов деятельности (производственную и образовательную) такую же часть своего активного времени, как и в среднем по рынку.
В рамках предположений, описанных выше, динамика объема физического капитала описывается уравнением
^^ = A(t)K(tf HtMmit)]1-? [ua{t)ha{t)V - mK{t) - c(t)N(t), (1)
где A(t) - функция, описывающая экзогенный технологический прогресс (A(t) = Aoeat, темп технологического прогресса постоянен а = const); K(t) - физический капитал; N(t) - рабочая сила (N(t) = N0ent, n = const); u(t)h(t)N(t) - эффективная рабочая сила (или внутренний эффект человеческого капитала); c(t) - потребление на душу населения; в - доля физического капитала; y - положительный параметр; ¡к - норма амортизации физического капитала.
Уравнение динамики накопления человеческого капитала имеет вид
^ = <5 [1 - u(t)]p [1 - ua(t)]s h(t)qha(t)r - №h(t), (2)
dt
здесь S - положительный технологический параметр; p, s,q и r - неотрицательные параметры (эластичности производственной функции человеческого капитала типа Кобба-Дугласа по соответствующим переменным), причем p + s = 1 и q + r = 1; ¡h - норма амортизации человеческого капитала. Заметим, что уравнение (2) отражает тот факт, что на «микроуровне» репрезентативный экономический агент рассматривает функции ua(t) и ha(t) как заданные (экзогенные), так что производственная функция человеческого капитала в правой части уравнения (2) демонстрирует наличие на «микроуровне» эффекта убывающей отдачи от масштаба и отсутствие такого эффекта на «макроуровне».
Система уравнений (1), (2) дополняется начальными условиями
K(0) = Ko > 0, h(0) = ho > 0.
В модели предполагается, что репрезентативный экономический агент выбирает собственные уровень потребления c(t) G R+ = [0, ж) и долю u(t) G [0,1] активного времени, посвященного трудовой деятельности, таким образом, чтобы максимизировать величину полной дисконтированной полезности:
ж
г А-*
J = J[c, u] = / e-ptN(t)-dt -л max, cr G S = (0,1) U (1, oo), (3)
J 1 - о
0
где p - дисконтирующий фактор, описывающий субъективные предпочтения, и 1/о -межвременная эластичность замещения потребления.
Оптимизационная задача, связанная с моделью (1)-(3) экономического роста с учетом накопления человеческого капитала, состоит в выборе таких управляющих параметров c(t) € R+ = [0, ж) и u(t) € [0,1], которые бы максимизировали функционал (3) на допустимых траекториях K(t),h(t), t € [0, ж), динамической системы (1), (2) при соблюдении условий
h(t) = ha(t), u(t) = Ua(t) Vt € [0, Ж). (4)
Существуют, по крайней мере, две различные экономические трактовки условий (4), которые приводят к разным типам оптимальных траекторий.
1. «Задача социального планировщика» (social planner). Примем, что есть некоторый гипотетический «социальный планировщик», выбирающий, с точки зрения всего общества в целом, оптимальный путь (траекторию) экономической системы, «изначально» располагающий исчерпывающей информацией о ее развитии и способный воздействовать на все ее составные части. Поэтому можно считать, что условия (4) имеют место «изначально».
2. «Задача о конкурентном равновесии» (competitive equilibrium). Рассматривается ситуация, когда отдельные фирмы и домохозяйства не обладают исчерпывающей информацией об экономическом развитии системы, но ожидают, что накопление человеческого капитала h(t) и доля u(t) € [0,1] активного времени, посвященной трудовой деятельности, будут следовать известным в каждый момент функциям ha(t) и ua(t), Vt € [0, ж), которые являются (с их точки зрения) экзогенно заданными и на которые каждый агент воздействовать не может. В этих условиях экономические агенты решают оптимизационную проблему выбора режима потребления. Экономическая ситуация будет находиться в равновесии, если ожидаемое и реальное поведение совпадут, т. е. если в итоге окажется, что имеют место равенства (4).
