МНОЖЕСТВА ГМВ-ПОДОБНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ДЛЯ СИСТЕМ ПЕРЕДАЧИ И ОБРАБОТКИ ЦИФРОВОЙ ИНФОРМАЦИИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И СИСТЕМЫ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА

INFORMATION TECHNOLOGIES AND SYSTEMS, COMPUTER TECHNIQUE

УДК 519.725

DOI: 10.17586/0021-3454-2022-65-6-383-393

МНОЖЕСТВА ГМВ-ПОДОБНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ДЛЯ СИСТЕМ ПЕРЕДАЧИ И ОБРАБОТКИ ЦИФРОВОЙ ИНФОРМАЦИИ

В. Г. Стародубцев

Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского, Санкт-Петербург, Россия,

vgstarod@mail. гы

Аннотация. Представлены два множества ¥¥С1 и ¥¥С2 последовательностей, подобных последовательностям Гордона—Миллса—Велча (ГМВ) в конечных полях вР(2х) для значений S=2mod4. Множества ГМВ-подобных последовательностей (ГМВ 1111) характеризуются пятиуровневой периодической автокорреляционной и четырехуровневой взаимной корреляционными функциями. Максимальное значение модуля взаимной корреляционной функции |^тах| = (2ж+1-1) данных множеств меньше аналогичного значения для последовательностей Голда — (2ж+1+1). Мощность множества ГМВ 1111 ¥¥С1 равна половине периода последовательностей М1 = (ЛТ+1)/2 = 2Ж. Все последовательности этого множества сбалансированы, т.е. их вес равен V = 2 . Мощность множества ГМВ ПП ¥¥а2 примерно равна периоду последовательностей М2 = (N+1) = 2Ж. Последовательности множества ¥¥а2 являются несбалансированными, т.е. их вес может принимать четыре значения: V = [2ж-1(2ж+1); 2м; 2ж-1(2ж-1); 2ж(2Х/2-1)]. Показано, что формирование множеств ГМВ ПП с этими характеристиками мощности и корреляции возможно только для периодов N = 63, 1023, 16 383, 262 143, для которых существуют ГМВ-последовательности с проверочными полиномами степени 2я.

Ключевые слова: конечные поля, примитивные полиномы, М-последовательности, ГМВ-последова-тельности, корреляционная функция, структурная скрытность

Ссылка для цитирования: Стародубцев В. Г. Множества ГМВ-подобных последовательностей для систем передачи и обработки цифровой информации // Изв. вузов. Приборостроение. 2022. Т. 65, № 6. С. 383—393. Б01: 10.17586/0021-3454-2022-65-6-383-393.

SETS OF GMW-LIKE SEQUENCES FOR DIGITAL INFORMATION TRANSMISSION AND PROCESSING SYSTEMS

V. G. Starodubtsev

A. F. Mozhaisky Military Space Academy, St. Petersburg, Russia vgstarod@mail.ru

Abstract. Two sets of sequences similar to Gordon-Mills-Welch (GMW) sequences in finite fields GF(2S) for values S=2 mod 4 are presented. Sets of GMW-like sequences are characterized by a five-level periodic autocorrelation and a four-level cross-correlation function. For these sets, the maximum value of the modulus of the mutual correlation

S/2+1 s/2+ 1

function |Rmax| = (2 -1) is less than the same value for Gold sequences equal to (2 +1). The power of one of the sets, FFg1, is equal to half of the sequence period M1 = (N+1)/2 = 2S/2. All sequences of this set are balanced, that is, their weight is equal to V = 2S/2. The power of the other set of GMW- like sequences, FFg2, is approximately equal to the period of the sequences M2 = (N+1) = 2S/2. The sequences of FFg2 set are unbalanced, that is, their weight can take four values V = [2S/2-1(2S/2+1); 2S-1; 2S/2-1(2S/2-1); 2S/2 (2S/2"1-1)j. It is shown that formation of sets of GMW-like sequences with these power and correlation characteristics is possible only for periods N = 63, 1023, 16383, 262143, for which there exist GMW sequences with verification polynomials of degree 2S.

© Стародубцев В. Г., 2022

Keywords: finite fields, primitive polynomials, M-sequences, GMW-sequences, correlation function, structural secrecy

For citation: Starodubtsev V. G. Sets of GMW-like sequences for digital information transmission and processing systems. Journal of Instrument Engineering. 2022. Vol. 65, N 6. P. 383—393 (in Russian). DOI: 10.17586/0021-3454-202265-6-383-393.

Повысить помехозащищенность систем передачи цифровой информации (СПЦИ), в которых предусматривается корреляционная обработка фазоманипулированных сигналов с расширенным спектром (СРС), позволяет, в частности, применение псевдослучайных последовательностей (ПСП) с низким уровнем взаимной корреляции [1, 2]. При использовании в СПЦИ режима с кодовым многостанционным доступом для разделения каналов связи различных абонентов применяются фазоманипулированные сигналы на основе последовательностей Голда, Касами и др. [3—5].

