CC BY
17
УДК 330.4
вложение многомодулярных пространств
EMBEDDING OF MULTI-MODULAR SPACES
Филиппов Бадим Иванович
Filippov Vadim Ivanovich
доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики и информатики, Саратовский социально-экономический институт (филиал) РЭУ им. Г.В. Плеханова, Саратов
PhD (Physics and Mathematics), professor of the department of applied mathematics and IT, Saratov socio-economic institute (branch) of Plekhanov Russian University, Saratov
e-mail: [email protected]
В статье рассматривается вложение многомодулярных пространств. Получены теоремы вложения для определенного класса многомодулярных пространств.
Ключевые слова: модулярные пространства, многомодулярные пространства, обобщенные классы Орлича, обобщенные пространства Орлича.
The article considers embedding of multimodular spaces and presents imbedding theorems for a certain class of multimodular spaces.
Keywords: modular spaces, multimodular spaces, generalized Orlicz classes, generalized Orlicz spaces.
Рассмотрим вложение многомодулярных пространств, построенных из обобщенных пространств Орлича. Основы модулярных пространств отражены в монографии [13]. Заметим, что обобщенные пространства и классы Орлича, а также классы Lp являются частным случаем модулярных пространств. В работах [9-12] рассматриваются системы представления в некоторых конкретных модулярных пространствах.
В статьях [3; 4; 8] исследованы ряды Фурье и Фурье-Хаара в специальных модулярных пространствах.
Многомерные модулярные пространства могут быть использованы для получения новых результатов в исследованиях, проведенных в работах [1; 2; 5; 6].
Определение 1. Будем говорить, что функционал р: Е ^ [0, <») на действительном или комплексном векторном пространстве E называется псевдомодуляром, если для произвольных x и y, принадлежащих E, выполняются условия:
1) Р( 0) = 0;
2) в случае, когда E действительное, р(—х) = р(х). Если E комплексное, то для любого действительного t p{eltx) = р(х) ;
3) для а > 0 и /? > 0 и а + Р = 1 выполняется р(ах + fíy) < р(х) + р(у).
Пусть ЕI, г = 1,2,..., п, - действительные или комплексные векторные пространства. Рассмотрим множество Е0 , состоящее из элементов / = (Л, /2,-, , где /( Е £(< I = Пусть f, д Е Е%, Ь - поле скалеров. Введем в множестве Е0 сумму и умножение на скаляр покоординатно. Легко проверяется, что множество Е0 является линейным пространством.
Если Рь, I = 1,2,..., п псевдомодуляры (полу-
модуляры, модуляры [5]) в , I = 1,2,..., п, то
п
Ро(П = - У А ( /г), 0
п ¿—I
1=1
является псевдомодуляром (полумодуля-ром, модуляром) в Е0 .
Определение 2. Если Ро псевдомодуляр в Е0 , то
Е£ = [ГЕЕ%: 11ш р0 (Я/) = 0}
называется многомодулярным пространством.
Пусть Ро псевдомодуляр в Е0 . Тогда функционал
п
1/и, = £ >М!Н ¿=1
является ^-псевдонормой в Е„ .
Научно-практический журнал. ISSN 1995-5731
Определение 3. Предположим, что (Пр щ), 1 = 1, и - измеримое пространство, т. е. ^ - непустое множество, £ - (-алгебра подмножеств из П; и [1; - неотрицательная полная мера не эквивалентная нулю. Будем говорить, что действительная функция Фi, определенная на ^ X {[0,го)}, принадлежит классу В, если она удовлетворяет следующим условиям:
1) ф;(х,у) есть ф-функция от переменной V > 0 для каждого х 6 ^ , т. е. является неубывающей, такой непрерывной функцией, что Ф^х, 0) = 0, ф^х,у) > 0, для V > 0, ф^х,у) ^ от при V ^ <х> ;
2) ф^х,у) является ^-измеримой функцией от х для всех V > 0 .
Пусть Б; - множество всех действительнозначных (или комплекснозначных) £-измеримых и конечных Н^-почти всюду функций на П; сэквивалентностью [^-почтивсюду.
Очевидно, что ф^х, ^(х)) является £-из-меримой функцией от х для каждой ^(х) 6 Ei и р^А(х)) = ф^х,|^(х)|М^ является мо-дуляром в . Если ф;(х, V) s-выпуклая функция от V для всех х Е ^ , где 0 < 5 < 1, то pi является s-выпуклым модуляром в Е[.
