CC BY
22
УДК 681.5
А.А. Игнатьев, Е.М. Самойлова, М.Ю. Захарченко
МОДЕЛЬ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ ВИБРОАКУСТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ПРИ РЕЗАНИИ В ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ СТАНКА. ЧАСТЬ 2
Аналитически на основе передаточной функции динамической системы шлифовального станка, включающей параллельное соединение шпиндельных узлов детали и инструмента, с применением теории вычетов получено выражение для автокорреляционной функции виброакустических колебаний, аналогичное идентифицированному по экспериментальным данным.
Виброакустические колебания, шлифовальный станок, динамическая система, автокорреляционная функция, теория вычетов
A.A. Ignatyev, E.M. Samoilova, M.Yu. Zakharchenko
A MODEL FOR AUTOCORRELATION FUNCTIONS OF VIBROACOUSTIC FLUCTUATIONS AT CUTTING IN THE DYNAMIC TOOL SYSTEM
Using the residue theory and analysis of transfer functions in the dynamic systems of grinding machines, which comprise parallel connections of spin individual nodes in workpieces and tools, we derived an expression for autocorrelation function of vibroacous-tic stake-oscillations. The expression is similar to that identified using experimental data.
Vibroacoustic vibrations, grinding machine, dynamic system, auto-correlation function, the residue theory
Анализ результатов исследований по динамике станков, выполненных ранее [1-4], а также в последние годы [5, 6], показал, что на основе измерения виброакустических (ВА) колебаний в динамической системе (ДС) станков можно оценить их техническое состояние, а также предложить критериальные оценки для назначения целесообразного режима резания с точки зрения качества и производительности обработки.
В части 1 данной статьи [7] получено аналитическое выражение для автокорреляционной функции (АКФ) ВА колебаний, регистрируемых в ДС станка при резании при условии, что на вход ДС подается сигнал типа белый шум и ДС станка моделируется колебательным звеном с передаточной функцией
W (p) = ~r~rK-, (1)
T2 p2 + 2gTp +1
причем 0<g<1.
В этом случае АКФ (т), полученная для выходного сигнала Y(t) с применением теории вычетов, имеет вид затухающей косинусоиды [7]
Kyy (т) = K0e ~b(B cos ат + A sin от), (2)
где K0,a,b,A,B - постоянные коэффициенты, определяемые значениями параметров К, Т, g исходной передаточной функции (1).
Указанное справедливо при малых значениях параметров в стационарном режиме резания, например, при небольшой подаче круга при шлифовании и, следовательно, при невысоких силах резания. Если же реально при предварительной обработке значения параметров режима резания достаточно велики, то ДС станка представляется в виде двух параллельно соединенных колебательных звеньев [6]
W(p) = W1(p) + W2(p), (3)
где Wi(p) и W2(p) - передаточные функции шпиндельных узлов детали и инструмента, выражаемые формулами:
W1(p)= T2 2 + K Т +1 , (4)
T p + 2gT1p+1
W2(p)= T 2 2 + K T +1 . (5)
T2 p + 2 g 2 T2 p +1
Базируясь на соотношениях, полученных в [7], выражение для АКФ имеет вид
1 2р
2
куу= 2р I КW2(/а\ ^(аУ^с!^
(6)
причем можно принять спектральную плотность 8ХХ( а) = 1, так как входной сигнал рассматривается как белый шум.
Прежде, чем вычислить интеграл (6), преобразуем выражение для квадрата модуля частотной функции:
11(/а) + W2 (/а)2 = Ц« W2 С/а)}^- /?)+W2 (- (7)
2 2 = || (/а>\ + | (/а>)¥2 (-/а) + | (- (/?) + || (/а|
Первое и четвертое слагаемые выражения (7) по аналогии с результатами работы [7] имеют вид
К 2
| И2 =
(1 -а2?!2 )2 + 4 g2lTl
2гг2а>2
|| (н) 2 =
К 2
(1 - а2?2 )2 + 4£22Г22?2
Затем вычислим сумму второго и третьего слагаемых выражения (7):
(8) (9)
| «2 (-/а)+ | (- /а)12 (/а) =
К
к„
Т12 (/а)2 + 2g1T1 (/?) +1 Т2 (- /а)2 + 2g2T2 (- /?) + 1
кк
?2 (- а)2 + 2g1T1(- /а) + 1 Т22 (/а)2 + 2g2T2 (/?) +1
кк
1 - о2?2 1 + 2 g1T1 а/ И - О2Т| ) - 2 g^ а/
к
к
К1К2
[ 1 - а2?2Л
1-?2?2 ¡^Т?