Траектории сбалансированного роста. Для каждого из вышеуказанных случаев была рассмотрена соответствующая оптимизационная задача, после чего сформулирована общая задача для двух случаев. Подробную схему исследования задач подобного рода можно найти в [8]. После ряда преобразований и перехода к неоклассическим переменным на душу населения (k(t) = K(t)/N(t)) были получены следующие уравнения:
= A{t)k{tfh{t)l-^u{t)1-^ - (Рк + n)k(t) - c(t), (5)
dh(t) dt
S [1 - u(i)j h(t) - phh(t), (6)
Ä = Ic(i) [ßAmtf-'Hty-^Mt)1-^ ~(P + №)] , (7)
^ = —«w {p + SQl 1 - «(*)] - ß^T} (8)
dt ß - y v ' \ L WJ k(t) J
и условия трансверсальности
lim e-[p-n]tc(t)-ak(t) = 0, lim e-[p-(a+n)]tk(t)ßc(t)-au(t)-ß+Yh(t)1+Y-ß =
t—>-oo
где
P = а + (1- в)(п + ¡к) + SA3 - лh(1 - в + y), Q =(Аг - А3) - (в - y) = А4 - (в - y), в = Y-
При Ai = q, А2 = 0, A3 = p получается задача о конкурентном равновесии, а при Ai = 1, А2 = y, А3 = 1 - задача социального планировщика.
Для указанной системы можно доказать, что система обыкновенных дифференциальных уравнений (5)-(8) обладает первым интегралом:
c(t)a k(t)-e h(t)-Qu(t)-nt = const,
в котором Q = а + п - р + SA3 - ¡h(1 - А4) и в = Y.
Наличие первого интеграла позволяет, в принципе, произвести понижение порядка системы уравнений (5)-(8) на единицу.
Рассмотрим траектории сбалансированного роста (balanced growth path, BGP) для системы (5)-(8) - такие траектории системы {k(t),h(t),c(t),u(t)}, для которой темпы роста всех переменных постоянны. Более того, u(t) постоянна на BGP-траектории. Обозначим темпы роста как Шк, &h, шс и ши = 0 соответственно. Они являются решениями следующей системы алгебраических уравнений:
Ши = 0,
(1 - в)шк - (1 - в + YШ = а, (9)
(а - ß)uk - Quh = О.
(1 - ß) -(1 - ß + y) (а - ß) -Q
единственное решение и BGP-траектория описывается такими уравнениями:
Когда D =
а(1 - ß + y) - Y - (1 - ß)A4 = 0, система (9) имеет
k(t) = k0eWkt, h(t) = h0e^ht, c(t) = c0eWct, u(t) = u0 € (0, 1).
Если сравнивать результаты моделирования с полученными по модели Лукаса, то разница между равновесными темпами роста человеческого капитала будет описываться выражением
_(i-/?) т-Р)+ы
^h,Lucas ^h — /-, п , \
а(1 - ß + y) - Y
Очевидно, что экстерналии в производственном секторе достаточно малы (y € (0, y*), Y* = а(1 - в)(1 - а)-1) (см., например, [9]), и поэтому иh,Lucas - иh > 0. Другими словами, темп роста в обобщенной модели будет меньше, чем в классической модели Лукаса. Этот результат в большей степени соответствует эмпирическим данным.
Следующий шаг в изучении модели связан с понижением размерности системы на единицу для упрощения аналитического исследования. Для этого вводятся инструментальные переменные, которые постоянны на BGP-траекториях:
В результате преобразований (5)-(8) получается следующая система уравнений:
= x{t)ßu{t)l-ß+~i + ф[ 1 - u(t)}x(t) - q(t)x(t) - Mx(t), (И)
dt
Л
¿п{Ь)
Л
¿ф)
л
где V — (1-уз) ,
= ^(¿)в-1 и(;)1-в+^ ч^ + т\2 - ш,
= -^—иЦ) {Р + 6<Э[1- и(г)} - /Зд(г)},
в -7
= -Ф) [/Зх^-'и^)1-^ - (р + Ик)] ,
м
-¿гр + п + цк - м^1!^7; С
£ - п - ЦК {\ - ф
(12)
(13)
(14)
£ - 1;
а '
Р = а + (1 - в)(п + Ик) + ¿Дэ - Ин(1 - в + 7); Я = (А1 - Дэ) - (в - 7)•
Легко видеть, что система (11)—(14) имеет специфическую структуру - уравнения (11)—(13) образуют замкнутую подсистему. Данная подсистема обладает единственным ненулевым состоянием равновесия, которое можно записать, как функцию набора параметров в € © в виде
(■ф(Р-т+в<2{М+£)\Р-1 Л (3(£-фМ)-Р(1+ф)\ 1
1-0+т --Р
Че
&Я{£-ФМ)-ФР4>
1 _ р{д-фм)-р{1+ф)
1 ■
Параметры {хе,че} должны быть положительны и ие € (0,1). Эти условия накладывают некоторые дополнительные ограничения на набор параметров
в = со1{а, в, 7, Р, а, п,р, Ч, Ик, Ин} € ©
и позволяют выделить подмножество ©бор С © допустимых параметров, которое в общем случае является непустым.
