Математическая модель температурного диска газотурбинного двигателя… Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 517.958

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ДИСКА ГАЗОТУРБИННОГО ДВИГАТЕЛЯ1

И.А. Данилушкин, А.А. Московцев1

Самарский государственный технический университет,

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244, главный корпус

Рассматриваются вопросы математического моделирования температурного поля диска при нагреве в процессе термопластического упрочнения поверхности диска газотурбинного двигателя. Основными методами исследования являются методы математического анализа, теории теплопроводности и компьютерное моделирование. Найдена функция Грина, позволяющая получить передаточную функцию объекта в терминах структурной теории распределённых систем.

Ключевые слова: диск газотурбинного двигателя, термопластическое упрочнение, математическая модель температурного поля диска, объект с распределенными параметрами.

Повышение прочности и эффективности функционирования наиболее нагруженных элементов конструкции, к которым относятся диски турбин и компрессоров, является основным вопросом, связанным с продлением срока эксплуатации газотурбинных двигателей. Одним из способов повышения надежности и долговечности дисков газотурбинных двигателей является процедура термопластического упрочнения [1], в процессе которой участок диска нагревается с заданной скоростью до определённой температуры. Нагрев может осуществляться различными способами: с помощью печи сопротивления или индукционной установки.

Требования к точности нагрева диска газотурбинного двигателя не позволяют получить удовлетворительное качество модели объекта управления в классе систем с сосредоточенными параметрами. Необходимо рассматривать задачу синтеза системы автоматического управления температурным полем диска как объектом с распределёнными параметрами, что, в свою очередь, должно быть отражено в математической модели объекта управления.

Математическая модель описывает температурное распределение по объему диска газотурбинного двигателя. При разработке модели был принят ряд допущений, которые позволили получить удовлетворительную точность описания температурного поля диска с помощью аналитических методов:

1) поведение температурного поля может быть описано линейным дифференциальным уравнением;

2) торцевые поверхности диска имеют гладкую форму.

Температурное поле диска рассматривается в цилиндрической системе координат. Из-за малой толщины диска температурное распределение по толщине можно не учитывать. В таком случае получим двумерное уравнение теплопроводности с

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (фант 09-08-00297-а) и Целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы на 2009-10 гг.» (проект № 2.1./4236)

“ Данилушкин Иван Александрович - кандидат технических наук, доцент.

Московцев Антон Андреевич - аспирант.

соответствующими краевыми и начальными условиями, описывающее температурное поле диска:

О <r < R, t > О, 0< 0 < я;

(1)

дг ’ дг

(2)

(3)

Г(г,0,О) = 0, 0 <r < R, 0 < 6 < тс,

(4)

где T(r,Q,t) - температурное поле диска, а = Х/су - температуропроводность, А., с - теплопроводность и удельная теплоёмкость, у - плотность материала, R - внешний радиус диска, w(r,0,/)- функция, описывающая распределение удельной мощности теплоисточников по диску.

С помощью граничных условий можно задать потери только с боковой поверхности цилиндра, которые из-за малой толщины диска принимаются равными нулю. Потери с торцевой поверхности цилиндра могут быть учтены с помощью функции распределения теплоисточников w(r,0,/). Методы структурной теории распределенных систем позволяют получить решение для неоднородного дифференциального уравнения с помощью операции пространственного интегрирования произведения функции распределенных теплоисточников w(r,Q,t) и функции Грина уравнения (1) по области определения [2], [3].

Для нахождения функции Грина объекта необходимо решить дифференциальное уравнение в частных производных (1) с граничными условиями (2)-(3) и начальными условиями (4) для функции распределения теплоисточников w(r,Q,t), заданной уравнением вида [3]:

т.е. при воздействии импульсного источника в точке 0 = ф, г = р в начальный момент времени.

Найдём функцию Грина объекта с помощью интегральных преобразований. Чтобы избавиться от операции дифференцирования по переменной 0, используем косинус-преобразование Фурье [4]

О

Переход от изображения функции Тя(г,п ,/) к ее оригиналу Т(г,в,1) осуществляется по формуле

w(r, 0,Г) = - • 5(г - р) • 5(0 - <р) • 5(Г),

(5)

г

Я

Tft(r,n,t)= [cos (w Q)-T(r,Q,t)dQ, nsN u{o}.

(6)

(7)

Применяя преобразование (6) к дифференциальному уравнению теплопроводности (1), с учётом граничных условий (2)-(3) получим

дТс{г,п,1)

dt

где

д Tc(r,n,l) I dTc(r,n,l) п „ ,

-----~2------+---------г----------YTc(r,n,t)

дг г дг г

(8|

СУ

wc(r,n,t) = -5(r-p)-8(/)-cos (п(р). (9)

г

К полученному уравнению (8) применим преобразование Ханкеля [4]

R

TCH^i)= JV Tc{r,n,t)Jn(\ir)dr, (10)

о

где /л - корень характеристического уравнения

У;(ц/?) = 0, п = 0,1,2..ЛГ. (12)

Тогда исходное уравнение принимает вид

= -ау?Тсн(у,п,,) +■'.(ИР)-™».»-*» (]3)

dt су

Решение обыкновенного дифференциального уравнения (13) запишется как

Гся(ц,п,/) = —Уп(цр)-со5(«ф)е"ам*'. (14)

су

Для перехода к оригиналу T(r,Q,t) последовательно применяются обратное косинус-преобразование Фурье [4]

Тн (ц, 9,/) = — • Уп (ц р) ■ <Гоц2' + — • У cos(п0) • cos(w ф) • Jn (цр) • е'а^' (15) псу псу

и обратное преобразование Ханкеля [4]

Т(г е ;)_ 2 уу г) cos(nQ)-cos(n^)-e-aix2"a' ^

ПСУ т=1п=0 У-2пт /?“ ~/72]

А0= 1, А„= 2, п = 0,1,2,..., (16)

где ц„т - положительные корни трансцендентного уравнения, т = 1,2,3,...

У>„тЛ) = 0. (17)

Выражение (16) и есть функция Грина системы.

Найденная функция Грина объекта позволит в дальнейшем получить передаточную функцию объекта в терминах структурной теории распределённых систем и использовать её при синтезе и анализе автоматической системы управления температурным полем диска.

1. Головачев А.Л., Данилушкин А.И., Мишанин Е.А. Система индукционного нагрева для термообработки елочного паза дисков турбоагрегатов // Вестник СГТУ. - 2006. - № I (10). - Вып. 1. - С. 108113.

2. Рапопорт Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными параметрами. - М.: Высшая школа. 2003.- 299 с.

3. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными иарамеграми. - М.: Паука. 1979. -224 с.

4. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. -Москва, 1961. - 524 с.

Статья поступила в редакцию 10 июля 2009 г.

UDC 517.958

MATHEMATICAL MODEL OF THE TEMPERATURE FIELD OF DISC OF GAS TURBINE ENGINE

LA. Danilushkin, A.A. Moskovtsev'

Samara State Technical University,

244, Molodogvardcyskaya str.. Samara, 443100

The problem of mathematical modelling of temperature field of disc of gas turbine engine is discussed. The disc is heated during a process of thermoplastic hardening of its surface. The methods of mathematical analysis, the theory of thermal conductivity and computer simulation are used. The Green function of temperature field is found.

Key words: disc of gas turbine engine, thermoplastic hardening, mathematical model of temperature field of disc, plant with distributed parameters.

1 Ivan A. Danilushkin - Candidate of Technical Sciences, Associate professor, e-mail: idanilushkin@mail.ru Anton A. Moskovtshev - Postgraduate student, e-mail: amoskovtsev@mail.ru