CC BY
15
НАУКОЕМКИЕ ТЕХНОЛОГИИ В КОСМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ ЗЕМЛИ, Т 13 № 1-2021 РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ
¿С1: 10.36724/2409-5419-2021-13-1-18-23
ДВУХЛУЧЕВАЯ МОДЕЛЬ С ДИФФУЗНЫМ ЗАМИРАНИЕМ МОЩНОСТИ СИГНАЛА
САВИЩЕНКО Николай Васильевич1
ДЫРИН
Владимир Иванович2
МАКАРЕНКО Владимир Петрович3
Сведения об авторах:
д.т.н., профессор, профессор Военной академии связи имени С.М. Буденного, г. Санкт-Петербург, Россия, snlkaspb@mall.ru
2преподаватель Военной академии связи имени С.М. Буденного, г. Санкт-Петербург, Россия, dvlumet@yandex.ru
3преподаватель Военной академии связи имени С.М. Буденного, г. Санкт-Петербург, Россия, nsdlv@mall.ru
АННОТАЦИЯ
Одной из основных задач математической теории связи является определение наиболее существенных характеристик системы передачи информации. Одним из важных количественных показателей системы является вероятность ошибочного приема в различных каналах связи. Особый класс каналов связи представляют каналы, в которых рассматриваются замирания сигналов. Для математического описания замираний используется, в частности, плотность распределения вероятностей. Многообразие различных распределений, встречающихся в научной литературе, связано как с предположениями, используемыми для обоснования распределения, так и их соответствию физическим свойствам каналов. В статье рассмотрена двухлучевая модель с диффузным замиранием мощности сигнала (ТШРР-модель) и сформулирована математическая постановка задачи расчета помехоустойчивости для канала связи с аддитивным белым гауссовским шумом и замираниями, описываемыми в рамках данной модели. Показано, что Т^РР-модель, используемая для описания замираний, включает в себя не только классические релеевские и райсовские замирания, но и охватывает класс двумодальных распределений, характерных для некоторых современных беспроводных каналов связи. Показано, что при определенных параметрах распределения возникает две моды, появление которых теоретически было возможно при использовании для описания замираний четырехпараметрического распределения. Для решения задачи расчета помехоустойчивости в канале с замираниями необходимо изучение вероятностных характеристик распределения, что требует, в свою очередь, привлечения теории специальных функций и, в частности, гипергеометрических функций. Показано, что математическое представление функции распределения возможно в двух вариантах: интегральное представление и представление через гипергеометрическую функцию Лауричелла. Получены соотношения для начальных моментов рассмотренного в статье распределения. Показано, что начальные моменты выражаются через гипергеометрическую функцию Гаусса. В основе решения задачи помехоустойчивости лежит представление вероятности символьной (битовой) ошибки для многопозиционных сигнальных конструкций в канале связи с аддитивным белым гауссовским шумом через специальную функцию Оуэна, что позволяет получить общее решение задачи. Представлена аналитическая формулировка частичной задачи, решение которой является основой для решения общей задачи расчета помехоустойчивости в канале связи с замираниями, описываемыми ТШРР-моделью.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: замирания; помехоустойчивость; плотность распределения
вероятности; многолучевая модель.
Для цитирования: Савищенко Н.В., Дырин В.И., Макаренко В.П. Двухлучевая модель с диффузным замиранием мощности сигнала // Наукоемкие технологии в космических исследованиях Земли. 2021. Т. 13. № 1. С. 18-23. ¿с1: 10.36724/2409-5419-2021-13-1-18-23
Введение
Освоение Арктики предъявляет особые требования к проектируемым образцам техники связи. Созданная для Арктики и функционирующая до 2003 года линия УКВ диапазона на тропосферных станциях, в настоящее время снята с эксплуатации, а существующая система спутниковой связи не удовлетворяет требованиям по пропускной способности и устойчивости.
