CC BY
34
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЭКОНОМИКИ
[email protected] Вадим Иванович Филиппов,
доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики и информатики, Саратовский социально-экономический институт (филиал) УДК 517.51 РЭУ им. Г.В. Плеханова
МНОГОМОДУЛЯРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Вводится новый вид пространств - многомодулярные пространства, для которых определяется F-норма. Такие пространства могут быть полезны для построения математических моделей некоторых физических и экономических процессов.
Ключевые слова: модулярные пространства, многомодулярные пространства, обобщенные классы Орли-ча, обобщенные пространства Орлича.
V.I. Filippov
MULTIMODULAR SPACES
We introduce a new type of space - the multimodular spaces. For these spaces is determined by the F-norm. These spaces can be useful for constructing mathematical models of some physical and economic processes.
Keywords: multymodular spaces, modular spaces, generalyzed Orlich spaces, Еф-spaces.
Понятия модуляра и модулярного пространства обобщают понятия нормы в > 0 , простран-
ства Ьр[а, Ь],р > 0 соответственно и, более того, обобщают норму Орлича и пространства Орлича, а также другие Р-нормы и Р-пространства.
Теория модулярных пространств изложена в монографии Накано [1]. В данной работе приводится обобщение модулярных пространств (многомодулярные
пространства), которые могут быть полезны для построения математических моделей некоторых физических процессов. Для этих пространств определяется Р-норма и модулярная сходимость. Заметим, что обобщенные пространства и классы Орлича, а также классы Lp являются частным случаем модулярных пространств. В работах В.И. Филиппова [5-8] рассматриваются системы представления в некоторых конкретных модулярных пространствах.
В работах Б.И. Голубова [1-2] исследованы ряды Фурье и Фурье - Хаара в специальных модулярных пространствах.
Многомерные модулярные пространства могу быть использованы для получения новых результатов в исследованиях, проведенных в работах [3-4].
Определение 1. Пусть 1_ - поле вещественных или
комплексных чисел (поле скаляров). Множество Е называется векторным (или линейным) пространством над
Ь, если для любых двух его элементов а и Ь определена их сумма а + Ь- элемент того же множества и для любых элемента а Е Е и числа ¡3 Е Ь определено произведение (За, являющееся также элементом множества
Е, причем эти операции удовлетворяют следующим аксиомам:
1) (а + Ь) + с = а + (Ь + с) (ассоциативность сложения);
2 )а + Ь — Ь + а (коммутативность сложения);
3) в £ существует такой элемент в, что для любого а Е Е будет 0 ■ а = в;
4) (а: + р)Ь = аЪ+ (ЗЬ;
5) а(Ь + с) = аЬ + ас;
6) (а(З)Ь = а((ЗЬ);
7) 1 ■ а = а.
Приведем некоторые определения, которые имеются в работах Музилака [9].
Определение 2.А. Будем говорить, что функционал
|-|:Е —► [0, в векторном пространстве Е называется
.--псевдонормой, если выполнены следующие условия:
2) |— х\ = (или \еих\ = для С Е Я в случае комплексного пространства Е);
3) \х + у | < \х\ + |у|;
4)еслиуп -> у \л\хп - х\ — О
Определение 2.В. Если выполнены условия 1) - 4) определения 2.А и
5) из \х\ = 0 следует х = О,
то функционал |-|:Е —► [0, ж) называется Е-нормой.
Определение2.С. Если функционал |-|:Е —> [0,=о) удовлетворяет условиям 1) - 3) определения 2.А и условию 4 ) |сел:| = а Е Ь, 0 < 5 < 1,
то он называется 5-однородной псевдонормой.
Если, кроме того, выполняется условие 5) определения 2.В, то й-нормой в Е.
Обозначим 5-норму символом ||' Если я = 1, то в этом случае будет норма, которая обозначается символом ||-||.
Пространство Е с Р-нормой (э-нормой, нормой) является метричным векторным пространством с расстоянием с1(х,у) = \х — у|.
