CC BY
2
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
2024, Т. 166, кн. 2 С. 127-146
ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)
ОРИГИНАЛЬНАЯ СТАТЬЯ
УДК 517.589, 519.231
doi: 10.26907/2541-7746.2024.2.127-146
МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕЛЕЯ, РАЙСА, НАКАГАМИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕОРИИ СВЯЗИ
Ю.А. Брычков1, Н.В. Савищенко2
1 Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» Российской академии наук, г. Москва, 119333, Россия
2Военная академия связи им. С.М. Будённого, г. Санкт-Петербург, 194064, Россия
Представлена методика вычисления символьной и битовой вероятностей ошибок при когерентном разнесенном приеме многопозиционных сигнальных конструкций в канале связи с аддитивным белым гауссовским шумом (АБГШ) и общими замираниями, описываемыми многомерными распределениями Релея, Накагами и двумерным распределением Райса.
Ключевые слова: многомерное распределение Релея, многомерное распределение Накагами, двумерное распределение Райса, замирание, потенциальная помехоустойчивость, специальная функция, функция Оуэна
Одним из факторов, в значительной мере влияющих на принимаемый сигнал, является многолучевое его распространение. Основная идея борьбы с этим фактором заключается в применении метода разнесения, состоящем в организации нескольких независимых каналов (ветвей) разнесения. В системах с разнесенным приемом обеспечивается параллельная передача одной и той же информации по нескольким каналам: принимается Ь различных образцов сигнала, каждый из которых соответствует одному и тому же дискретному сообщению с одинаковыми информационными параметрами. В зависимости от характеристик среды распространения радиоволн в системах радиосвязи существует несколько методов построения ветвей разнесения, которые могут быть разбиты на следующие группы: пространственное, угловое, поляризационное, частотное и временное разнесения. Применяют также несколько методов комбинирования сигналов при разнесенном приеме, среди которых можно выделить три основных: оптимального сложения (оптимальность по критерию максимального отношения сигнал/шум), сложения с равными весами, автовыбора.
Ниже предложена методика анализа помехоустойчивости приема сигнальных конструкций в канале связи с общими замираниями Релея, Райса и Накагами. Представляет интерес анализ помехоустойчивости приема сигналов для коррелированных каналов (ветвей), что в большей степени может соответствовать реальной ситуации.
Аннотация
Введение
1. Разнесенный прием
Из всех методов разнесенного приема только прием на разнесенные антенны не приводит к потере мощности сигнала и реальной пропускной способности. Снижение скорости передачи информации (например, при разнесении во времени) эквивалентно потере мощности. Для корректного сравнения помехоустойчивости различных систем разнесенного приема необходимо учитывать эту потерю мощности.
Пусть величина yo есть среднее отношение энергии сигнала к эквивалентной спектральной плотности помехи, которое имело бы место, если бы то же передающее устройство использовалось для одиночного приема. В зависимости от вида разнесенного приема справедливо соотношение yl = Yo/Lk , к € [0, 2] [1].
Для любого I = 1, 2,..., L помеха ni (t) является аддитивным белым гауссов-ским шумом (АБГШ) с односторонней спектральной плотностью мощности шума No,i в каждой ветви с коэффициентом ai передачи I-го канала. Соответственно, в каждой из ветвей разнесения отношение сигнал/шум есть величина yi = Ei/No,i, I = 1, 2,...,L.
При использовании оптимального когерентного приема результирующее отношение сигнал/помеха равно сумме всех отношений в ветвях разнесения: ys =
L L
1е = 7 S ; гДе = ; ^ = 1,2, ...,L и 7 = 71. Предположим, что вет-
i=i 1=1 71
ви разнесения пронумерованы в порядке убывания интенсивности сигнала ¿2 =
i > ¿2 > ■ > ¿L.
Известно, что вероятность ошибки при оптимальном когерентном приеме двумерных многопозиционных сигналов в канале связи с детерминированными параметрами и АБГШ по правилу максимального правдоподобия равна алгебраической сумме T-функций Оуэна [1]
Ре/ьЫс) = ^2akT(y,2gk~fbc, т), (1)
к
где yЬс = ЕЬс /N0 - отношение средней энергии ЕЬс, затрачиваемой на передачу одного бита, к односторонней спектральной плотности мощности шума No и T (z, a) - интегральная функция Оуэна, определяемая как [1,2]
Анализ помехоустойчивости при разнесенном приеме и использовании метода оптимального сложения (Maximal ratio combining (MRC)) сводится к задаче вычисления математического ожидания вероятности ошибки (1) с учетом того, что коэффициенты передачи в каждой из ветвей разнесения являются случайными величинами и их совместная плотность распределения вероятности f (а) = f (ai,..., aL). В итоге задача вычисления символьной и битовой вероятностей сводится к вычислению [1, 2]
Е T(ag(a1,...,aL),ri) = J T (aVa PaT, r^ f (a) doc = (2)
= J J T[a,^jpia\ H-----hPbOpL,r]^f (ai,.. ., aL) д,ал .. . daL,
где параметр a2 = 2g определяется в зависимости от сигнальной конструкции;
а = (аь а2,..., аь), Р = \vu\i', Рке = - диагональная матрица; 5Ы
символ Кронекера; Еа2 - начальный момент второго порядка, к, I = 1,... ,Ь.
2. Релеевские замирания
Двумерная релеевская плотность распределения. Двумерная плотность распределения вероятностей для коррелированных релеевских замираний определяется как [3, (3.9)]
«1«2 ( 1 ( а\ а1\\ / р «1 «2
/ («ь а2) = 2 2 /1-2Т ехР -2\ + ~2 1-2-
а^ (1 - Р2) V 2(1 - Р2) Vа2// V1 - Р ^1^2
где р - коэффициент корреляции, 1и (г) - модифицированная функция Бесселя V-го порядка.
