CC BY
52
УДК 681.5
А.А. Игнатьев, Е.М. Самойлова
МОДЕЛЬ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ ВИБРОАКУСТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ПРИ РЕЗАНИИ В ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ СТАНКА. ЧАСТЬ 1
Аналитически с применением теории вычетов получено выражение для автокорреляционной функции виброакустических колебаний в динамической системе металлорежущего станка, аналогичное идентифицированному по экспериментальным данным.
Виброакустические колебания, динамическая система, металлорежущий станок автокорреляционная функция, теория вычетов
A.A. Ignatyev, E.M. Samoylova
AN AUTOCORRELATION MODEL FOR VIBROACOUSTIC FLUCTUATIONS WHEN CUTTING UNDER THE DYNAMIC TOOL SYSTEM. PART 1
The analytical method and the theory of deductions were applied to receive an expression for the automatic correlation functions of vibratory acoustic fluctuations in the dynamic system of the cutting metal tool, which is similar to the expression identified using the experimental data.
Vibroacoustic fluctuation, dynamic system, cut metal tool autocorrelation function, theory of deductions
В динамике станков важное место отводится измерению виброакустических (ВА) колебаний без резания и при резании и их анализу на основе определения различных характеристик: спектров, уровней колебаний на отдельных частотах, среднего уровня ВА колебаний в определенных диапазонах частот, АФЧХ динамической системы (ДС) станка, корреляционных функций и других [1-4]. Результаты измерений позволяют оценить техническое состояние станков, а также выбрать целесообразный режим резания с точки зрения качества обработки деталей.
Результаты ряда исследований на шлифовальных и токарных станках, проведенных в СГТУ, показали, что достаточно перспективным с точки зрения оперативности и применимости в производственных условиях является назначение режима резания, учитывающего как качество обработки, так и производительность, на основе вычисления запаса устойчивости замкнутой ДС станка [5, 6]. Запас устойчивости определяется из передаточной функции ДС, которая, в свою очередь, вычисляется из автокорреляционной функции (АКФ) ВА колебаний при резании при условии, что на вход ДС поступает сигнал типа «белый шум». Указанное справедливо для станков в стационарном режиме резания [7, 8], причем получаемые АКФ при различных значениях параметров технологического режима имеют вид затухающих косинусоид [5, 6, 9].
Научный и практический интерес в этом случае представляет получение теоретической АКФ ВА колебаний на выходе ДС станка. В связи с этим рассмотрим последовательность аналитического вывода АКФ на выходе ДС при подаче на вход сигнала типа «белый шум» при условии, что известна передаточная функция ДС станка.
Из классической работы [10] известно, что формула для вычисления АКФ на выходе ДС Ky (t). имеет вид
K» = -PjSyy (w)ejwtdw, (1)
где Sy(w) - спектральная плотность мощности сигнала на выходе ДС.
В свою очередь, известна формула
Syy (w)= \W (jw)2 S^ (w), (2)
где W(jw) - частотная функция ДС; S(w) - спектральная плотность мощности сигнала (СПМ) на входе системы.
В нашем случае СПМ входного сигнала типа «белый шум» Sxx (w) = So = 1, а ДС станка может быть описана колебательным звеном [7-9, 11] с передаточной функцией
W(Р)= T2 2 * + , , (3)
T Р + 2 gTp +1
причем O< g< 1.
Модуль частотной функции W( jw), полученный из (3) заменой p = jw, выражается формулой
W(jw)= ■ * , (4)
V(1 -w2T2 )2 + 4 g 2T 2w2
тогда
и2
(5)
Vd - û2T2 )2 + 4 g 2T W
I2 - K2
'"(i -û2T2 )2 + 4 g 2T W
что
- 1 r K 2eJûûdœ
- ^ i, « (6)
^ -w2T2 )2 + 2T 2w2
Следует отметить, что корни характеристического уравнения для (6) являются комплексными, т.к. ДС является колебательным звеном. Кроме того, корни (к (к = 1,2,3,4) определяют полюса подынтегральной функции.
Для вычисления интеграла (6) следует использовать теорему о вычетах [12], в соответствии с которой при аналитичности однозначной функции f(z) в области D, за исключением изолированных особых точек, замкнутый контур С принадлежит вместе со своей внутренностью области D и содержит внутри себя конечное число особых точек zi, Z2, ..., z„ и не проходит ни через одну из них, тогда
1 . п
pI f(x)dx = X Resf(zK), (7)
2PJ c к=1
где Res f(zK) - вычет функции f(zK) в точке zK.
