CC BY
19
ХИМИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 541.124/128 Д. В. МЫШЛЯВЦЕВ
М. Д. МЫШЛЯВЦЕВА
Омский государственный технический университет Институт проблем переработки углеводородов СО РАН
МНОЖЕСТВЕННОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ И АВТОКОЛЕБАНИЯ В МЕХАНИЗМЕ ЛЕНГМЮРА-ХИНШЕЛЬВУДА В СЛУЧАЕ ТРЕУГОЛЬНОЙ РЕШЕТКИ. НЕОБРАТИМАЯ АДСОРБЦИЯ_
В работе отражено влияние латеральных взаимодействий между адсорбированными частицами на множественность стационарных состояний и возможность автоколебаний в механизме Ленгмюра-Хиншельвуда в случае необратимой адсорбции. В качестве модели адсорбционного слоя выбрана модель решеточного газа на треугольной решетке. Показана возможность существования десяти внутренних стационарных состояний и автоколебаний скорости реакции, возникающих как результат бифуркации Андронова-Хопфа.
1. ВВЕДЕНИЕ
В работах авторов [1-5] было проведено систематическое исследование влияния латеральных взаимодействий между адсорбированными частицами и обратимости мономолекулярной адсорбции на область множественности стационарных состоя-
ний и возможные автоколебания в механизме Ленгмюра-Хиншельвуда для квадратной и шестиугольной решеток. Было установлено, что в целом результаты для шестиугольной решетки вполне аналогичны результатам для квадратной решетки, что в значительной степени определяется топологической эквивалентностью фазовых диаграмм
Рис. 1. Типы латеральных взаимодействий, учитываемых в модели адсорбционного слоя.
Незаполненные кружки соответствуют частицам сор га А, заполненные кружки - частицам сорта В
основного состояния для квадратной и шестиугольной решеток. Основное отличие этих диаграмм в том, что для шестиугольной решетки области существования упорядоченных фаз с симметрией «шахматная доска» оказываются уже, чем для квадратной решетки. Была показана возможность существования десяти и шести внутренних стационарных состояний для квадратной и шестиугольной решеток соответственно. Показано, что упрощение диаграмм кратности для шестиугольной решетки по сравнению с квадратной решеткой связано с сужением областей существования упорядоченных фаз и уменьшением (по модулю) средней энергии взаимодействия между адсорбированными частицами вследствие изменения координационного числа с 4 до 3 (в некотором смысле, это эквивалентно повышению (примерно на 20-30%) температуры, что всегда приводит к упрощению диаграмм кратности). Для обоих типов решетки обнаружены автоколебания скорости реакции, возникающие как результат бифуркации Андроно-ва-Хопфа. Показана связь автоколебаний с упорядоченной плотной фазой с симметрией «шахматная доска», существование которой обусловлено наличием притяжения между адсорбированными частицами разных сортов.
Целью данной работы является изучение влияния латеральных взаимодействий на область множественности стационарных состояний и возможные автоколебания в механизме Аенгмюра-Хиншельвуда при необратимой адсорбции в случае треугольной решетки в сравнении с подробно проанализированными случаями квадратной и шестиугольной решеток [1-5]. Анализ последних работ, посвященных исследованию механизма Аенгмюра-Хиншельвуда, показывает, что авторы по-прежнему в основном исследуют процессы на квадратной решетке [6-11]. Отметим, что во многих упрощенных моделях тип решетки не оказывает влияния на кинетику реакции (модель идеального адсорбционного слоя [12]).
2. МОДЕЛЬ И МЕТОД
В качестве модели адсорбционного слоя мы будем рассматривать модель решеточного газа (МРГ) на треугольной решетке с двумя типами частиц при учете латеральных взаимодействий только ближайших соседей. Эти взаимодействия схематически
показаны на рис. 1., где еАА, fAB, свв - энергии латеральных взаимодействий ближайших соседей соответствующего типа. Используемая модель адсорбционного слоя более подробно описана в работе [ 1 ].