. 2„2
2g1T1w/ [1 -а T2 ) + 2g2Т2а/ 1-Т22?2 ^]+2g2T2W + (1-Т2?2 ^Та^-Т? y2g2T2w■
1-?2?2+4g2T12?2
1-Т2?2 ) +4g2T22?2
После раскрытия скобок и сокращения ряда членов в последнем выражении третья компонента модуля спектральной плотности примет вид
| (/ ?)12 (- / а) ■+| (- / ?120?) =
(11)
Далее разложим выражение (11) на два слагаемых с использованием метода неопределенных коэффициентов:
2К1К2 (1 - T12о2 £ - Т2°? ) +
^1-Т2?2 )2 + 4g12T12о2 (1-Т1«? ^ + '^Г2?2
2К1К2 (1 - ?12°2 )(1 - Т22°2 ) + 4 glg 2Т1Т2°2
^1-Т2а2 ))2 + 4g12T12w2 (1 - Т22?2 + ^ 2Т22°2
с*1?+г>1?
-+-
С2а+ В2?
1 - Т2®2 )2 + 4g12T12?2 (V т|о2 )2 + 4g22T22«2 Н а? + Н а2 + Н 0
1 - Т2а2) + 4g12T12?2
1 - Т*«? ) + ^¡а?
оо
— оо
+
+
+
где Но=2Ш2, Н2=2КК (4фф Т1Т2- Т? -Т22), Н4 = 2К1К2Т12 -Т22.
Преобразуем знаменатель последней формулы, предварительно введя замену 2 = С2 и определим корни уравнений
Т*22 + 2( 2ф'Т2 12 +1 = 0,
Т?4 22 + 2^ "ф'Т' V + 1 = 0.
Из уравнения (13) получим корни:
+ 21 =
21 =
1 - 2Ф? ) + 2Ф? -1
Т
2
1
1 - 2 Ф12 ) - 2 Ф 2^1
Т
2
Далее получаем комплексные корни:
С = а/ *1 =а1 + Ь
+ =-(а1 + 7Ь1)=-С+1
С11 = ■ С+2 =1*-=а1 - Ь
С12 =■
1 =-( - 7ь1)=-С+1.
Из уравнения (143) получим корни:
+ у1 - 2 Ф 2 ) + 2 Ф 2^ 22=-Л-=
Т
1
2 2 =
1 - 2 Ф 2 ) - 2 ф ^л/^!-1
Т
2
и далее имеем комплексные корни:
+
'21 = У 22 =(2 + Ь
С
С21 = -Д[ 22 =-(а2 +
)=-С
+ '21,
С
+
'22 =\ 2 2 =а2
С22 = Л/ 22
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
= -(а2 -Ь2)=-С2!2.
Учитывая формулы (16) и (18), выражение (12) можно преобразовать к виду, удобному для разложения на более простые слагаемые по методу неопределенных коэффициентов:
4 2
Н4С + #2« + Но
К1!' - «ИI'С -С121'С - ' К - С222
(19)
С1с2 + Б1
+ -
С2'2 + °2
Т? усС¡(с2-С2 ) Т'(сС-С? ¡(С2-С""
12; 2 ( 21 Л 22^ Для нахождения коэффициентов С1, Б1, С2, приведем слагаемые в формуле (19) к общему знаменателю и преобразуем числитель:
с^о)2+d1 v2 О2
,2
О
21
+1 С2О2 + D2 T41 О2 -О121
2 2 ® ®22 1 +
22 О - ®12
42 = T2 C1°
О
4
2 ( 2 ■о i О21
2
"®21 ) + ®21®22
+
+T24D2
°4-°2+°2 ) +
(20)
+
+ T24c2W2
О
4
2( 2 О i О»11
2 1 2 2 ®12 ) + ®11®12
+
+T14D2
О
4
■ о2 i О121 + ОО22 ) + ОО21О122
После раскрытия скобок сравним коэффициенты при различных степенях а с соответствующими коэффициентами числителя в формуле (19), а именно
при О6 : CT^ + С2Т14 = 0
при °4 : -C1T24(о221 +О222) + ^ -С2Г1(®П + ®22
пРи °2 :: T24c1°221°222 -r24D1Í0221 +°2) + ^C^Ou -TfD4[®П + ®22
+ D2T1 = H 4'
=H
(21)
пРи а° : T2D1°21°22 + ^^Оп = H0
Получены четыре уравнения для четырех неизвестных коэффициентов С^ С2, Di, D2, так что система (21) имеет единственное решение.