Разработке методов и алгоритмов формирования ПСП и их множеств с низким уровнем взаимной корреляции посвящено большое количество научных работ [6—18]. В [6] рассмотрен метод построения бинарных последовательностей с асимптотически оптимальным ростом уровня боковых лепестков автокорреляционной и взаимной корреляционной функций из наборов последовательностей с хорошими корреляционными свойствами. В [7] представлен обобщенный циклотомический метод формирования новых семейств двоичных последовательностей, основанный на китайской теореме об остатках.

В последнее время внимание исследователей уделяется методам генерации совершенных целочисленных гауссовых последовательностей произвольной длины с нулевой автокорреляцией, которые находят применение в современных системах связи, таких как CDMA и OFDM [8—10]. Данные последовательности могут быть сформированы на основе следовых представлений последовательностей Лежандра, шестеричных последовательностей вычетов Холла, М-последовательностей (МП) и ГМВ-последовательностей над конечным полем GF(2 ) [11]. При этом шестеричная последовательность вычетов Холла обладает признаками псевдослучайности, имеет идеальную двухуровневую автокорреляцию и линейную сложность порядка величины ее периода [12].

В работах [13—15] исследуются алгоритмы построения последовательностей с непосредственной минимизацией интегрального уровня боковых лепестков корреляционной функции на основе общей структуры алгоритмов максимизации-минимизации. В некоторых телекоммуникационных приложениях используются последовательности с апериодической корреляцией [16]. В [17] проанализировано формирование пар конечных комплекснозначных последовательностей, основанных на различных последовательностях Чу и имеющих низкий уровень апериодических автокорреляционной и взаимной корреляционной функций по критерию Сарвате—Персли.

В [18] предложен эффективный метод формирования аффинных подсемейств, входящих в семейство последовательностей, формируемых с помощью нелинейного регистра сдвига с обратной связью. Эти последовательности обладают высокой структурной скрытностью, характеризующейся эквивалентной линейной сложностью.

Впервые термин „ГМВ-подобная последовательность" (ГМВ ПП) применен в статье [19]. Данные последовательности формируются на основе тех же проверочных полиномов, что и ГМВ-последовательности, но при этом характеризуются пятиуровневой периодической автокорреляционной функцией (ПАКФ) и использованием в качестве базисной последовательности не только канонической МП, но и МП с произвольным начальным состоянием.

Цель настоящей статьи — разработка процедур формирования множеств ГМВ-подобных последовательностей с низким уровнем взаимной корреляции в конечных полях GF(2S).

ГМВ 1111 формируются на основе ГМВ-последовательностей в конечных полях для которых степень расширения является четным числом £ = 2т = 2шоё4 и которые могут быть представлены в виде полей с двойным расширением ОБ[(2т)2]. Проверочные полиномы формируемых последовательностей должны иметь степень 28 и являться произведением только двух неприводимых полиномов, один из которых примитивный.

С учетом этих ограничений множества ГМВ 1111 могут быть получены для периодов N = 26-1 = 63, N = 210-1 = 1023, N = 214-1 = 16 383, N = 218-1 = 262 143.

Символы ГМВ-последовательности Ео с периодом N = 22т-1, которые используются для формирования ГМВ ПП, определяются выражением [4, 20]:

& = *тЖ^2т,т )У ] , 1 * г < рт - 1, (г, рт - 1) = 1, (1)

где 1ха,б(-) — функция следа элемента поля ОБ(2а) в поле ОБ(26); а е ОБ(22т) — примитивный элемент; г — натуральное число, взаимно простое с порядком мультипликативной группы поля ОБ(2т), равным 2т - 1.

Структурная скрытность ПСП определяется эквивалентной линейной сложностью (ЭЛС), которая для ГМВ-последовательностей имеет вид [4]:

¡э = т • пф(г), (2)

где ф(г) — количество единиц в двоичном представлении числа г в (1).

Разработку процедур проведем на примере формирования множеств ГМВ ПП с периодом N = 63 в конечном поле ОБ(26) при 8 = 2шоё4. Неприводимые полиномы шестой степени этого поля приведены в табл. 1 [21] (здесь и далее нижние индексы в обозначении полиномов соответствуют минимальным показателям степени их корней).