Как и ранее, мы будем рассматривать стандартный трехстадийный адсорбционнь. i механизм Аенгмюра-Хиншелььуда [ 13|
А . ■ 27 *-> 2AZ
B + Z«->BZ (1)
AZ > üZ 2/. + AB.
В каталитическим механизме (1) AZ, BZ — вещества на поперхнос jh кат^шзатора Z; Аг В, AB — веществ? в газовой фазе.
В рамках модели решеточного газа и теории переходного состояния в предположении термодинамической равнонссности адсорбционного слоя могут быть получены точные выражения для скоростей элементарных процессов, таких, как адсорбция, десорбция, реакция и т.д. [14]. Так же как и в работах [1-5], будем считать, что активированные комплексы не взаимодействуют с окружением. В данной работе будем рассматривать необратимую адсорбцию по обоим веществам.
Введем обозначения и = 2/t,/>A,/А-,, v = lc2PB/k,,
= //л / RT, = fiH I rt , г = кхг, где к,, кг — константы скоростей адсорбции газофазных веществ А.г, В; А., - константа скорости реакции третьей стадии в механизме (1); t — время; PA,,PD — парциальные давления газофазных веществ А.,, В; /V /jb — химические потенциалы адсорбированных частиц А и В соответственно; R — универсальная газовая постоянная; Т - абсолютная температура в градусах Кельвина.
С учетом введенных обозначений получим следующую систему кинетических уравнений, отвечающую механизму Аенгмюра-Хиншельвуда,
~Т~ = Рт (" ~~ ехр(/"л + /"в )) ат
' dy п ч /--\ (2)
— = v(l - JC - у) - pm ехр|/уА + //„ ], .ат
где х,у — концентрации поверхностных веществ AZ,BZ соответственно; рШ| - вероятность найти два соседних узла пустыми.
Эти уравнения по виду тождественны полученным ранее уравнениям для квадратной и шестиугольной решеток [3,5], Отличие состоит в иной зависимости величин рпо, х,у от химических потенциалов, которая, как и ранее, может быть определена лишь численно. Для приближенного вычисления этих функций по-прежнему оказывается весьма эффективным метод трансфер-матрицы (МТМ) (1517]. Конкретный вид матричных элементов трансфер-матрицы рассматриваемой модели адсорбционного слоя весьма близок к приведенным в работе [1]. В данном случае, в отличие от случаев квадратной и шестиугольной решеток, применяется классический вычислительный алгоритм МТМ [16]. Поэтому из-за большой размерности матрицы вычисления проводились при М = 3, где М — ширина бесконечной полосы, используемой в МТМ.
Как и в работах [3,5], для решения системы дифференциальных уравнений (2) целесообразно перейти от переменных [х, г), (у, г) к переменным
(//д.г), (¿/в.г). Система уравнений (2) в новых переменных примет следующий вид
LG
LLÄ
LLP
(7зх7з)/?зо;
(7з x 7з)
\R 30
(л/Зхл/з)дЗОЕ
(л/з~ X л/з )
lÄ * 30
(л/з X л/з)лзо
А,В
(л/з х л/з)гзо;В2
(7зх7з)лзо;во
Рис. 2. Структуры фаз, возможных в рассматриваемой модели. Незаполненные кружки соответствуют частицам сорта А,
заполненные - частицам сорта В
¿На _
dT
' f— (v( 1 ~ л'~ -v) ~ ехр^л + Мв)) j^
dßh = dr
+ (v(l -х- y) - pm exp1 CP А
--2=(u-ex p(/jA +/vB))pu,
(«д + ^в)) Д
(3)
где Д - якобиан_пе£ехода от переменных (х, у) к переменным (,иА./ув), который является невырожденным для рассматриваемой модели адсорбционного слоя. Система (3) по виду тождественна соответствующей системе уравнений для квадратной
и шестиугольной решеток [3,5]. Однако, как уже отмечалось при обсуждении системы уравнений (2), функциональные зависимости правых частей системы (3) от химических потенциалов будут совершенно другими.