Некоторые свойства BGP-траекторий. Рассмотрим проблему устойчивости BGP-траектории и типы состояния равновесия в зависимости от набора параметров. Тип состояния равновесия определяется собственными значениями якобиана сокращенной системы (11)—(13), который на BGP-траектории имеет вид
Л:
(в - 1) ие иеЧе
(1 - в + 7)
(в - 1)^
(ме)
- Ф
0
Че
в
(1-/3 + 7) (—)</>
в - 7
в - 7
ие
Яие
Ие = хв-1.
где
Тип состояния равновесия и соответственно его устойчивость определяются количеством собственных значений в правой полуплоскости комплексной плоскости. Рассмотрим подмножества ©(к)(Б) С ©бор, к = 0,1,2,3. По определению, параметр в € ©(к) (Д), если в правой полуплоскости С + = {Л € С : И.еЛ > 0} комплексной плоскости С лежит ровно к = ки собственных значений матрицы Л (так что в левой полуплоскости С- = {Л € С : И,еЛ < 0} лежит к8 =3 - ки корней).
В силу значительной сложности аналитических результатов дальнейшее исследование проводилось численно с использованием пакета МаЛаЪ. Предлагаемая модель может применяться для анализа экономической динамики в первую очередь развитых стран, так как человеческий капитал именно таких стран обладает эффектом убывающей отдачи от масштаба. Поэтому целесообразным представляется изучение динамики
х
е
и
к
х
х
е
е
х
е
е
системы для набора параметров, равных или близких к реальным значениям развитых стран (типа Германии или США):
к = со1{а, в, 6, р, а, п, \±к, №} € К = Я+ х (0,1) х Я++ х Е х Я х Я++ С Я8.
Следует отметить, что проблема определения реальных значений параметров для тех или иных моделей экономического роста остается одной из наиболее актуальных проблем. Большая часть работ в данной области содержит либо исключительно иллюстративные примеры, основанные на интуитивных оценках коэффициентов, либо оценку того или иного вида регрессий, которые позволяют определить степень влияния разного рода факторов на экономический рост, но не дают оценки параметров для моделей типа Лукаса. В данной работе используются (принимая во внимание некоторые замечания, указанные выше) оценки параметров на основе работ [1, 7]
кос = {0.0105,0.44,0.05,0.024,0.403,0.013,0.04,0.04} е К.
Остальные параметры - вектор п = со1{^,р, д}еП = Я+ х [0,1]2 С Я3 - характеризуют экстерналии в производственном секторе и эффект отдачи от масштаба в образовательном секторе. В работе исследована структура набора ©вор (ПсЕ; к0с) и выполнен качественный анализ динамических особенностей системы (10)-(12) в зависимости от выбора вектора п е П для случая конкурентной экономики (П = Псе = со1(д, 0,р)).
Общий вид фрагмента множества ©вор (ПсЕ; к0с) и его подмножеств 6(к (Псе; к0с) в пространстве Я3 иллюстрирует рис. 1. Следует отметить, что в данной задаче реализуются практически все возможные типы состояния равновесия. На рис. 2 представлен общий вид фрагмента сечения множества ©вор(ПсЕ; к0с) плоскостью 7 = для значения = 0.4 (в работе [1] = 0.417). Так как []к=0 1 3 ©(к(ПсЕ; кос) = 0, из рис. 1 и 2 непосредственно вытекает наличие эффекта неопределенности в рассматриваемой модели конкурентной экономики.
Рис. 1. Фрагмент множества ©бор (Псе ; кос) и характер расположения множеств (Псе ; коС) С Я3 (к = 0,1, 2, 3)
Рис. 2. Сечение фрагмента множества ©бор (Псе ; кос) плоскостью 7 — — 0.4 и характер расположения множеств (Псе; кос) С Я3 (к — 0,1, 2, 3)
На рис. 3 приведен общий вид картины поведения траекторий системы в окрестности состояния равновесия типа устойчивый узел, что соответствует ситуации локальной неопределенности в фазовом пространстве системы [5] - ситуации, когда траектория, сходящаяся к ВСР-траектории, является неединственной.