Математическое ожидание функции Оуэна имеет вид
/то то / / ^2 ^2 \
1 гП 1 гто гто / а2^ / ¿2 ¿2 \\
(3)
Внутренний интеграл можно представить в виде
/»ОО /» ОО
/(ЖН^22(1-Р2)Уо УО а1"2еХР
1 А 2 ^ 2 Ч 1
1 / , 1
— а
р (1 + х2) +
1 / 2 А , 24 , 1 ^ г! г Р
-Н1-Р2)/ 1
Р «1«2
9 9 , ¿«2 1 — р2 а2
г? . .. г:
получим
где р 1 = д^у 7, рг = • Использовав формулу [4, 3.2.8.5] при ^ = то = 1, п = О,
/•ТО рТО 2 2 1
/ / хуе~рх ~чу /0 (ажу) ¿хйу = -_р, <?, 4рд - а2 > 0.
./о Уо 4р9 — а2
Тогда интеграл I (х) после преобразований можно свести к виду
1
I (х)
1 + а2 (р1а2 + Р2а2) (1 + х2) + а4а2а2 (1 — р2)рр (1 + х2)2 где, учитывая, что Еа2 = 2а2, Еа2 = 2а2, определим новые коэффициенты
V = а2 (Р1а\ +Р2(т1) = ^ а2 + <522) 7 = (¿1 + <*а) 97, го = а4а2а2 (1 - р2)р1р2 = ± (1 - р2) аЧ\д272 = (1 - р2) 6262д272.
В итоге получим интеграл
1 П 1 1
ЕТ (ад («1, аг), ??) = тг- / -ч-~<1х. (4)
^ К ' ' 27Г Уд 1 + ж2 1 + г; (1 + ж2) + го (1 + ж2) ^
Использовав (4) для ЕТ (ад (0:1,0:2), п), можно показать, что математическое ожидание функции Оуэна выражается через Н-функцию:
(*ь • • •, Ьь ..., Ъп; а) = ^ ^ '„"^ ^ х
1
1+ х2 (1 + 62х2)Р1 ... (1 + б^х2)*
2п
" г2 1 + х2 ■ ехр I - _ ,0 п | (1х,
(5)
2=1
2 1 + б2 х2
где 0 < 6| < 1, к =1,...,п. Справедливо равенство
Н^.д (0,..., 0; 61,
Действительно,
.,Ьп; а) = -
1- 62
агс1ап а — Ь2п 1 агс1ап (аЬе) ТТд.=1 -ц-А-
„ - 62 — 62
2=1 61 6 2 J
(6)
1 + V (1 + х2) + ад (1 + х2)2 = (1 +
2
у-у/Т) (1 + ж2)) (1 +
2
V +
1 + х2
где В
1 „,2
— ги = ^ д272 [(¿2 — + 4р2323^] > 0. В результате после преобра-
(2)
зования знаменателя в (4) получим, что ЕТ (ад (01,02) , п) = Н 1 (0, 0; 61,62; п), где
'-ТТ^ТТ®' -ТТ^ТТЁ' +
Окончательно найдем, применив (6), что при использовании сдвоенного разнесенного приема и метода оптимального сложения в канале с релеевскими коррелированными замираниями математическое ожидание Т-функции Оуэна может быть вычислено на основе формулы
1
27Г
ЕТ (ад (01, 02), п) = Н1,1 (0,0; 61, 62; п) = ап^апгу — ^-— ^2) — (1 — ^1) агс!ап (62??)
где
62 = д^ (31,32,р)'у
1 1+дЩ<5ь<52,л)7' 62 = д^* ((51,(52, р)7
2 1 +
ВД^2,р) =
(¿1,52,Р) =
321+32-^321 - 32)2 +4рЧ2132
Так как ^(¿^¿2,р)П* (¿^¿2,р) = (1 — р2) ¿^, то коэффициент 62 можно представить также в виде
62 =
д (1 — р2) ¿2^7
ВД^2,р) + д (1 — р2) ¿2 ¿27'
При р =1 из (5) следует, что Н12) (0, 0; 61, 0; п) = (0; 61; п), что соответствует одиночному приему при релеевских замираниях для случая полностью коррелированных каналов.
/С1)
а
1
X
о
1
1
4
Многомерная релеевская плотность распределения. Известно [5], что многомерная релеевская плотность распределения при экспоненциальной корреляционной матрице имеет вид
«1 ...а^
/ («1, ..., аь) =
(1 - р2)Ь-1 а2ь
х
(7)
("2(1 (а1 + «ь + (1 + 92) Е ) П ((1_р2)а2 .
х ехр —
где р - коэффициент корреляции. Тогда (2) можно преобразовать к виду
рОО соо
ЕТ (ад («1,. .., аь) , п) =
(1 — р2)ь-1 а2^ о 7о
«1 ...аь х
(1 — р2) а2
о I Тл-—п а1а2 ) • • • 1о\т,-^-п <ЛЬ-1<Ль • • • (1аь.
(1 — р2) а2
хТ (а^рга1 Н-----Ьр^а^, ??^ /0
Рассмотрим интеграл
/ОО /-ОО У-
• • • J Х1Х2 .. . хпе-(ь1х1+ь2х22+ -+ьпх1)12т{а^р1х\ + • • • +
х /о (01x1x2) 1о (С2Х2Х3)... х 1о (сп-1Хп-1Хп) dxl ¿Х2 ... ¿Хп, (8)
а > 0, Ък > 0, к = 1,. .., п; ск > 0, к =1,...,п — 1.