Система дифференциальных уравнений (3), как и в случаях квадратной и шестиугольной решеток, является жесткой для многих значений параметров модели адсорбционного слоя и кинетических констант механизма Ленгмюра-Хиншельвуда. При построении фазовых портретов и кинетических кривых системы (3) нами использовался алгоритм (Kaps and Rentrop), реализующий метод Розенбрука (Rosenbrock) с автоматическим выбором шага [18,19]. Данный алгоритм позволяет получить решение жесткой системы дифференциальных уравнений (3) с приемлемой точностью, не хуже, чем 10"\ Отметим, что машинное время в основном тратится на вычисление правых частей системы уравнений (3).
J_I_I_—I_I_l
Рис. 3. Фазовая диаграмма модели (0; -10; 10) на плоскости (^д 1а) - для квадратной решетки; 1Ы - для треугольной решетки
3. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ 3.1. Фазовые диаграммы адсорбционного слоя.
Очевидно, кинетическое поведение реагирующей системы, описываемой механизмом (1), будет существенно зависеть от структуры фазовой диаграммы адсорбционного слоя. Для анализа фазовых диаграмм, как и для квадратной и шестиугольной решеток, нами были рассмотрены 27 моделей адсорбционного слоя, в которых величины гАА. сАВ, евв принимали значения 10; -10; 0 кДж/моль. При этом выборе энергий латеральных взаимодействий в адсорбционном слое могут существовать следующие фазы: 1X1 — фаза решеточного газа; 1-1-А — фаза решеточной жидкости частиц сорта А; 1_1_п - фаза решеточной жидкости частиц сорта В; упорядоченные фазы: (Уз х Уз)/?30А ; (Узх Уз)/?ЗОв:
(л/з хл/з)я*зоА; (л/зх7з)/?'зов; (-Уз х 7з)/?зодв;
(УЗхУз)язОАВ>; (Уз хУз)/?30АВ„. Структуры этих фаз
при 7=0 показаны на рис. 2.
Для каждой из фаз легко записать выражение для большого термодинамического потенциала, приходящегося на одну ячейку при 7=0,
Ьв: 0 = 0; 1ХЛ: О = Зеаа - 1-Ц,: С2 = Зевв - /ув ; (УЗхУз)лЗОА: П = -//А/3; (л/з X >/з)л30'в: 0 = -Ав/3;
2
(УЗхУз)/ПОА: ^ =
2
(Уз хУз)л'ЗОв: q = £,bb-T-"в;
(4)
(УЗхУз(мОл?в: (л/З х 7З)/?зоАВз (УЗхУз)яЗОАВ„:
Q =
-J^B +еАЛ +слв;
Q = •
Исходя из (4), нами были построены фазовые диаграммы основного состояния системы для всех 27 наборов латеральных взаимодействий ближайших соседей на плоскости (,uA,,¿/B) (при фиксированном значении параметров устойчивой является фаза с наименьшим значением большого термодинамического потенциала). Отметим, что фазовые диаграммы основного состояния для треугольной решетки имеют большее число упорядоченных фаз, чем для квадратной (и шестиугольной) решетки. В качестве примера на рис. 3. приведены фазовые диаграммы на плоскости (/;A,¿/B) для набора латеральных взаимодействий (0; -10; 10) для квадратной и треугольной решеток. Здесь и далее обозначение (о; Ь; с) означает гАА = a, fAB = b, £m = с кДж/моль.
Как и в случаях квадратной и шестиугольной решеток, учитывая, что фазовые диаграммы при 7 = 500 К качественно подобны фазовым диаграммам основного состояния адсорбционного слоя (при 7=0), далее будем рассматривать фазовые диаграммы основного состояния исследуемой системы.
Для всех моделей с отталкиваниями А-А и В-В
существуют фазы (УзхУз)/?30А , (УзхУз)я'30А и (УЗхУз)л30в, (УЗхУз)я*30в соответственно. Упорядоченные фазы (Уз х Уз)/?30А В, (Уз хУз)к30АВ, существуют для наборов (10; 0; 0), (0; 0; 10), (10; 0; 10) и для всех наборов латеральных взаимодействий с притяжением адсорбированных частиц сорта А-В, кроме (-10; -10; -10). Упорядоченная фаза
(Уз х Уз)/?30АВ„ существует только для двух моделей (10; 0; 10), (10; -10; 10).