От выбранной концепции, на этапе исследования и разработки изделия, принятых конструкторских решений, соответствия тактико-техническому заданию (ТТЗ), выбора элементной базы, при выполнении опытно-конструкторской работы (ОКР) будет зависеть гарантируемая надежность связи в полярных районах, с высокой вероятностью возникновения в высоких широтах природных физических явлений (ионосферных и магнитных бурь), нарушающих работу электронных и радиоустройств. Случайный и временный характер изменения уровня принимаемого сигнала при обеспечении радиосвязи ионосферными волнами происходит из-за замирания сигналов. Основной причиной замираний является интерференция двух лучей приходящих к месту приема, фаза которых непрерывно меняется из-за изменения плотности слоев ионосферы.
Многолучевое распространение радиоволн связано с различным числом отражений лучей от ионосферы и от Земли, в точке приема, а так же диффузного отражения волн и двойного лучепреломления из-за магнитного поля Земли.
Для обеспечения достоверности и помехозащищенности информационного сигнала, при реализации, на этапе планировании и разработки процессов, необходимо особое внимание уделить вопросу передачи и приема информации по каналам связи.
Одной из основных задач математической теории связи является определение наиболее существенных характеристик системы передачи информации, к которым, в частности, относятся помехоустойчивость (вероятность ошибочного приема) и скорость передачи информации. Знание этих показателей позволяет определить, соответственно, качество и количество переданной информации. Можно выделить два основных типа каналов связи, для которых чаще всего и определяются вероятности ошибок: детерминированный канал связи с аддитивным белым гауссовским шумом (АБГШ) и канал связи с общими (частотно-неселективными) замираниями и АБГШ.
Для определения вероятности ошибочного приема в канале связи с замираниями требуется решение двух взаимосвязанных задач [1]. Первая задача — вычисление вероятности ошибочного приема сигнальных конструкций в канале связи с детерминированными параметрами и АБГШ. Вторая задача заключается в выборе математической модели общих замираний, адекватной реальным про-
цессам, протекающим в выбранном диапазоне волн. При предположении о гауссовском распределении квадратурных составляющих (гауссовский канал связи), основанном на центральной предельной теореме, приходим к известным законам Релея, Райса, Хойта, Бекманна и наиболее общему в данной модели четырехпараметрическому закону [1]. Другим, часто используемым законом для описания замираний, является да-распределение Накагами [2], частными случаями которого будут односторонне нормальное распределение (да=1/2) и распределение Релея (да=1). Все перечисленные выше модели являются унимодальными.
Целый класс новых плотностей распределения вероятностей (ПРВ) предложен в [3] и рассмотрен в [4-9]. Физическое обоснование заключается в том, что в многолучевой модели выделяется в общем случае несколько мощных лучей (два луча в [3]) с детерминированными амплитудами и равномерно распределенной фазой, а оставшаяся совокупность менее мощных принятых лучей, в соответствии с центральной предельной теоремой, аппроксимируется как гауссовский случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и дисперсией с2. Исходя из одной из наиболее важных ситуаций, в которой рассматривается два мощных луча, эта модель называется TWDP (Two-Wave with Diffuse Power). Соответственно, более общую модель, в которой учитывается большее число мощных лучей, будем называть MWDP (Multiple-Wave with Diffuse Power).
Несмотря на то, что в настоящее время релеевские и райсовские замирания остаются наиболее используемой моделью, более современные исследования, проведенные на различных частотах показывают, что в УКВ-диапазоне проявляется бимодальность, которая может быть выражена более обобщенной моделью замираний, такой, как четырехпараметрический закон, но только при определенных сочетаниях параметров. Ряд теоретических исследований показывает, что TWDP-модель более эффективно описывает замирания, что имеет очень важное значение для беспроводных систем.
TWDP-модель может подстраиваться под большое количество условий распространения лучей. Но эта гибкость достигается за счет большей сложности математического аппарата, из-за чего ее плотность распределения вероятности и кумулятивная функция распределения выражаются в интегральной форме либо в виде бесконечных рядов.