Использовав определение функции Оуэна и изменив порядок интегрирования, получим, что
РпХп, п) х
1
I 1 , ,о / хпе ^ ^ ^ ^ 1о (сп_1Хп_1Хп) (1хп—\ х ]о 1+ ^ ./о
о 1+ ^ х
оо
л^О /»ТО
:/ ••• Х2 е-([ь2+а2Р2(1+^2)])х2/2/о (с2Х2 Х3) ¿Х2х
„/о 7 о
то
х / Х1в-([Ь1+а2Р1 (1+^2)])х2/2/о (С1Х1Х2) ¿Х1. о
Последовательно применим [4, 2.15.5.4]:
2
Аа I х е р /^ (СХ) ¿Х :
Jо
(с/2)
/о 2р(а+^)/2 Иер, Ие(а + V) > 0; с| < п; А^+2 =
1*1
а+1/ 2
(2р)
2
V +1
сV о
V+1
и после преобразований получим, что .1- — г 1
1
2^о 1+ |с + (1+ ¿2) Р|
(9)
где введены диагональная матрица Р и трехдиагональная С размерами п х п: (рх 0 ... 0 \ (Ъ1 с1 0 0 ... 0 \
Р = а2
0 р 2 . . . 0 0 0 . . . р п
С
с1 62 с2 0
0
(10)
^0 0 0 ... сп-1 Ъп/
1
хе (1/[(1-р2)СТ2])а?/2-(1/[(1-р2)СТ2])а|/2-((1+р2)/[(1-р2 )а2])«2/2-----((1+р2 )/[(1-р2)СТ2])а|_1/2
Г
Использовав свойства определителей, можно представить (9) в виде
J
1
1
1
1
2п |C + Р|Уо 1+12 1 |E - B| П
E + (C + P) —i Pt2
J
2n |C|
dt,
dt
1+12 |E + Bt2|
(11)
где В = (С + Р) 1Р. В таком виде (11) по структуре является обобщением Н-функции [1], поэтому
J
1
Щ
Hi (0; 0, B; n),
(12)
где введена новая специальная функция |E - B|p fn 1
Hp (z; b, B; n)
2n
1+12 |E + t2B|
1 (z 1 + bt2 . , -p exp( — |T7t i )dt, p > 0.
2 |E + t2B|
Ввиду того, что при таком определении Н-функции необходимо вычислять обратную матрицу (С + Р) 1, для практических расчетов может быть более удобным использовать (9).
Замечание 1. При определении Н-функции необходимо вычислять обратную матрицу. Например, В = (С + Р) 1 Р. Матрица, для которой нужно найти обратную матрицу, является трехдиагональной [6]. Рассмотрим трехдиагональную матрицу
(ai bi 0 ci a2 b2
A
Если A 1 = [aij ], то [7]
0 0
0 0 ... cn-2 an-i bn-i
\0 0 0 ... cn— i an J
(-1)i+j bi bi+i... bj—ifi—ifj+i/fn, i < j,
fi—i Vi+i /fn, i = j,
(-1)i+j Cj+iCj+2 . . . Cifj—HPi+i/fn, i > j,
где
fi = ai fi—i - bi—iCi—ifi—2, i = 1,... , n; f—i = 0, fo = 1; fi = ai^i+i - biCiifii+2, i = n - 1,..., 1; fn+i = 1, fn = ari.
С учетом того, что матрица Р является диагональной, итоговую матрицу B достаточно просто вычислить умножением каждого k-го столбца матрицы (C + P) i на pk, k = 1,..., n.
В итоге, возвращаясь к искомой задаче и использовав (12), получим
11
ET (ag (ai, ..., aL), n) =
(1 - p2)L—i a2L |C|
Hi (0; 0, B; n),
n
1
1
o
o
a
где В = (С + Р) Р и матрицы Р, С (с размерностями Ь х Ь) определены в (10). Учитывая, что для начальных моментов второго порядка Е02 = 2а2, I = 1,..., Ь, матрицу Р можно представить в виде
Р
2
а27
¿12
0
0 ¿22
0 0
00
2
а27
Д/
¿и
где Дь = diag (¿2,..., ¿/) -диагональная матрица, ¿2 = 71/71, I = 1,..., Ь; 7 = 71 и 71 - отношение сигнал/шум в I-й ветви.
Для трехдиагональной матрицы С, с учетом (7), (8), найдем элементы матрицы в виде 61 = Ъь = {1_1р2)а2 , Ъе = (1^р2)(72 , £ = 2,... ,Ь - 1; се = 1, . . . , Ь 1:
— _Е_ о —
1 р 0
р 1 + р2
С
(1 — р2) а2
р
0 0
0 0
р 1 + р2 р . . . р 1
(1 — р2) а2
С'
Нетрудно убедиться, использовав рекуррентную формулу для трехдиагональ-ной матрицы, что ёе! С' = 1 — р2. Из свойств определителей следует, что с1е! (АС') = Хь с1е! С', следовательно, с1е! С = ^1_р2у,-1а.2ь ■ Таким образом, ЕТ (ад (01,...,0/), п) = Н (0; 0, В; п), где
В = (С + Р)-1 Р = 57 (#7Дь + -—С' ) Дь.
1 — р2
В частности, при Ь = 2
В
ёе! С
1-Р2 ,
где
1
сМ С = ф2У72 + --? (¿1 + ¿22) 37 +
1 — р2
Р
1-р
2
Замечание 2. Рассмотрим матрицу В при Ь = 2. Пусть В = [6^ ], тогда |Е + В*2| 1+^2611
После преобразований получим
|Е + ВГ
¿2621 1 + 622
2 |В|
Ьп + Ь22 + у/(Ьц + Ь22)2 - 4|В|
¿2 + 1 х
2В
6ц + Ь22 - л/(&11 + &22)2 — 4 |В|
¿2 + 1 .
1
1
0
X
Кроме того, |Е — В| = 1 — (Ъ11 + Ъ22) + |В|. Таким образом, при Ь = 2 для произвольной матрицы В = (Ь11 Ь^) имеем Н1 (0; 0, В; п) = Н1д (0, 0; Ъ1; Ъ2; п), где
2 |В| ,2 2 |В|
ь2 =- , ' ' =, ъ2
1 Ьи + Ь22 + \/(ь11 + Ы2 -4|В|' 2 6ц + Ъ22 - у/{Ъи + Ь22)2 -4|В|' причем очевидно, что (1 — Ъ2) (1 — Ъ2) =1 — (Ъ11 + Ъ22) + |В| = |Е — В|.
3. Замирания Накагами Двумерная плотность распределения Накагами имеет вид
,, _А(ала2)т_^ /_а|а|_+_а|а|\ / 2^/ра1а2
{1-р)а14(а1а2^р)т-1Т{т)е^\ (1 ~ Р) 44 ) т^\(1~р)ала2
где «ь а2 > 0, а{ = , а^ = , то > ^ и р = ^ 2 у2 - коэффициент
2 Еа2 2 Еа2 ^ 1 с^(а2,а2)
т ^ — -1 п е — -<т > А тя — -1—±-±2-
д/Эа2 Эс
корреляции.