Применяя к интегралу (6) теорему о вычетах, а также используя лемму Жордана [12], можно записать
(8)
1 ¥ K2eûda ,
p Ь—^-г-гт = L Re 5 f(w ) '
2p ¿(l -ûT2 ) + 4g TW ы
где f(w) - подынтегральная функция; 0)к - полюса функции f(w), причем интегрирование выполняется по точкам верхней полуплоскости.
Для вычисления вычета в точке z= zk, где Zk - простой полюс, а f (z) = p(z)/q(z), причем p(z) и q(z) - аналитические функции в точке Zk и p(zE )ф 0, q{zR ) = 0, q^z^ 0, используется формула
Re sf(zK ) = (9)
q( zk )
Тогда из формул (6), (8) и (9) следует, что
X f K2ewdw = f p(wK) (10)
2^-L(1 -w2T2) + 4g2T2w2 ji=1 q\wK) ' где p(w)= eiwt, q(w)=(1-ûf'Ie)+4g2'Ieûf; wK - корни уравнения q(w)=0.
Для дальнейшего вычисления интеграла (10) необходимо получить выражения для комплексных корней w1 ,...,w4 и выяснить их расположение на комплексной плоскости.
Преобразуем функцию q(w) к более удобному виду q(w) = (1-wT2)2 + 4gT2câ = 1-2wT +wT + 4gT w2 = T4 w4 + 2T2(2g -1)w2 +1 (11)
Затем вычислим значения корней CûK из биквадратного уравнения
T 4w4 + 2T2 (2g2 - 1)w2 +1 = 0. (12)
Введем замену переменных 7 = « , тогда имеем
Г4 г2 + 2Т2(2^-1)7 +1 = 0.
= - 2Т2^2 -1) ± У4Т4 (2/ -1)2 - 4Т4
^ = 2Т4 '
= - 2Г2(2^2 -1) ± 2Т1^4в4 - 4^2 +1 -1 ^= 2Т4
(13)
Из выражения (14) следует, что
(1 - 2) ±
\(,2 =±4ъ,
I (3,4 = ±Л/7~'
(14)
(15)
Следовательно, имеем 4 комплексных корня
« =47=
=-47=- у
(16)
«=
= - 2g2) - 2j£VГ-g2
Г
= -- 2 g2) -
Согласно лемме Жордана, вычисление интеграла (10) осуществляется с учетом корней, расположенных в верхней полуплоскости комплексной плоскости, при этом корни «К записываются в виде
«к =а + ЬК , (17)
где аК, JPK - действительная и мнимая части корней, соответственно.
Для того чтобы привести выражения для корней (16) к виду (17), выполним операцию извлечения квадратного корня из комплексного числа:
«1
+
+ Л ^ - 2 g 2)2 + 4 g 221 - g 2) +(1 ^ = + ^) = а+Ь
(18)
где а =Г^|г-7; р =^Т.
Т
По аналогии вычисляются выражения других корней, тогда из соотношений (16) и (18) следует
« = а+ Ь,
«2 =-(а+ Jр), (19)
«з =а-Jр, «4 =-(а- Jb) ■
Из (19) следует, что при вычислении интеграла (10) в соответствии с леммой Жордана необходимо учитывать только два вычета, которые определяются корнями ( =а + Jр и «4 = -а + Jр, которые лежат в верхней полуплоскости.
Предварительно найдем выражение для производной от функции д(«):
д'(«) = 2(1 -«Г 2)2Т2ю+ 8в2 Г2«, или
4 («) = 4Г2«(1 - « Г2) + 8^ Г2«.
Подставив в формулу (20) вместо « выражение «=а+Jр и выполнив алгебраические преобразования, получим
д' («) = 4 Г2 (а-а3 Г2 + 3а/32Т2 + 2 g2 а) + J4 Г2 (р - 3а2 рТ2 + р3 Г2 + 2 в2р) или 4 («) = А+JB, (21)
(20)
7 =
1,2
2
где А и В многочлены действительной и мнимой частей в формуле (21). Аналогично для аА = —а+ получаем
д'(«4) = —4Т2(а — а3Т2 + 3ар2Т2 + 2£а) + — 3а2 рТ2 + /3ЪТ2 + 2/Ь) (23)
или
4 = (®4) = — А + ]Б (24)
Вычислим интеграл (10) с учетом формул (19), (21) и (24),
К 2еШтбю
' eJ(a+ jß)t ej(-a+ jßt
- + -
A + jB - A + jB
- jat -ßt
K ¿ewndm = 2 2^(1 -a>2T2) + 4q2T2w2 "J = K2 ( A - jB)ejate-ßt-( A + jB)e - e = 2 A2 + B2
' K eßt(Aejat - jBejat - Ae~jat - jBe~jat ) =
A2 + B2 ^ \Ae - - Ae - jBe 1= (25)
A 2B
j~J~~rä eßU(ejat - e-jat)- jB(ejat + e~jat )] =
A2 + B2 K2
-ßt
[B(ejat + e-jat )+ jA(ejat - ejat )] =
A2 + B2
= —-- e~ßt(B cos at + A sin at).