Пространство Е с Р-нормой (нормой) будем называть
Р-пространством (^-пространством), если оно полно. Определение2.1.А. Будем говорить, что функционал
.."■:£ — на действительном или комплексном
векторном пространстве Е называется псевдомодуля-
ром, если для произвольных л: и у принадлежащих Е выполняются условия:
2) в случае, когда Е действительное, р(—х) = р{х). Если Е комплексное, то для любого действительного С
р{егЬх) = р(х);
3) для о: > 0 и > 0 и а+Р = 1 выполняется
р{ах + Ру) < р(х) + р(у)
Определение 2.1.В. Если в определении 2.1.А вместо 3) имеет место:
,
для а > О,/? >0,а* = 1, где 5 Е(0,1],
то псевдомодуляр р называется я-выпукпым, 1-выпуклый псевдомодуляр называется выпуклым.
Определение 2.1.С. Если в определении 2.1.А вместо 1) имеет место:
1) если для любого Л > 0 из того что р(Лх) = О
следует X = 0, то р называется полумодуляром.
Определение 2.1.0. Если выполнены условия определения 2.1.А и к тому же:
1 ) р(х) ~ 0 влечет X = 0, то р называется моду-ляром.
Определение 2.1 .Е. Если выполнены условия 1), 2), 3), то р называется й-выпуклым полумодуляром, а если 1), 2), 3 ), 1 ), то 5-выпуклым модуляром.
Каждая Е-норма (^-псевдонорма) является модуляром (псевдомодуляром) в £ и такова, что \ах\ - неотрицательная функция от а > 0 для каждого х ё Е. Определение 2.2.А. Если р псевдомодуляр в Е, то
называется модулярным пространством.
Заметим, что Ер - векторное подпространство в Е.
Пусть Е, ,г' = 1,2, ...,71, - действительные или комплексные векторные пространства. Рассмотрим множество Е", состоящее из элементов / — где е Еи I = 1,71. Пусть /,дЕ Е£ ,£ - поле скале-ров. Введем в множестве сумму как:
а произведение элемента / Ё Е^ на скаляр а Е Ь как:
Легко проверяется, что множество ££ является линейным пространством.
Лемма 1. Если Рг, I — 1,2, ...,п~ псевдомодуляры
(полумодуляры, модуляры) в ! = 1,2, ...,п, то
Доказательство для в-выпуклых полумодуляров и в-выпуклых модуляров аналогично доказательству пунктов 4 и 5 леммы 1.
то
п i—i
PdC/0 = - > лШ,/ t El
является псевдомодуляром (полумодуляром, модуля-
Определение 2.2.В. Если р0 - псевдомодуляр в
называется многомодулярным пространством.
Заметим, что - векторное подпространство в Еп
'р ----------------------------------
Очевидны следующие свойства псевдомодуляра:
1)ро(й/0^РоС/0для|а| < 1;
ром) в Е™.
Доказательство. Действительно,
Если комплексное, то для любого действительного
£ очевидно, что р„(е"/) = Ро(/)-
3. Для а > О,/? > 0,а + /? = 1 и /,£ <Е 11 и = !У„,
и и р0(я/ + /?5) = - > Pi(а/£ + ß3i) < -У
И ¿—J 7!
i=l i=1
3) Если р0 s-выпуклый псевдомодуляр, где О < s < 1, то Для
Теорема 1.А. Пусть р0 - псевдомодуляр в Е™. Тогда функционал
I/U, -
является F-псевдонормой в для которой выполнены условия:
4. Еслир! I = 1,2, ...,п- полумодуляры, то для лю- 1} Если р.{аГд ^ р.{адд для каждого а > 0,
бого из того, что -=^1 '=, ■ = О, : = ~, где /£ Г/, £ £.-, то г" .. £ ...