Вычислив (3) для распределения Накагами, после преобразований получим, что
ЕТ (ад («1, «2), п) = Н^>т (0,0; 61, 62; п) =
Г ^__1 .
2-к Уо 1 + ж2 (1 + Ъ\х2)т (1 + Щх2)т
где а2 = 2д и
Ъ2\_ {} + 52±^(1-52)2 + Ар52)д1
Ь2 ' 2т+ (г + б2 ±^(1- б2)2 + Ар62^д-/
Многомерная плотность распределения Накагами. Пусть задана корреляционная матрица размера Ь х Ь :
И = |1, если г = Л, , если г = Л,
где 0 < р^ < 1. Многомерное распределение Накагами имеет вид [8,9] (Е«к = 1, к = 1,...,Ь)
/ («Ь ...,аь)= 2т_1гы ехр(--— ) х
ь-1 2
х \рк,к+1Г('т^1) акехр^-Рк'^ак (\рк,к+1\акак+1)
к=1
где Р = И. 1 имеет трехдиагональный вид (р^- = 0, |г — Л| > 1):
Р
{р1,1 р1,2 0 ^ р1,2 р2,2 р2,3
рЬ-2,Ь-1 рЬ-1,Ь-1 рь-1,ь
0 рь-1,ь ррь,ь )
После преобразований получим
|P|m П 1 1
JL=ET{ag{a1,...,aL),Tl) = —Jo : + ж2 |р + (1 + ж2) нр dx =
1 |P|m f> 1 1
2п |P + И|^о 1+ x
E + (P + H)-1 Hx
■ dx,
о
2 s2
L
где матрица Н имеет диагональный вид: Н = а?7 ..., • Пусть В
(Р + Н)-1 Н. Тогда выражение для можно выразить через Н-функцию:
1 Г 11
Ль = Пт (0; 0, В; 77) = — |Е - В|т ^ 1 + ^ |Е + Вх2Г^
Для вычисления матрицы H необходимо определить начальные моменты второго порядка
/• то
Ea| = / а|/(«1,...,«^) dai . ..da_L, l =1,...,L.
о
Для определения начального момента второго порядка рассмотрим более общий интеграл
/•то
J = xl1 -1x22-1 ...хП"-1e-(a1x1+a2x2+-+a"x")/2/vi (61x1x2) ... о
. . ./^2 (62x2x3) . ../„„_! (6 1xn — 1xn) dx1 . . . dxn
Re > 0, k = 1,..., n; 6m > 0, m = 1,..., n — 1. Если использовать разложение в
1 ТО (z/2)2fc + v
ряд функции Бесселя 1и (z) = r(i/+i) ^ \\{v+1) и 2.2.1.12], получим
k=0 k
р ^ Sl+^l ^ р ^ 52+^1+^2 ^ р 1+^тг-2 + ^тг-1 ^ р ^ 5тг+^тг-1 ^
Г(1/1 + 1)Г(1/2 + 1)...Г(1/„_1 + 1)
2(si + - + S")/2-n ( 61 \ V1/2 ( 62 \V2/2 ( 6П_ 1 /2
1i/2 a22/2 . ..аП"/2\ a^/ \a2a3 J "\an-1a,
/«2 + ^1+^2 ^ Sn-l+t/n-2 + t/n-l \ An+l'n-l
i 2 ы 2 2 A„_,+fc„_A"
_ _ Дтг — 1 Т^тг — — 1 \ f ДтгТ^тг-
f^ 1 2 ^ 2 2 Л^+^-Л 2
' klM ^ + ^ + ^ • • • ("»-1 +^^
1 ( 61 \fc1 ( 62 V2 ( 1 4 fc"-1
.(ЛЛ (JL) ..{JL±-) \
\ \a1a2 J \а2аз/ Van-la"/
к1! к2!... к„_1! \ а^ / \а2аз/ \а„_1а.
Этот ряд может быть записан в виде обобщенной гипергеометрической функции Шриваставы и Доуста [11]. Полученный результат для J позволяет рассчитать как начальные моменты п-го порядка, так и, в частности, начальный момент второго порядка Е02 , I = 1,..., Ь.
m
X
X
Пусть ко = 0, кь = 0, тогда для начальных моментов Е«п, I = 1,...,Ь, справедливо соотношение
Еа^) = 2"/2Г(ГД!)-Щ-т,- £ (ш + к\)к х
7 Г (т) рт рт рт+п/2 рт ^ У 1 к»
у 7 р1,1р2,2 . . . р1,1 ...рЬ,Ьк1 ,к2,...,кь-1=о
(т+ f)fc _ +fc
х (т + Л2)к1 . ..-• • • (т + Ыкь_1+кь
_1_ ( \Pl,2\2 ^ ( 1р2,з|2 \к2 ( \рь-1,ь\2
к1! к2! ...кь-1^ р1,1р2,^ \р2,2рз,^У \рь-1,ь-1рь,ь
где I = 1,..., Ь и использовано тождество (а)п+к = (а)п (а + п)к .
Пусть Д^^'^'...^ — определитель матрицы порядка п — р, получающийся из матрицы Р отбрасыванием строк ¿1, ¿2,..., ¿р и столбцов Л, Л2,...,Лр. В частности, Д2 '3' . = р1 ,1, Д3 '4' . = р1 ,1р2 , 2 — |р1 ,2|2 . По определению положим
Д1'2'3'...,Ь = 1 .
Последовательно просуммировав по к1, к2,..., кь-1 и использовав [4, 5.2.13.16]
то , ) _
ж*1 = (1 — ж) ", |ж| < 1; х ^ 1 при г/ > 0, получим, что
fc=0
Г(ш) ^ V р1Д А1 J
bl Г (то) ^ J '
При l = 2,..., L - 1
Ea?(L)
■W2r(w+!) -n/2
Г (m)
1
1,1
2 д£-1,£,...,Ь
. ,2 Д1,2,...,1+1 n -n/2
|Pl,l+1| Д1 2 l 11 N
1,2,... ,1+1
д1,2,.