Таблица 1

Неприводимые полиномы в GF(26)_

Полином Корни полинома (показатели степеней) Период корней

Н1(х) = х6 + х + 1 1 2 4 8 16 32 а , а , а , а , а , а 63

к3(х) = х6 + х4 + х2 + х + 1 3 6 12 24 48 33 а , а , а , а , а , а 21

к5(х) = х6 + х5 + х2 + х + 1 5 10 20 40 17 34 а , а , а , а , а , а 63

Н11(х) = х6 + х5 + х3 + х2 + 1 11, 22, 44, 25, 50, 37 63

й13(х) = х6 + х4 + х3 + х + 1 13, 26, 52, 41, 19, 38 63

й15(х) = х6 + х5 + х4 + х2 + 1 15, 30, 60, 57, 51, 39 21

к23(х) = х6 + х5 + х4 + х + 1 23, 46, 29, 58, 53, 43 63

й31(х) = х6 + х5 + 1 31, 62, 61, 59, 55, 47 63

В рамках исследований будут рассмотрены процедуры формирования двух множеств ГМВ ПП: ЕЕ01 и ЕЕ02.

Процедура формирования множества ЕЕо1 основана на использовании канонической формы записи базисной МП ЕМП и различных циклических сдвигов сформированной на ее основе ГМВ-последовательности Ео.

В конечном поле ОБ(28) = ОБ(26) с неприводимым полиномом _Дх) = х6+х+1 и примитивным элементом а = а символы с^ базисной МП ЕМП в канонической форме записываются с учетом (1) при г = 1 в виде

с1 = %аг = -Ъ-61аг, 0 < I < 28-2 = 26-2 = 62. (3)

Начальные и конечные символы с^ канонической формы записи МП ЕМП с проверочным полиномом ИМП (х)=х6+х+1 в соответствии с (3) приведены в табл. 2.

Таблица 2

Формирование ГМВ-последовательности Жд......

I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62

с, 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1

С 31 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1

С 51 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1

8, 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

На основании символов базисной МП вида (3) может быть сформирована ГМВ-последовательность ¥с с проверочным полиномом кс(х), равным произведению двух неприводимых полиномов Исг(х), один из которых И5(х) является примитивным, а другой И3(х) — неприводимым, с корнями, имеющими период N = 21 [20, 21]:

Ис(х) = Ис1(х)Ис2(х) = И3(х)И5(х) = (х6+х4+х2+х+ 1)(х6+х5+х2+х+1). (4)

Полиномы Исг(х) определены для случая г = 3 в (1). Так как ф(г=3) = 2, то ЭЛС ГМВ-последовательности, в соответствии с (2), равна к = 12.

ГМВ-последовательность ¥с входит в множество ¥¥с1, а ее символы в соответствии с (4), могут быть получены путем суммирования по mod2 символов с3, и с5, двух последовательностей (см. табл. 2 — 3-я и 4-я строки), полученных путем децимации символов с, базисной МП ¥Мп по индексам децимации ¡¿ц = 3 и ¡¿2 = 5, соответствующих минимальным показателям степени корней полиномов И3(х) и И5(х):

8 = % ® , 0 < I < 2£-2 = 62, (5)

где вычисление индексов выполняется по mod63.

Множество ГМВ ПП ¥¥с1 образуется из последовательностей ¥с1,к, получаемых путем сложения по mod2 последовательности ¥с и ее различных циклических сдвигов. С вычислительной точки зрения эта процедура соответствует определению ПАКФ полученной ГМВ-последовательности.

Для двоичных последовательностей ПАКФ определяется выражением [2, 4]:

Я(т) = N-2^(1), (6)

где О(т) — расстояние по Хэммингу между циклическими сдвигами последовательностей для различных значений т.

Для двоичных последовательностей расстояние О(т) равно числу несовпадающих позиций в двух циклических сдвигах, что эквивалентно весу V последовательности, получаемой при суммировании по mod2 этих сдвигов.

Так как ПАКФ ГМВ-последовательности является четной функцией, то при первом способе формирования мощность множества ГМВП ПП ¥¥с1 равна

М1 = 2£-1 = (N+0/2 = 32. (7)

Множество ¥¥с1 включает (N-^/2 последовательность ¥с1,к, получаемую при сложении двух циклических сдвигов ГМВ-последовательности ¥с для 1<т<2 ~ -1 = 31, и непосредственно исходную ¥с. Вес каждой последовательности будет равен V1 = 2 = 32, так как ПАКФ ГМВ-последовательности является двухуровневой. При значениях сдвига 32 = 2 < т < 2 -2 = 62 формируются циклические сдвиги уже рассмотренных последовательностей. В этом случае значения сдвигов т определяются из условия равенства суммы зна-£

чений 2-1 = 63. Например, циклическими сдвигами являются последовательности при т1 = 5 и т2 = 58, а также при т1 = 17 и т2 = 46.

Определим периодическую взаимную корреляционную функцию (ПВКФ) некоторых пар последовательностей ¥с1,к, как входящих в множество ГМВ ПП ¥¥с1, так и являющихся циклическими сдвигами. Номер последовательности к соответствует циклическому сдвигу т. Начальные и конечные сегменты некоторых последовательностей ¥с1,к приведены в табл. 3. Вес всех последовательностей равен Vk = 32.

