CC BY
38
УДК 338.16.54
МОДЕЛЬ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ О РАЗМЕРЕ СТРАХОВЫХ ВЗНОСОВ Д.В. Алферов, Н.В. Санина, А.А. Хвастунов
В статье рассматривается модель принятия страховщиком решений относительно размеров страховых взносов. Показывается, что гибкие механизмы страховых ставок обладают как предупредительной ролью (побуждают страхователей увеличивать отчисления на предупредительные мероприятия), так и мотивационной ролью (побуждают страхователей выбирать действия, снижающие ущерб от наступления страховых случаев)
Ключевые слова: затраты, метод, оценка, эффект
Введение
Если традиционно в теории управления рассматриваются задачи исследования манипулируемое™ механизмов планирования, используемых в страховании (механизмы определения страховых тарифов и нагрузок, механизмы взаимного страхования, скидок и т.д.) [1, 2], то в настоящей работе основной акцент делается на изучении механизмов страхования, побуждающих страхователей выбирать те или иные состояния. Соответствующий обширный класс механизмов в теории активных систем получил название механизмов стимулирования [Ошибка! Источник ссылки не найден.]. Ниже исследуется роль страхования в побуждении страхователей к выбору действий, приводящих к снижению вероятностей наступления страхового случая, ожидаемых потерь и т.д., а также увеличению затрат на предупредительные мероприятия.
Рассмотрим, следуя [1], модель взаимодействия страховщика с одним страхователем, о котором первый имеет всю необходимую информацию. Пусть деятельность страхователя описывается: его действием у >0, которое может интерпретироваться как объем производимой страхователем продукции, оказываемых услуг и т.д., и суммой V >0, затрачиваемой страхователем на предупредительные мероприятия. От действия страхователя зависит его доход И(у), затраты с(у) и вероятность наступления страхового случая р(у, у), причем последняя величина зависит также и от объема средств V, затрачиваемых на предупредительные мероприятия, то есть ожидаемая полезность страхователя есть:
У) = Ну) - с(у) - V -т(у, у) + р^, у) [(7 + £) И^, у) - б], (1) где г(у, у) - устанавливаемый страховщиком страховой взнос, И(ц у) - страховое возмещение, б -потери при наступлении страхового случая, £ >0 -коэффициент, отражающий несклонность страхователя к риску.
Алферов Дмитрий Викторович - ВГАСУ, аспирант, тел. (473) 276-40-07
Санина Наталья Васильевна - ВГАСУ, канд. экон. наук, доцент, тел. (473) 276-40-07
Хвастунов Алексей Анатольевич - ВГАСУ, аспирант, тел. (473) 276-40-07
Так как нас интересуют свойства механизмов страхования, а не «производственная» деятельность страхователя, то выберем простейшие зависимости затрат и дохода от его действия: Н(у) = А у, с(у) = с0 + в у, где А может интерпретироваться как цена, по которой страхователь реализует свою продукцию, с0 - постоянные издержки, в - удельные переменные издержки.
Из условия Н(у) - с(у) - V >0 можно определить точку безубыточности у^) - минимальный объем производства, при котором деятельность страхователя еще выгодна: у^) = (с0 + V) / (А- в).
Относительно зависимости вероятности наступления страхового случая от у и V предположим (символ «’» обозначает производную, нижний индекс обозначает переменную, по которой производная вычисляется), что:
> 0.
Ру >0, Pv *0, Руу ^0’ рт В отсутствии страхования целевая функция (1) страхователя равна
Е'((V, у) = Н(у) - с(у) - V - р^, у) б. (2)
Следовательно, без учета ограничения безубыточности оптимальной стратегией страхователя будет выбор пары (V*, у»), такой что др^*, у*) =
б 1
ду
др(т*, у*)
(3)
дv
б
где у= А- в
В присутствии страхования, если осуществляется полная компенсация ущерба, то есть И = б / (1 + £), то без учета ограничения безубыточности оптимальной стратегией страхователя будет выбор (V , у ):
^ л л
дг(V ,у )
ду
* >!< дг(V ,у )
ду
■ = г
= -1
(4)
Если принять предложенный в [1] механизм определения страховых ставок:
^0^, у) + р^, у)
1 + #
■б,
(5)
где £(•) - предупредительная нагрузка к нетто-ставке, характеризующая объем средств (точнее долю от страховых платежей), направляемых страховщиком на проведение предупредительных мероприятий, то (4) примет вид
* ' * * /(1 + £)
,у ) + ру(V ,у ) =-
#0у (V
1 ж ж > ж ж
1(v , У ) + Pv(v , y) = -
Q
in
Q
(6)
В рамках рассматриваемой модели стратегией страховщика является выбор зависимости #(•) нагрузки к нетто-ставке от затрат v на предупредительные мероприятия и действий у страхователя. Несколько забегая вперед, отметим, что сравнение свойств систем уравнений типа (3) и (6) является ключевым инструментом анализа предупредительных и мотивационных свойств страхования.
Под предупредительной ролью страхования будем понимать его свойство побуждать страхователей увеличивать отчисления на предупредительные мероприятия. Под мотивационной ролью страхования будем понимать его свойство побуждать страхователей выбирать действия, снижающие ущерб от наступления страховых случаев (каждый раз при рассмотрении тех или иных моделей страхования необходимо конкретизировать - что понимается под «ущербом» - вероятность наступления страхового случая, ожидаемые потери, ожидаемые потери с учетом затрат на страхование и предупредительные мероприятия и т. д.).
Следующее утверждение констатирует, что при постоянной нагрузке к нетто-ставке страхование не играет ни предупредительной, ни мотивационной роли, а, наоборот, побуждает страхователя выбирать стратегии, увеличивающие ожидаемые потери по сравнением с ожидаемыми потерями в отсутствии страхования.
