Исследование и анализ процесса индукционного нагрева полистирола как объекта управления на основе численных экспериментов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.365

А.М. Батищев, Д.А. Зиннатуллин, А.Н. Крылов, А.И. Алымов ИССЛЕДОВАНИЕ И АНАЛИЗ ПРОЦЕССА ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА ПОЛИСТИРОЛА КАК ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ ЧИСЛЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Рассматривается математическая модель процесса косвенного индукционного нагрева полистирола в экструзионной линии в виде системы взаимосвязанных уравнений электромагнетизма и теплопроводности. На основании результатов численного моделирования, выполненного на базе этой модели, произведена аппроксимация исходной системы уравнений и разработана структурная схема объекта в виде параллельно-последовательного соединения элементарных сосредоточенных динамических звеньев.

A.M. Batishev, D.A. Zinnatullin, A.N. Krilov, A.U.Alimov PROCESS ANALYSIS OF A POLYSTYRENE INDUCTION HEATING AS A CONTROL OBJECT BASED ON NUMERICAL EXPERIMENTS

The mathematical model of the process of induction heating of polystyrene in the extruder line in a view of the system of interconnected equations of electromagnetism and thermal conductivity is presented in this article. The approximation of the basic equation system and structural scheme of the object as a parallel-serial connection of elementary concentrated dynamic elements is made on the basis of the results of numerical modelling.

В работе исследуется динамика процесса нагрева полистирола в экструзионной линии по производству пенополистирольных плит из гранулированного сырья с индукционными нагревателями, распределенными по длине экструдера. Цилиндр экструдера разделен на несколько автономных зон автоматического контроля и регулирования температурного режима. Основной задачей индукционных нагревателей является стабилизация заданного температурного распределения по длине цилиндра, при котором обеспечивается требуемая по технологии температура полистирола на входе в экструзионную головку. В процессе работы экструдера имеют место изменения температуры исходного материала на входе, теплофизических характеристик и других параметров. Эти изменения приводят к отклонению температуры полистирола на выходе. Стабилизация температуры в условиях этих возмущений возможна только с помощью замкнутой системы автоматического регулирования.

Исследуемая в работе система «индуктор - металл - полистирол» как объект управления имеет сложную взаимосвязанную структуру, в которой в качестве

управляемого параметра рассматривается температура полистирола на выходе каждой зоны. Распределенность параметров объекта приводит к существенному усложнению как в части синтеза системы управления, так и с точки зрения ее практической реализации. Анализ динамики таких объектов является сложной задачей, требующей привлечения методов теории управления систем с распределенными параметрами.

Для расчета параметров системы рассматривается математическая модель процесса нагрева полистирола в виде системы взаимосвязанных уравнений электромагнетизма и теплопроводности. Процесс косвенного индукционного нагрева неэлектропроводного материала описывается системой линейных дифференциальных уравнений в частных производных, решение которой аналитическими методами получить чрезвычайно сложно. В работах [1, 2] для объекта индукционного нагрева двухслойной структуры получено аналитическое решение в операторной форме. Однако анализ динамических свойств объекта с распределенными параметрами на основании полученного решения представляет значительные трудности и в ряде случаев практически невозможен. Точная передаточная функция имеет вид трансцендентной функции комплексного аргумента и содержит ряд несущественных подробностей, усложняющих анализ динамики объекта. Так как классическая теория управления базируется на дробно-рациональном представлении функции, возникает задача получения приближенного выражения для передаточной функции с максимальным сохранением информации о динамических особенностях исследуемого объекта.

Для определения передаточной функции звена с внутренними источниками тепла (индуктор - цилиндр) по каналу «мощность источников - температура цилиндра» в настоящей работе используется способ параметрической идентификации с использованием результатов эксперимента на численной модели.

Принимая обычные допущения относительно теплофизических констант с, у, X, представим исходную математическую формулировку задачи нагрева полистирола в экструдере в линейном представлении в виде системы линейных неоднородных уравнений теплопроводности Фурье для температурного поля с известной функцией распределения источников внутреннего тепловыделения [3]

Л

дТ, ( г, х, г) _ дг

_ а,

д2Т1 ( г, х, г) 1 дТ1 ( г, х, г) д2Т1 ( г, х, г)

дг2 г дг дх2

м>

(г, х, г

[г2, г ]; х е[°,Ь];

дГ2 (г,х,г)

дг

д2Т2 (г,х,г) + 1 дТ2 (г,х,г) + д2Т2 (г,х,г)

дг 2

г

дг

дх2

- У(х)

дТ2 (г,х,г) ; дх

[ г,, т2 ]; х е[ 0, Ь ];

дТ3 (г,х,г)

дг

_ а.

