CC BY
8УДК 681.51.015
А.И. Данилушкин, И.А. Данилушкин
Самарский государственный технический университет
МОДАЛЬНЫЙ РЕГУЛЯТОР В СИСТЕМАХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО НАГРЕВА ОБЪЕКТОВ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Рассматриваются вопросы синтеза систем модального управления объектами с распределенными параметрами на примере разработки системы автоматического управления индукционным нагревом дисков газотурбинных двигателей при термоциклических испытаниях.
It is considered a synthesis of modal control systems ofplants with distributed parameters. It is cited as an example the development of an automatic control system of induction heating of disks of gas turbine engine during thermocyclic testing.
Специфика процессов технологического нагрева как объектов управления заключается в пространственной распределенности как управляемой функции, так и управляющего воздействия. Это приводит к необходимости применения современного аппарата теории оптимального управления объектами с распределенными параметрами для решения задач оптимизации процессов нагрева.
В качестве распределенных управляющих воздействий в установках индукционного нагрева рассматриваются распределенные по объему нагреваемого изделия внутренние источники тепла, обусловленные наведенными электромагнитным полем индуктора вихревыми токами. Характер распределения вихревых токов зависит от многих факторов, прежде всего, от элек-тро- и теплофизических свойств материала нагреваемого изделия, частоты источника питания и др., а плотность вихревых токов определяется подводимым к индуктору напряжением и величиной зазора между индуктором и заготовкой [1]. Из перечисленных факторов внешними параметрами, влияющими на интенсивность и форму распределенных управляющих воздействий, являются напряжение, частота и величина зазора. Эти параметры можно рассматривать как входные параметры объекта управления.
В настоящей работе рассматриваются вопросы исследования проблемно-ориентированной математической модели процесса термоциклических испытаний дисков турбоагрегатов [2], на основании которой реализуется автоматизированная система управления температурным полем объекта.
Динамическая модель температурного поля при индукционном нагреве распределенными по объему и изменяющимися в пространстве и времени источниками тепла имеет сложную многосвязную структуру. Принципиальные сложности синтеза многосвязных систем автоматического регулирования и возможность описания объекта в виде бесконечного сходящегося ряда, каждый член которого представляет собой произведение двух функций (одна из них зависит только от времени, другая - только от пространственной координаты), позволяют говорить о возможности использования для синтеза систем автоматического регулирования температурного поля изделия модального представления объекта в виде бесконечной системы уравнений первого порядка для временных мод при разложении температурного поля в сходящийся бесконечный ряд по собственным функциям краевой задачи. Функция распределения удельной мощности теплоисточников по сечению цилиндра также представляется в форме разложения в ряд по собственным функциям.
Синтез модального регулятора, учитывающего распределение температурного поля по радиусу нагреваемого диска, подробно рассмотрен в [3]. Для случая, когда при управлении требуется учитывать неравномерность распределения температурного поля не только по радиусу, но и по толщине, температурное поле T(r,zj) описывается двумерным уравнением теплопроводности [4]
ST(r,z,t)
- а •
dt
О <r<R, 0 <z<Z , t> 0.
а-т^.г.о i + .
дг2 г
dT(r,z,t) dT(r,z,t) " -
dr
dz
w(r,z,t)
су
0)
Здесь г - координата по толщине диска, 2- толщина диска, X, с - теплопроводность и удельная теплоёмкость; у - плотность материала; а = А;'(су) - температуропроводность; К - радиус диска; ы{г,г,1) - удельная мощность источников теплоты, зависящая от координат рассматриваемой точки и от времени Л
В случае двумерной модели потери тепла как с боковой, так и с торцевых поверхностей диска описываются краевыми условиями третьего рода:
агуио ,.с)=0. агс<и.о = 0;
дг А дг
дТ{г,и) сс {т,7Л т \ _ ЭДгДО.ог ПА т\ _
+ -Щгъ2а)-Тс)= 0, - я + -1^ДО-7с) = 0; (3)
02 л дг Я
Т(г,г,0) = Т0. (4)
Модальное представление двумерного температурного поля в виде бесконечной системы уравнений первого порядка для временных мод уш п(() получено в виде
С1Л’т*{*) = -а{м2т +^Ьт>п(0 + ит,„(0, т= 1,2,3,..., «=1,2,3,..., (5)
при разложении температурного поля в сходящийся бесконечный ряд по собственным функциям Кт{г) и
Кт(г) = с1-К(мт,гу, К(Мт,г) = ^{Мтг)- т= 1,2,3,...; (6)
К*п(г) = с1 ■К’,(г/„,г); Х*(7и>2) = со57нг + “ ■ 1 -зт^г; «=1,2,3,...; (7)
Л Пп
со со
л>, 2,о = £]Г К,т (г) ■ К*п (г) * Ут п(/); г е [о, л]; г е [О, г], (8)
т=1 н=!