4. Двумерные райсовские замирания
Двумерная плотность распределения вероятностей для коррелированного райсовского закона. Пусть а1 = (ac1,as1), а2 = (ac2,as2) - гаус-совские случайные векторы, компонентами которых являются гауссовские случайные величины ac1, ac2, as1, «s2, в общем случае с ненулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями компонент вектора D ac(s),1 = с2, D ac(s),2 = с2 • Коррелированные случайные величины, представляющие собой нормы случайных '|ск111 = \Л*с1 + a2i, «2 = ||ct21| = Vас2 + as2 с математиче-Е«1 и m2 = Е«2, имеют ковариационную матрицу
[12] • В литературе известны два варианта записи двумерной
векторов «1
скими ожиданиями m1
2
CTj РСТ1СТ2 2
м = (
\ РСТ1 СТ2
плотности распределения вероятностей для коррелированного райсовского закона, но с разными характеристиками:
A. Если m-1 = m2 = m и с2 = с2 в общем случае, то [3, (3.13)]
f («1, «2)
«1«2
с2с2 (i - р2)
exp -
2(1 - p2)V с2 с
("1 , а2 2 с2 + с2 - 2рс1с2 V I — Н--о + то -^^- I
1 с2
1
х
2
СО
pa1a2 \ fm (1 — роч/ог) \ /m (1 — рог/оч)
fc=0 v v где a1, a2 > 0 и ео = 1, £fc = 2, k > 0. B. Если о2 = о2 = о2 и m-1 = m-2 в общем случае, то [13]
a1a2 f a2 + a2 + m2 + m2 — 2m1m2p\
7 (ai' = 04(1,^2) eXP {---J X
f pa1a2 \ / m1 — pm2 \ / m2 — pm1
где a1, a2 > 0 и ео = 1, е^ = 2, k > 0.
В результате обобщения этих результатов получим, что двумерная плотность распределения вероятностей Райса с произвольными математическими ожиданиями и дисперсиями может быть представлена в виде
то
/ (a1, a2) = Oe-xa1a2e-(ß1a1+ß2a2)/^ efc/fc (Aa1a2) 4 (0№) 4 (^2), (13)
fc=0
где е0 = 1, ek = 2, k> 0 и
1 1 m12 m22 m1 m2 1
д 1 A |p| ß wi - \p\^m2 w2 - mi
№ (l-^W (1"P2)<W 1 (1"P2K ' "2 (1-P2)a2 '
(14)
Отметим некоторые свойства коэффициентов, введенных в (14):
П = ßiß2 ~ А2, Q = (l-p2)Ä/32, x=W1'1+W2'2,
ß1m1 — 01 = Am2, ß2m2 — 02 = Am1, ß201 + A02 = m^, ß102 + A01 = m^O.
Справедливость выполнения приведенных выше тождеств может быть легко установлена непосредственной подстановкой коэффициентов.
Для плотности распределения вероятностей Райса при выборе коэффициентов, определяемых (14), выполняются условия нормировки и согласованности:
ТО /• то
/ (a1, a2) da1 da2 = 1,
./0 ./0
/ («i) = Г / (ai> a2) = ^ аЛ ,
/ (a2) = Г / (ai, a2) dai = ^
.In O2 V O2 /
где / (02), к =1, 2, - одномерная плотность распределения Райса. Если р = 0, то двумерная плотность распределения Райса (13), с учетом (14), примет следующий вид
/ («ь «2) = (^1) (1^) =/ Ы / (а2) .
4.1. Метод оптимального сложения. При сдвоенном приеме и коррелированных райсовских замираниях в каналах связи математическое ожидание определяется формулой (3). Рассмотрим интеграл
Т = У J Т^а,^р\х\ + р2х^, (ЖЪ х2) (1x2, я > 0; р\, Р2 > 0, (15) где д (ж1,ж2) имеет вид (13):
то
д (Х1, Х2) = Ж1Ж2в-(Ь1х1+Ь2х2)/^£к4 (ЛЖ1Ж2) 1к (01X1) 4 (02X2),
к=о
и ео = 1, £к = 2, к > 1. Использовав определение функции Оуэна и изменив порядок интегрирования, получим
1 1 С то то
J=7^J ] У е-а2(1+г2^х*+Р^/2д(х1,х2)(1х1(1х2Л =
1 СП А+ то Г то
= Т ТТ¥^£Ч (в2Х2) (1х2 х
п 3о + к=о
р то
х / Х1 е-(а2р1(1+^2)+Ь1)х2/2/к (ЛХ1Х2) 1к (01X1) ¿X!. о
Для вычисления внутреннего интеграла применим интеграл [4, 2.15.20.8]:
¡■то 1 / ъс \
/ хе~рх2(Ъх)1„ (сх) (1х = —е(ь2+с2)/(4^/1У — ), Яер > 0, Иег/ > -1. о 2р 2р
Тогда
7 = _!_ Г —__1_ 02/[2(а2Р1(1+«2) + Ь1)] х
27Г Уд 1+^а2Р1(1+^) + Ь1
то
Х / Х2е-[(а2Р2(1+«2) + Ь2)-А2/(а2Р1 (1+42)+Ь1)]х2/2 х
■ 'о
то ( Л01 \
к= \а2р1(1+ ^2)+ Ъ1 /
то
Поскольку 1о (ад + г) = ^ ек/к (ад) 1к (г) в силу формулы [14, 2.4.1],
к=о
Т=— Г —__I_ 02/[2(а2р1(1+42) + Ь1)]
27г Уд 1+^а2р1(1+^) + Ь1
X Гх2е-[(^2(1+^)+Ь2)-А2/(а2Р1(1+42) + Ь1)]^/2/о (( Хв\ - + 0^ <1Х2Л.