3.2. Влияние латеральных взаимодействий на диаграммы кратности
Для анализа влияния латеральных взаимодействий на диаграммы кратности, как и в случаях квадратной и шестиугольной решеток, были построены диаграммы кратности для всех вышеупомянутых 27 моделей адсорбционного слоя. Вычисления проводились при 7 = 500 К и М = 3.
40 20
1 ' 1 1 1 1 VI • (а) (0; 0; 0) -1 1 1 • (Ь) (10; 0; 0) г- 7 1 -
- «-"-в /(Тзх^зо^,
- 1.1.1 -
- ю (7зх7З)лзо-а 1 <
20
40
60 ., 0 г/к
20
40
60
> то
-4
1 1 - (с) 1 1 1 1 1 у « ✓
- 0 / ^у* /
- / 2 / — / ¿г /уГ л/ л/^ -
- (0; 0; 0) .
1 ---.....- (10; 0:0) - 1 , 1
-2
0
|д(и)
Рис. 4 (а), (Ь) - фазовые диаграммы на плоскости (с) - диаграммы кратности с двумя вн. ст. с.
Числами показано количество вн. ст. с.
Проведем систематическое рассмотрение полученных результатов.
1) Диаграммы кратности с двумя внутренними ст.с.
Все диаграммы кратности данного типа, как и в случаях квадратной и шестиугольной решеток, топологически подобны друг другу. Перечислим наборы латеральных взаимодействий, обеспечивающие данный тип диаграмм кратности: (0; 10; 0), (-10; 10; 0), (0; 10;-10), (-10;0;0), (0; 0;-10), (-10; -10;-10), (-10; 10; -10), (-10; 0; -10), (0; 0; 0), (10; 10; 10), (10; 10; 0), (0; 10; 10), (10; 0; -10), (-10;0; 10), (10; 0; 0), (0; 0; 10), (10; 10;-10), (-10; 10; 10), (-10;-10;0), (0;-10; -10).
Первые восемь моделей имеют топологически совпадающие фазовые диаграммы основного состояния, эквивалентные фазовой диаграмме для идеального адсорбционного слоя. Для исследованных наборов латеральных взаимодействий, справедливо следующее утверждение: если модель адсорбционного слоя имеет фазовую диаграмму, топологически эквивалентную фазовой диаграмме для идеального адсорбционного слоя, то диаграмма кратности данной модели топологически экви-
валентна диаграмме кратности для идеального адсорбционного слоя. В отличие от случая квадратной решетки, обратное утверждение, так же как и для шестиугольной решетки, не верно. В качестве примера на рис. 4. приведены фазовые диаграммы и диаграммы кратности моделей (0; 0; 0) и (10; 0; 0).
В данный тип входят все 10 моделей, которые для квадратной решетки имели четыре внутренних ст.с., и модель (10; 10; 10), которая имела шесть внутренних ст.с. Все модели с энергиями латеральных взаимодействий г-АВ = ЮкДж/моль, £АВ = ОкДжЛюлъ, кроме (10; 0, 10), и все модели, имеющие из упорядоченных фаз фазы (Лхл/зкзоА, (л/зх7з)я'зол или фазы (7зхл/'з)й30в, (-Уз х Л)/?"30в относятся 'к данному типу.
В случае шестиугольной решетки все наборы данного типа и.мели два внутренних ст,с.
2) Диаграммы кратности с четырьмя внутренними ст.с.
Имеется два набора латеральных взаимодействий, обеспечивающих существование четырех ст.с.: (10; -10; -10), (-10; -10; 10). Для квадратной решетки они имели шесть внутренних ст.с., для шестиугольной -
|д(и)
Рис. 5
ных моделей
(л/зх^зкзоА;В,
к/з Хл/з Д30А ,
четыре внутренних ст.с. Для данрых моделей существуют упорядоченные фазы л/Зхл/з 1Л30'дВ , а для первой еще ,л/3 х л/зк'ЗОд, для второй - (^Зхл/З^ЗОв (л/з х 7з)л'30в ■ На рис. 5а. приведена диаграмма кратности для модели (-10;-10; 10).