следует,что/ = 0, таким образом, р0 также полумодуляр. 2)Если/ е Еп и|/| < 1,1 = 1^п,тор1(/1) < |/|
'Pi
5. ЕСЛИ Р; ¡' = 1,2, ...,П-МОДуЛЯрЫ, ТО ИЗ ТОГО, ЧТО и ^^ < |уг| Ри(/0 = -1]Г=1Рс(/с) = 0. следует, что/ = 0, таким 3) Если / е Е™, то \ах\ра является неубывающей
.таким
образом, pQ также модуляр.
Лемма2. Если pi,i = 1,2,. ..,п-s-выпуклые псевдомодуляры (s-выпукпые полумодуляры, s-выпуклые
модуляры) в Eit г — 1,2,...,п,то
функцией от а > 0 .
В. Если р0 - полумодуляр в Е™, Т0Нр является Р -нормой в Ер - Если ри I = 1,п — 5-выпуклые псевдомодуляры, где 0 < в < 1, то функционал
Ро(л = -Урт/е£оп
П ¿—I
1= 1
является в-выпуклым псевдомодуляром (в-выпуклым
полумодуляром, в-выпуклым модуляром) в Ео
Доказательство. Свойства 1 и 2 доказываются как в лемме 1.
Для а > 0,р > 0,а5 = 1, где £ € (ОД], и
является s-псевдонормой в Е" и свойства 1) - 3) теоре-
Ро'
мы 1. А будут выполнены, если мы заменим на ||-||
Если ри ¡' = 1,71— я-выпукпые полумодуляры, то функционал ||-1|^ является 5-нормой в £^:(если я = 1,
то будем писать ||-||л = ||'||рд ).
Доказательство. Легко видеть, что множество
|е > 0: р{ <е,1= Т/п | не пусто для / Е Е£ и 0 < |/|< зо, к тому же |0|^о = 0- Условие сим-
♦
♦
метрии очевидно \-/\Ра = 1/1^ (или = |/|Ра
для всех Г € К)
Если р0 - полумодуляр И |/|рр = 0, то р1 ^^ < Е,
1 = 1/п для каждого £ > 0 и А £ Р; (^г) < ^, ( = 1/л, где 0 < г < 0 <£</?, и любого р > О Таким образом, р;(/?/) = 0 для любого > 0 и поэтому /= О ,1 = 1,71, а следовательно, / = 0. А теперь установим неравенство треугольника.
Пусть / е Е»д £ Ер, и > 0,
= \fi\pi +и,ь1 = Ы„ + 1М = ТЯ
Тогда р,- ^ < а, и р; ^^ < Следовательно,
п
Ьг 91
— <
. И, следовательно
+ I(Ук-гШт + ШДр, 0
Докажем свойство 2). Пусть < £ < 1, тогда
Рг (Д < ¡ = йи р^Ш = Р[ < Рг (*) < Е-Так как £ произвольно, получаем р,-(/) < |/|р. Пусть также + ^ < > 0,тогда:
IV Щ^У /'
п
Рг
Так как произвольно, то р0(/) < |/| Приведенные выше рассуждения переносятся и на
.—выпуклый псевдомодуляр. Покажем только, что для а >0:
Получим ' - V . * :-. - ^,
а значит, + д^ < Шр{ + так как« произ-
вольно. И, следовательно,
Пусть Ук У ПРИ ^ ~~1' 30 и 1А- -/и - 0,/, = .....£.....А"). Обозначив
с^ = у^ — у и и?ь = Д. — /, будем иметь с^. —> 0 и | —» 0 при & —+ =с. Возьмем и > 0, тогда получим
Р; (с^ —) -> 0 при к — Ж и Р: (с, 0 < 16 для достаточно больших к. Следовательно, |сь£|р. —> 0. Очевидно, что существует такое положительное с, что \Тк I < с Для всех к и |у| < с, а значит:
при к —» ЭО.
Для любого а < 0 рассуждения аналогичны. Пример 1.
Пусть £ = 1р[0Д],тогдар(/) = /^/ООГ^ есть
р-выпуклый модуляр в Е для 0 < р < 1 и выпуклый
модуляр для р = 1. Пример 2.