где итп{() - временные моды функции распределения удельной мощности теплоисточников по сечению диска >И>, г,0, которая также представляется в форме разложения в ряд по собственным функциям
00 СО
м>(г,и) = (г)-ЛГ;Сг)-иил( 0; г 6 [О, Л]; ге[0,2]. (9)
т=1 п=1
Собственные числа , т = 1,2,... являются корнями уравнения
0, (10)
Л
где к](м,Ю=МмК)- (П)
Собственные числа цп, « = 1,2,... являются корнями уравнения
Пг-а1=2 ца ‘*^2. (12)
А Я
Множители Сл1, нормирующие собственные функции К({х,г), определяются выражением
Я2(у02(^Л) + ^2О/тЛ)У
роС РяГУгЖ
о
нормирующие множители С„ собственных функций К*(Г}„,2) вычисляются по формуле
СІ = 2 1 = 2?я ^ . (14)
+2яг + ^22
о
Модальный регулятор для систем с распределёнными параметрами имеет структуру, представленную на рисунке [5].
є(г,і,0
■*ф>\
Ч-)
Т(ґ,г,і)
О - кон- “1.1 Т(г,г,і)
МА Т* турный МС -Г* ОУ
Ш регулятор • 1
Ьм.н
'Мг.г.і)
Структура модального регулятора двумерного температурного поля:
МА - модальный анализатор, МС - модальный синтезатор, ОУ - объект управления
Выданное на объект распределённое управляющее воздействие ы(г, г, /) обусловливает его
переход в состояние Т(г,г,1); желаемое состояние Т*(г,г,1) и фактическое Т(г, г,г) сравниваются и отклонение е(г, г, I) поступает на вход модального анализатора, выходы которого £ш,„(0 являются коэффициентами модального представления сигнала ошибки. Коэффициенты £т „(() подаются на вход ^-мерного регулятора, на выходе которого формируются управляющие воздействия «„„(О- Сигналы итп(/) поступают на модальный синтезатор, который формирует поступающий на объект управляющий сигнал м>(г,г,1).
Используемый в этой схеме £>-мерный многоконтурный регулятор представляет собой совокупность из 2 одномерных регуляторов [5].
Главным препятствием при реализации системы модального управления является предусматриваемая её структурой (рис. 1) обратная связь по распределённому температурному полю, требующая полного измерения состояния распределённого объекта, что на практике невозможно.
Требуемую информацию о сигналах рассогласования £т п (/) по <2 модам можно получить, используя обратные связи по температуре в различных точках по объему диска, число которых совпадает с числом Q учитываемых мод [5].
м N
>2,.0 = XXкт(Ъ(2/)■ ■£Я*(О = Т*(г<г*1.0 -■т{п• ■2/>0> / = 1» 2,..., б. (15)
т=1 л=1
Здесь М - количество собственных функций, учитывающихся при разложении температурного распределения по радиусу, N - количество собственных функций, учитывающихся при разложении температурного поля по толщине. М и N должны быть связаны с количеством точек контроля температуры следующим уравнением:
6 = аг-лг. (16)
Из системы уравнений (10) могут быть определены временные моды сигнала рассогласо-
вания:
Е = КЧТ, (17)
(П )^1 (2\) ^2 (Г1 )-*Ч (21) • • ■ *14 )** (21)
„ - Км{г2)К„{г2)\
где IV — ,
К2{гдЖ\{хя) ... Км{гд)Кн(гд)
7’*(>],z!,/)-7'fa,z)!r) TJ T*{r2,Z2,t)-T(r2,Z2,t)
'J*{rQ,zQ,t)~T{rQ!zQ,tl
(18)
Выход модального синтезатора рассчитывается по формуле
М N
w(r,z,t)=YJYJKm(r)-K*n(z)umn(t).
