CC BY
50
Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2010, № 2 (1), с. 151-158
УДК 517.97+519.86
ОБОБЩЕННАЯ МОДЕЛЬ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА С УЧЕТОМ НАКОПЛЕНИЯ ЧЕЛОВЕЧЕСКОГО КАПИТАЛА. II
© 2010 г. Ю.А. Кузнецов, О.В. Мичасова
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского michasova@mm.unn.ru
Поступила в редакцию 05.11.2009
Для обобщенной модели экономического роста с учетом накопления физического и человеческого капиталов, обобщающей известную модель Р. Лукаса, установлены условия существования траекторий сбалансированного роста и указаны некоторые качественные особенности таких траекторий.
Ключевые слова: экономический рост, человеческий капитал, траектории сбалансированного роста.
Введение
В работе [1] построена математическая модель экономического роста с учетом накопления физического и человеческого капиталов, обобщающая известную модель Р. Лукаса, и сформулирована некоторая унифицированная форма оптимизационной задачи, включающая в себя оба варианта традиционно рассматриваемых в теории экономического роста постановок таких задач. В настоящей статье, являющейся непосредственным продолжением работы [1], указаны условия существования оптимальных траекторий сбалансированного роста для обобщенной модели экономического роста, а также установлены некоторые качественные особенности таких траекторий. Исследование данных вопросов ведется в соответствии со схемой, изложенной в работе [2].
Приведем для удобства формулировку общей оптимизационной задачи работы [1].
Уравнения движения:
= А(0К(0р ^(01-р М01-р+т и(01-р+т -
Необходимые условия экстремума «текуще-
-ц кК (t) - c(t) N (t ),
dh(t ) dt
Сопряженные уравнения:
d0K (t)
dt
-0K(t )[(р + ц к) -
- ß^(t ) К (t )ß-1 N (t )1-ß h(t )1-ß+Y u(t )1-ß+Y
d0H (t)
dt
-6h (t ){(p + Mh) -
го» гамильтониана:
c(t )-ö=0 к (t ),
0K (t )(1 -ß + A 2) A(t ) К (t )ß N (t )1-ßx
X u(t)-ß+Yh(t)1-ß+Y - A30H (t)Sh(t). Условия трансверсальности:
lim e~pt0K (t)К(t) - 0,
t — <»
lim e~pt0h (t)h(t) - 0.
t——^
(21)
(22)
(23)
-ö[1 - u(t)]h(t) -цhh(t). (18)
(19)
Здесь использована нумерация формул из работы [1]. Нумерация формул в настоящей работе продолжает нумерацию формул работы [1].
Из системы (17)-(23) при Ai = q, А2 = 0, A3 = p получается задача о конкурентном равновесии, а при А1 = 1, А 2 = у, А 3 = 1 - задача социального планировщика (см. [1]).
По определению, оптимальная траектория {K (t), h(t), c(t), u(t)} есть траектория сбалансированного роста (ТСР; balanced growth path, BGP), если темпы роста переменных K(t), h(t), c(t) и величина u(t) являются постоянными [3, 2]. Вполне аналогичное определение имеет место и для набора переменных {k (t), h(t), c(t), u(t)}. Напомним также, что темп роста гладкой функции f (t) > 0 есть величина
иf(t)._Lf!)=dinfiii (tsr).
f(t) dt
dt
- A1^[1 -u(t)]}-0K(t)[(1 -ß +A2) x (20)
X A(t ) K (t )ß N (t )1-ß h(t ) -ß+Y u(t )1-ß+Y
Преобразование общей оптимизационной задачи (17)-(23)
Чтобы выписать в явном виде выражения для темпов роста переменных, указанных в оп-
ределении траектории сбалансированного роста, преобразуем задачу (17)-(23) таким образом, чтобы получить системы уравнений для переменных {K (t), h(t), c(t), u(t)} и, соответственно, для переменных {k (t), h(t), c(t), u(t)}. Это преобразование позволяет, во-первых, выявить некоторые полезные свойства указанных переменных; во-вторых, указать конкретный вид некоторых интегралов движения полученной системы (а значит, и системы (17)—(23)) и, наконец, в-третьих, произвести впоследствии понижение порядка изучаемой системы уравнений.
