CC BY
21
УДК 681.5
А.А. Игнатьев, А.В. Каракозова, С.А. Игнатьев, М.Ю. Захарченко
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА АВТОКОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ ВИБРОАКУСТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ СТАНКА.
ЧАСТЬ 2
Рассматривается вывод аналитического выражения для автокорреляционной функции виброакустических колебаний динамической системы станка, включающей параллельное соединение двух колебательных звеньев, при условии, что сила резания в стационарном режиме имеет составляющую типа «белый шум».
Виброакустические колебания, металлорежущий станок, динамическая система, колебательные звенья, передаточная функция, автокорреляционная функция
A.A. Ignatyev, A.V. Karakozova, S.A. Ignatyev, M.Yu. Zakharchenko
ANALYSIS OF AUTOCORRELATION FUNCTION FOR VIBROACOUSTIC OSCILLATIONS IN DYNAMIC MACHINE TOOL SYSTEMS. PART 2
The research focuses on analytical expression for the autocorrelation function of vibro-acoustic oscillations in dynamic machine-tool systems, including the parallel connection of two oscillation links provided that the cutting force under static conditions possesses the "white noise " component.
Vibro-acoustic oscillations, metal-cutting machine, dynamical oscillations, oscillatory links, transfer function, autocorrelation function
При высокоточной обработке деталей в машино- и приборостроении важную роль играют виброакустические (ВА) колебания в динамической системе (ДС) станка, оказывающие существенное влияние на формирование геометрических параметров точности обрабатываемой поверхности (отклонение от круглости, волнистость, шероховатость) и физико-механических характеристик поверхностного слоя (однородность структуры, твёрдость) [1-3].
При анализе ВА колебаний в ДС станков при резании следует принять во внимание как детерминированные, так и стохастические колебания [4, 5]. Исследования, проведённые в СГТУ, показали [5, 6], что анализ стохастических колебаний позволяет на основе вычисления автокорреляционной функции (АКФ) К(т) ВА колебаний на элементах формообразующей подсистемы идентифицировать передаточную функцию ДС при условии, что она возбуждается силой резания со стохастической составляющей типа «белый шум». Для этого используется формула, полученная в [7]:
W(p)W(-p)= K(p) + K(-p), (1)
где W(p) - передаточная функция ДС (при резании); K(p) - изображение по Лапласу АКФ K(t).
Далее передаточная функция, идентифицированная по экспериментальным данным измерения ВА колебаний, используется для вычисления такой важной характеристики ДС как запас устойчивости, на основе которой можно определить рациональный режим обработки [5].
Ранее в части 1 данной статьи [8] было достаточно подробно изложено построение теоретической модели АКФ на выходе ДС шлифовального станка, что представляет определённый научный и практический интерес. При этом предполагалось, что ДС станка моделируется колебательным звеном второго порядка с передаточной функцией вида
W(p)=-r-r--, (2)
Т2р2+2рТр+1 v '
где k - коэффициент передачи; T - постоянная времени; р - коэффициент затухания, 0 < р < 1. На основе формул (1) и (2) показано, что модель АКФ представляется выражением
K(t)= -^е -(cos^T + ^sin^r), (3)
р___1
где а = ■- , ^ = !, ^ = - а2.
Следует отметить, что формула (1) справедлива для незначительных сил резания. При существенных силах резания, например при больших подачах шлифовального круга, ДС станка может быть представлена параллельными соединениями двух колебательных звеньев (шпиндельные узлы круга W1(p) и детали W2(p)) [5].
Получим аналитическое выражение для АКФ для этого случая по аналогии с вычислениями из части 1 статьи. Вычислим произведение передаточных функции левой части формулы (1) с учётом параллельного соединения узлов:
W(p)W(-p) = [Ж1(р)+Ж2(р)1 ТО-р) +^2(-р)1 . (4) По аналогии с формулой (2) имеем
= -ЦРСТ^!' (5)
'2(0 = г|р2+2Ср22Г2р+1- (6) Формулы (5) и (6) можно представить в следующем виде:
^(р) = ■,2|Р-Р^1Р-Р,2)-(7) * (р) • (8)
где р11 = а1 + ур1 и р12 = а1 - ур1, р21 = а2 + ур2 и р22 = а2 - ур2 - пары комплексно-сопряжённых корней характеристических уравнений функций W1(p) и W2(p). Подставим выражения (7) и (8) в формулу (4):
['1(Р) + '2(р)]['1(-р) + '2(-р)] = [7?(р - рц)(р - р„) + Г|(р - р21)(р - р22)]Х
Х-
*12(р + Ри)(Р + Р12) *22(р + Р21)(Р + Р22).