Наиболее явно TWDP-замирания выражаются на диапазоне в десятки гигагерц, так как в таком случае даже разница в пути лучей в несколько сантиметров может оказаться критической для канала связи, поэтому значительная часть исследований посвящены именно такому диапазону. Однако в настоящее время большая часть используемых частот лежит в декаметровом диапазоне, т. е. в диапазоне от 300 МГц до 3ГГц. Соответственно, с точки зрения практического применения, более полезным будет
РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ
изучение именно декаметрового диапазона, т.к. полученные результаты могут использоваться для разработок в ближайшем будущем и способствовать улучшению качества связи уже сейчас.
Волны декаметрового диапазона применяются в таких областях, как метеорология, мобильная связь, аналоговое и цифровое телевещание, радиосвязь и радиовещание, GPS, GLONASS, в системах SCADA, военной и гражданской авиации и даже для связи со спутниками NASA и в радиоастрономии.
Математическая модель TWDP замираний
Согласно центральной предельной теореме, распределение большого количества независимых случайных величин (с. в.) сводится к гауссовскому распределению. При использовании TWDP-модели из многолучевой модели выделяются два мощных луча с детерминированной амплитудой и равномерно распределенной фазой, а остальная — совокупность вариаций ослабленного сигнала со сдвинутой на с.в. фазой аппроксимируется, как гауссов-ский случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и дисперсией с2. Отсюда математическая модель принимаемого сигнала принимает вид:
n
s (tcos +Vk)+n (() >
к=1
где Vk — амплитуды гармонических сигналов; ю0к — детерминированные частоты; фк — фазы, равномерно распределенные на интервале [0,2п]; n(t) — аддитивный га-
уссовский случайный процесс с нулевым математическим
2
ожиданием и дисперсией с .
Известно, что ПРВ амплитуды сигнала s(t) определяется выражением
ю(|) = |JxJ0 (|x)©(xx)dx,
При с Ф 0, получается, что:
(
1;1,...,1; -
V2 Ц2 '
V
YL__
2а1''"' 2а1' 2 а1
ю
Тогда для n = 2 получается:
( т^2
£ш(з)
а
1; 1,1,1; -
V\ v2
2
V
222 2а 2а 2а
где используется конфлюэнтная гипергеометрическая функция Лауричелла [10]
4(nUcr c c • z z ) =
M ........cn' ¿iv? ^n)
(a )
k, +k2 +...+kn
k, kn Zk . Zn
k1>k2>--->k» =0 (C1 )k1 + k2 +...+kn (Cn )k1 +k2 +...+kn k1 kn '
где (а)к = а(а +1 )...(а + к -1) — символ Похгаммера.
Конфлюэнтная гипергеометрическая функция Лауричелла для получения численного результата должна рассчитываться тройной суммой конечной суммы членов ряда или через использование интегральной формы.
Для удобства вычислений используется метод, основанный на интегральном представлении произведения двух функций Бесселя:
Jn
— п _
(ax) J0 (bx) = — J J0 (xVa2 + b2 - 2ab cos 0) d0.
В этом случае, получаем, что ПРВ принимает следу -ющий вид:
= i*2-K ПeAKcos0I0 (j2K(1 -Acos0) ) d9, no 0 ^ a)
где д—коэффициент передачи канала связи; J0(x) — функция Бесселя первого рода нулевого порядка; 0(х) — характеристическая функция сигнала 5(0 и аддитивного гаус-совского случайного процесса.
Для данного случая характеристическая функция в модели MWDP принимает вид:
0(х) = е-2^П^ (кх).
к=1
Отсюда следует, что для п=2 (модель TWDP):
да
га(ц) = хе~а х ^2J0 (цх)/0 (Vх) J0 (У2х^)(1х.
где Д — коэффициент несоответствия между зеркальными компонентами (величина в диапазоне [0;1]), где при Д=0 соответствует райсовским замираниям, Д=1 — наиболее глубоким замираниям с зеркальными компонентами равной амплитуды; I (¿) — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка; К—коэффициент глубины замираний, может изменяться от 0 до
V2 + V2 2VV
K = V 2 , д= lV
2a
Vi2 + V22'
На рис. 1-4 показано, как ведет себя функция в зависимости от различных сочетаний К и Д.