.]о \\а2р1(1+ ¿2) + Ъ1 У )
Этот интеграл известен [4, 2.15.5.4]:
{•то 1
/ хе-рх210 (сх) (1х=— ес2/(-4р\ Яер > 0. о 2р
Таким образом,
1 Г 1
2п Уо 1+ ¿2 а2р1(1+ ¿2) + 61 ^^ А2
(а2р2(1 + ^ ) + 02) -
а
2 р1(1+ ¿2)+ 61
х ехр и^Лты,)х (16)
(1 ( А01 4 2
хехрии2Р1(1 + *2) + б1+'7 -а5- )*"
(а2рг(1 + Ь2)--2—¡ТТТгТТТГ
а2р1(1 + ¿2) + 61
Исходя из симметрии / (^1,^2) относительно индексов, можно использовать альтернативное представление (16), получаемое соответствующей заменой индексов 1 ^ 2, 2 ^ 1. Пусть
Р1 а _ /^61 А
Р=«|0 л=^ д• *=<в2.».).
тогда после вычисления (16) получим
1_ г __1 / е\
~ 27Г Уд |А + (1 + ¿2) Р| еХР^2(а2Р1(1+^) + б1) +
1 ( А01 4 2
+ 2 {^М1Т¥)Ть'1+в2 -А2-
(а2-Р2(1 + Ъ2)--2—¡ТХТгТХТГ
а2р1(1 + ¿2) + 61
После алгебраических преобразований аргумента экспоненциальной функции найдем
1 П 1 1
•/=2^Уо |А+(1+^)Р| Х (17)
(1 02 (62 + а2р2) + 02 (61 + а2р1) + 2А0102 + а2 (02р + 0^1) ¿2 \ ,
х ехри-|л+(1+р|-г
__1 (г 1 + ^2 \
2-к |Л| Л 1 + |Е + ¿2В| \2 |Е + ¿2В| /
где |Л| = 6162 — А2,
__а2 (0^2 +02Р1)_ _ 0? (б2 + а2р2) + 02 (61 + а2^) + 2А0Х02
02 (62 + а2р2) + 02 (61 + а2р!) + 2А0102 ' (61 + а2^) (62 + а2р2) — А2
введена матрица В = (Л + Р)-1 Р. Тогда J = |Л|-1 Н1 (г; 6, В; п). Так как
0 (Р + Л) 0Т = 02 (62 + а2р2) + 02 (61 + а2р1) + 2А0102, 0Р0Т = а2 (02^2 + 0|р±) ,
1
1
х
то можно использовать представление, аналогичное представлению (17):
J=± Г ^__1__+
Уд |Л + (1 + *2)Р| ехр^2 |Л+(1+*2)Р| УЯ
1 |Е — В| П 1 1 /16>РВ 1 (Е + *2В) вт\
~ 27Г |Л| Уд |Е + ^2В| ехр^2 |РВ-1||Е + *2В| )
Целесообразно ввести специальную функцию
, 1Е-В1 р Г 1 1 (1 аЪ (Е + ¿2В) ат \ , ч
где р > 0; В, Ъ - матрицы размера п х п, а а = (а1, а2,..., ап) - вектор-строка. В этом случае
7=ш Н1 В;") = Ш Н1 В;")' в=(Л+ р)"р
Специальная функция (18) может быть полезна для систематизации расчета вероятностей ошибки при разнесенном приеме в каналах связи с замираниями, описываемыми многомерными распределениями Релея, Накагами и двумерным распределением Райса.
5. Приложение
Ограничимся рассмотрением райсовских замираний при сдвоенном приеме.
Введем коэффициенты, характеризующие глубину райсовских замираний в каж-
2 2
дом канале: = , 2 = • Каждый из этих коэффициентов представ-
ляет собой отношение мощности т^)/2 регулярной составляющей к дисперсии <г2(2) флуктуирующей составляющей коэффициента передачи «1(2) соответствующего канала (ветви) с райсовскими замираниями. Если К^с2(2) = 0, то для одного или обоих некоррелированных каналов получим каналы с релеевскими замираниями. При Кпс2(2) ^ в соответствующей ветви разнесения или в обеих ветвях придем к каналам без замираний. Кроме этого, введем коэффициенты, характеризующие соотношения между дисперсиями и математическими ожиданиями: ц2 = 0"2/о"2 , г = т1/т2 . Коэффициенты ц2 и г характеризуют асимметрию ветвей (каналов) соответственно по дисперсиям и математическим ожиданиям. Без ограничения общности можно положить, что 0 < ц2 < 1.
При проведении численных расчетов для удобства зададим: коэффициент корреляции р, глубину замираний в каждой ветви К^^ и К^^, а также , и соотношение между дисперсиями - величину ц. Соотношение между математическими ожиданиями имеет вид г = </ ^^ . Отметим, что в (15) Ъ\ = ¡3\, = /?2,
5\ 1 5\ 1 ¿2
~ Еа2 7 ~ 2а2 + 1 7' ~ Еа2 7 ~ 2а2 Щ1С2 + 1 7' 2К\СЛ 1 - РКкс2/Ктгс1 д 2^С2 1 - рКка/Кксз
VI —--:-2-' ~~--1-2-'
т1 1 — р2 т2 1 — р2
и параметры распределения (13) определены в (14). Пусть
Kici + КПС2 — 4 И KRCД,1ККСЛ,2
X :
1 - р2
1
0 А А_ 1 ( I |p\q
Bfc = 2gfcy (Л + 2gfc7 P')-1 P', Pfc = 2gfcYP', k =1, 2,... .
Приведем примеры расчета средней битовой вероятности ошибки при сдвоенном разнесенном приеме многопозиционных сигналов ФМ и КАМ в канале связи с коррелированными райсовскими замираниями и АБГШ. С учетом использования только двух ветвей разнесения L = 2 положим y = Ybm/2К или y = Ybc/2К.
ФМ- M. Применив формулу для средней вероятности ошибки в канале с АБГШ [1] и приведенные выше результаты, получим, что средняя вероятность битовой ошибки для сигналов ФМ- M, M = 2K, при сдвоенном приеме в канале с райсовскими замираниями может быть представлена в виде
( Л + 2gfSKy Pj
где g¡SK = log2 M7bm sin2 ßi^ , ^ = 1,..., M/4; 7m = Em/N0 = KEbm/N0 - отношение максимальной энергии сигнала Em к односторонней спектральной плотности мощности шума No для всех j = 1,..., M/4, M > 8;
K — 2 K —3
м j М ^ ''i-1 ~ М
i=1 i=0
где [x] - целая часть числа x, 1 - элементы матрицы Уолша Hp (К — 2), упорядоченной по Пэли [15, 14.4].