Прежде всего, перейдем в уравнениях (17)— (23) от пары переменных {0K (t), 0H (t)} к переменным {c(t),p(t)}, где c(t) — удельное потребление, а p(t) = 0H (t)[0k (t)]-1 — относительная цена человеческого капитала, выраженная в единицах цены физического капитала.
Воспользовавшись соотношением (21) с помощью «логарифмического дифференцирования»1 для удельного потребления c(t) получим следующее уравнение:
= -c(t)[рдt)K(t)p-1 N(t)1-p X dt с L (24)
x h(t )1-p+Y u(t )1-p+Y- (р + ц к)].
Далее, привлекая очевидное равенство 1 dp(t) 1 d0H (t) 1 d0к (t)
записываются в виде:
lim e~ptc(t)—с K(t) = 0,
t — <»
lim e~ptc(t)—с p(t)h(t) = 0 .
t — <»
/ \ 1 — P + A 2
p(t) = L 2 x
ÔA 3
x A(t ) K (t )p N (t )1—p u(t )—p+Y h(t )—p+Y .
функции p(t) к дифференциальному уравнению для функции u(t): du(t)
dt
1
P —Y
i(t кр + 5Q[l— u(t )]—P
c(t ) N (t ) K(t) ,
(28)
где
p - a + (1 -P)(« + ) + з - цh(1 -P + y),
Q - (Аі - А з) - (P - у) = А 4 - (P - у) и p Ф y •
Система уравнений (17), (18), (24) и (28) явным образом задает темпы роста переменных {К (t), h(t), c(t), u(t)}. Из (26) и (27) легко следуют также условия трансверсальности для системы уравнений (17), (18), (24), (28). Теперь уже легко получается система уравнений для набора переменных {k(t), h(t), c(t), u(t)}, где, как и выше, k(t) — К(t)/N (t)— удельная (на душу населения) капиталовооруженность, а N(t) — N0ent.
В результате имеем следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений для набора переменных {k (t), h(t), c(t), u(t)}:
(вы-
p(t) dt 0h (t) dt 0к (t) dt текающее из определения p(t)) и соотношения (19), (20) и (22), приходим также к следующему уравнению для относительной цены человеческого капитала p(t):
= p(t){3A(t)K(t)p-1 N(t)1-ph(t)1-p+Y x dt (25)
)1- 3
u(t)1 P+Y + (цА — Mk ) — ^{Ai[l — u(t )] +A3u(t)}}. Условия трансверсальности (23) при этом
du(t ) dt
= A(t)k(t)ph(t)1—p+Yu(t)1—P+Y -
dt
— (М k + n)k (t) — c(t),
= S[1 — u(t)]h(t) — mhh(t),
dt
dc(t) = - c(t )[pA(t )k (t)p—1 h(t)1—p+Y dt с
x u(t )1—p+Y— (р + м k )],
(t )Jp + SQ[1 — u(t)] —p
P —Y
c(t )
k (t ),
(29)
(30)
(31)
, (32)
а условия трансверсальности (26) (с учетом вида функции N ^)) принимают вид:
(26)
Кроме того, из уравнения (22) следует также конечное уравнение - связь функций A(t), K (t), N (t ), u(t ), h(t ) и p(t) :
lim e _[р—n]tc(t )—с k (t ) = 0,
t — <»
lim e-[p—(a+n)]tk (t )p c(t )—cx t——^
x u(t )—p+Y h(t )1+Y—p = 0.
(33)
(27)
Теперь, используя уравнения (25) и (27), осуществляем переход от уравнения (25) для
При исследовании неоклассических моделей экономического роста более удобно (в первую очередь в связи с интерпретацией получаемых результатов) использование величины удельной (на душу населения) капиталовооруженности k^). Именно по этой причине ниже исследуется задача (29)-(33).
x
Некоторые свойства решений задачи (29)-(33)
Прежде всего, используя явный вид уравнений (30)-(32), отметим, что если { k(t), h(t), c(t), u(t) } - решение системы (29)-(32), то функции {h(t), c(t), u(t)} строго положительны, если строго положительны соответствующие им начальные условия.