Рис. 1. Плотность распределения вероятности при K = 10
Рис. 2. Плотность распределения вероятности при K = 20
1 0:0
0.10
005 000
г — О=0 1 й-0.5
/ Л- 1
/
/
/ /
/ J
-f. 7
V V
1 ! 1 1 4
1\ __ А = 0 1 - й=0 5 - Д- 1
п
i 1
-у -
/ VT
/ —т V V V
Рис. 3. Плотность распределения вероятности при K = 30
Рис. 4. Плотность распределения вероятности при K = 100
При определенных сочетаниях двух параметров К и Д, а именно при выполнении условия ДК»1, TWDP-распределение становится бимодальным, т.е. имеющим два максимальных значения — две моды.
Исходя из формулы ПРВ, необходимо определить начальные моменты. Начальным моментом к-го порядка случайной величины называют математическое ожидание от величины в к-ой степени. Для вычисления вероятности ошибки необходим начальный момент второго порядка, т. к. физически начальный момент второго порядка выражает полную среднюю мощность случайной величины.
Ле/
vk (K, А) = Ецк = J±kш(ц):
0
» k+1 __k п /
f±__e f еАК cos0io
0 0
yjlK (1-А cos 9) d 0d ц.
V °V
После несложных преобразований, получаем, что для четных моментов верно:
(, А) = l !(2а2 )£|
1(А + 1)]
77 I 1 ■ 1 2А
2 F, \—, -
2 " 2 А + 1
Откуда получаем, что начальный момент второго порядка равен:
V 2 (К, Д) = 2 ст 2( К +1).
Формулировка задачи расчет помехоустойчивости
Известно, что вероятность символьной Ре и битовой Рь при когерентном приеме двумерных многопозиционных сигналов в канале с детерминированными параметрами и аддитивным белым гауссовским шумом (АБГШ) может быть представлена в виде:
Ре\Ь (УЬ ) = Е акТ ((2ёкУЬ , Пк )
где у ь =
El N
— отношение энергии сигнала, затрачи-
ваемой на передачу одного бита, к N0 — односторонней спектральной плотности белого гауссовского шума; ak, gk е М — коэффициенты, определяемые сигнальной конструкцией;
-(1+i2) z 2 /2
-dt , I arg а I < те —
Т — - -
V ' 2nJ 0 1
где 2F1(a;b;c;z) — гипергеометрическая функция Гаусса. функция Оуэна [1,2].
=0
РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ
Вычисление ошибки при общих замираниях сводится к соотношению:
Р\ъ (ъ) = Xак]7тПк =
к ' " ,
v
(
k
def
У
2
^ г 1 г% ->2 I dt
%akJo 2nJ e
10 2nJ0
v
2
1 +1
где О = Е|л — начальный момент второго порядка случайной величины, распределенной по ПРВ ю(д).
Откуда следует, что основная задача при расчете вероятности ошибки в канале связи с TWDP-замираниями заключается в вычислении интеграла:
J@ = £ Т(ац,ц,
где а = .
Заключение
Для расчетов помехоустойчивости линий радиосвязи используются различные модели каналов с замираниями [1, 3-9, 11, 12], отличные от представленной в статье. Проведённый анализ новой модели замираний сигналов позволил обнаружить некоторые закономерности: бимодаль-ность проявляется при больших значениях К и выполнении условия ДК»1; при Д=1 бимодальность начинает проявляться примерно при глубине замираний равной 20 дБ. Сформулирована математическая постановка задачи расчета помехоустойчивости для канала связи с АБГШ и замираниями, описываемыми моделью TWDP.
Литература
1. Савищенко Н. В. Специальные интегральные функции, применяемые в теории связи. СПб.: ВАС; 2012.
2. Brychkov Yu.A., Savischenko N. V. A special function of communication theory // Integral Transforms and Special Functions. 2015. No. 26(6). Pp. 470-484.
3. Durgin G. D., Rappaport T. S., De Wolf D. A. New analytical models and probability density functions for fading in wireless communications // IEEE Trans. on Commun. 2002. Vol. 50. No. 6. Pp. 1005-1015.