д2Т3 (г,х,г) + 1 дГ3 (г,х,г) + д2Т3 (г,х,г)

дг

>

(1)

[г4,гз]; хе[°,ь];

дт4 (х, г)

дг

_ а.

дТ4 (г )_ ^ дТ4 (г )

дх

Здесь Т1(г,х,г), Т2(г,х,г), Т3(г,х,г), Т4(г,х,г) - температура соответственно ^корпуса экструдера, полистирола, шнека и протекающей через тело шнека воды; г, х, г -радиальная и аксиальная координаты и время процесса; ^(г,х,г) - функция распределения мощности внутренних источников тепла, определяемая из решения электромагнитной

г

задачи; V(x) - скорость перемещения нагреваемого материала через экструдер; V1 -скорость течения воды в полости шнека; a\, a2, a3, a4 - коэффициенты температуропроводности соответственно корпуса экструдера, полистирола, шнека и протекающей через тело шнека воды; L - длина нагревателя.

На основании результатов численного моделирования, выполненного на базе этой модели, произведена аппроксимация исходной системы уравнений и разработана структурная схема объекта в виде параллельно-последовательного соединения элементарных сосредоточенных динамических звеньев.

Исследование динамических свойств проводится относительно температуры цилиндра или полистирола в различных зонах экструдера.

В результате численного моделирования получены переходные функции для температуры цилиндра и температуры полистирола в контролируемых точках. Динамика процесса изменения температуры в указанных точках при переходе на новый установившийся режим для одной секции нагревателя представлена на рис. 1, 2.

Далее по графикам переходных функций определяются вид передаточной функции объекта управления и параметры динамических звеньев.

Методика определения передаточных функций объекта состоит из двух этапов:

- обработка переходной характеристики объекта, полученной с помощью численной модели, выбор аппроксимирующей передаточной функции в виде динамического звена первого или второго порядка;

- обработка данных и определение искомых параметров на модели.

Рассмотрим в качестве примера переходную функцию, полученную в результате

численного эксперимента на выходе первой секции в слое полистирола (рис. 3). По виду графика переходной функции принимаем в первом приближении аппроксимирующую функцию в виде апериодического звена первого порядка с запаздыванием

K ■ е~рх

W (p) =--------------- . (2)

^ (Tip+1)(T2р+1)

Рис. 1. Реакция температуры цилиндра при возмущении по мощности нагрева

Рис. 2. Реакция температуры полистирола при возмущении по мощности нагрева

Соответствующее изображение переходной функции имеет вид

W(p) _ Ke-рт

h{p) _

P (TlP + 1)(T2 P + 0

Реакция И(г) такого объекта на ступенчатое воздействие описывается уравнением

( I-т I-т Л

h(t) _ K •

, T • e Tl - T2 • e T2 1 + —--------------------------------2-----------------

T - T 12 11

(3)

(4)

v J

Таким образом, для определения динамических характеристик объекта необходимо найти значения параметров K, T1, T2, т.

Фактически задачу можно сформулировать следующим образом: необходимо найти такие значения параметров K, T1, T2, т, при которых график функции h(t) имел бы минимальное отклонение от всей совокупности экспериментальных точек, т.е. ставится задача нахождения минимума следующей функции

А _ Z(( -h(ti,K,T'i^т) ^ min , (5)

i

где yi - значение функции в i-й точке.

Если функция с запаздыванием, то необходимо определить «пользовательскую» функцию таким образом, чтобы при времени, меньшем времени запаздывания, значение функции было равно нулю. Это можно сделать с помощью MathCAD-функции if:

-(t-т) -(t-T

Kpr (K, ^ T2 , ^ t) :_ if

t - т < 0,0, K ■

- T2 • e

T - T

2 *1

Качество аппроксимации можно оценить визуально, построив на одном графике экспериментальные данные и аппроксимирующую функцию.

На рис. 3 точками показаны результаты численного эксперимента, а сплошной линией - аппроксимирующая функция. После обработки данных эксперимента изложенным выше методом были получены параметры К, 7\, Т2, т.