Рис. 3. Вектор параметров п — (0.403, 0.840, 0.790) Е ©(0)(Псе; коС), устойчивый узел
Случай локальной определенности возникает, когда параметры системы принадлежат множеству ©( 2) (Псе ; кос). Примером такого поведения системы является состояние равновесия типа седло-фокус, которое представлено на рис. 4.
Рис. 4- Вектор параметров п = (0.400,1.000, 0.700) Е ©(2)(DCE; kdc), седло-фокус
Рис. 5. Расположение множеств е(2), е(0) и кривой H
В рассматриваемой задаче в расположении множеств ©(2) (Dce ; kDc ) и ©(0) (DcE ; кdc) есть важная особенность - они имеют общую границу H. На рис. 5 вид множеств ©(2)(Dce; kdc), ©(0)(Dce; kdc) и кривой H = Г(0'2)(DCE; kDc) показан более детально. Ясно, что на кривой H для корней характеристического уравнения справедливы соотношения ReAi < 0, р = ReA2>3 = 0, так что при переходе «изображающей точки» из области ©(0) (DcE; kDc) в область ©(2)(DcE; kDc) возможен ряд
бифуркаций. Описание бифуркаций, которые могут возникнуть в данном случае (бифуркации Андронова-Хопфа, Богданова-Такенса, Баутина), можно найти в работе [10].
Приведем здесь лишь один из результатов, показывающих, что динамика рассматриваемой системы может быть весьма сложной. Он касается перехода из области ©(0) (DCE; kDc) в область ©(2) (DCE; kDC) через кривую H по отрезку вертикальной прямой вида p = p* = 0.9, когда y* = 0.4 (убывающий эффект отдачи от масштаба по «сроку обучения»). Проследим за изменениями структуры фазового пространства в окрестности стационарного решения Xe = Xe (q) в зависимости от величины q, характеризующей эффект отдачи от масштаба по уровню человеческого капитала в образовательном секторе.
Численные расчеты (в теоретическом и практическом плане близкие к методологии работы [11]) показывают, что при q = qH (qH ~ 0.789309054) в системе происходит субкритическая бифуркация Андронова-Хопфа (SH). При значениях параметра q = q(0) и q = q(2) (q(0) « 0.789313750, р(0) « -0.000011487; q(2) « 0.789297625, р(0) « 0.000027651) в системе наблюдаются «прямая» и «перевернутая» бифуркации предельных циклов типа складки (fold bifurcation of limit cycles или Limit Point of Cycles (LPC)). Таким образом, в окрестности стационарного решения Xe = Xe (q) при q € (qH, q(0)) в системе сосуществуют три предельных цикла (два из которых - неустойчивые), при q € (q(2), qH) - два предельных цикла (устойчивый и неустойчивый), а при q > q(0) - один неустойчивый предельный цикл. При q < q(2) состояние равновесия неустойчиво.
П104
'15
Рис. 6. Бифуркационная диаграмма
Описанный переход может быть наглядно представлен на соответствующих бифуркационных диаграммах. На рис. 6 изображена диаграмма, которая показывает проекцию на ось 0х стационарного решения Хе = Хе (д) и амплитуд предельных циклов, возникающих в его окрестности, в зависимости от параметра д (подобное представление адекватным образом передает картину перехода, поскольку в данной задаче предельные циклы однозначно проецируются на координатные плоскости). На диаграмме устойчивые объекты показаны сплошной линией, неустойчивые - штрих-пунктиром.
Таким образом, из результатов численных экспериментов следует существование устойчивого предельного цикла в окрестности неустойчивого в смысле А. М. Ляпунова стационарного решения Хе = Хе (д), отвечающего ВСР-траектории. Кроме того, имеет место «жесткий» режим возникновения колебаний.
а
и
0.05 ^ 0.0450.040.035 — 0.030.025 -0.020.015 Д--0.091
Я
б
Рис. 7. Вид траекторий системы в окрестности Хе = Хе (д) при д = 0.7893135 а - устойчивый предельный цикл; б - «внешний» неустойчивый предельный цикл.
На рис. 7, а, б в качестве примера приведен вид некоторых траекторий системы в окрестности стационарного решения Хе = Хе(д*) при д* « 0.789313500 е (дн,д(0).
Они дают достаточно наглядное представление о структуре фазового пространства системы в случае существования трех предельных циклов.
Более подробно результаты исследования модели изложены в работах [12-14].