4. Rao M., Lopez-Martinez F. J., Mohamed-Slim A., Goldsmith A.J. MGF Approach to the Analysis of Generalized Two-Ray Fading Models // IEEE Trans. Wirel. Commun. 2015. Vol. 2015. Pp. 1-14.
5. Dixit D, Sahu P. R. Performance of QAM Signaling over TWDP Fading Channels // IEEE Trans. Wirel. Commun. 2013. Vol. 12. No. 4. Pp. 1794-1799.
6. Romero-Jerez J. M., Lopez-Martinez F. J., Paris J. F., Goldsmith A.J. The Fluctuating Two-Ray Fading Model: Statistical Characterization and Performance Analysis // IEEE Trans. Wirel. Commun.
2017. Vol. 16. No. 7. Pp. 4420-4432.
7. Saberali S.A., Beaulieu N. C. New expressions for TWDP fading statistics // IEEE Wireless Communications Letters. 2013. No. 2(6). Pp. 643-646.
8. Lopez-Fernandez J., Moreno-Pozas L., Martos-Naya E., Lopez-Martinez F.J. Moment-Based Parameter Estimation for the Two-Wave with Diffuse Power Fading Model // Proc. of the 84th IEEE Vehicular Technology Conference (VTC-Fall), Montreal, 18-21 September 2016. Pp. 1-5.
9. Zuchmann E., Caban S., Mecklenbrauker C.F., Pratschner S., Lerch M., Schwarz S., Rupp M. Better than Rician: modelling millimetre wave channels as two-wave with diffuse power // EURASIP Journal onWireless Communications and Networking. 2019. No.21. Pp. 1-17.
10. Brychkov Yu.A., Marichev O. I., Savischenko N. V. Handbook of Mellin transforms. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton,
2018. 607 p.
11. Савищенко Н. В., Остроумов О. А. Расчет оптимального и рационального числа ветвей разнесения в каналах связи с аддитивным белым гауссовым шумом и общими замираниями Райса-Накагами // Информационно-управляющие системы. 2015. № 6(79). С. 71-80.
12. Лебеда Е. В., Остроумов М. А., Остроумов О. А.Вероятность ошибки в канале с замираниями и разнесенным приемом многопозиционных сигналов // Труды учебных заведений связи. 2017. Т. 3 № 1. С. 75-79.
DETECTION TWO-WAVE WITH DIFFUSE POWER FADING
NIKOLAI V. SAVISCHENKO
St. Petersburg, Russia, snlkaspb@mali.ru
VLADIMIR I. DYRIN
St. Petersburg, Russia, dvlumet@yandex.ru
VLADIMIR P. MAKARENKO
St. Petersburg, Russia, nsdlv@mali.ru 22
KEYWORDS: TWDP; fading; noise immunity; probability distribution density; multipath model.
ABSTRACT
One of the main objectives of the mathematical theory of communication is definition of the most essential characteristics of system of information transfer. One of important quantitative indices of system
is the probability of erroneous reception in various communication channels. The special class of communication channels is represented by channels in which a dying down of signals is considered. For the mathematical description of a dying down the density of distribution of probabilities is used, in particular. The variety of the various distributions meeting in scientific literature, is connected as with the assumptions used for justification of distribution, and to their compliance to physical properties of channels. In article the dual-beam model with a diffuzny dying down of capacity of a signal (TWDP model) is considered and mathematical statement of a problem of calculation of a noise stability for a communication channel with additive white Gaussian noise and a dying down described within this model is formulated. It is shown that the TWDP model used for the description of a dying down, includes not only a classical releevsky and raysovsky dying down, but also covers a class of two-modal distributions, characteristic for some modern wireless communication channels. It is shown that at certain parameters of distribution there are two fashions which emergence was theoretically possible when using for the description of a dying down of four-parametrical distribution. For the solution of a problem of calculation of a noise stability in the channel with a dying down studying of likelihood characteristics of distribution that demands, in turn, attraction of the theory of special functions and, in particular, hyper geometrical functions is necessary. It is shown that mathematical representation of function of distribution is possible in two options: integrated representation and representation through Laurichell's hyper geometrical function. Ratios for the initial moments of the distribution considered in article are received. It is shown that the initial moments are expressed through Gauss's hyper geometrical function. At the heart of the solution of a problem of a noise stability representation of probability of a symbolical (bit) mistake for multiitem alarm designs in a communication channel with additive white Gaussian noise through Owen's special function that allows to receive the common decision of a task lies. The analytical formulation of the partial task which decision is a basis for the solution of the general problem of calculation of a noise stability in a communication channel with a dying down described by TWDP model is presented.
