CC BY
74
УДК 65.012.122
МОДЕЛЬ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ СТРАТЕГИИ СТРАХОВАНИЯ Т.И. Овчинникова, Н.В. Санина, А.А. Хвастунов
Рассматривается задача определения страхового тарифа, который максимизирует ожидаемую полезность страховщика при условии добровольного участия в страховании страхователей
Ключевые слова: задача, прибыль, тариф, устойчивость
Необходимыми условиями обоснования финансовой устойчивости страховой компании [1,2] являются принцип эквивалентности и принцип неотрицательности страховых резервов. Принцип эквивалентности заключается в том, что сумма страховых взносов должна обеспечивать страховые выплаты, предусмотренные условиями страхования, компенсировать расходы на ведение дела и обеспечивать страховой компании прибыльность. Принцип неотрицательности резервов означает достаточность средств на страховые выплаты с учетом страхового риска. Отметим, что данные принципы, краткое формальное описание которых приведено ниже, являются необходимыми, но не достаточными - кроме них используют более сложные актуарные модели и методы анализа финансовой устойчивости страховых компаний.
Можно выделить следующие аспекты страхового дела: «методология» страхования (исследующая сущность, принципы и функции страхования, историю страхового дела), правовые основы страхования, организация деятельности страховых компаний и собственно модели страхования. Среди последних можно выделить модели актуарной математики, делающие акцент на методах расчета страховых ставок, исходя из тех или иных критериев эффективности и финансовой устойчивости страховых организаций, модели, описывающие отношение людей и организаций к риску и исследуемые в теории полезности и принятии решений [3].
Рассмотрим следующую модель страхования. Пусть ожидаемое значение целевой функции страхователя имеет вид:
Е/= Н- с - V - г + р [(7 + Е) к - Q], (1)
где Н - доход от хозяйственной деятельности страхователя, с - его затраты на эту деятель-
Овчинникова Татьяна Игоревна - МИСиС, д-р техн. наук, профессор, тел. (495) 237-21-36 Санина Наталья Васильевна - ВГАСУ, канд. экон. наук, доцент, тел. (473) 276-40-07
Хвастунов Алексей Анатольевич - ВГАСУ, аспирант, тел. (473) 276-40-07
ность, V - затраты на проведение предупредительных мероприятий, г - страховой взнос, к -страховое возмещение, р - вероятность наступления страхового случая, Е - коэффициент, отражающий отношение страхователя к риску, Q - потери при наступлении страхового случая.
Пусть ожидаемое значение целевой функции страховщика имеет вид: ЕФ = г - р к, а страховой тариф определяется как сумма нетто-ставки (равной в силу принципа эквивалентности - см. выше - вероятности наступления страхового случая р) и нагрузки к нетто-ставке, которую мы обозначим Ео (напомним, что нагрузка к нетто-ставке включает рисковую надбавку, коммерческую надбавку и предупредительную надбавку), то есть
г = (р + Ео)к. (2)
Условие выгодности страхования для страхователя имеет вид:
г < р(7 + Е)к, (3)
для страховщика:
г > рк, (4)
условие «морального риска» (отражающее не-побуждение страхователя к заинтересованности в наступлении страхового случая):
(1 + Е)к < Q. (5)
Объединяя условия (4.2)-(4.4), получим
о < Ео < рЕ (6)
Содержательно, условие (6) означает,
что коммерческая эффективность страхования с точки зрения страховщика ограничена отношением страхователя к риску. Чем выше вероятность наступления страхового случая и чем более страхователь несклонен к риску, тем более выгодно страхование для страховщика.
Пусть имеет место полная компенсация ущерба, то есть (5) выполняется как равенство. Тогда справедливо:
Р + #0 1 + #
Q,
И
_д_
і+#
(7)
(8)
Из (7)-(8) следует, что величина страхового взноса растет с увеличением вероятности наступления страхового случая, потерь и на-
г
грузки к нетто-ставке. В то же время, размер страхового возмещения растет с ростом потерь, убывает с ростом коэффициента Е и не зависит от вероятности наступления страхового случая и нагрузки к нетто-ставке (что обусловлено введенным выше предположением о полной компенсации ущерба).
Подставляя выражения (7) и (8) в целевые функции страхователя и страховщика и обозначая g = Н - с - V, получим:
Е/= Я ■
Р+#о- д,
ЕФ
1+#
_ #о
1 + #
е.
(9)
(10)
Рассмотрев страховой контракт между страховщиком и одним страхователем, перейдем к описанию моделей взаимодействия между одним страховщиком и несколькими страхователями, характеризуемыми отношением к риску {£■} и потерями {Qг}, I е 1 = {1, 2, ..., п}, где п - число страхователей.