3) Диаграммы кратности с шестью внутренними ст.с.
Существует два набора латеральных взаимодействий, обеспечивающих существование шести ст.с.: (10; -10; 0); (0; -10; 10). Для квадратной решетки они имели восемь внутренних ст.с., для шестиугольной — четыре внутренних ст.с. На рис. 5Ь. приведена диаграмма кратности для модели (0; -10; 10).
4) Диаграммы кратности с десятью внутренними ст.с.
Существует три набора латеральных взаимодействий, обеспечивающих существование десяти ст.с.: (10; -10; 10); (10; 0; 10); (0; -10; 0). У первых двух существуют все семь упорядоченных фаз, у третьей — упорядоченные фазы (л/з х 73)Л30Л1В, (л/3 х 7з)л30лв> . Для квадратной решетки первый набор обеспечивал существование десяти, второй и третий — шести внутренних ст.с. Для шестиугольной решетки первый набор имел шесть, второй — два, третий - четыре внутренних ст.с. Нарис. 5с приведена диаграмма кратности для модели (10; -10; 10).
Как и в случаях квадратной и шестиугольной решеток, при необратимой адсорбции диаграммы кратности у моделей (/; к; У) и (/; к; /) одинаковы. Анализ показывает, что для треугольной решетки, диаграммы кратности, как и фазовые диаграммы, усложняются в сравнении с квадратной и шестиугольной решетками. Усложнение диаграмм кратности для треугольной решетки по сравнению с
квадратной решеткой связано с существованием большего числа упорядоченных фаз (соответственно усложнением фазовых диаграмм) и увеличением (по модулю) средней энергии взаимодействия между адсорбированными частицами вследствие изменения координационного числа с 4 до 6 (в некотором смысле, это эквивалентно понижению температуры, что всегда приводит к усложнению диаграмм кратности).
3.3. Влияние латеральных взаимодействий на возможность автоколебаний
Для анализа влияния латеральных взаимодействий на возможность автоколебаний в механизме Ленгмюра-Хиншельвуда при необратимой адсорбции, как и в случаях квадратной и шестиугольной решеток, нами были построены на плоскости (^(и); !§(*■)) бифуркационные кривые, разделяющие области с положительным и отрицательным дискриминантом характеристического уравнения системы (3), и кривые, являющиеся множеством точек, на котором равняется нулю сумма корней характеристического уравнения. В системе (3) для
простоты обозначения положим = 1ыл. = //в.
Области с отрицательным дискриминантом на плоскости параметров (^(н); ^(у)) были обнаружены для шести из 27 рассмотренных моделей адсорбционного слоя: (-10; -10; 0), (-10; -10; 10), (0; -10; 10), (0; -10; 0), (0;-10;-10), (10;-10; 10). Все эти модели, как и в случаях квадратной и шестиугольной решеток, характеризуются притяжением между частицами различных сортов. (Напомним, что для квадратной и шестиугольной решеток данные области обнаружены были для всех девяти наборов с притяжениями между частицами разных сортов.) Для
- -5,0
-5,5
- -6.0
-4 -3
ig(u)
Рис. 6.
ч
* • . Ч '
4 (7з х л/з)дзо;
А,В
LG
: LL,
-40
-20
0 сА 20
Рис. 7
данных шести моделей в области с отрицательным дискриминантом фазовый портрет содержит фокусы. Предельные циклы обнаружены у первых четырех моделей. Откуда видно, что притяжение адсорбированных частиц В-В и отталкивание частиц А-А препятствуют возникновению предельного цикла. Во всех этих случаях, как и в случаях квадратной и шестиугольной решеток, предельные циклы возникают как результат бифуркации Ан-дронова-Хопфа. Все обнаруженные циклы устойчивы. Напомним, что в случае квадратной решетки возникновению предельного цикла препятствовало, кроме случая (-10; -10; -10), притяжение адсорбированных частиц В-В, для шестиугольной решетки к этому еще добавлялось и притяжение адсорбированных частиц А-А. Отметим, что для всех трех типов решетки предельный цикл не обнаружен у моделей (0; -10; -10), (10; -10; -10), обнаружен у моделей (0;-10; 0), (0;-10; 10).