Определение 4. Пусть ф! е В, 1 = Тп. Модулярное пространство Ер., Pi(fi(x)) = /п, ф^х, |^(х)|Ж, состоящее из множества всех тех ^(х) 6 Е;
для которых | ф^х, a|fi(x)|)dцi^ 0 при
а ^ +0 , назовем обобщенным пространством Орлича и будем обозначать при п=1 через Ф*(Ц П, Е, ц) (или коротко ф*(1)).
Модулярное пространство р0(Г(х)) = состоящее из множества всех тех Г(х) 6 Е", для которых
-ЕГ^/п Ф^с^СхШ^О,
II
при а -> +0 будем обозначать через ф„ (Ь, й, Т., ц) (или коротко
Определение 5. Пусть ф; е В, 1 = 1/п. Множество всех тех С; (х) е Е,, для которых /й. < назовем при п = 1 обоб-
щенным классом Орлича и будем обозначать Ф (Ц П, Е, ц) (или коротко <р(Ь)).
Множество всех тех Г(х) е Ед, для которых
дем обозначать через Ф„(Ь, П, Е, ц) (или коротко
Определение 6. Функция ^х) ь Е£ называется ограниченным элементом в ф„(Ц, если аГ(х) е фп(Ц для любого а > 0. Множество всех ограниченных элементов в ф„(Ь) обозначим через (при п = 1 обозначим через Еф).
Очевидно, что Е £ есть подпространство
Определение 7 [7, с. 259]. Пусть П не пустое множество и мера ^ задана на классе М множеств Е <= П. Множество А называется атомом для меры ^ или короче [1-атомом, если:
1) А е М;
2) [1СА) Ф 0;
3) А не имеет подмножеств, принадлежащих классу М и отличных от 0 и А.
Меру |1 называют непрерывно распределенной, если она не имеет атомов. Такова, например, мера Лебега. Меру ц называют непрерывно распределенной на множестве Е, если Е не содержит её атомов.
Меру ц называют атомистической, если она имеет атомы. Таковы меры Лебега-Стилтьеса. Меру ц называют чисто атомистической, если множество иЕеМЕ разложимо на атомы (т. е. может быть представлено в виде объединения атомов).
Определение 8. Пусть р; псевдомодуляр в 1 = 1,п. Последовательность (Щ элементов из Е" называется модулярно сходящейся к Г € Е" (коротко, р-сходящейся к Г е Ер), если
существует а, > 0 такое, что р; («¡(^ - 0 ) -»■ 0 при к -> оо, 1 = 1,п.
Теорема А [13, с. 45]. Пусть ф Е В, ф € В.
(A) Если ф и ф удовлетворяют условию:
(1) ф(х,у) < Мф(х,у) + §(х)
для всех V > 0 и ¡.1-почти всех х е П, где й(х) - неотрицательная интегрируемая функция на П и М-положительная константа, то фСЦсфа).
(B) Если ф (Ь) с ф(Х) и мера ц а-конечна и без атомов, то выполняется условие (1).
Теорема 1. Пусть ф; Е В, ф; Е В, 1 = 1, п.
(A) Если ф5 и ф; удовлетворяют условию:
(2) ф1(х,у) < М;ф;(х,т) + 8[(х)
для всех V > 0 и [.ц-почти всех х Е где gi(x) - неотрицательная интегрируемая функция на П; и М, положительная константа, то
Фпсю с ф„а).
(B) Если ФП(Ь) <= ф„(Ь) и мера ^ а-конечна и без атомов, то выполняется условие (2).
Доказательство. Из условий (2) и теоремы А следует, что <р;(Ь) (= = 1,п, а значит,
Ф„(Ц <= фп(Ь). Если же ФпСЦс ф„(10, то Ф;(Ь) с ф;(Ь),1 = 1,п, и из теоремы А следует, что выполняются условия (2).
Теорема В [13, с. 47]. Пусть ф Е В, ф е В.
(А) Если
(3) Ф(х,у) < М1ф(х, М2у) + §(х)
для всех V > 0 и [1-почти всех х Е П, где g(x) -неотрицательная интегрируемая функция на П и Мъ М2 - положительные константы, то ф*(Ъ) а ф*(Ь) иЕ^сЕф. Если ф локально интегрируема, то модулярная сходимость и схо-
Информационная безопасность регионов. 2017. № 2(27)
димость по ф-норме в ф* (1) сильнее, чем соответственно модулярная сходимость и сходимость по ф-норме в ф
(В) Если ф*(Ц с ф*(Ъ) и мера ц а-конечна и без атомов, то выполнено (з).
Теорема 2. Пусть ф1 £ В, € В, 1 = 1, п.