Предположим, что страховщик фиксирует нагрузку Ео к нетто-ставке. Тогда при различных вероятностях наступления страхового случая страховые тарифы п для различных страхователей также будут различны: Пм = р\ + Ео. По аналогии с одноэлементной системой имеем:
Гг =
- Рі +#0 д 1 + # '
И = Єг
1+#
(11)
Пусть страхователи упорядочены по неприятию риска в следующем смысле:
рЕ < р2%2 < ... < рпЕп, (12)
тогда из (Ю), (11) и (12) следует, что ожидаемая полезность страховщика равна
п Q
еф(Ео) = Ео Е -ТЕ, (13)
i=т(Ео) 1+ Е
где
т(Ео) = тт { е 1 | р£г > Ео}. (14)
Мерой взаимовыгодности страхового контракта будет
ргШг
Л
X
і=т(#0 ) 1 + #і
(15)
Задачу
ЕфЕо) — тах(16)
Ео >о
определения нагрузки к нетто-ставке, которая максимизирует ожидаемую полезность страховщика при условии добровольного участия в страховании страхователей, назовем задачей определения нагрузки к нетто-ставке.
Предположим, что страховщик фиксирует единый для всех страхователей страховой тариф п0. При известных вероятностях наступления страхового случая (равных в силу принципа эквивалентности нетто-ставкам) можно вычислить «нагрузки к нетто-ставкам»:
#0і = п0 - рі. По аналогии с (13), получаем:
Єі
Гі = п0
1+# И = е
1+#г ’
(17)
Рі#і + Рг -П0 1 + #г
, г є 7.
Пусть страхователи упорядочены по неприятию риска в следующем смысле:
рг (7 + Ед <р2 (7 + Е2) < .. <рп (7 + Еп),
(18)
тогда из (17) и (18) следует, что ожидаемая полезность страховщика равна
ЕФ(яо)
X
г=т(п>) 1 + #г
(По - Рг), (19)
где т(по) = тт { е1 | pi (7 + Ед > п}
(2о)
Мерой взаимовыгодности страхового контракта остается величина Д определяемая выражением (15), в которой нижний индекс суммирования равен т(п0).
Задачу
Ефпо) — тах (21)
По >о
определения страхового тарифа, который максимизирует ожидаемую полезность страховщика при условии добровольного участия в страховании страхователей, назовем задачей определения страхового тарифа.
Выбор страховщиком принципа страхования - с единым тарифом или с единой нагрузкой - будем называть стратегией страхования в рассматриваемой модели.
Из вышенаписанного выведем следующую теорему. Пусть страхователи пронумеровали по возрастаниюрь т.е. р7 <р2<... <рп .
Если имеют место условия:
рЕ <рЕ < ... <рпЕп, р,! (7 + Ед <р2 (7 + Е2) <... <рп (7 + Еп), то выигрыш страхователя при установлении оптимальной единой нагрузки к нетто-ставке не менее, чем его выигрыш при установлении оптимального единого тарифа.
Доказательство.
Пусть при установлении оптимальная нагрузка к нетто-ставке равна Ел причем Ео=
ртЕт.
Установим единый тариф п0 так чтобы п0
рт (7 + Ет) рт + Ео .
В этом случае
п Q.
ЕФ(По) = Е уу (Ео + рт - р,) < Ео
i=т 1 + ь,
п Q.
Е 0- = ЕФ(Ео )
,=т 1+ Ь,
Пусть оптимальный тариф По = (7 + Еч) рч. Возьмем Ео= рЕ .
Получаем: ЕФ(по) < ЕФ(Ео ) < ЕФ(Ео ). Теорема доказана.
Литература
1.Кудрявцев А. А. Актуарные модели финансовой устойчивости страховых компаний. СПб.:Инстиут страхования, 1997.-62 с.
2. Страховое дело / Учебное пособие под ред. Л.И. Рейтмана.М.: РоСТо, 1992.- 524 с.
3.Бурков В.Н.. Новиков Д. А. Как управлять проектами. М.: Синтег, 1997.-188с.
Московский институт стали и сплавов (государственный технологический университет) (г. Москва) Воронежский государственный архитектурно-строительный университет
MODEL FOR DEFINITION OF OPTIMUM STRATEGY OF INSURANCE T.I. Ovchinnikova, N.V. Sanina, А.В. Hvastunov
The problem of definition of the insurance tariff which maximizes expected utility of the insurer under condition of voluntary participation in insurance of insurants is considered
Key words: a problem, profit, the tariff, stability