A2 + В2 v '
Следовательно, выражение для АКФ равно
Kw (t) = K0fi (B cos at + A sin at), (26)
причем во времени оно представляет собой затухающую косинусоиду.
Изменение значений параметров технологического режима (подачи инструмента, скоростей вращения шпинделей круга и детали) обусловливает изменение значений параметров, входящих в передаточную функцию (3), а следовательно, и изменение запаса устойчивости ДС, по максимуму которого выбирается технологический режим. Определение реальных значений параметров передаточных функций осуществляется после идентификации АКФ, представленной формулой (26), по экспериментальным результатам измерения В А колебаний, как это показано в [5, 6, 9]. Вычисление запаса устойчивости замкнутой ДС осуществляется либо с применением критерия Михайлова, либо по показателю колебательности [10].
Таким образом, теоретически получена модель АКФ ВА колебаний, аналогичная по форме экспериментальным, что подтверждает ее адекватность реальным процессам в динамической системе металлорежущего станка.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кудинов В.А. Динамика станков / В.А. Кудинов. М.: Машиностроение, 1967. 360 с.
2. Добрынин С.А. Методы автоматизированного исследования вибраций машин: справочник / С.А. Добрынин, М.С. Фельдман, Г.И. Фирсов. М.: Машиностроение, 1987. 224 с.
3. Risbood K.A. Prediction of surface roughness and dimensional deviation by measuring cutting forces and vibrations in turning process / K.A. Risbood, U.S. Dixit, A.D. Sahasrabudhe // Journal of Material Processing Technology. 2003. Vol. 132. P. 203-214.
4. Динамический мониторинг технологического оборудования / Б.М. Бржозовский, В.В. Мартынов, И.Н. Янкин, М.Б. Бровкова. Саратов: СГТУ, 2008. 312 с.
5. Игнатьев А. А. Повышение качества обработки колец подшипников на основе идентификации динамической системы шлифовального станка по автокорреляционным функциям виброакустических колебаний / А.А. Игнатьев, В.А. Каракозова // Вестник СГТУ. 2011. № 2 (56). С. 69-73.
6. Коновалов В.В. Идентификация динамической системы по автокорреляционной функции виброакустических колебаний / В.В. Коновалов, А.А. Игнатьев, С.А. Игнатьев // Вестник СГТУ. 2011. № 4 (60). С. 130-133.
7. Попов В.И. Динамика станков / В.И. Попов, В.И. Локтев. Киев: Техшка, 1975. 136 с.
8. Lin Z.H. In-process measurement and assessment of dynamic characteristics of machine tool structures / Z.H. Lin // Int. J. Mach. Tools Manufact. 1988. V.28. № 2. P. 93-101.
9. Игнатьев А.А. Стохастические методы идентификации в динамике станков / А.А. Игнатьев, В.А, Каракозова, С.А. Игнатьев. Саратов: СГТУ, 2013. 124 с.
10. Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. М.: Наука, 1975. 768 с.
11. Кедров С.С. Колебания металлорежущих станков / С.С. Кедров. М.: Машиностроение, 1978. 200 с.
12. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн; под ред. И.Г. Арамановича. М.: Наука, 1984. 832 с.
Игнатьев Александр Анатольевич -
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Автоматизация, управление и мехатроника» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Самойлова Елена Михайловна -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Автоматизация, управление, мехатроника» Саратовского государственного технического университета.
Aleksandr A. Ignatyev -
Dr. Sc., Professor,
Head: Department of Automation,
Control and Mechatronics,
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Elena M. Samoylovа -
Ph. D., Associate Professor Department of Automation, Control and Mechatronics,
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
в редакцию 12.11.14, принята к опубликованию 11.05.15
Статья поступила