Предложение 1. Система обыкновенных дифференциальных уравнений (29)-(32) обладает первым интегралом
c(t)° k (t)—p h(t )—Qu(t )(p—Y ) e ~at = const, (34) где Q = A4 — (p — y), A4 = Aj — A3 , О = a + n —
-p + ôA3 —(1— A4) и P^Y.
Действительно, перейдем в записи системы (29)-(32) к темпам роста соответствующих переменных. Имеем:
ak = A(t )k (t )p—1 h(t )1—p+Y u(t )1—p+Y —
—(^к + «)—
®h = Ф — u(t)]— цh , arac =pA(t )k (t)p—1 h(t)1—p+Yx
x u(t )1—p+Y — (р + ц к ),
(P —Y К = P + SQ[1 — u(t )] —p ^.
k(t)
Умножим, соответственно, уравнение (35) на коэффициент (—Р), уравнение (36) - на (—Q), а затем сложим полученные результаты с уравнениями (37) и (38).
В итоге получим равенство:
°®c— P®k— Q®h + (Р—yK = (39)
= (Pn — р) — цк (1 — в) + P + QMh = О 5 откуда, по определению темпа (и с учетом три-
dln(eQt ) О ) виального равенства-----^-----= О ) имеем:
dt ln{;(t )° k (t )—p h(t )—Qu(t )(p—Y ) e _Qt }= 0 .(40)
Из равенства (40) непосредственно получаем, что система (29)-(32) обладает первым интегралом вида (34).
Наличие первого интеграла (40) позволяет, в принципе, произвести понижение порядка системы уравнений (29)-(32) на единицу (см., например, [5]). Соотношение (34) могло бы быть использовано для этого и непосредственно, если, например, записать его в виде
(35)
(36)
(37)
(38)
c(t)c k (t)-p h(t)-Qu(t)(p-Y ) e ~Qt =
= c(ta)° k (to)-P h(to)-Qu(to)(p-Y ) e-Qt»,
где to e R - начальный момент времени, а затем «исключить одну из переменных». Однако такое использование интеграла (34) заведомо не приводит к цели, поскольку на самом деле в исходной задаче (1)-(3) начальные условия задаются только для переменных {K (t), h(t )} (или, что эквивалентно, для функций {k(t),h(t)}), но не для функций с^) и u(t) ; напротив, в соответствии со смыслом исходной задачи (1)-(3), начальные условия для управлений с(t) и u(t) подлежат определению с использованием условия трансверсальности (33).
Предложение 2. Пусть Р = с . Тогда система обыкновенных дифференциальных уравнений (29)-(32) наряду с первым интегралом (34) обладает ещё одним первым интегралом вида
c(t ) =____________c(tp)Q____________
k(t) c(to) + [Ok(to) - c(to)]e°(t-to)’
Ф = [(P - «P) + 1% (1 -P)]P-1, P = c . (41)
Действительно, в указанном случае уравнение (37) принимает следующий вид:
Ш = A(t)k(t)p-1 h(t)1-p+Yu(t)1-p+Y - (42)
-P 1(p + ^K ) .
Обозначим z(t) = c(t )[k (t )]-1. Тогда из (42), (35) имеем:
Шс -®k = z(t) -[(p- «e) + Mk (1 -P)]P 1 = (43)
= z(t) - Ф .
Ясно, что шс -fflk = — ln z(t). Но тогда из
dt
(43) следует уравнение —z(t) = z(t)[z(t) - ф] -
—t
логистическое уравнение, общее решение которого хорошо известно. Используя это решение, получаем ещё один первый интеграл вида (41).
Таким образом, в частной ситуации р = с имеется два первых интеграла - (34) и (41), так что в этом случае порядок системы уравнений (29)-(32) может быть, в принципе, понижен на две единицы. Впрочем, как уже отмечалось выше, в исходной задаче (1)-(3) начальные условия для функции c(to) не задаются.