(A) Если
(4) ф;(х,у) < М'ф;(х,М'у) + &(х)
для всех V > 0 и р^-почти всех х Е П;, где g¡(x) - неотрицательная интегрируемая функция на П[ и М1, М2 - положительные константы, то <= ф„(Ь} и Е£ <= Е£.
Если ф;, 1 = 1,11 локально интегрируема, то модулярная сходимость и сходимость по ф-норме в ф„(Ь) сильнее, чем соответственно модулярная сходимость и сходимость по ф-норме в Ф„(Ц.
(B) Если ф„(Ц) <= фп(Ь) и мера щ а-конечна и без атомов, то выполнено (4).
Доказательство аналогично доказательству теоремы 1 с использованием теоремы В.
Теорема С [13, с. 53]. Если а-конечна и без атомов, ф Е В, ф локально интегрируема, то следующие условия взаимно эквивалентны:
(5) Ф(Ь) = ф* (Ц>;
(6) Е^фЧЦ);
(7) ф(х, 2у) < Мф(х,у) + g(x) (Д,-условие)
для всех V > 0 и почти всех х € О, где §(х) -
неотрицательная, интегрируемая функция на П и М - положительная константа;
(8) модулярная сходимость и сходимость по ф-норме эквивалентны в ф*(Ъ).
Теорема 3. Если а-конечна и без атомов, Ф; Е В, = 1,п локально интегрируема, то следующие условия взаимно эквивалентны:
(9) ФП(Ю = ф;(Ь); (ю) Е™ = Фп(Ь);
(и) ф;(х,2т} < М1ф^х,т) -^(х) (Д2-условие)
для всех V > 0 и почти всех х € где §[(х) -неотрицательная, интегрируемая функция на и М; - положительная константа;
(12) модулярная сходимость и сходимость по ф-норме эквивалентны в ф„(Ь).
Доказательство аналогично доказательству теоремы 1 с использованием теоремы С.
Теорема Б [13 с. 54~55]- Пусть ф Е В, ф £ В. Если мера ц а-конечна и без атомов, функции ф и ф локально интегрируемы, то следующие условия эквивалентны:
(13) существуют неотрицательные интегрируемые функции g1 (х), g2(x) на П и такие положительные константы М1,М2,М3,М4, что
< М1ф(х,М2у) + §2(х)
ц-почти всюду на П (то есть ф~ф).
(14) ф*(Ц = ф'(Ъ), модулярная сходимость в ф* (Ъ) эквивалентна модулярной сходимости в ф* (Ь) и сходимость по ф-норме в ф*(Ъ) эквивалентна сходимости по ф-норме в ф *(!/}.
Теорема 4. Пусть ф1 € В, ф; € В,1 = 1, п. Если мера а-конечна и без атомов, функции ф; и локально интегрируемы, то следующие условия эквивалентны:
(15) существуют неотрицательные интегрируемые функции g11(x), §2 (х) на и такие положительные константы М^,М2, М3, М4, что
М 3 ф| (х, М^у) — (х) < Ф;(Х,У) <
<М'ф;(х,М'у) + е'(х) -почти всюду на П1 (то есть ф; ~ ф1}, 1 = 1,п;
(16) Фп(Ц = Фп(Ц, модулярная сходимость в Фп(Ь) эквивалентна модулярной сходимости в фп(Ц и сходимость по ф-норме в ф^(Ц эквивалентна сходимости по ф-норме в
Доказательство аналогично доказательству теоремы 1 с использованием теоремы D.
Библиографический список (References)
1. Акимова С.А. Об определяемости упорядоченных автоматов полугруппами их входных сигналов // Известия Волгоградского государственного педагогического университета. 2005. № 4. С. 24-27.
Akimova S.A. (2005) Ob opredelyayemosti uporyadochennykh avtomatov polugruppami ikh vkhodnykh signalov [On the Definability of Ordered Automata by the Semigroups of their Input Signals] // Izvestiya Volgogradskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta. № 4. P. 24-27.
2. Безруков А.И., Погожильская Г.Г. Информационная технология совершенствования системы компьютерного тестирования // Информационная безопасность регионов. 2016. № 3 (24). С. 28-33.
Bezrukov A.I., Pogozhil'skaya G.G. (2016) Informatsionnaya tekhnologiya sovershenstvovaniya sistemy komp'yuternogo testirovaniya [Information Technology for Improving the System of Computer Testing] // Informatsionnaya bezopasnost' regionov. № 3 (24). P. 28-33.