)1*22(Р - Р21)(Р - Р22) + )2*12(Р - Р11)(Р - Р12)
*12722(р - Рц)(Р - Р12)(Р - Р21)(Р - Р22) )1*22(Р + Р21)(Р + Р22) + )2*12(Р + Рц)(Р + Р12)
(9)
Х
*12 *22 (Р + Рц)(Р + Р12)(Р + Р21)(Р + Р22) В формуле (9) общий знаменатель (ОЗ) равен произведению знаменателей сомножителей:
ОЗ=Т4Т24(р - рц)(р - Р12)(Р - Р21)(Р - Р22)(Р + Р11)(Р + Р12)(Р + Р21)(Р + Р22) (10)
После соответствующих алгебраических преобразований получим из формулы (9) общий числитель (ОЧ):
ОЧ = ()2*24 + 2)1)2*12722 + )|*14)Р4 + [-)2*24(р|1 + Р22) + 2)1)2*12722Р21Р22 -2)1)2*12722(Р11 + Р12)(Р21 + Р22) + 2)1)2*12722Р11Р12 - )2*14(Р221 + Р22)]Р2 +
+ ()1*24Р21Р22 + 2)1)2*12722Р11Р12Р21Р22 + ^^Р^) (11)
или более коротко
ОЧ = Я4р4 + Я2р2+Яо , (12)
где Н0, Н2, Н4 - многочлены при соответствующих степенях р в формуле (11).
Далее по аналогии с результатами [8] представим выражение (9) с учётом (10) и (12) в виде четырёх слагаемых по методу неопределённых коэффициентов:
_Н4Р4 + Н2Р2 + Но_
Т4Т24(Р - Р11)(Р - Р12)(Р - Р21)(Р - Р22)(Р + Р11)(Р + Р12)(Р + Р21)(Р + Р22)
(13)
1 5р + 6 Ср + О
*14*24 [(р - Р11)(Р - Р12) + (р - Р21)(Р - Р22) + -5р + 6 -Ср + О
р '+,„ , „ , „ о.
(Р + Р11)(Р + Р12) (Р + Р21)(Р + Р22)
где А, В, С, Б - неопределённые коэффициенты.
Приведём правую часть выражения (13) к общему знаменателю, который совпадает с формулой (10), и рассмотрим числитель:
(Ар + В)(р + Р11)(Р + Р12)(Р2 - Р21)(Р2 - Р22) + (Ср + D)(p2 - р21)(р2 - р22)(р + Р21)(Р + Р22) + (-Ар + в)(р - рц)(р - Р12)(Р2 - р21)(р2 - р22) +
(-ср+б)(р2-р11)(р2-р12)(р-р21)(р-р22)= (Лр+б)[р6-р4(р21+р22)+р2р21р22+р5(р11+р12)-Р=(Р11 + Р12)(Р21 + р22) + Р(Р11 + Р12)Р21Р22 + Р4Р11Р12 -Р2Р11Р12(Р21 + Р22) + Р11Р12Р21Р22] +
Р3(Р11 + Р12ХР21 + Р22) + Р(Р21 + Р22)Р11Р12 + Р4Р21Р22 -Р2Р21Р22(Р11 + Р22) + Р21Р22Р21Р22] +
(-□□+п)[р5-р4(с21+с22)+р2р;1с22- □5(Р11+Р12)+
Р3(Р11 + Р12)(Р11 + Ри) - Р(Р11 + Р12)Р21Р22 + Р4Р11Р12 -Р2Р11Р11(Р21 + Ри) + РпР^^и] +
(-□□fD)[□6-□4(□21+□l2)+□2^^1□22 - □5(р21+р22)-Р3(Р21 + Р22)(Р21 + Р22) - Р(Р21 + Р22)Р21Р22 + Р^иРи -
Р2Р21Р22(Р21 + Р22) + Р11Р12]. (14)
Далее по методу неопределённых коэффициентов сравниваются коэффициенты при соответствующих степенях р числителя правой части формулы (13) и числителя левой части той же формулы, выражаемого формулой (14):
при Рр: 25((11 + (12) + 2С((21 + (22) + 26 + 20 = 0, при С: 2[6(11(12 + 0(21(22 - 6(4+^2) - 8(Р?1+12) -
5((11 + (12)0(21 + (22) - 7((21 + Р22)(Р21 + Р22)] = Н4, (15)
пРи □2: 2[вр^1 □|2 - ВР11Р12(Р21 + р22) + А(Р11 + Р12)Р21Р22 +
С(Р21 + Р22)Р21Р22 + DP2lP22 - ^21Р22(Р11 + Р22)] = Н2> ? ПРИ □ 2Р11Р12Р21Р22(ВР21Р22 + ^иР^ = Н0-
Имеем четыре уравнения для четырёх неизвестных коэффициентов А, В, С, В. Все известные коэффициенты уравнений, выраженные через корни р11, р12, р21, р22 и полиномы Н0, Н2, Н4 являются действительными величинами, следовательно, система имеет единственное решение. Коэффициенты А, В, С, В последовательно путём алгебраических преобразований находятся из системы (15), причём все они выражаются через полиномы Н0, Н2, Н4 и коэффициенты а1, Ь1, а2, Ь 2, которые относятся к действительным и мнимым частям пар комплексно-сопряжённых корней общего знаменателя выражения (13). Следует отметить, что выражения для коэффициентов А, В, С, В достаточно громоздкие и здесь не приводятся.