Сделаем ещё несколько замечаний, касающихся ситуации Р = с . Пусть выполнено условие Ф > o. Такое предположение не является слишком обременительным, поскольку во мно-
гих случаях разумно считать, что выполнено условие р > n (оно может быть интерпретировано как условие своеобразного эгоизма репрезентативного экономического агента). Ясно, что в этом случае (поскольку Р є (0,1)) гарантированно выполнено условие Ф > 0.
При этих условиях рассмотрим один частный класс начальных условий k(to) и c(to) для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (29)-(32): пусть c(to) = Фk(to). Тогда, в силу (41), очевидно, имеем c(t) = Фk(t),
Vt є Rt0 , Rt0 = [to,да).
Следовательно, в случае Р = с система уравнений (29)-(32) имеет инвариантное множество вида Мф = {pol(k, h, c, u) є R4 : c = Фk }. Если ограничиться рассмотрением уравнений (29)-(32) на множестве Мф с R4 , то получим следующую систему
dk(t) = A(t)k(t)ßh(t)1-ß+Yu(t)1-ß+Y -dt
- (цк + n + Ф)k(t),
dht) = 5[1 - u(t)]h(t) - цhh(t), dt
du(t) = 1 u(t){[ P + 5Q -РФ] -
dt
P-Y
- 5Qu(t)}= ru(t )J 1 -
u(t) K
(44)
(45)
(46)
где г = Н(р-у)-1, К = Е^)-1, Е = Р + 5Q-РФ.
Система (44)—(46) дополняется также условиями трансверсальности (см. (33)):
lim е-[р-n]tk(t)1-ß = t
= 0,
ласть в пространстве параметров системы (44)— (46). Явный вид функции u(t) позволяет найти явное представление функции h(t), а затем и решение k (t) уравнения (44). Найденные функции должны удовлетворять условиям трансверсальности (47). Таким образом, в данном случае возможно получение весьма детальных аналитических результатов2. Однако эти результаты не позволяют продвинуться в общем случае при исследовании поведения траекторий системы уравнений (29)-(32).
Тем не менее полученные выше результаты (и, в частности, соотношения (34), (41)) оказываются весьма полезными при доказательстве существования у системы (29)-(32) траекторий сбалансированного роста.
Траектории сбалансированного экономического роста
По определению, оптимальная траектория {k(t),h(t),c(t),u(t)} есть траектория сбалансированного роста, если темпы роста a k , ah , юс переменных k(t), h(t), c(t) и величина u(t) являются постоянными [3, 2].
Вновь воспользуемся системой уравнений (35)—(38). В силу уравнения (36) и условия = const функция u(t) должна быть постоянной при всех t е R +, то есть
au = 0, u(t) = uBGP е (0,1), Vt е R + . (48)
Далее, в силу уравнения (37) и условия = const постоянной является величина
A(t )k (t )ß-1 h(t )1-ß+Y (uBGp )1-ß+Y =
(49)
lim e_[p-(a+n)]tu(t)_ß+Y h(t}!+Y-ß = 0 . (47)
t—— да
Кроме того, так как имеет место предложение 1, то система (44)-(46) имеет первый интеграл вида h(t )-Qu(t )(ß-Y) e~Qt = const. Это, а также тот факт, что решение стандартного логистического уравнения (46) хорошо известно и легко находится в явном виде, позволяет провести детальное исследование траекторий системы (44)-(46). Отметим, в частности, что решение уравнения (46) при t — да имеет монотонный характер (убывающий или возрастающий - в зависимости от величин и знаков параметров r, K, Е ). Из экономического смысла и предположения о «внутреннем» характере решения задачи следует условие K е (0, 1). Это последнее условие определяет допустимую об-
= [(Р + Мх) + ст®с ]Р \ так что справедливо равенство а + (Р — 1)а +
+(1 — P + Y)юй = 0 .
