Аналитическая оценка автокорреляционной функции виброакустических колебаний в динамической системе станка. Часть 1 Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 681.5

А.А. Игнатьев, А.В. Каракозова

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА АВТОКОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ ВИБРОАКУСТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ СТАНКА. ЧАСТЬ 1

Рассматривается вывод аналитического выражения для автокорреляционной функции (АКФ) виброакустических колебаний динамической системы станка при условии, что сила резания в стационарном режиме создаёт колебания типа «белый шум», а также проводится сопоставление теоретической модели с экспериментальной АКФ, полученной на шлифовальном станке.

Виброакустические колебания, автокорреляционная функция, передаточная функция, металлорежущий станок, динамическая система

A.A. Ignatyev, A.V. Karakozova

ANALYSIS OF THE AUTOCORRELATION FUNCTION FOR VIBROACOUSTIC OSCILLATIONS IN THE DYNAMIC SYSTEM OF A MACHINE-TOOL. PART 1

The paper deals with a derivation of the analytical expression for the autocorrelation function (ACF) of vibroacoustic oscillations in the dynamic system of a machinetool, provided that the cutting force in the stationary mode creates oscillations such as «white noise». A comparison is made into the theorrtical model and the experimental ACF received for the grinding machine.

Vibroacoustic oscillations, autocorrelation function, transfer function, metal-cutting machine, dynamic oscillations

При обработке металлов резанием важную роль играет выбор технологического режима, от которого зависят не только стойкость инструмента, но и качество обработки, включающее как геометрические параметры точности, так и физико-механические характеристики поверхностного слоя деталей [1-3].

Процесс резания как при токарной, так и при шлифовальной обработке сопровождается виброакустическими (ВА) колебаниями динамической системы (ДС) станка, спектральный состав и интенсивность которых существенно влияют на качество обработки и износ инструмента [3-6]. Отсюда возникает необходимость обоснования такой информативной характеристики ВА колебаний, по которой целесообразно выбирать технологический режим.

Из всего комплекса характеристик ВА колебаний, таких как уровень вибрации на отдельных частотах, спектр колебаний, общий уровень вибрации и т.д., рассматриваемых в [4-7], для выбора режима резания предлагается использовать запас устойчивости ДС станка, в частности шлифовального [3, 8]. Он определяется из передаточной функции ДС, полученной из автокорреляционной функции (АКФ) ВА колебаний, зарегистрированных вблизи зоны резания.

В ряде известных работ, рассматривающих динамику процесса резания, отмечается, что при стационарном режиме резания на ДС станка действует случайная составляющая силы резания, спектр которой может рассматриваться как аналог стохастического сигнала типа «белый шум» [6, 9]. В этом случае передаточная функция замкнутой ДС W(p) связана с АКФ К(т) выходного ВА сигнала соотношением, полученным А.В. Скляревичем [10].

W(p)W(-p)= K(p)+K(-p), (1)

где K(p) - изображение по Лапласу К(т).

В связи с этим представляет интерес получение аналитического выражения для АКФ ВА колебаний станка при условии, что вид передаточной функции ДС известен, а на её вход подаётся сигнал типа «белый шум». Далее это аналитическое выражение следует сопоставить с реальной АКФ, вычисленной по зарегистрированным ВА колебаниям станка при резании.

Динамическая система станка, как показывает ряд исследований [3, 8], может быть представлена колебательным звеном с передаточной функцией вида [11]:

^ïi^rl^ (2)

или в другой форме

W(p) = --1---(3)

т2 (р-р1)(р-р2)' 4 '

где рх, Р2 - корни характеристического уравнения. В этом случае имеем

= к 1 = к 1

Щ-Р) _ Т2 (-р- р^(-р -р2) = Т2 (р + рг)(р + р2)■ (4)

Из формул (3) и (4) следует, что

W(P)W("P)= Т^(р-р1)(р-р2)1(р + р1)(р + р2) (5)

Для того чтобы в дальнейшем получить выражения для K(p) и К(-р), выделим в правой части формулы (5) два слагаемых:

1 Ар + В Ср + D

__г + Г ) (6)

(р-р1)(р-р2)(р + р1)(р + р2) (р-р1)(р-р2) (р + р1)(р + р2)

а затем определим значения коэффициентов A, B, C, D (метод неопределённых коэффициентов).