На рис. 1 представлены результаты расчета средней вероятности ошибки Pb (Ybm), Ybm = Ym/K, сдвоенного приема сигналов ФМ-8 в канале без замираний и с коррелированными райсовскими замираниями для статистически однородных каналов при глубине замираний = К^^ = К^^ ~ 3 дБ.
КАМ- M. Средняя вероятность битовой ошибки в К-битовом блоке, К = log2 M , при сдвоенном разнесенном приеме в канале с райсовскими замираниями определяется соотношением
2
Рь(7) = ^е-* ]Г aai-хПх j=1
Ü^1 /Л + 2<£^7Р
2j-1 ^ 2j-1
Л + 2jf Y P2j-1
; в, B2j-1;
где g^jtf = 3(22(м-i)g > У = • • • > VM- 1; 7bc = £с/ (Noif) и - средняя энергия сигналов, используемых в КАМ-М, а коэффициенты a2j-i, j = 1,..., \[М — 1, приведены в [1].
На рис. 2, 3 представлены результаты расчета средней вероятности ошибки Pb (Ybc) сдвоенного приема сигналов КАМ-16 в канале без замираний и с коррелированными райсовскими замираниями для статистически однородных каналов при глубине замираний = K^^ = K^^ ~ 3 дБ.
Рис. 1. Графики вероятностей ошибки ФМ-8 Рь (7Ьт) при сдвоенном коррелированном приеме и райсовских замираниях
Рис. 2. Графики вероятности ошибки КАМ-16 Рь (~уьс) при сдвоенном коррелированном приеме при релеевских и райсовских замираниях
Рис. 3. Графики вероятности ошибки КАМ-16 Рь (7Ьс) при сдвоенном коррелированном приеме при релеевских и райсовских замираниях
Заключение
Проведен анализ помехоустойчивости при разнесенном приеме многопозиционных сигнальных конструкций и использовании метода оптимального сложения для каналов связи с коррелированными в ветвях разнесения замираниями. В качестве законов, описывающих замирания сигналов, рассмотрены многомерные плотности распределения вероятности Релея, Накагами и двумерный закон Райса. Вычисление вероятности ошибки при разнесенном приеме двумерных многопозиционных сигнальных конструкций для исследуемых законов распределений сведено к применению новой специальной функции. Приведены примеры расчета вероятностей ошибок, корректные во всем диапазоне изменения отношения сигнал/шум, при сдвоенном коррелированном приеме и райсовских замираний для многопозиционных сигналов ФМ- M и КАМ- M. Реальные каналы связи описываются в общем случае более сложными, чем Релей и Накагами, законами распределения. Дальнейшим направлением исследований является получение аналитических соотношений для многомерных распределений Райса и определение соответствующих вероятностей ошибок приема сигнальных конструкций.
Конфликт интересов. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Список литературы
1. Savischenko N. V. Special Integral Functions Used in Wireless Communications Theory. Singapore: World Sci., 2014. 640 p. https://doi.org/10.1142/9168.
2. Brychkov Yu.A., Savischenko N.V. Hypergeometric functions of several variables and evaluation of error probability in fading multichannel system // Lobachevskii J. Math. 2021. V. 42, No 1. P. 70-83. https://doi.org/10.1134/S1995080221010108.
3. Simon M.K. Probability Distributions Involving Gaussian Random Variables: A Handbook for Engineers and Scientists. Ser.: The Springer International Series in Engineering and Computer Science. New York, NY: Springer, 2006. xxiv, 200 p. https://doi.org/10.1007/978-0-387-47694-0.
4. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Т. 2. Специальные функции. 2-е изд., испр. М.: Физматлит, 2003. 664 с.
5. Mallik R.K. On multivariate Rayleigh and exponential distributions // IEEE Trans. Inf. Theory. 2003. V. 49, No 6. P. 1499-1515. https://doi.org/10.1109/TIT.2003.811910.
6. Ильин В.П., Кузнецов Ю.И. Трёхдиагональные матрицы и их приложения. М.: Наука, 1985. 208 c.
7. Usmani R.A. Inversion of a tridiagonal Jacobi matrix // Linear Algebra Its Appl. 1994. V. 212-213. P. 413-414. https://doi.org/10.1016/0024-3795(94)90414-6.
8. Blumenson L.E., Miller K.S. Properties of generalized Rayleigh distributions // Ann. Math. Stat. 1963. V. 34, No 3. P. 903-910. https://doi.org/10.1214/aoms/1177704013.
9. Karagiannidis G.K., Zogas D.A., Kotsopoulos S.A. An efficient approach to multivariate Nakagami- m distribution using Green's matrix approximation // IEEE Trans. Wireless Commun. 2003. V. 2, No 5. P. 883-889. https://doi.org/10.1109/TWC.2003.816792.
10. Brychkov Yu.A., Marichev O.I., Savischenko N. V. Handbook of Mellin Transforms. Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC, 2018. 607 p. https://doi.org/10.1201/9780429434259.
11. Srivastava H.M., Karlsson P. W. Multiple Gaussian Hypergeometric Series. Ellis Horwood Ser. in Mathematics and Its Applications: Statistics and Operational Research. Chichester: Ellis Horwood Ltd.; New York, NY: Halsted Press, 1985. 425 p.
12. Simon M.K., Alouini M.-S. Digital Communications over Fading Channels: A Unified Approach to Performance Analysis. 2nd ed. New York, NY: Wiley, 2005. 936 p. https://doi.org/10.1002/0471715220.
13. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Радио и связь, 1989. 656 с.
14. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Ч. 1. М.: Изд-во иностр. лит., 1949. 799 с.
15. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. 5-е изд., испр. и доп. М.: Дрофа, 2006. 719 с.