Наконец, силу уравнений (35), (49) и условия &k = const имеем:
c(t) =
k (t)
(ст<ас - p^k) + (p - ßn) + (1 - Р)Цк ß
(50)
= const,
так что = юс (подчеркнем, что здесь не налагалось условие Р = с). При этом соответствующим образом трансформируется уравнение (39), так что, с учетом равенств юи = 0 и =юс , для определения темпов и
имеем следующую систему линейных алгебраических уравнений
i (1 -Р)®£ - (1 -P + Y)®h = а> 1(а-Р)ю* - Q&h = Œ-
(51)
Несложный анализ системы (51) показывает, что при условии
D =
(1 -Р) - (1 -р + у)
(с-Р) - ^
= с(1 -р + у) - у - (1 - Р) А4 ф 0
( А 4 ^ А1 - А з )
эта система имеет единственное решение, представимое в виде:
Ю =
а затем выделить в нем некоторое множество -область ©вор с © параметров, которым отвечают реализуемые оптимальные траектории сбалансированного роста. В частности, соотношения (52), (53) позволяют выделить область
©Вар С © параметров, которым отвечают траектории, удовлетворяющие условиям трансверсальности (33). В соответствии со смыслом переменной и(^) е (0, 1), У( е R +, такие траектории имеют экономический смысл (реализуемы), если выполнено также условие и(^) = иВСр е (0,1), Уt е R + . Это последнее условие выделяет в об-ВОР некоторое подмножество ©ВОР С
а(1 -A4) + (1 -Р + у )[n -p + ôA 3 -^h (1 -A4)] ç ®*bgP и т.д. Учет всех условий такого рода и
с(1 -р + у )-у-(1 -P)A4
а(1 -ст) + (1 -Р)[и-P + ÔA3 -^h(1 -A4)] (52)
C(1 -Р + У) -У- (1 -P)A4 В случае D = 0 система (51) имеет беско- ливо также неравенство
ВОР
приводит к построению множества ©ВОР с © .
В частности, если предположить, что справедливо неравенство юк > 0 (растущий тренд), то в таком случае из (53) следует, что справед-
нечно много решении, если выполнено условие (1 - P)Q - а(с — Р) = 0 ; в противном случае система (51) решениИ не имеет. В первом случае имеется «эффект множественности траектории сбалансированного роста» (который, в принципе, может быть истолкован как проявление «эффекта неопределенности» [6, 15] темпов роста), а во втором - их отсутствие. Первооче-реднои интерес представляет ситуация, когда система (51) имеет единственное решение.
Используя условия трансверсальности (33) и учитывая равенства юи = 0 и = юс, можно теперь сформулировать систему неравенств, которые должны выполняться на траекториях сбалансированного роста. Они имеют следующий вид:
а + n — р + (Р — с)ю ^ + (1 — р + у)юh < 0 ,
n + юк — (р + сю^) < 0, (53)
где юк и имеют представление (52). Поскольку, однако, в силу (49), имеет место равенство а + (р — 1)ra¿ + (1 — Р + у )юй = 0, то неравенства (53) эквивалентны.
Для дальнейшего удобно ввести в рассмотрение пространство ©с R11 допустимых значений параметров 0 = col {а, р, у, 5, р, с, n, p, q,
Mk , Mh } e © системы (29)-(32) (и исходной системы (1)-(3))
© = R+ x(0,1)xR+ xR++2 xSxR3 xR+2 сR11,
ст > 1 -
(p- n)
K
= 1 - (р - и)[с(1 -р + у) - (1 - р) А4 - у] X (55) х {а(1 - А4) + (1 -Р + у) х
х [п - р + 5Аз - ^(1 - А4)]}-1 = сшіп •
Из (55) следует, что в данной модели «растущие» траектории сбалансированного роста реализуются только в том случае, когда уровень не-
3
приятия риска , характеризующий поведение репрезентативного экономического агента, «не слишком мал» (так что с > сшіп). Данный вывод согласуется с результатами работы Лукаса [3].
Полезно, используя первое из уравнений системы (51), представить полученные результаты в виде
ю а і (1 -Р + ^)ю
Юи =----------і-----------Юh ,
к (1 -Р) (1 -Р) к
R + = [0, да), R++ = (0, да).