Пусть Е - множество действительных, измеримых,
конечных почти всюду на отрезке [ОД] функций. Пусть
: - четная, возрастающая, неотрицательная, непрерывная и выпуклая на положительной полуоси функция
такая, что <р(0) = 0 и = ж. Тогда функ-
ционал р(/) = /0 <р(/(л:))с/х - модуляр в Е, а множество/^) таких, что ^1 <р (/(*)) ¿¿л < зо, есть класс Орлича. Пример 3.
Пусть Е - пространство всех действительных (или комплекснозначных) функций, определенных на отрезке
[0,1] и равных 0 в т. С = 0.
Значение (возможно равное и х):
1ДО = зирп
к- 1
где р > 0 и зир берется по всем разбиениям П: 0 = t0 < < -■■<£„ = 1 отрезка [ОД], называется р-вариацией функции f Е Е. Очевидно, что р -вариация у есть модуляр в Е, и, более того, р-выпу-кпый для 0 < р < 1 и выпуклый для р — 1.
Определение 4. Пусть р,- псевдомодуляр в Ер.,1 = 1,71 Последовательность (/д.) элементов из называется модулярно сходящейся к/ Е ^(коротко, р-сходящейся к / £ если существует £Г; > О
такое, что р1 (а,^^ — -» 0 при А: -> д>,1 = 1,71.
Будем обозначать это следующим образом: Д. —
Теорема 2. Если р,-, I — 1,71 — £-выпуклые псевдо-модуляры,то функционалы
Pi
= inf
l+pfc^fd . / Л \\
-*-
являются s-псевдонормами в Ep., i' = 1,71, а функционал
является S-псевдонормой в Ер и для всех f £ Ер
ll/i Ир, — I ll/i II 1р,- — 2 И/ II i = !7П|
1
Po
Замечание 1. В случае s = 1 норма ||||pp =
е
р0 в Ер (при 71 = 1) называется
в Ер (при 71 = 1) называется нормой Люксембурга, а
норма I|ГII\р0 ~ нормой Амемия
1. Голубов Б.И. Абсолютная сходимость двойных рядов из коэффициентов Фурье - Хаара функций ограниченной р-вариа-ции // Известия вузов. Математика. 2012. № 6. С. 3-13.
2. Голубов Б.И. Сферический скачок функции и средние Бохнера - Рисса сопряженных кратных рядов и интегралов Фурье // Математические заметки. 2012. Т. 91. Вып. 4. С. 506-514.
3. Гусятников В.Н., Альтшулер Е.Ю., Нефедов И.С., Морозов Ю.А. Управление спектром фотонных мини-зон в слоистой структуре на основе GaAs // Известия Академии наук. Серия физическая. 2004. Т. 68. № 1. С. 131-133.
4. Гусятников В.Н., Нефедов И.С., Морозов Ю.А. Оптическая перестройка фотонной запрещенной зоны в классической полупроводниковой сверхрешетке при импульсном световом воздействии // Известия Академии наук. Серия физическая. 2001. Т. 65. № 2. С. 303-306.
5. Филиппов В.И. Системы сжатий и сдвигов одной функции в многомерных пространствах Еф // Вестник СГСЭУ. 2011. № 1 (35). С. 120-122.
6. Филиппов В.И. Системы функций, получающиеся сжатиями и сдвигами одной функции, в пространствах
= -' // Известия РАН. Серия математическая.
2001. № 65. С. 187-200.
7. Filippov V.I. Linear continuous functionals and representation of functions by series in the spaces Еф // Anal. Math. 2001. № 27. Р. 239-260.
8. Filippov V.I. On the completeness and other properties of some function systems in Lp, 0 < p < x // Journal Approx. Theory. 1998. № 94 (1). Р. 42-53.
9. Musielak J. Orlicz spaces and modular spaces, Lecture Notes in Math., 1034, Springer-Verlag, Berlin, 1983.
10. Nakano H. Topology and topological linear spaces. Tokyo, 1951.