Поступила в редакцию 5.04.2024 Принята к публикации 15.05.2024
Брычков Юрий Александрович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник
Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» Российской академии наук
ул. Вавилова, д. 40, г. Москва, 119333, Россия E-mail: yua@rambler.ru Савищенко Николай Васильевич, доктор технических наук, профессор кафедры общепрофессиональных дисциплин
Военная академия связи им. С.М. Будённого
Тихорецкий просп., д. 3, г. Санкт-Петербург, 194064, Россия E-mail: snikaspb@mail.ru
ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online) UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI (Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)
2024, vol. 166, no. 2, pp. 127-146
ORIGINAL ARTICLE
doi: 10.26907/2541-7746.2024.2.127-146
Multivariate Rayleigh, Rice, and Nakagami Distributions and Their Applications
in Communication Theory
Yu.A. Brychkova*, N. V. Savischenkob**
aFederal Research Center "Computer .Science and Control", Russian Academy of Sciences, Moscow, 119333 Russia bMilitary Telecommunications Academy, St. Petersburg, 194064 Russia E-mail: *yua@rambler.ru, **snikaspb@mail.ru
Received April 5, 2024; Accepted May 15, 2024 Abstract
A method was developed to calculate the symbol and bit error probabilities for coherent diversity reception of multi-position signal structures in a communication channel with additive white Gaussian noise (AWGN) and general fading described by the multivariate Rayleigh and Nakagami distributions, as well as the bivariate Rice distribution.
Keywords: multivariate Rayleigh distribution, multivariate Nakagami distribution,
bivariate Rice distribution, fading, potential noise immunity, special function, Owen function
Conflicts of Interest. The authors declare no conflicts of interest.
Figure Captions
Fig. 1. PM-8 error probability graphs Pb (7bm) at dual correlated reception and Rice fading.
Fig. 2. QAM-16 error probability graphs Pb (7bc) at dual correlated reception and Rayleigh
and Rice fading.
Fig. 3. QAM-16 error probability graphs Pb (Ybc) at dual correlated reception and Rayleigh
and Rice fading.
References
1. Savischenko N.V. Special Integral Functions Used in Wireless Communications Theory. Singapore, World Sci., 2014. 640 p. https://doi.org/10.1142/9168.
2. Brychkov Yu.A., Savischenko N.V. Hypergeometric functions of several variables and evaluation of error probability in fading multichannel system. Lobachevskii J. Math., 2021, vol. 42, no. 1, pp. 70-83. https://doi.org/10.1134/S1995080221010108.
3. Simon M.K. Probability Distributions Involving Gaussian Random Variables: A Handbook for Engineers and Scientists. Ser.: The Springer International Series in Engineering and Computer Science. New York, NY, Springer, 2006. xxiv, 200 p. https://doi.org/10.1007/978-0-387-47694-0.
4. Prudnikov A.P., Brychkov Yu.A., Marichev O.I. Integraly i ryady [Integrals and Series]. Vol. 2: Special functions. 2nd ed., rev. Moscow, Fizmatlit, 2003. 664 p. (In Russian)
5. Mallik R.K. On multivariate Rayleigh and exponential distributions. IEEE Trans. Inf. Theory, 2003, vol. 49, no. 6, pp. 1499-1515. https://doi.org/10.1109/TIT.2003.811910.
6. Il'in V.P., Kuznetsov Yu.I. Trekhdiagonal'nye matritsy i ikh prilozheniya [Tridiagonal Matrices and Their Applications]. Moscow, Nauka, 1985. 208 p. (In Russian)
7. Usmani R.A. Inversion of a tridiagonal Jacobi matrix. Linear Algebra Its Appl., 1994, vols. 212-213, pp. 413-414. https://doi.org/10.1016/0024-3795(94)90414-6.
8. Blumenson L.E., Miller K.S. Properties of generalized Rayleigh distributions. Ann. Math. Stat., 1963, vol. 34, no. 3, pp. 903-910. https://doi.org/10.1214/aoms/1177704013.
9. Karagiannidis G.K., Zogas D.A., Kotsopoulos S.A. An efficient approach to multivariate Nakagami- m distribution using Green's matrix approximation. IEEE Trans. Wireless Commun., 2003, vol. 2, no. 5, pp. 883-889. https://doi.org/10.1109/TWC.2003.816792.
10. Brychkov Yu.A., Marichev O.I., Savischenko N.V. Handbook of Mellin Transforms. Ser.: Advances in Applied Mathematics. Boca Raton, FL, Chapman & Hall/CRC, 2018. 607 p. https://doi.org/10.1201/9780429434259.
11. Srivastava H.M., Karlsson P.W. Multiple Gaussian Hypergeometric Series. Ellis Horwood Ser. in Mathematics and Its Applications: Statistics and Operational Research. Chichester, Ellis Horwood Ltd.; New York, NY, Halsted Press, 1985. 425 p.
12. Simon M.K., Alouini M.-S. Digital Communications over Fading Channels: A Unified Approach to Performance Analysis. 2nd ed. New York, NY, Wiley, 2005. 936 p. https://doi.org/10.1002/0471715220.
13. Levin B.R. Teoreticheskie osnovy statisticheskoi radiotekhniki [Theoretical Basics of Statistical Radio Engineering]. 3rd ed., rev. and enl. Moscow, Radio Svyaz', 1989. 656 p. (In Russian)
14. Watson G.N. Teoriya besselevykh funktsii [A Treatise on the Theory of Bessel Functions]. Pt. 1. Moscow, Izd. Inostr. Lit., 1949. 799 p. (In Russian)
15. Gonorovskii I.S. Radiotekhnicheskie tsepi i signaly [Radio Circuits and Signals]. 5th ed., rev. and enl. Moscow, Drofa, 2006. 719 p. (In Russian)
Для цитирования: Брычков Ю.А., Савищенко Н.В. Многомерные распределения / Релея, Райса, Накагами и их применение в теории связи // Учен. зап. Казан. ун-та. \ Сер. Физ.-матем. науки. 2024. Т. 166, кн. 2. С. 127-146. URL: https//doi.org/10.26907/2541-7746.2024.2.127-146.
For citation: Brychkov Yu.A., Savischenko N.V. Multivariate Rayleigh, Rice, and / Nakagami distributions and their applications in communication theory. Uchenye Zapiski \ Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2024, vol. 166, no. 2, pp. 127-146. URL: https//doi.org/10.26907/2541-7746.2024.2.127-146. (In Russian)