201-
11
10
- 10.221
0
Вид аналитической АКФ
С учётом того, что коэффициенты A, B, C, D вычислены, можно два первых слагаемых правой части формулы (13) отнести к изображению АКФ K(p), а два оставшихся - к изображению АКФ K(-p), так что формула (1) удовлетворяется. Тогда, используя обратное преобразование Лапласа [9], по аналогии с результатами работы [8] можно получить общий вид АКФ:
K(x)=k1e_lJlT(A1cos ^т + Вг sin ^т) + k2e" j2T(A2cos œ2r + B2 sin œ2r). (16)
Таким образом, АКФ для случая параллельного соединения двух колебательных звеньев содержит две частотные составляющие, определяемые параметрами звеньев T1, р1, T2, р2, при этом временная зависимость АКФ, полученная по модели (16), представляет собой затухающую косинусоиду с модуляцией, представленную на рисунке, что соответствует ранее полученным в [5] экспериментальным данным и свидетельствует о её адекватности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Аршанский М.М., Щербаков В.П. Вибродиагностика и управление точностью обработки на металлорежущих станках. М.: Машиностроение, 1988. 136 с.
2. Lin Z.H., Hodson D.C. In-process measurement and assessment of dynamic characteristics of machine tool structures // Int. J.Mach. Tool Manufact. 1988. Vol. 28. № 2. P. 93-101.
3. Игнатьев С. А., Горбунов В.В., Игнатьев А. А. Мониторинг технологического процесса как элемент системы управления качеством продукции. Саратов: СГТУ, 2009. 160 с.
4. Попов В.И., Локтев В.И. Динамика станков. Киев: Техшка, 1975. 136 с.
5. Игнатьев А.А., Каракозова В.А., Игнатьев С.А. Стохастические методы идентификации в динамике станков. Саратов: СГТУ, 2013. 124 с.
6. Игнатьев А.А. Стохастические модели в динамике станков // Автоматизация и управление в машино- и приборостроении: сб. науч. тр. Саратов: СГТУ, 2014. С. 53-55.
7. Скляревич В.А. Операторные методы в статистической динамике автоматических систем. М.: Наука, 1965. 475 с.
8. Каракозова А.В., Игнатьев А.А. Аналитическая оценка автокорреляционной функции виброакустических колебаний в динамической системе станка. Ч. 1 // Вестник СГТУ. 2015. № 1 (78). С. 85-88.
9. Никулин Е.А. Основы теории автоматического управления. СПб: БХВ-Петербург, 2004. 640 с.
Игнатьев Александр Анатольевич -
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Автоматизация, управление, мехатроника» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Каракозова Анна Владимировна -
аспирант кафедры
«Автоматизация, управление, мехатроника» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Игнатьев Станислав Александрович -
доктор технических наук, профессор кафедры «Автоматизация, управление, мехатроника» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Aleksandr A. Ignatyev -
Dr. Sc., Professor
Head: Department of Automation, Control, Mechatronics Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Anna V. Karakozova -
Postgraduate
Department of Automation, Control, Mechatronics Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Stanislav A. Ignatyev -
Dr. Sc., Professor
Department of Automation, Control, Mechatronics Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Mikhail Yu. Zakharchenko -
Ph.D., Associate Professor
Department of Automation, Control, Mechatronics
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Захарченко Михаил Юрьевич -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Автоматизация, управление, мехатроника» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Статья поступила в редакцию 12.08.15, принята к опубликованию 10.11.15