Утверждение 1. Если £0 = Const, то
* * у <у*, V <V*.
Действительно, если £0 = Const, то (6) примет вид:
Ру (V :
Pv(v*
У ) =
У ) = -
Q
1+1
Q
(7)
Сравнивая (3) и (7) с учетом свойств зависимости р(-) и того, что £>0, получаем, что
* * /-ч
у <у*, V <v*. Отметим, что выше предполагалась, в том числе, вогнутость функции р(-) по действию страхователя. Результат утверждения 1 изменится, если предположить выпуклость р(-) по действиям страхователя. В общем случае (если р(-) имеет точки перегиба и т.д.) нельзя однозначно утверждать что введение страхования всегда уменьшает или всегда увеличивает равновесные значения стратегий страхователя.
Важный качественный вывод, следующий из утверждения 1, заключается в том, что для того, чтобы страхование оказывало предупредительное и
мотивационное воздействие на страхователя, параметры страхового контракта должны гибким образом зависеть от стратегий, выбираемых последним. Кроме того, утверждение 1 является формальной иллюстрацией свойства морального риска - застрахованный субъект стремится избежать риска меньше, чем незастрахованный [1].
Анализ систем уравнений (3) и (7) подсказывает, что для того, чтобы страхование оказывало на страхователя предупредительное и мотивационное воздействие, необходимо, чтобы нагрузка к нетто-ставке и/или страховой тариф зависели от стратегий страхователя. Поэтому рассмотрим условия, которым должны удовлетворять параметры страхового контракта для обеспечения требуемого поведения страхователя. Для простоты будем рассматривать модели, в которых переменными является только одна из компонент стратегии страхователя -либо отчисления на предупредительные мероприятия, либо действие.
Пусть единственной переменной является величина V отчислений на предупредительные мероприятия (действие страхователя фиксировано). Тогда из (3) и (6) получаем:
(8)
Из (8) следует, что в силу введенных выше предположений для обеспечения V >v* необходимо выполнение следующего условия:
(■) <-1. Д Q
(9)
Для обеспечения необходимости и достаточности следует учесть (см. условие эквивалентности в [1]), что страхование будет взаимовыгодным, если выполнено следующее условие: ''/V >0
£0^) <£р^). (10)
В предельном случае (при выполнении (10) как равенства) получаем, что V = V*, то есть введение страхования не изменяет отчислений на предупредительные мероприятия!
Аналогичным образом рассмотрим случай, когда единственной переменной является действие страхователя у, а величина отчислений на предупредительные мероприятия фиксирована. Тогда из (3) и (6) получаем:
р'у(у*)=^2 , £(у*) + ру(у*) =(1 +£г . (11)
Из (11) следует, что в силу введенных выше
предположений для обеспечения V >v* необходимо выполнения следующего условия:
£ (•) <£ . (12)
Для обеспечения необходимости и достаточности следует учесть (см. условие эквивалентности в [1]), что страхование будет взаимовыгодным, если выполнено следующее условие: ''/V >0
ш <£р(у). (13)
В предельном случае (при выполнении (13) как равенства) получаем, что у* = у*, то есть введе-
ние страхования не изменяет равновесных действий страхователя!
Отметим, что в силу (10) и (13), если оптимальное действие страхователя в отсутствии страхования принадлежало области безубыточности, то есть выполнялось: у* >уо^*), то и при наличии страхования оптимальное действие страхователя также буде принадлежать области безубыточности, то есть будет иметь место: у ^у^ ). Содержательно это свойство объясняется тем, что ожидаемые потери учитываются в целевой функции страхователя независимо от наличия или отсутствия страхования, а условия типа (10) и (13) являются «условиями участия», отражающими выгодность страхования для страхователя (то есть условия того, что при заключении страхового контракта его ожидаемая полезность не уменьшится).
Суммируем полученные результаты, сформулировав их в виде следующего утверждения.
Утверждение 2. Предупредительная роль страхования имеет место, если выполнены условия (9)-(10). Мотивационная роль страхования имеет место, если выполнены условия (12)-(13). Если выполнено
Uv, У) = £p(v, У), (14)
то наличие страхования не изменяет действий страхователя и его отчислений на предупредительные мероприятия.
Следствием утверждения 2 является то, что использование страховщиком нагрузки к нетто-ставке (14) исключает моральный риск.
Таким образом, настоящей работе предложена модель предупредительной и мотивационной роли страхования, в рамках которой показано, что целесообразно использование гибкой зависимости страховых тарифов от выбираемых страхователем действий и размеров отчислений на предупредительные мероприятия.
Литература
1.Бурков В.Н., Заложнев А.Ю., Кулик О.С., Новиков Д. А. Механизмы страхования в социальноэкономических системах. М.: ИПУ РАН, 2001.
2.Бурков В.Н., Новиков Д.А. Как управлять проектами. М.: Синтег, 1997.
3.Новиков Д.А. Стимулирование в организационных системах. М.: Синтег, 2003.
Воронежский государственный архитектурно-строительный университет
MODEL OF DECISION-MAKING ON THE SIZE OF INSURANCE PAYMENTS D.V. Alferov, N.V. Sanina, A.A. Hvastunov
In clause the model of acceptance by the insurer of decisions concerning the sizes of insurance payments is considered. Shows, that flexible mechanisms of insurance rates possess as a precautionary role (induce insurants to increase deductions by precautionary actions), and a motivational role (induce insurants to choose the actions reducing damage from approach of insurance cases)
Key words: expenses, a method, an estimation, effect