Произведём приведение к общему знаменателю правой части выражения (6) и преобразуем его числитель:

(Ар + В)(р + рх)(р + р2) + (Ср + D)(p - рх)(р - р2) _

_ (Ар + В)(р2 + р[(р]х + р2) + рхр2) + (Ср + D)(p2 - р(р1 + р2) + р^) _ р!(А+С) + р2 "(А - С)(р1 + Р2) + B + D) +

+p((B-D)(p_1+p_2 )+р_1 р_2 (А+С))+р_1 р_2 (B+D)■ (7)

Сравним коэффициенты при степенях р числителя левой части из выражения (6) и степенях р выражения (7), тогда получим

А + С _ 0 (A-C)(pl+p2) + B + D_0 (в^)(р1 + р2) + р1р2(а + с)_0 РlР2(B + D) _ 1

Далее имеем

г А _ -С

2А(рх + р2) + В + D _ 0

(В^)(р! + р2) _0 (8)

1

В + D _-

^ р1р2

Из полученных соотношений следует, что

1

А _ -

I'

2рхр2(р1 + р2) 1

с _--(9)

2рхр2(р1 + р2) 1

В _ D _ --

2рхр2

С учётом формулы (9) выражение (6) преобразуется к виду

к!_1__ к (ар+в) + к (-ар+в) (10)

т4(р-р1)(р-р2)(р+р1)(р+р2) т2 (р-р1)(р-р2) т2 (р+р1хр+р2) ( )

В последней формуле первое слагаемое правой части соответствует изображению АКФ К(р),

а второе - изображению АКФ К(-р).

Для того чтобы получить выражения для коэффициентов А, В, С, D через параметры р и Т исходного выражения (1), преобразуем его знаменатель следующим образом:

Т2р + 2рТр + 1 _ Т2(р2 + 2тр + т2)_Т2(р2 + 2ра + ^2), (11)

где введены обозначения а _ т , 8 _ т.

Приравняв к 0 выражение в скобках, получим два комплексных корня рх и р2 (т.к. 0 < р < 1):

р1,р2 _ -а± =а2 - (12)

соответствующих знаменателю передаточной функции W(p).

Подставив значения корней рх и р2 в выражение (9), получим

A =

1

2(—а — Va2 — м2 — а + Va2 — м2)2

B =

4aM2 1

2 ((—a — Va2 — м2)(—a + Va2 — м2)) 2M

C =

(13)

D=

4aM2 1

2м2

Из полученных соотношений следует, что изображение АКФ К(С) примет следующий вид:

, Р ■ 1 к (Ар + В) ' -

k

(

4aM2 ^ 2м2

2)

T2 (p — pi)(p — Р2) T2 (p + a + Va2 — w2)(p + a — Va2 — м2) _ k (p + 2a)

K(P = T24aM2((p + a)2 + м2)'

или

где м1 = Vm2 — a2.

Выделим в выражении (14) два слагаемых:

(Р + 2a) (p + a)

a

4aw2((p + a)2 + m2) 4aw2((p + a)2 + м2) ' (p + a)2 + м2 Применяя обратное преобразование Лапласа [11], получим оригиналы:

p + a _

' CT(cosM1r),

(14)

(15)

■ a e

(p + a)2 + m2

a a _

a--e ax(sinM1r).

(16)

(p + a)2 + m2 m1 Из формул (14) и (15) следует, что АКФ имеет вид

k _ a К(т)= — e aT(cosM1rH--sinM1r).

4a 1 м1 1

Это аналитическое выражение соответствует затухающей косинусоиде.