Заключение. В настоящей работе построена и с помощью численно-аналитических методов исследована обобщенная модель экономического роста с учетом накопления человеческого капитала. Установлено, что данная модель более адекватно описывает влияние процесса накопления человеческого капитала на темпы экономического роста. Показано, что явление неопределенности достаточно типично и проявляется при широком спектре параметров системы. Одним из важнейших результатов численных экспериментов является установление факта существования устойчивых предельных циклов в окрестности неустойчивого в смысле А. М. Ляпунова стационарного решения Xe = Xe(q*), отвечающего оптимальной сбалансированной траектории роста (BGP), причем их рождение (при изменении параметров системы) происходит по сценарию «жесткого режима возникновения колебаний».
В рамках теории экономического роста BGP-траектории выступают в качестве своеобразных «магистралей развития экономики», представляющих «равновесную» эволюцию экономической системы. В абсолютном большинстве случаев они оказываются неустойчивыми. Потому тот факт, что в окрестности неустойчивой BGP-траектории («магистрали развития») могут существовать устойчивые предельные циклы, является весьма важным и позитивным для теории экономического роста. По существу это означает, что хотя «равновесная» эволюция экономической системы «по магистрали развития» и нереализуема (из-за ее неустойчивости), вполне реализуемы, устойчивы и имеют «ту же тенденцию», что и «магистраль развития», другие траектории, обладающие, правда, «колебательным характером». Другими словами, эволюция экономической системы может осуществляться «практически вдоль магистрали развития» в рамках некоторого устойчивого «образовательного экономического цикла».
Литература
1. Lucas R. E., Jr. On the Mechanics of Economic Development // J. of Monetary Economics. 1988. Vol. 22, N 1. P. 3-42.
2. Uzawa H. Optimal technical change in an aggregate model of economic growth // Intern. Econom. Review. 1965. Vol. 6, N 1. P. 18-31.
3. Mulligan C. B., Sala-i-Martin X. Transitional dynamics in two-sector models of endogenous growth // The Quartely Journal of Economics. 1993. Vol. 108, N 3. P. 739-773.
4. Caballe J., Santos V. S. On Endogenous Growth with Physical Capital and Human Capital // J. of Political Economy. 1993. Vol. 101, N 6. P. 1042-1067.
5. Benhabib J., Perli R. Uniqueness and Indeterminacy: On the Dynamics of Endogenous Growth //J. of Economic Theory. 1994. Vol. 63, N 1. P. 113-142.
6. Xie D. Divergence in economic performance: transitional dynamics with multiple equilibria // J. of Economic Theory. 1994. Vol. 63, N 1. P. 97-112.
7. Gong G., Greiner A., Semmler W. The Uzawa-Lucas model without scale effects: theory and empirical evidence // Structural change and economic dynamics. 2004. Vol. 15, N 4. P. 401-420.
8. Barro R. J., Sala-i-Martin X. Economic Growth. 2nd ed. Cambridge, Massachusetts: The MIT Press, 2004. 654 p.
9. Pintus A. P. Indeterminacy with almost constant returns to scale: capital-labor substitution matters // Economic Theory. 2006. Vol. 28, N 3. P. 633-649.
10. Kuznetsov Yu. A. Elements of Applied Bifurcation Theory. 2nd ed. New York; Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1998. 614 p.
11. Dhooge A., Govaerts W., Kuznetsov Yu. A. e. a. MATCONT and CL MATCONT: Continuation toolboxes in MatLab. User's Guide. Utrecht: Utrecht University (Netherlands); Gent University (Belgium), 2006. 100 p.
12. Кузнецов Ю. А., Мичасова О. В. Обобщенная модель экономического роста с учетом накопления человеческого капитала. I // Вестн. Нижегород. гос. ун-та им. Н. И. Лобачевского. Сер. Математическое моделирование. Оптимальное управление. 2010. Вып. 1. С. 171-178.
13. Кузнецов Ю. А., Мичасова О. В. Обобщенная модель экономического роста с учетом накопления человеческого капитала. II // Вестн. Нижегород. гос. ун-та им. Н. И. Лобачевского. Сер. Математическое моделирование. Оптимальное управление. 2010. Вып. 2. С. 158-165.
14. Кузнецов Ю. А., Мичасова О. В. Обобщенная модель экономического роста с учетом накопления человеческого капитала. III // Вестн. Нижегород. гос. ун-та им. Н. И. Лобачевского. Сер. Математическое моделирование. Оптимальное управление. 2010. Вып. 3. С. 177-190.
Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном. Статья принята к печати 21 июня 2012 г.