(54)
Ю =
= а(1 — с) + (1 — Р)[и — p + ÔA3 — цh (1 — А4)] (56) с(1 — Р + у) — у — (1 — Р)А4 '
Заметим, что на траектории сбалансированного роста справедливо также равенство
юу = юк, где y = A(t)k(t)e [u(t)h(t)]1—e+Y - реальный выпуск (ВВП) на душу населения. Из первого равенства (56) следует, что технологический прогресс и процесс накопления ЧК оказывают на темпы экономического роста вполне аналогичное воздействие. Кроме того, «большие экстерналии» (большие значения парамет-
ра у) также увеличивают темп ЭР. Интересно сопоставить формулы (56) с аналогичными соотношениями, имеющими место в классической модели Лукаса. Для этой модели (см. [3; 2, § 3.4]) справедливы представления4:
а
ю
к, Lucas
(1 -Р + У ) ю
' - -■ шк, Lucas
(1 -Р) (1 -Р)
ю
Аюк = юк,Lucas -юк —
(1 -Р)[8(1 - р) + ^к ]
а(1 -р + у)-у
Наличие на траектории сбалансированного роста «интегралов» (49), (50) позволяет преобразовать задачу (29)-(33) к более удобному виду. Введем в рассмотрение «инструментальные переменные»
h,Lucas
a(1 -g) + (1 -р)(и-p) + 5(1 + A-P) (57)
c(1 -P + y ) -y + A причем A = 0 соответствует «задаче о конкурентном равновесии», а A = у - «задаче социального планировщика». Связь темпов и
a h одинакова в обеих моделях. Однако выражения для темпов роста ЧК существенно отличаются. Проведем сравнение темпов ®hLUcas и
a h. Ограничимся следующим примером. Сравним выражения (57) и (56) для ahLUcas и
ah в случае задачи о «конкурентном равновесии», предполагая, что для эластичностей по переменным h и (1 - u) производственной функции ЧК в уравнении (2) имеет место равенство p = q. Заметим, что условие p = q имеет простой экономический смысл: в сфере образования экстерналии определяются величиной (1 - ua )ha - средним эффективным трудовым
вкладом экономического агента в образовательный процесс, а он заинтересован в том, чтобы в каждый из видов деятельности (производственной и образовательной) вкладывать такую же часть своего эффективного труда, как и в среднем по рынку. В таком случае имеем:
1 1-р+у
q(t) = , x(t) = k(t)A(t)e-1 h(t) P-1 . (59)
k(t)
В силу (49), (50) на траектории сбалансированного роста, очевидно, справедливы соотношения q(t) = const, x(t) = const. Ясно, что замена переменных вида {k(t),h(t), c(t), u(t)} ^ ^ {x(t), q(t), c(t), u(t)}, использующая соотношения (59), является регулярной. В результате этой замены получаем следующую систему уравнений:
dx(t ) dt
— x(t)p u(t)
p u(t )1-p+Y
+
+ y[1 - u(t)]x(t) - q(t)x(t) -Mx(t).
dq(t ) dt
— ^>x(t )p 1u(t)1 P+Y q(t) +
(60)
(61)
du(t ) dt
P - Y
+[q(t )? -^q(t), u(t ){P + 8Q[1 - u(t )]-Pq(t )}, (62)
^ — - c(t)[px(t)p-1 u(t)1-p+Y - (p + Цк )], (63) dt с
где коэффициенты P и Q определены в (28), а остальные параметры имеют вид
Ф P , (1 - P + Y )
Ф —-----1, V —---------!— ,
с (1-P)
M—
а
1-P
1 -p + Y
1-P
. (58)
^ —-С-n-Ц K f1 -^| .
(64)
Напомним, что параметры Р, р е (0,1), , 5, у е R +, и можно считать, что с е R++. Из анализа правой части (58) ясно, что если с е [1, да), то заведомо имеет место неравенство ДюА > 0. Если же се (0, 1), то неравенство Дюй > 0 имеет место для всех («достаточно
малых») у е (0, у*), где у* = с(1 - Р)(1 - с)-1 5. Таким образом, можно считать, что неравенство Дюй > 0 имеет место при весьма широких предположениях о параметрах экономической системы, то есть темп роста ЧК в модели Лукаса [3] выше, чем в модели (1)—(3). Неравенство Дюй > 0 свидетельствует о большем соответствии действительности модели (1)—(3).