Таблица 3

Сегменты последовательностей Е01,к множества ГМВ ПП ЖЖрц_

ЕС1,к Символы последовательностей для к

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62

ЕС1,0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

ес1,1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0

ес1,2 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0

ес1,5 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0

-Рейн 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0

ЕС1,46 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1

ЕС1,58 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1

Проверочные полиномы для рассмотренных последовательностей могут быть получены из выражения (4).

Значения ПВКФ последовательностей Ео1,1 и Ес1,2, входящих в множество ГМВ ПП ЕЕо1, для произвольного сдвига т = 21/+/ приведены в табл. 4.

Таблица 4

_Значения ^,2(т) ПВКФ последовательностей ЕС1Л и ЕС122_

/ }

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0 -1 -1 15 -9 7 15 -1 -9 -9 7 15 -1 -1 -1 15 -9 -1 -9 15 -9 -9

1 -9 -1 -1 -9 -1 15 -9 -9 -1 7 -9 -1 -1 15 -9 -1 -9 -1 -1 -9 15

2 7 -9 7 -9 15 -9 -9 7 7 -1 -1 -1 -9 -9 -1 15 -1 7 7 -1 -1

Анализ показывает, что ПВКФ является четырехуровневой и принимает следующие значения (в скобках приведено число соответствующих значений для одного периода):

Яи(т) = [-9(21), -1(23), 7(9), 15(10)]. (8)

Особенностью первого множества ГМВ ПП ЕЕо1 является то, что для каждой корреляционной функции сумма значений ПВКФ равна

яъ=К=Г "2=62 ад=1.

(9)

Например, для выражения (8) ЯС1 = (-9)х21+(-1)х23+7х9+15х10 = 1. Значения ПВКФ последовательностей Ес1,5 и Ес1,17, также входящих в множество ГМВ ПП, приведены в табл. 5.

Таблица 5

/ 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0 -1 -9 -1 -9 -9 -1 -1 -1 -1 15 -1 15 -1 -1 -9 -9 -1 15 15 -1 -1

1 15 7 -9 7 -9 -9 -1 -9 -1 7 -9 7 7 15 7 15 7 -9 -9 -1 -9

2 -1 -1 -9 7 -1 -9 -1 7 -1 -1 -9 -9 7 7 -1 -9 -1 15 -9 -1 -1

17

01,17

ПВКФ данных последовательностей также является четырехуровневой и удовлетворяет выражению (9), но с другим распределением числа значений

Яз,17(т) = [-9(19), -1(25), 7(11), 15(8)].

Значения ПАКФ последовательностей ЕС1,5 и ЕС1,58, а также ЕС1,17 и ЕС1,46, являющихся циклическими сдвигами, приведены в табл. 6 и 7.

Таблица 6

Значения Д5,58(т) ПАКФ последовательностей и Рр^а

}

/ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0 -1 -1 7 -1 7 63 7 -1 7 -1 -1 -9 -9 -1 -1 -1 7 -1 15 -1 -1

1 -1 -9 -1 -9 -9 -1 -9 -1 7 7 15 -1 -9 -1 -9 -9 -9 -9 -1 -9 -1

2 15 7 7 -1 -9 -1 -9 -9 -1 -9 -1 -1 -1 15 -1 7 -1 -1 -1 -9 -9

Значения Л|7.46,(т) ПАКФ последовательностей ЖУ,1Л7 и

Таблица 7

I 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0 -1 7 7 -9 7 -1 -9 -1 -1 -9 -9 7 -9 -1 -1 -1 -1 63 -1 -1 -1

1 -1 -9 7 -9 -9 -1 -1 -9 -1 7 -9 7 7 -1 -1 15 -9 -1 7 -1 -9

2 15 -9 -1 -1 -1 -9 -1 -1 -9 -1 -1 -1 -9 15 -9 -1 7 -1 -9 15 -1

ПАКФ данных последовательностей является пятиуровневой

Яз,58(т) = Я17,46(т)= [-9(18), -1(30), 7(10), 15(4), 63(1)] и также удовлетворяет выражению (9):

№с1 = (-9)х18+(-1)х30+7х10+15х4+63х1 = 1.

Максимальное значение ПАКФ ^(т) = 63 для циклических сдвигов (выделено полужирным шрифтом) достигается при сдвигах т, равных номерам первых последовательностей.

Таким образом, при формировании первого множества ГМВ ПП ¥¥с1 его мощность определяется выражением (7) и равна М1 = 32, ПВКФ является четырехуровневой и принимает следующие значения:

Я„(т) = [-(2^+1), -1, (2£/2-1), (2£/2+1 -1)] = (-9, -1, 7, 15). (10)

Для сравнения приведем значения трехуровневой ПВКФ последовательностей Голда для периода N = 2£-1 = 63 (£ = 2mod4) [4, 5]:

Я„(т) = [-(2£/2+1+1), -1, (2£/2+1 -1)] = (-17, -1, 15).

(11)

Отметим, что максимальное значение модуля ПВКФ последовательностей Голда на 12 % превышает аналогичное значение для множества ГМВ ПП.