На практике АКФ вычисляется из зарегистрированных ВА колебаний при обработке, например, колец подшипников [3]. Измерение ВА колебаний осуществляется виброизмерительным прибором ВШВ-003М3, датчик которого устанавливается с помощью магнитного основания на узлы станков моделей SIW-3, SIW-4, SIW-5 при обработке колец различных типоразмеров (измерения осуществляются на операциях предварительного шлифования). Запись и обработка результатов осуществляется компьютером типа Notebook. Вычисление АКФ производится с помощью программного продукта MathLab.

Если принять во внимание, что переходной процесс при врезном шлифовании колец подшипников средних типоразмеров является кратковременным, и износом круга при обработке одного кольца можно пренебречь, то случайные колебания силы резания, воздействующие на ДС станка, можно рассматривать как стационарный случайный процесс типа «белый шум».

1

О 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Вид экспериментальной АКФ в устойчивой ДС станка

Типичный вид экспериментальной АКФ в виде затухающей косинусоиды представлен на рисунке, причём он соответствует малым подачам круга (0,2 мм/мин и менее). При больших подачах круга (0,3 мм/мин и более) наблюдается модуляция в экспериментальной АКФ [8], что требует дополнительного физического обоснования.

Таким образом, установлена адекватность теоретической модели (16) и экспериментальной АКФ, которая используется для вычисления запаса устойчивости ДС шлифовального станка [3, 8], что позволяет по его максимуму определить целесообразный технологический режим с точки зрения качества обработки и максимальной производительности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Колев К.С. Точность обработки и режимы резания / К.С. Колев, Д.М. Горчаков. М.: Машиностроение, 1976. 146 с.

2. Klingauf W. Методы достижения прецизионного шлифования / W. Klingauf // DIMA (Die Machine). 2006. N 6. Vol. 60. S. 28-30.

3. Игнатьев А.А. Идентификация в динамике станков / А.А. Игнатьев, В.А. Каракозова, С А. Игнатьев. Саратов: СГТУ, 2014. 92 с.

4. Аршанский М.М. Вибродиагностика и управление точностью обработки на металлорежущих станках / М.М. Аршанский, В.П. Щербаков. М.: Машиностроение, 1988. 136 с.

5. Бармин Б.П. Вибрация и режимы резания / Б.П. Бармин. М.: Машиностроение, 1972. 72 с.

6. Lin Z.H. In-process measurement and assessment of dynamic characteristics of machine tool structures / Z.H. Lin, D.C. Hodson // Int. J.Mach. Tool Manufact. 1988. V. 28. № 2. P. 93-101.

7. Динамический мониторинг технологического оборудования / Б.М. Бржозовский, В.В. Мартынов, И.Н. Янкин, М.Б. Бровкова. Саратов: СГТУ, 2008. 312 с.

8. Каракозова В.А. Выбор подачи круга для обеспечения качества обработки колец подшипников на основе идентификации динамической системы шлифовального станка / В. А. Каракозова,

A.А. Игнатьев // Вестник СГТУ. 2011. №2 (56). С. 69-73.

9. Попов В.И. Динамика станков / В.И. Попов, В.И. Локтев. Киев: Техшка, 1975. 136 с.

10. Скляревич В.А. Операторные методы в статистической динамике автоматических систем /

B.А. Скляревич. М.: Наука, 1965. 475 с.

11. Никулин Е.А. Основы теории автоматического управления: учеб. пособие / Е.А. Никулин. СПб: БХВ-Петербург, 2004. 640 с.

Игнатьев Александр Анатольевич -

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Автоматизация, управление, мехатроника» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Каракозова Анна Владимировна -

аспирант кафедры «Автоматизация, управление, мехатроника» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Aleksandr A. Ignatyev -

Dr. Sc., Professor,

Head: Department of Automation,

Control and Mechatronics,

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Anna V. Karakozova -

Postgraduate

Department of Automation, Control and Mechatronics,

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Статья поступила в редакцию 10.12.14, принята к опубликованию 10.02.15