Система уравнений (60)-(63) обладает специфической структурой - уравнения (60)-(62) образуют замкнутую подсистему. Поэтому целесообразно исследовать систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений (60) -(62). Состояния равновесия этой системы определяются как решения следующей системы нелинейных алгебраических уравнений:
хр и1~в+1 +у(1 - и)х - qx - Мх = 0,
фхР-1и1-р+7q + q2 -^ = 0,(65)
и{Р + 5^(1 - и) = 0.
В соответствии с экономической интерпретацией переменных {х, q, и} основной интерес представляют только состояния равновесия со
1
строго положительными компонентами (x,gеR++,
и е (0,1)). Обозначим и = хв-1н1-в+у. С учетом сказанного выше легко видеть, что система уравнений (65) приводится к линейной системе уравнений относительно набора переменных г = со1{и, q,(1 - и)}. Последняя может быть записана в виде
1 -1 у
II < = 3 ф 1 0
О в Q to -
b = col{M, P}. (66)
где det A = Рфу - 5Q(1 + ф). Если det A Ф 0, то решение системы (66) ze = colpe,qe,(1 - ue)} допускает следующее представление («правило Крамера»):
5Q(^+ M) + V(P -^P)
qe =
1 - ue =
5Q (ф +1) -фРу 5Q(^ - фм ) - фРу ôQ(ф +1) -фРу , Р(^-фМ ) - Р(1 + ф) ôQ(ф +1) -фРу
(67)
Из формул (67) и равенства ие = х/ 1 х
1-6+у
х ие легко выражается и переменная Хе .
Используя вид (28) и (64) параметров, можно получить явное представление решения (67) системы (66) и переменной хе как функций параметров системы 0 е ©. В случае det А = 0 возможны как существование бесконечного множества решений, так и их отсутствие.
Следует отметить, что в любом случае должно быть учтено условие положительности переменных {хе, qe}, а также включение ие е (0,1). Как уже отмечалось выше, эти требования налагают определенные дополнительные ограничения на параметры системы (см. (54)) и приводят к выделению в пространстве допустимых параметров © некоторого подмножества
©ВОР с ©. Параметрам 0 е ©вор с © соответствуют реализуемые траектории сбалансированного роста, которым отвечают хе, qe е е К++ и ие е (0, 1). Заметим, что множество
©вор выделяется в пространстве © с помощью некоторой системы алгебраических неравенств и в общем случае не пусто.
Исследованию свойств реализуемых траекторий сбалансированного роста, отвечающих
значениям параметров 0 е © вор с ©, посвящена следующая часть настоящей работы.
Примечания
1. См., например: Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. В 2-х томах: Учебник для университетов и втузов. М.: Высшая школа, 1981. Т. 1. 687с.; С. 181.
2. Заметим, что исследованию классической модели Лукаса в частном случае в = ст в силу традиции, заложенной работами [5, 6], посвящено большое количество работ (см., например, [7-14]). Как следует из предложений 1 и 2 и сделанных замечаний, привлекательность этого случая объясняется возможностью понижения порядка системы и получения явного вида решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений для набора «оставшихся» переменных.
3. Напомним, что мерой неприятия риска здесь служит относительная несклонность к риску в смысле К. Эрроу - Дж. Пратта.
4. Для удобства соответствующие выражения для темпов роста физического и человеческого капиталов в этих формулах дополнены индексами Lucas.
5. Определенный практический интерес представляют оценки «порогового» значения у, . Приведем конкретные сведения, касающиеся параметров некоторых реальных экономик. Например, по данным работы [9], для экономики США справедлива оценка CTUSA « 1.5465 > 1, а для экономики Германии -
Ствигтапу « 0.4032 < 1 ; в последнем случае, по данным
[9], имеем также ввегтапу« 0.4808, так что справедлива
оценка увегтапу « 0.4032 • 0.5192 • (0.5968)-1 « 0.3507 . Наконец, отметим, что для параметра у , характеризующего величину экстерналий в производственном секторе, по мнению целого ряда специалистов (см., например, [16-19]), вообще характерна «малость».