Процедура формирования множества ГМВ ПП ¥¥с2 основана на использовании произвольного к-го циклического сдвига базисной МП ¥МП,к. В этом случае при сложении последовательностей, децимированных по индексам 3 и 5, в соответствии с полиномами кс,(х), вместо ¥с формируется ГМВ-подобная последовательность ¥с2,к, ПАКФ которой является пятиуровневой [19].

В соответствии с (3) символы с, МП, представленные в канонической форме, при циклическом сдвиге на т определяются выражением

С

■■ %ат = -Ъ-61а'^, 0 < I < 2-2 = 62. (12)

Начальные и конечные символы МП ¥МП,к в соответствии с (12) при т = 5 (сдвиг МП влево) приведены в табл. 8 (вторая строка).

Таблица 8

Символы 01 МП

,+т

I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62

Сг 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0

С3! 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0

Сы 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0

q, 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

На основании символов базисной МП ¥МП,к вида (12) формируется ГМВ-подобная последовательность с проверочным полиномом Ис(х) вида (4) и ЭЛС 1з = 12. Символы qi ГМВ ПП ¥с2,к могут быть получены аналогично символам 8 ГМВ-последовательности ¥с путем суммирования по mod2 новых значений символов с3, и с5, двух последовательностей (табл. 8).

Полный набор последовательностей ¥с2,к этого множества формируется для всех возможных циклических сдвигов базисной МП. Соответственно мощность множества ГМВ ПП ¥¥с2 в этом случае равна

М2 = 25-1 = N = 63 (13)

с учетом исходной ГМВ-последовательности для базисной МП в канонической форме.

Последовательность ¥с2,к (к = 1—63) множества ¥¥а2 удобно нумеровать в соответствии с начальным состоянием циклического сдвига базисной МП, представленным в десятичной форме. Для периода N = 63 при начальном состоянии с0 = 1, с^ = 0 (/ = 1—5) базисной МП в каноническом виде формируется ГМВ-последовательность ¥о = ¥а2д. При остальных начальных состояниях формируются ГМВ 1111 ¥с2,ъ В табл. 9 приведены некоторые последовательности ¥о2,к с различным весом Ук.

Таблица 9

Сегменты последовательностей Га2-к множества ГМВ ПП ¥¥(р__

¥02,к Ук Символы последовательностей для к

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62

¥оъ,1 32 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

¥ОЪ,7 32 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0

¥ОЪ,2 36 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0

¥оъ,5 36 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0

¥ОЪ,11 28 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1

¥ОЪ,26 28 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0

¥ОЪ,48 24 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

¥03,60 24 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0

Множество ГМВ ПП ¥¥а2 с N = 63 и базисной МП с проверочным полиномом И(х)= х6+х+1 характеризуется следующим распределением весов последовательностей (в скобках указано число последовательностей):

Ук = [36(18), 32(28), 28(8), 24(9)]. (14)

В табл. 10 приведено распределение числа различных значений ПВКФ последовательности ¥о2л с последовательностями ¥с2,к. Также показана сумма значений ПВКФ Щ,к последовательности ¥о2,1 с ¥о2,к.

Таблица 10

Распределение значений ПВКФ последовательностей ¥(ал и Рогл _,_,_,

к 2 3 4 5 6 7 8 9 56 57 58 59 60 61 62 63

Ук 36 36 36 36 28 32 36 36 32 32 28 28 24 36 32 32

Кх = -9 18 18 18 18 21 18 18 18 18 18 21 21 18 18 18 18

К2 = -1 27 27 27 27 21 29 27 27 29 29 21 21 30 27 29 29

¿с = 7 9 9 9 9 14 6 9 9 6 6 14 14 6 9 6 6

Я4 = 15 9 9 9 9 7 10 9 9 10 10 7 7 9 9 10 10

9 9 9 9 -7 1 9 9 1 1 -7 -7 -15 9 1 1

В соответствии с (6) каждому значению веса Ук последовательности ¥о2,к можно формально сопоставить корреляционную функцию Яс2,к = N - 2Ук. Тогда выражение (9) для суммарной величины ПВКФ определяется произведением значений корреляционных функций:

"2=62 ад = В02,к X ¿02,1 = (N - 2Ук)(N - Щ). (15)

Так как вес последовательности ¥а2,1 равен У1 = 32, а веса VI остальных последовательностей множества ГМВ ПП ¥¥о2 могут принимать четыре значения (24, 28, 32 и 36), то сумма значений ПВКФ Щ,к = 2Ук - N также может принимать четыре значения: -15, -7, 1, 9.

В табл. 11 приведены значения ПВКФ последовательности ¥а2,2, вес которой составляет У2 = 36, с последовательностями ¥с2,к. В этом случае сумма значений ПВКФ будет равна ^2,к = 9(2Ук - N и также может принимать четыре значения: -135, -63, 9, 81.