Анализ фазовых диаграмм основного состояния исследуемых моделей адсорбционного слоя показывает, что возникновение автоколебаний связано с существованием упорядоченной фазы {■Л ж л/э)л30АгВ. Для всех моделей предельные циклы практически целиком лежат внутри данной фазы.
В качестве иллюстрации рассмотрим результаты, полученные для модели адсорбционного слоя (0; -10; 0), допускающей десять внутренних ст.с. Диаграмма кратности приведена на рис. 6а. Числами показано количество внутренних ст.с. в соответствующих областях.
На рис. 6Ь в плоскости параметров (^(ы): 1§(1')) сплошная линия разделяет области с положительным и отрицательным дискриминантом характеристического уравнения, а пунктирная линия является множеством точек, на котором равняется нулю сумма корней характеристического уравнения. Заполненный кружок показывает положение точки 0(-4,75; -5,5), которая лежит в области с двумя внутренними ст.с.
На рис. 7а,Ь в плоскости (х, у) и в плоскости показан построенный в точке 0(-4,75; -5,5) фазовый портрет исследуемой системы. Внутри цикла находится неустойчивый фокус (см. фрагмент). Незаполненный кружок показывает неустойчивое внутреннее ст.с., лежащее вне предельного цикла. Заполненный и незаполненный квадратики показывают соответственно устойчивое и неустойчивое граничные ст.с. На рис. 7Ь пунктирные линии с короткими штрихами показывают
границы областей существования различных поверхностных фаз. Внутренние ст.с. могут лежать только на прямой, показанной пунктирной линией с длинным штрихом. Видно, что предельный цикл практически целиком лежит внутри фазы (7з х 73)Я30Д в. Как показывают результаты расчетов, это — общее явление. Для всех остальных трех моделей предельные циклы также практически лежат внутри этой фазы.
4. ВЫВОДЫ
Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие выводы:
1) Результаты, полученные для треугольной решетки, в целом вполне аналогичны результатам для квадратной и шестиугольной решеток. Показано, что фазовые диаграммы основного состояния для треугольной решетки имеют большее число упорядоченных фаз, чем для квадратной и шестиугольной решеток.
2) Показано, что для всех наборов латеральных взаимодействий, имеющих фазовые диаграммы, топологически эквивалентные фазовой диаграмме для идеального адсорбционного слоя, диаграммы кратности также топологически эквивалентны диаграмме кратности для идеального адсорбционного слоя.
3) Причинами усложнения диаграмм кратности для треугольной решетки по сравнению с квадратной решеткой являются: (а) существование большего числа упорядоченных фаз (соответственно усложнение фазовых диаграмм); (Ь) увеличение (по модулю) средней энергии взаимодействия между адсорбированными частицами вследствие изменения координационного числа с 4 до 6 (в некотором смысле, это эквивалентно понижению температуры, что всегда приводит к усложнению диаграмм кратности).
Библиографический список
1. Мышлявцев A.B., Мышлявцева М.Д. Диаграммы кратности для механизма Ленгмюра-Хиншельвуда в условиях неидеальности адсорбционного слоя. Необратимая адсорбция.//Омский научный вестник. — 2005,- №2. - С.85-90.
2. Мышлявцев A.B., Мышлявцева М.Д. Влияние обратимости мономолекулярной адсорбции на диаграммы кратности механизма Ленгмюра-Хиншельвуда в условиях неидеальности адсорбционного слоя. //Омский научный вестник. -2005.-№3(32]. - С. 96-100.
3. Мышлявцев A.B., Мышлявцева М.Д. Неидеальность адсорбционного слоя и автоколебания в механизме Ленгмюра-Хиншельвуда. Необратимая адсорбция. //Омский научный вестник. - 2006. - № 1 (34). - С. 57-60.
4. Мышлявцев A.B., Мышлявцева М.Д. Неидеальность адсорбционного слоя и автоколебания в механизме Ленгмюра-Хиншельвуда. //Сборник тезисов докладов VII Российской конференции «Механизмы каталитических реакций» (с международным участием), 3-8 июля 2006 г., Санкт-Петербург, Том I. - Новосибирск: Институт катализа им. Г.К. Борескова СО РАН, 2006. - С. 329 - 331.