Список литературы
1. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Обобщенная модель экономического роста с учетом накопления человеческого капитала. I // Вестник ННГУ. 2010. № 1. С. 171-178.
2. Кузнецов Ю.А. Оптимальное управление экономическими системами. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2008. 449 с.
3. Lucas R.E., Jr. On the mechanics of economic development // Journal of Monetary Economics. 1988. V. 22. № 1. P. 3-42.
4. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Изд-во «Наука», 1974. 332 с.
5. Xie D. Divergence in economic performance: transitional dynamics with multiple equilibria // Journal of Economic Theory. 1994. V. 63, № 1. P. 97-112.
6. Benhabib J., Perli R. Uniqueness and indeterminacy: on the dynamics of endogenous growth // Journal of Economic Theory.1994. V. 63. № 1. P. 113-142.
7. Alonso-Carrera J. More on the dynamics in the endogenous model with human capital // Investigations Economicas. 2001. V. 25. № 3. P. 561-583.
8. Ruiz-Tamarit J.R. Multiplicity, overtaking and convergence in the Lucas two-sector growth model // Universitat de València, Department of Economic Analysis. FEDEA, Documento de Trabajo 2002 - 17, July 2002. 45 pp.
9. Gong G., Greiner A., Semmler W. The Uzawa -Lucas model without scale effects: theory and empirical evidence // Structural Change and Economic Dynamics. 2004. V. 15. № 4. Р. 401-420.
10. Alonso-Carrera J., Freire-Seren M.-J. Multiple equilibria, fiscal policy, and human capital accumulation // Journal of Economic Dynamics and Control. 2004. V. 28. № 4. P. 841-856.
11. Королев А.В., Матвеенко В.Д. О структуре равновесных нестационарных траекторий в модели эндогенного роста Лукаса // Автоматика и телемеханика. 2006. № 4. С. 126-136.
12. Chilarescu C. An analytical solutions for a model of endogenous growth // Economic Modelling. 2008. V. 25. № 6. P. 1175-1182.
13. Chilarescu C. A closed-form solution to the transitional dynamics of the Lucas-Uzawa model growth // Economic Modelling. 2009. V. 26. № 6. P. 135-138.
14. Hiraguchi R. A solution to the Lucas-Uzawa model with increasing returns to scale: Note // Economic Modelling. 2009. V. 26. № 5. P. 831-834.
15. Benhabib J., Farmer R.E.A. Indeterminacy and sunspots in macroeconomics // In: Handbook of Macroeconomics, V. 1A. Amsterdam: Elsevier, 1999. P. 387-448.
16. Bennett R., Farmer R.E.A., Indeterminacy with non-separable utility // Journal of Economic Theory. 2000. V. 93, № 1. P. 118-143.
17. Hintermaier T. On the minimum degree of returns to scale in sunspot models of the business cycle // Journal of Economic Theory. 2003. V. 110, № 3. P. 400-409.
18. Meng Q., Yip C.K. On indeterminacy in one-sector models of the business cycle with factor-generated externalities // Journal of Macroeconomics. 2008. V. 30. № 1. P. 97-110.
19. Pintus A.P., Indeterminacy with almost constant returns to scale: capital-labor substitution matters // Economic Theory. 2006. V. 28, № 3. P. 633-649.
GENERALIZED MODEL OF ECONOMIC GROWTH WITH ACCOUNT OF HUMAN CAPITAL ACCUMULATION. II
Yu.A. Kuznetsov, O. V. Michasova
The article investigates the generalized model of economic growth with physical and human capital accumulation, generalizing the well-known Lucas model. Conditions for balanced growth paths existence are established and some qualitative peculiarities of the paths are pointed out.
Keywords: economic growth, human capital, balanced growth paths.