Таблица 11

Распределение значений ПВКФ ГМВ ПП Ждл с | ГМВ ПП ЖЬ,к . . .

к 3 4 5 6 7 8 9 10 56 57 58 59 60 61 62 63

Ук 36 36 36 28 32 36 36 32 32 32 28 28 24 36 32 32

К1 = -9 15 15 18 17 22 14 15 15 15 19 19 20 26 11 22 16

К2 = -1 27 28 20 34 20 28 28 32 32 28 31 29 24 32 22 31

¿с 1 1 7 9 7 14 7 11 10 7 8 8 4 7 8 9 11 7 7

Я4 = 15 12 13 11 5 10 11 13 8 8 12 6 6 4 9 12 9

81 81 81 -63 9 81 81 9 9 9 -63 -63 -135 81 9 9

Аналогично можно показать, что сумма значений ПВКФ последовательности ¥сг,к с весом 28 с остальными последовательностями равна Щ = 1(Ы - 2Ук) и также принимает четыре значения: -63, -7, 49, 105.

Сумма значений ПВКФ последовательности ¥с2,к с весом 24 равна Жк = 15(# - 2Ук) и принимает четыре значения: -135, -15, 105, 225.

Для проверки отсутствия циклических сдвигов среди последовательностей множества ГМВ ПП с весом 24 и 28 в табл. 12 приведены значения ПВКФ последовательностей с одинаковыми весами. Для вычислений взяты последовательности ¥с2,\5 с весом У15 = 24 и ^с2,6 с весом У6 = 28.

Таблица 12

Распределение значений ПВКФ ГМВ ПП ЖС2к с Ук = 24, 28_

Параметр ПВКФ ^С2,15 с ¥с2.ч с Ук = 24 ПВКФ ^С2,6 с ¥с2.ч с Ук = 28

К 22 24 32 36 38 47 48 60 к 11 20 26 28 31 58 59

Ук 24 24 24 24 24 24 24 24 Ук 28 28 28 28 28 28 28

Ях = -9 8 8 10 4 12 10 12 4 ¿1 = -9 14 14 16 16 20 12 18

Я2 = -1 27 27 23 33 21 23 21 33 ¿2= -1 29 29 26 26 20 32 23

¿3 = 7 12 12 14 12 12 14 12 12 ¿с = 7 12 12 12 12 12 12 12

Я4 = 15 16 16 16 14 18 16 18 14 Я4= 15 8 8 9 9 11 7 10

Щ5 225 225 225 225 225 225 225 225 W6 49 49 49 49 49 49 49

Таким образом, определяемая выражением (13) мощность второго множества ГМВ ПП ¥¥с2 с периодом N = 63 равна М2 = 63, ПВКФ является четырехуровневой и принимает значения в соответствии с (10). Суммарная величина ПВКФ последовательностей множества удовлетворяет (15).

Для формирования множеств ГМВ ПП с периодами N = 210-1= 1023; 214- 1= 16 383 и

18

2 -1= 262 143 необходимо определить проверочные полиномы кМП(х) для базисных МП, а также пары полиномов кс(х) для получения проверочных полиномов Ис(х) вида (4) ГМВ-последовательностей.

В табл. 13 приведены основные характеристики множеств ГМВ ПП.

Таблица 13

Характеристика множеств ГМВ ПП с периодами N = 2Л1__

£ N кМП(х) кЛ(х) кс2(х) М^-1 М2=2я-1 ¿(т) шах|

6 63 х6+х+1 къ(х) к5(х) 32 63 -9, -1, 7, 15 0,24

10 1023 х10+х3+1 къ(х) кц(х) 512 1023 -33, -1, 31, 63 0,06

к5(х) к9(х) 512 1023 -33, -1, 31, 63 0,06

14 16383 х14+х10+х6+х+1 кэ(х) к65(х) 8192 16383 -129, -1, 127, 255 0,016

к5(х) кээ(х) 8192 16383 -129, -1, 127, 255 0,016

к9(х) кп(х) 8192 16383 -129, -1, 127, 255 0,016

18 262143 х18+х7+1 кэ(х) к257(х) 131072 262143 -513, -1, 511, 1023 0,004

к5(х) к129(х) 131072 262143 -513, -1, 511, 1023 0,004

к9(х) к65(х) 131072 262143 -513, -1, 511, 1023 0,004

кп(х) кээ(х) 131072 262143 -513, -1, 511, 1023 0,004

При допустимых значениях S показаны полиномы ^мп(^) для базисных МП [21], пары полиномов-сомножителей hci(x) с целью получения проверочных полиномов ho(x) [20], мощности множеств M1 и M2, а также значения функции корреляции и коэффициента корреляции. С увеличением периода последовательностей происходит уменьшение максимально возможного значения модуля коэффициента корреляции |rmax|= |Rmax|/N.

