Многочлен как сумма периодических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.17:517.51

МНОГОЧЛЕН КАК СУММА ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

А.Ю. Эвнин1

Доказано, что произвольный многочлен и-й степени представим в виде суммы периодических функций, причём минимальное число слагаемых в этой сумме равно и+1.

Ключевые слова: периодические функции, контрпримеры в анализе.

Данная заметка продолжает тему построения примеров функций, обладающих неожиданными свойствами [1, 2].

Теорема 1. Любой многочлен степени п представим в виде суммы п +1 периодических функций.

Доказательство. Нам понадобится следующий факт.

Лемма. Многочлен Р(ххх2,...,хп+х) степени п представим в виде суммы п +1 многочленов

П+1

Р(х1,х2,...,хп+1) = ^/і(х1х2,...,хп+1), таких, что для каждого і многочлен/і(х1,х2,...,хп+1) не і=1

зависит от переменной хі.

Доказательство леммы. Индукцией по степени многочлена докажем, что для любого к < п многочлен Рк(х1х2,...,хп+1) степени не выше к можно представить в виде суммы к +1 многочленов, не зависящих, соответственно, ОТ переменных хп-к+х, хп-к+2,..., хп+1.

База индукции (к = 0) очевидна (многочлен Р0 - это просто константа).

Индукционный шаг. Пусть многочлен Т (х1, х2,..., хп+х) получается из многочлена Рк ( х1, х2,...: хп+х) в результате подстановки вместо переменной хп-к+1 числа 0. Тогда

Рк (х ,х2,..., хп+1 ) = Т ( х1, х2,..., хп+1) + хп-к+1Рк—1(х1 , х2,..., хп+1),

при этом многочлен Т(х1,х2,...,хп+1) не зависит от переменной хп-к+1, а многочлен

Рк-1(х1х2,...,хп+1) имеет степень не выше к — 1 и к нему применимо предположение индукции.

Доказанное утверждение при к = п даёт формулировку леммы. □

Продолжим доказательство теоремы 1.

Пусть Т1,Т2,...,Тп+1 - несоизмеримые действительные числа (т.е. к1Т1 + к2Т2 +... + кп+1Тп+1 Ф 0 для произвольных целых чисел к1,к2,...,кп+1, хотя бы одно из которых не нуль).

На множестве М введём отношение эквивалентности: х1 ~ х2, если для некоторых целых чисел к1, к2,..., кп+1 выполняется равенство

х1 — х2 = к1Т1 + к2Т2 + ... + кп+1Тп+1.

Возьмём произвольный класс эквивалентности К и зафиксируем в нём какое-нибудь число г . Любое число х є К имеет вид

х = г + т1Т1 + т2Т2 + ... + тп+1Тп+1:

где т1,т2,...,тп+1 - некоторые целые числа. Пусть Q(х) - многочлен степени п. Будем теперь рассматривать значение многочлена Q(г + т1Т1 + т2Т2 +... + тп+1Тп+1) как многочлен от целочисленных переменных т1,т2,...,тп+1. В соответствии с утверждением леммы имеем

п+1

^г + т1Т1 + т2Т2 + ... + тп+1Тп+1) = Е ^ (m1, т2,...,тп+1X

і=1

1 Эвнин Александр Юрьевич - доцент, кандидат педагогических наук, кафедра прикладной математики, Южно-Уральский государственный университет.

E-mail: [email protected]

178 Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика»

где для каждого i многочлен /1(т1,т2,...,mn+1) не зависит от mi. Это означает, что функция (т1,т2,...,тп+1) как функция от переменной х (поскольку числа т( однозначно определены значением х) имеет период Т. □

Теорема 2. Многочлен п-йстепенине представим в виде суммы п периодических функций.

п

Доказательство. Пусть Рп (х) - многочлен степени п и Рп (х) = ^^ (х), где для каждого к

к=1

функция fk (х) имеет период Тк . Рассмотрим многочлен

бп-1(х) = Рп (х + Тп ) - Рп (х).

Это многочлен степени п — 1, и он представим в виде суммы п — 1 периодических функций:

вп-1(х) = I (/к (х +Тп ) — fk (х)).

к=1

Последовательно уменьшая степень многочлена, в конце концов придём к линейной функции (отличной от константы), являющейся периодической - противоречие! □

Замечание. В статье [3] доказан следующий интересный факт: никакая рациональная функция, не являющаяся многочленом, не представима в виде суммы конечного числа периодических функций.

Литература

1. Эвнин, А.Ю. Период суммы двух периодических функций / А.Ю. Эвнин // Вестник ЮУр-ГУ. Серия «Математика, физика, химия». - 2005. - Вып. 5. - № 2(42). - С. 56-61.

2. Эвнин, А.Ю. Пример всюду разрывного биективного отображения/ М ^ М , обратное к которому непрерывно в счётном множестве точек / А.Ю. Эвнин // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика». - 2011. - Вып. 4. - № 10(227). - С. 38-39.

3. Эвнин, А.Ю. Представимость функций в виде суммы конечного числа периодических функций / А.Ю. Эвнин, ДА. Швед // Математика в школе. - 2013. - № 5. - С. 72-74.

Поступила в редакцию 30 мая 2013 г.

POLYNOMIAL AS A SUM OF PERIODIC FUNCTIONS

A.Yu. Evnin

It is proved that an arbitrary polynomial of degree n representatives as a sum of periodic functions, the minimum number of terms in this sum is n+1.

Keywords: periodic functions, counterexamples in the analysis.

References

1. Evnin A.Yu. Period summy dvukh periodicheskikh funktsiy (The period of the sum of two periodic functions). Vestnik YuUrGU. Seriya “Matematika, fizika, khimiya”. 2005. Issue 5. no. 2(42). pp. 56-61. (in Russ.).

2. Evnin A.Yu. Primer vsyudu razryvnogo biektivnogo otobrazheniy f M ^ M , obratnoe k ko-toromu nepreryvno v schyetnom mnozhestve tochek (The example of the bijective mappingf M ^ M such that f is everywhere discontinuous. but an inverse of the f is continuous at a countable set of points). Vestnik YuUrGU. Seriya «Matematika. Mekhanika. Fizika». 2011. Issue 4. no. 10(227). pp. 3839. (in Russ.).

3. Evnin A.Yu., Shved D.A. Predstavimost' funktsiy v vide summy konechnogo chisla periodicheskikh funktsiy (Functions’ representability as a sum of a finite number of periodic functions). Matematika v shkole. 2013. no. 5. pp. 72-74. (in Russ.).

1 Evnin Alexander Yurievich is Cand. Sc. (Pedagogical), Associate Professor, Applied Mathematics Department, South Ural State University. E-mail: [email protected]

2013, tom 5, № 2 179