Путем элементарных алгебраических преобразований уравнений системы с использованием последовательных подстановок все четыре коэффициента вычисляются. Каждый из коэффициентов
С1, С2, D1, D2 зависит от величин Н0, Н2, Н4, а1,Р1,а4,02 . При этом коэффициенты получаются действительными, но выражения для них достаточно громоздкими и здесь не приводятся. Отсюда следует, что третью компоненту модуля спектрально плотности (11) можно считать вычисленной, и ее вид определяется суммой двух слагаемых из выражения (19).
После вычисления всех компонент квадрата модуля частотной функции [W (jo)]2, описываемых формулами (8), (9) и (19), последовательно найдем соответствующие компоненты АКФ ВА колебаний на выходе ДС. Для соотношений (8) и (9) АКФ по аналогии с формулой (2) будет иметь вид
K™ (т) = K 01} e ~bT (B1Cos агт+A1Sin ат), (22)
K2 (т) = K 0(2)e ~bT (B1CosalT+A1SinalT). (23)
Применение теории вычетов и леммы Жордана [7, 8] позволяет найти выражение для третьей компоненты АКФ с использованием формулы (19) путем вычисления интеграла (6) по корням, лежащим в верхней полуплоскости, а именно
K(y (т) = K 03) e (B31Cos ат + A31Sin а1т)+K ^e (B32Cosa2T + A32 Sin а2т), (24) где все коэффициенты вычисляются на основе значений T1,T2, g1, g 2, C1, C2, D1, D2.
Следовательно, общая АКФ, включающая компоненты (22), (23) и (24), содержит две частотные составляющие, определяемые значениями а1и а2:
Kyy (т) = K 01e ~bz (B01Cosa1T+A01SinaT)+K 02e ~bz (B02Cosa2T + A02 Sina2T), (25)
где коэффициенты K 01, K 02, A01, A02, B01, B02 вычисляются на основе соответствующих коэффициентов
соотношений (22), (23) и (24).
Во временной области АКФ, описываемая формулой (25), представляет собой затухающую косинусоиду с модуляцией амплитуды (рис. 1), что соответствует идентифицированной АКФ по экспериментальным данным [6] (рис. 2).
Рис. 1. Расчетная АКФ
Рис. 2. Экспериментальная АКФ
Таким образом, построенная теоретическая модель АКФ ВА колебаний ДС шлифовального станка адекватна АКФ, полученной по экспериментальным данным, что позволяет обосновать целесообразность ее использования для вычисления передаточной функции ДС станка с последующей оценкой ее запаса устойчивости. Далее, как показано в [6], запас устойчивости ДС применяется для назначения эффективного режима обработки колец подшипников.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кудинов В.А. Динамика станков. М.: Машиностроение, 1967. 360 с.
2. Добрынин С.А., Фельдман М.С., Фирсов Г.И. Методы автоматизированного исследования вибраций машин: справочник. М.: Машиностроение, 1987. 224 с.
3. Lin Z.H. In-process measurement and assessment of dynamic characteristics of machine tool structures // Int. J. Mach. Tools Manufact. 1988. V. 28. № 2. P. 93-101.
4. Точность и надежность автоматизированных прецизионных металлорежущих станков / Б.М. Бржозовский, А.А. Игнатьев, В.А. Добряков, В.В. Мартынов. Саратов: СГТУ, 1994. 156 с.
5. Динамический мониторинг технологического оборудования / Б.М. Бржозовский, В.В. Мартынов, И.Н. Янкин, М.Б. Бровкова. Саратов: СГТУ, 2008. 312 с.
6. Игнатьев А.А., Каракозова В.А., Игнатьев С.А. Стохастические методы идентификации в динамике станков. Саратов: СГТУ, 2013. 124 с.
7. Игнатьев А.А., Самойлова Е.М. Модель автокорреляционной функции виброакустических колебаний при резании в динамической системе станка. Ч. 1 // Вестник СГТУ. 2015. № . С.
8. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров / под ред. И.Г. Арамановича. М.: Наука, 1984. 832 с.
Игнатьев Александр Анатольевич -
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Автоматизация, управление, мехатроника» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Alexander A. Ignatyev -
Dr. Sc., Professor,
Department Automation, Control, Mechatronics Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Самойлова Елена Михайловна -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Автоматизация, управление, мехатроника» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю. А.
Elena M. Samoilovа-
Ph.D., assistant professor of Automation, control, mechatronics the Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Захарченко Михаил Юрьевич -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Автоматизация, управление, мехатроника» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Mikhail Yu. Zakharchenko -
Ph. D., Senior Research Worker
The Saratov brunch of the Institute of Radio
Engineering of RAS
Статья поступила в редакцию 10.08.15, принята к опубликованию 15.09.15