(19)
т=I n=I
Моделирование системы модального управления осуществлялось в среде технологических расчётов - MATLAB, а также сопутствующей системы для моделирования динамических нелинейных систем - Simulink. MATLAB позволяет моделировать температурное поле диска с помощью инструментария для решения дифференциальных уравнений в частных производных - PDE Toolbox (Partial Differential Equation Toolbox). С целью учёта динамического изменения параметров системы используется система Simulink дополненная специально разработанным блоком-функцией, позволяющим на каждом шаге динамического расчёта обращаться к PDE Toolbox для вычисления температурного поля диска. При этом на каждом шаге расчёта запоминается текущее состояние температурного поля, которое на следующем шаге используется как начальное температурное распределение. Сформулированная для PDE Toolbox задача расчёта температурного поля диска учитывает сложную геометрию и неравномерность распределения теплоисточников по объему изделия. Все физические характеристики материала диска приняты независящими от температуры, благодаря чему имеет значение только разность температур поверхности изделия и окружающей среды, которая влияет на величину тепловых потерь с поверхности изделия [6].
Сигналы обратной связи при моделировании формируются в зависимости от контролируемых значений температуры на ступице и ободе диска. Управление температурным полем объекта осуществляется непосредственно через задание вида кривой распределения удельной мощности теплоисточников по объему. Желаемая кривая распределения удельной мощности теплоисточников w(r,z,t) в любой момент аппроксимируется прямой, а коэффициенты линеаризации используются для определения напряжения и частоты источника питания индуктора.
Проведен анализ качественных показателей системы модального управления при отработке ступенчатых возмущений по различным каналам воздействия (изменение напряжения индуктора, изменение частоты источника питания, коэффициента теплообмена и др.). Результаты анализа показали высокую эффективность системы в динамике. Ввод нелинейности в численную модель объекта управления позволил сделать вывод об удовлетворительном качестве регулирования разработанной системы, несмотря на то, что при синтезе системы использовалась линейная математическая модель объекта управления и линейная аппроксимация сложной пространственной зависимости распределения внутренних источников тепла.
Анализ поведения системы модального управления в динамике при отработке различных возмущающих воздействий показал высокую эффективность предлагаемой системы, позволяющей обеспечить весьма жесткие технологические требования. Рассмотренный в работе подход к синтезу распределенных систем управления нагревом можно также рекомендовать для реализации систем управления других видов объектов с распределенными параметрами. Система ориентирована на аппаратное и программное обеспечение современных микроконтроллеров.
Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ МК-3472.2004.8.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Немкое B.C., Демидович В. Б. Теория и расчет устройств индукционного нагрева. Л; Энергоатомиздат, 1988.
2. Данилушкин А.И.. Еденевский Д.Е., Котенёв В.И, и др. АСУ процессами многофакторных испытаний на специализированном стенде для прочностной доводки элементов конструкций. // Проблемы прочности. 1990. № 5.
3. Данилушкин И.А. Распределённая система управления тер мо циклическим и испытаниями элементов газотурбинных двигателей на специализированных стендах // Вест Самар, гос. техн. ун-та. Сер. Технические науки. Вып. 13. Самара, 2001. С. 50-57.
4. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высш. шк., 1967. 599 с.
5. Рей У. Методы управления технологическими процессами: Пер. с англ. М.: Мир, 1983. 368 с.
6. Данилушкин И.А. Моделирование системы пространственно-временного управления процессами нагрева дисков турбоагрегатов при испытаниях Н Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. Всерос. науч. конф, 2628 мая 2004 г. Ч. 2. Самара: СамГТУ, 2004. С. 66-69.
280 с.
С.116-120