5. Мышлявцев А.В., Мышлявцева М.Д. Множественность стационарных состояний и автоколебания в механизме Ленгмюра-Хиншельвуда в случае шестиугольной решетки.//Омский научный вестник. -2005 . - №4(33 ). - С 101 105.
6. Ziff R.M., Gulari Е„ Barshad Y. Kinetic Phasi> Transitions in an Irreversible Surface-Reaction Model. //phys. Rev Lett. -1986. -V.56. - P. 2553 - 2556.
7. Machado E., Buendia O.M.. Rikvold P.A. Decay of metasta-ble phases in a model for the calalyac oxidation of CO. //Phys. Rev., E 71. - 2005. - № 3. - P. 031603,) 2).
8. Machado E., Buendie. G.M., Rikvold P.A., Zif( R.M. Response of a catalytic reaction to ^eiiojic variation of the CO pressure: Increased Co.. production ar.-j dynamic phase transition.//Phys. Rev., П71. - 2005. - Nil. P.016I2-V).
9. CMrd-iba A., Lemcs M.C., Jimftnez Morales F. Periodical forcing for the contiol ->[ chaos ,n achemi' al reaction. //J. Chem. Phys.-2ПП5. • V.I 24 - №1.-P.014707(6).
10. Pavlerko N , Imbihl R.. Evans J.W., Liu D.-J. Critical behavior in an atomistic m.jde' for a bistable surface reaction: CO oxidation with rapid CO diffusion. //Phys. Rev., E68. - 2003. - №1. -P. 016212;/)).
11. Lcnos M.C.. Jimftnez-Morales F. A cellular automaton for the modelind of oscillations in a surface reaction. //J. Chem Phys. -2004. - V. 121. - №7. - P. 3206(6).
12. BykovV.l., Elokhin V.I., Gorban A.N., Yablonskii G.S. Comprehensive chemical kinetics. //KineLic models of catalytic reactions (Ed. R.G. Compton). V.32. - Amsterdam: Elsevier, 1991.
13. Боресков Г.К. Гетерогенный катализ. — М.: Наука, 1986. - 304 с.
14. Жданов В.П. Элементарные физико-химические процессы на поверхности. — Новосибирск: Наука. - 1988. - 296 с.
15. Myshlyavtsev А. V., Zhdanov V.P. The effect of nearest-neighbour and nexl-nearesl-neighbour lateral interactions on thermal desorption spectra//Chem. Phys. Lett. - 1989. - v. 162, № 1,2. -I'. 43- 46.
16. Мышлявцев A.B., Мышлявцева М.Д. Вычислительные аспекты метода трансфер-матрицы. - Кызыл: ТувИКОПР СО РАН. - 2000. - 101с.
17. Быков В.И., Мышлявцев А.В., Слинько М.Г. Применение метода трансфер-матрицы для описания процессов на поверхности катализатора //Доклады Академии наук. - 2002. — т. 384, №5. - С. 650-654.
18. Shampine L.F. and Gordon М.К. Computer Solution of Ordinary Differential Equations. The Initial Value Problem, San-Francisco: W.H. Freeman. -1975.
19 Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P. Numerical Recipes in Fortran 77, The Art of Scientific Computing, Second Edition, V.l, Cambridge University Press. - 1992.
МЫШЛЯВЦЕВ Александр Владимирович, доктор химических наук, проректор по учебной работе. МЫШЛЯВЦЕВА Марта Доржукаевна, кандидат физико-математических наук, докторант кафедры высшей математики.
Дата поступления статьи в редакцию: 10.08.06г. ©Мышлявцев A.B., Мышлявцева М.Д.
Книжная полка
Кальнер В. Д. Из истории катализа: люди, события, школы. - М., 2005.
Истомин В. А- Предупреждение и ликвидация газовых гидратов в системах добычи газа,- М., 2004. Генералов М. Б. Криохимическая нанотехнология. - М. ,2006.