Из сравнительного анализа видно, что полученная в соответствии с вышеизложенной методикой переходная функция дает удовлетворительную точность. На рис. 4 представлена структурная схема автономной секции нагревателя.

T

2

Здесь ЖЦ (р ) =

К

- передаточная функция для температуры

цилиндра

к А р ) =

относительно

К е~РТ1

Лп1

(ТЦ 1Р + 1)(^Ц 2 Р + 1)

мощности, подведенной к индуктору,

(1 - в~рт(и)), - передаточная функция для температуры

(п11 Р + 1)(Т,12 Р + 1)

полистирола соответственно в точке контроля, (1 - в~рт(и)) - звено транспортного

запаздывания, обусловленное временем перемещения полистирола через экструдер.

Т, °с

т, с

Г. С

80 I. с

I зона

II зона

Рис. 3. Аппроксимация переходных характеристик температуры полистирола

относительно мощности нагрева

Таким образом, упрощенная структурная схема объекта управления представляется в виде комбинации элементарных звеньев. Полученные приближенные передаточные функции позволяют провести качественный анализ свойств объекта и выполнить синтез автоматической системы управления.

Рис. 4. Структурная схема автономной секции нагревателя

Системы регулирования с обратной связью по температуре полистирола на выходе каждой зоны, безусловно, являются наиболее точными, так как они напрямую определяют качество экструзии полистирола. Однако реализация такого рода замкнутой системы практически невозможна, так как требует установки датчиков температуры непосредственно в слое полистирола. На практике такой контроль осуществить не представляется возможным, так как датчики температуры можно установить лишь в теле цилиндра. Поэтому о характере температурного распределения в полистироле можно судить по показаниям тех датчиков, которые могут быть установлены в цилиндре с различным заглублением в стенку цилиндра. Ввиду этого реализация замкнутой системы возможна лишь с контролем косвенного параметра - температуры цилиндра, которая

однозначно связана с температурой полистирола. Степень соответствия температурного поля полистирола изменению температуры цилиндра в различных зонах экструдера устанавливается расчетным путем на основании численной модели объекта.

Для оценки качественных показателей системы автоматического управления нагревом использовалась динамическая модель системы. Исследуемая система управления имеет четыре независимых канала регулирования по числу индукционных нагревателей в линии. Каждый канал регулирования имеет ПИ - регулятор, который отрабатывает возмущения, обусловленные изменением скорости потока полистирола, начальной температуры на входе в нагреватель, изменением физических характеристик полистирола (удельной теплоемкости, теплопроводности, плотности и др.). Для моделирования системы управления использовались возможности среды технологических расчётов - MATLAB, а также сопутствующей системы для моделирования динамических нелинейных систем - Simulink. Распределение температурного поля в течение времени в зависимости от распределения внутренних теплоисточников можно рассчитать, используя инструментарий MATLAB для решения дифференциальных уравнений в частных производных - PDE Toolbox (Partial Differential Equation Toolbox).

С помощью разработанной модели проведен ряд численных экспериментов по отработке ПИ - регулятором различных возмущений, которые могут возникнуть в системе. Как следует из анализа переходных функций, время переходного процесса при возмущении по управляющему воздействию составляет 75 с, а величина перерегулирования на выходе полистирола из экструдера составляет ±3°С или 2%, что полностью удовлетворяет требованиям технологического процесса.

ЛИТЕРАТУРА

1. Данилушкин А.И. Идентификация процесса низкотемпературного индукционного нагрева при обработке полимерных материалов / А.И. Данилушкин, Л.С. Зимин // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Технические науки. 1994. № 1. С. 171-177.

2. Данилушкин А. И. Структурное моделирование процессов и систем управления одного класса объектов индукционного нагрева / А. И. Данилушкин // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Технические науки. Вып. 5. 1998. С. 120129.

3. Лыков А.В. Тепломассообмен: справочник / А.В. Лыков. М.: Энергия, 1978. 480

с.

Батищев Арсений Михайлович -

аспирант кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий»

Самарского государственного технического университета

Зиннатуллин Дмитрий Анатольевич -

аспирант кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий»

Самарского государственного технического университета

Крылов Алексей Николаевич -

аспирант кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий»

Самарского государственного технического университета

Алымов Антон Игоревич -

студент Самарского государственного технического университета