3. Голубов Б.И. Абсолютная сходимость двойных рядов из коэффициентов Фурье-Хаара функций ограниченной p-вариации // Изв. вузов. Математика. 2012. № 6. С. 3-13.
Golubov B.I. (2012) Absolyutnaya skhodimost' dvoynykh ryadov iz koeffitsiyentov Fur'ye-Khaara funktsiy ogranichennoy p-variatsii [Absolute convergence of double series of Fourier-Haar coefficients of functions of bounded p-variation] // Izvestiya vuzov. Matematika. 2012. № 6. P. 3-13.
Научно-практический журнал. ISSN 1995-5731
4. Голубов Б.И. Сферический скачок функции и средние Бохнера-Рисса сопряженных кратных рядов и интегралов Фурье // Матем. заметки. 2012. Т. 91. № 4. С. 506-514.
Golubov B.I. (2012) Sfericheskiy skachok funktsii i sredniye Bokhnera-Rissa sopryazhennykh kratnykh ryadov i integralov Fur'ye [Spherical Jump of a Function and Bochner-Riesz Means of Conjugate Multiple Fourier Series and Integrals] // Matem. zametki. 2012. T. 91. № 4. P. 506-514.
5. Гусятников В.Н., Альтшулер Е.Ю., Нефедов И.С., Морозов Ю.А. Управление спектром фотонных минизон в слоистой структуре на основе GaAs // Известия Академии наук. Серия физическая. 2004. Т. 68. № 1. С. 131-133.
Gusyatnikov V.N., Altshuler Ye.Yu., Nefedov I.S., Morozov Yu.A. (2004) Upravleniye spektrom fotonnykh minizon v sloistoy strukture na osnove GaAs [Spectrum management of photonic minibands in a layered structure based on GaAs] // Izvestiya Akademii nauk. Seriya fizicheskaya. 2004. T. 68. № 1. P. 131-133.
6. Кублин И.М., Верещагина Л.С. О методологии формирования производственной программы промышленного предприятия // Вестник Саратовского государственного социально-экономического университета. 2010. № 5 (34).
Kublin I.M., Vereshchagina L.S. (2010) O metodologii formirovaniya proizvodstvennoy programmy promyshlennogo predpriyatiya [On the Methodology for Developing Production Programs at Industrial Enterprises] // Vestnik Saratovskogo gosudarstvennogo sotsial'no-ekonomicheskogo universiteta. № 5 (34).
7. Толстов Г.П. Мера и интеграл. М. : Наука. 1976.
Tolstov G.P. (1976) Mera i integral [Measure and Integral]. Moscow : Nauka.
8. Филиппов В.И. Об усилении результатов А.Н. Колмогорова о рядах Фурье и сопряженных функциях // Известия вузов. Математика. 2012. № 7. С. 21-34.
Filippov V.I. (2012) Ob usilenii rezul'tatov A.N. Kolmogorova o ryadakh Fur'ye i sopryazhennykh funktsiyakh [On the strengthening of the results of A.N. Kolmogorov on Fourier series and conjugate functions] // Izvestiya vuzov. Matematika. № 7. P. 21-34.
9. Филиппов В.И. Системы сжатий и сдвигов одной функции в многомерных пространствах Е^ / / Вестник СГСЭУ. 2011. № 1 (135). С. 120-122.
Filippov V.I. (2011) Sistemy szhatiy i sdvigov odnoy funktsii v nmogomernykh prostranstvakh [Systems of Compressions and Shifts of a Single Function in Multidimensional Spaces E^ ] // Vestnik SGSEU. № 1 (135). P. 120-122.
10. Филиппов В.И. Системы функций, получающиеся сжатиями и сдвигами одной функции, в пространствах Е^ limt_,ra = 0 // Изв. РАН. Сер. матем. 2001. Т. 65: 2 . С. 187-200.
Filippov V.I. (2001) Sistemy funktsiy, poluchayushchiyesya szhatiyami i sdvigami odnoy funktsii, v prostranstvakh Ef„ lim^,-,., = 0 [Systems of Functions Obtained by Compressions and Shifts of a Single Function in Spaces E,p limtH>tH = 0] // Izv. RAN. Ser. matem. T. 65: 2. P. 187-200.
11. Filippov V.I. (2001) Linear continuous functionals and representation of functions by series in the spaces E/fl // Anal. Math. V. 27: 4. P. 239-260.
12. Filippov V.I. (1998) On the completeness and other properties of some function systems inip,0<p<oo// Journal Approx. Theory. V. 94: 1. P. 42-53.
13. Musielak J. (1983) Orlicz spaces and modular spaces // Lecture Notes in Math. № 1034.