При периоде N = 63 для каждого из шести примитивных полиномов можно сформировать по одному множеству ГМВ ПП; при N = 1023 для каждого из 60 примитивных полиномов — по два множества ГМВ ПП. При периоде N = 16 383 для каждого из 756 примитивных полиномов — по три множества ГМВ ПП, а при N = 262 143 для каждого из 7776 примитивных полиномов — по четыре множества ГМВ ПП.

Таким образом, в статье разработаны процедуры формирования двух множеств ГМВ ПП FFg1 и FFg2. Мощности множеств FFg1 и FFqi определяются выражениями (7) и (13) и

равны половине периода и периоду последовательностей соответственно. При этом последо-

S—1

вательности множества FFgj1 являются сбалансированными, их вес равен V1 = 2 .

S—1

Вес последовательностей Fc2,k (k = 0—2 -1) множества FFg2 может принимать четыре значения

V2 = [2s/2-1(2s/2+1); 2s-1; 2s/2-1 (2s/2 -1); 2S/2(2S/2-1-1)]. (16)

ПВКФ всех последовательностей множеств FFg1 и FFg2 является четырехуровневой:

R(t) = [-(2s/2+1), -1, (2s/2-1), (2s/2+1 -1)]. (17)

Суммарная величина ПВКФ, определяемая выражением (15), может принимать десять значений в интервале

Wki = [- (2s/2+1) (2s/2+1 -1)... (2s/2+1 -1)2]. Полученные результаты по формированию множеств ГМВ-подобных последовательностей могут быть использованы в СПЦИ в режиме кодового многостанционного доступа для разделения каналов связи различных абонентов наряду с фазоманипулированными сигналами на основе последовательностей Голда, Касами и др. Достоинствами предлагаемых множеств могут служить сбалансированность последовательностей Fcxk и более низкий, по сравнению с последовательностями Голда, уровень взаимной корреляции.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ипатов В. П. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов. Принципы и приложения / Пер. с англ.; под ред. В. П. Ипатова. М.: Техносфера, 2007. 488 с.

2. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение. М.: Вильямс, 2003. 1104 с.

3. Gold R. Maximal recursive sequences with 3-valued recursive cross-correlation functions // IEEE Trans. Inf. Theory. 1968. Vol. 14, N 1. P. 154.

4. Golomb S. W., Gong G. Signal Design for Good Correlation for Wireless Communication, Cryptography and Radar. Cambridge University Press, 2005. 438 p.

5. CDMA: прошлое, настоящее, будущее / Под ред. Л. Е. Варакина и Ю. С. Шинакова. М.: МАС, 2003. 608 с.

6. Bose A., Soltanalian M. Constructing Binary Sequences with Good Correlation Properties: An Efficient Analytical-Computational Interplay // IEEE Trans. Signal Process. 2018. Vol. 66, N 11. P. 2998.

7. Shen X., Jia Y., Song X. Constructions of binary sequence pairs of period 3p with optimal three-level correlation // IEEE Commun. Lett. 12017. Vol. 21, N 10. P. 12150.

8. Chang H. H., Li C. P., Lee C. D., Wang S. H., Wu T. C. Perfect Gaussian integer sequences of arbitrary composite length // IEEE Trans. Inf. Theory. 2015. Vol. 61, N 7. P. 4107.

9. Pei S. C., Chang K. W. Arbitrary Length Perfect Integer Sequences Using All-Pass Polynomial // IEEE Signal Processing Letters. 2019. Vol. 26, N 8. P. 1112.

10. Pei S. C., Chang K. W. Perfect Gaussian integer sequences of arbitrary length // IEEE Signal Processing Letters. 2015. Vol. 22, N 8. P. 1040.

11. Lee C. D., Huang Y. P., Chang Y., Chang H. H. Perfect Gaussian Integer Sequences of Odd Period 2m -1 // IEEE Signal Processing Letters IEEE. 2015. Vol. 22, N 7. P. 881.

12. Aly H., Winterhof A. A Note on Hall's Sextic Residue Sequence: Correlation Measure of Order // IEEE Trans. Inf. Theory. 2020. Vol. 66, N 3. P. 1944.

13. Song J., Babu P., Palomar D. P. Optimization Methods for Designing Sequences with Low Autocorrelation Sidelobes // IEEE Trans. Signal Process. 2015. Vol. 63, N 5. P. 3998.

14. Song J., Babu P., Palomar D. P. Sequence Set Design with Good Correlation Properties Via Majorization-Minimization // IEEE Trans. Signal Process. 2016. Vol. 64, N 11. P. 2866.

15. Yang Y., TangX. Generic Construction of Binary Sequences of Period 2 N with Optimal Odd Correlation Magnitude Based on Quaternary Sequences of Odd Period N // IEEE Trans. Inf. Theory. 2018. Vol. 64, N 1. P. 384.