REFERENCES
1. Savischenko N. V. Special Integral Functions Used in Wireless Communications Theory. Singapore: World Scientifi, 2014.
2. Brychkov Yu.A., Savischenko N. V. A special function of communication theory. Integral Transforms and Special Functions. 2015. No. 26(6). Pp. 470-484.
3. Durgin G. D., Rappaport T. S., De Wolf D. A. New analytical models and probability density functions for fading in wireless communications. IEEE Trans. on Commun. 2002. Vol. 50. No. 6. Pp. 1005-1015.
4. Rao M., Lopez-Martinez F. J., Mohamed-Slim A., Goldsmith A. J. MGF Approach to the Analysis of Generalized Two-Ray Fading Models. IEEE Trans. Wirel. Commun. 2015. Vol. 2015. Pp. 1-1.
5. Dixit D., Sahu P. R. Performance of QAM Signaling over TWDP Fading Channels. IEEE Trans. Wirel. Commun. 2013. Vol. 12. No. 4. Pp. 1794-1799.
6. Romero-Jerez J. M., Lopez-Martinez F. J., Paris J. F., Goldsmith A. J. The Fluctuating Two-Ray Fading Model: Statistical Characterization and Performance Analysis. IEEE Trans. Wirel. Commun. 2017. Vol. 16. No. 7. Pp. 4420-4432.
7. Saberali S. A., Beaulieu N. C. New expressions for TWDP fading statistics. IEEE Wireless Communications Letters. 2013. No. 2(6). Pp. 643-646.
8. Lopez-Fernandez J., Moreno-Pozas L., Martos-Naya E., Lopez-Martinez F. J.Moment-Based Parameter Estimation for the Two-Wave with Diffuse Power Fading Model. Proc. of the 84th IEEE Vehicular Technology Conference (VTC-Fall), Montreal, 18-21 September 2016. Pp. 1-5.
9. Zuchmann E., Caban S., Mecklenbrauker C. F., Pratschner S., Lerch M., Schwarz S., Rupp M. Better than Rician: modelling millimetre wave channels as two-wave with diffuse power. EURASIP Journal onWireless Communications and Networking. 2019. No. 21. Pp. 1-17.
10. Brychkov Yu.A., Marichev O. I ., Savischenko N. V. Handbook of Mellin transforms. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, 2018. 607 p.
11. Savischenko N. V., Ostroumov O. A. Calculation of Optimal and Reasonable Number of Diversity Branches in Communication Channels with Additive White Gaussian Noise and Common Rice - Na-kagami Fading. Information and Control Systems. 2015. No. 6(79). Pp. 71-80.
12. Lebeda E., Ostroumov M., Ostroumov O. The error probability in the channel with fading and diversity reception at the multiposi-tioned signals reception. Proceedings of Telecommunication Universities. 2017. Vol. 3. No. 1. Pp. 75-79.
INFORMATION ABOUT AUTHORS:
Savischenko N.V., PhD, Professor Full, Professor of S. M. Budenny Military Academy of Communication;
Dyrin V.I., lecturer of S. M. Budenny Military Academy of Communication;
Makarenko V.P., lecturer of S. M. Budenny Military Academy of Communication.
For citation: Savischenko N.V., Dyrin V.I., Makarenko V.P. Two-wave with diffuse power fading. H&ES Research. 2021. Vol. 13. No. 1. Pp. 18-23. doi: 10.36724/2409-5419-2021-13-1-18-23 (In Rus)