16. Katz D. J. Aperiodic Crosscorrelation of Sequences Derived from Characters // IEEE Trans. Inf. Theory. 2016. Vol. 62, N 9. P. 5237.

17. Gunther C., Schmidt K. U. Sequence Pairs with Asymptotically Optimal Aperiodic Correlation // IEEE Trans. Inf. Theory. 2019. Vol. 65, N 8. P. 5233.

18. Zhang J. M., Tian T. T., Qi W. F., Zheng Q. X. A New Method for Finding Affine Sub-Families of NFSR Sequences // IEEE Trans. Inf. Theory. 2019. Vol. 65, N 2. P. 1249.

19. Владимиров С. С., Когновицкий О. С., Стародубцев В. Г. Формирование и обработка ГМВ-подобных последовательностей на основе двойственного базиса // Труды учебных заведений связи. 2019. Т. 5, № 4. С. 16—27.

20. Стародубцев В. Г. Метод синтеза последовательностей Гордона—Миллса—Велча для систем передачи дискретной информации // Радиотехника и электроника. 2020. № 2. С. 15.

21. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки / Пер. с англ.; под ред. Р. Л. Добрушина и С. И. Самойленко. М.: Мир, 1976. 594 с.

Сведения об авторе

Виктор Геннадьевич Стародубцев — канд. техн. наук, доцент; Военно-космическая академия им.

А. Ф. Можайского, кафедра технологий и средств автоматизации обработки и анализа информации космических средств; E-mail: vgstarod@mail.ru

Поступила в редакцию 18.03.22; одобрена после рецензирования 05.04.22; принята к публикации 25.04.22.

REFERENCES

1. Ipatov V.P. Spread Spectrum and CDMA. Principles and Applications, NY, John Wiley and Sons Ltd., 2005, 488 p.

2. Sklar B. Digital Communications: Fundamentals and Applications, Prentice Hall, 2001, 1079 p.

3. Gold R. IEEE Trans. Inf. Theory, 1968, no. 1(14), pp. 154.

4. Golomb S.W., Gong G. Signal Design for Good Correlation for Wireless Communication, Cryptography and Radar, Cambridge University Press, 2005, 438 p.

5. Varakin L.E. and Shinakov Yu.S., ed., CDMA: proshloe, nastoyashchee, budushchee (CDMA: Past, Present, Future), Moscow, 2003, 608 p. (in Russ.)

6. Bose A., Soltanalian M. IEEE Trans. Signal Process, 2018, no. 11(66), pp. 2998.

7. Shen X., Jia Y., Song X. IEEE Commun. Lett., 2017, no. 10(21), pp. 12150.

8. Chang H.H., Li C.P., Lee C.D., Wang S.H., Wu T.C. IEEE Trans. Inf. Theory, 2015, no. 7(61), pp. 4107.

9. Pei S.C., Chang K.W. IEEE Signal Processing Letters, 2019, no. 8(26), pp. 1112.

10. Pei S.C., Chang K.W. IEEE Signal Processing Letters, 2015, no. 8(22), pp. 1040.

11. Lee C.D., Huang Y.P., Chang Y., Chang H.H. IEEE Signal Processing Letters IEEE, 2015, no. 7(22), pp. 881.

12. Aly H., Winterhof A. IEEE Trans. Inf. Theory, 2020, no. 3(66), pp. 1944.

13. Song J., Babu P., Palomar D.P. IEEE Trans. Signal Process, 2015, no. 15(63), pp. 3998.

14. Song J., Babu P., Palomar D.P. IEEE Trans. Signal Process, 2016, no. 11(64), pp. 2866.

15. Yang Y., Tang X. IEEE Trans. Inf. Theory, 2018, no. 1(64), pp. 384.

16. Katz D.J. IEEE Trans. Inf. Theory, 2016, no. 9(62), pp. 5237.

17. Günther C., Schmidt K.U. IEEE Trans. Inf. Theory, 2019, no. 8(65), pp. 5233.

18. Zhang J.M., Tian T.T., Qi W.F., Zheng Q.X. IEEE Trans. Inf. Theory, 2019, no. 2(65), pp. 1249.

19. Vladimirov S.S., Kognovitsky O.S., Starodubtsev V.G. Trudy uchebnykh zavedeniy svyazi, 2019, no. 4(5), pp. 16-27. (in Russ.)

20. Starodubtsev V.G. Journal of Communications Technology and Electronics, 2020, no. 2(65), pp. 155-159.

21. Peterson W.W., Weldon E.J. Error-correcting Codes, The MIT PRESS, Cambridge, Massachusetts and London, England, 1972, 588 p.

Data on author

Victor G. Starodubtsev — PhD, Associate Professor; A. F. Mozhaisky Military Space Academy, Depart-

ment of Technologies and Means of Automation of Processing and Analysis of Space Vehicles Information; E-mail: vgstarod@mail.ru

Received 18.03.22; approved after reviewing 05.04.22; accepted for publication 25.04.22.