Гармонический анализ периодических на бесконечности последовательностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

www.volsu.ru

DOI: https://doi.Org/10.15688/jvolsu1.2017.1.3

УДК 517.9 ББК 22.161

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Анна Александровна Рыжкова

Аспирант кафедры нелинейных колебаний, Воронежский государственный университет a.r.ryzhkova@gmail.com

Университетская площадь, 1, 394036 г. Воронеж, Российская Федерация

Аннотация. Введен в рассмотрение класс почти периодических на бесконечности последовательностей. Необходимость рассмотрения таких последовательностей связана с тем, что они возникают при рассмотрении разностных уравнений. Основные результаты статьи связаны с доказательством почти периодичности на бесконечности решений разностных уравнений.

Ключевые слова: периодические на бесконечности последовательности, разностные уравнения, собственные значения, спектральное разложение, проекторы.

о

см

Введение

Пусть Z — множество целых чисел и X — комплексное банахово пространство. Символом EndX обозначим банахову алгебру линейных ограниченных операторов, действующих в X. Через I™ = 1™(Z,X) обозначим банахово пространство ограниченных

последовательностей х : Z ^ X с нормой ||ж||™ = sup ||ж(п)||.

ne z

Через с0 = с0(Z,X) обозначим (замкнутое) подпространство последовательностей из 1™(Z,X ), убывающих на бесконечности, то есть выполняется равенство lim Цх(п) || = 0.

В пространстве 1™(Z,X) рассмотрим операторы сдвига S(п) : I™ ^ I™, (Sx)(k) = = х(к + п), к > 0, п G Z, ж G I™.

Используемая далее терминология для равномерно непрерывных последовательностей, определенных на Z, имеется в статьях [2-5; 8; 9].

Определение 1. Последовательность х G 1™(Z,X) называется медленно меняющейся

^ на бесконечности, если S(1)х — х G c0(Z,X), то есть lim Цх(п + 1) — ж(п))|| = 0.

Определение 2. Последовательность х из 1^(Ъ,Х) называется периодической на бесконечности периода N > 1, N е N если Б (Ж )х — х е с0.

Примером медленно меняющейся на бесконечности последовательности является последовательность х(п) = вт(1п(а + п)), п е Ъ, где а > 0.

Множество медленно меняющихся на бесконечности последовательностей образуют замкнутое подпространство из 1^(Ъ,Х), которое обозначим символом . Множество периодических на бесконечности последовательностей периода N образуют замкнутое подпространство из которое обозначается через (Ъ,Х). Отметим, что со С ) С 1м,^(Ъ,Х) при любом N > 1. '

Пусть уд. = е^яг, 0 < к < N — 1, — корни из единицы. Отметим, что они образуют группу, обозначаемую далее через С^.

В статье доказана следующая теорема. Теорема 1. Каждая периодическая на бесконечности последовательность х е е 1^00 (Ъ,Х) периода N > 1 допускает представление вида

N-1

х(п) = хk(n)Yfc>п е Z, Xk е

к=0

В банаховом пространстве (Z,X), где X — конечномерное банахово пространство, рассмотрим разностное уравнение

х(п + N) = Вх(п) + у(п), п е Z, (1)

где у е c0(Z,X ),В е End X со свойством оо = о (В) П T = {уь у2..., ут] — совокупность простых собственных значений, где T = {Л е C : |Л| = 1} и а(В) обозначает спектр оператора В.

Теорема 2. Каждое ограниченное решение х : Z ^ X уравнения (1) является периодической на бесконечности последовательностью, которая допускает представление вида

N

п

х(п) = Хк (пЬ'к ,

где Хк е у к е T, 0 < к < N - 1.

Jn

к=1

1. О спектральном разложении оператора S

Рассмотрим оператор S е EndX, удовлетворяющий условию SN = I. Отметим некоторые свойства спектра таких операторов. Лемма 1. Оператор S обратим и r(S) = r(S-1) = 1, где r(S), r(S-1) — спектральный радиус оператора S и S-1 соответственно. Кроме того, S-N = I.

Доказательство. Из равенств SN = SN-1S = SSN-1 = I следует, что оператор S обратим и SN-1 является обратным для S.

Из формулы Гельфанда [1; 6; 7] для спектрального радиуса оператора следует, что r(S)= lim vfS^J = lim mУ|| SmN || = lim m^fT\\ = 1.

Поскольку S-NSN = S-N = I , то, по доказанному, r(S-1) = 1.

Лемма 2. Имеет место включение

a(S) С T = (А е C : |Л| = 1}.

Доказательство. Пусть Л е C и |Л| > 1. Тогда S — Л1 = Л(1 — 1S). Поскольку I11SII = ]1| II ^II = |Х| < 1' то оператор I — обратим, и тогда

1 те 1

(5 — Л1 )-1 = — V-sn. у ' Л ^ Лп

п=о

Сходимость ряда вытекает из критерия Коши сходимости рядов, леммы 1 и равенства:

Птте УтЛй^=<1.

Представим число п е N в виде п = kN + р, где 0 < р < N — 1. Тогда

те N-1 те N-1

(S — Л/)-1 = — 1 £ £ Л^ SkN+>' = — 1 ]Т ^ Ц Л1S" = ф^ ■

к=0 р=0 к=0 р=0

те !

где ф : (Л е C : |Л| > 1} ^ C , ср(Л) = — 1 J2 aw = — ^n-1 — функция, не зависящая

к=0

N-1

от р, и оператор SN, определяющийся равенством SN = Y1 др

р=0

Итак, Л е a(S).

Пусть теперь |Л| > 1. Из представления

5 — л/ = 5 (I — Л5-1) = Л5 d I — 5-1)

Л

следует, что оператор S — Л I является произведением обратимого оператора S и оператора 11 — S-1, который обратим. Свойство обратимости следует из доказанного, если вместо оператора S рассмотреть оператор S-1. При этом учитывается, что (S-1)N = = (SN )-1 = I.

Лемма 3. Имеет место включение a(S) С GN = tfl.

Доказательство. Пусть вначале А0 е v(S) — собственное значение оператора S и пусть х0 = 0 — соответствующий ему собственный вектор, то есть Sx0 = А0ж0. Следовательно, верны равенства

SN Sx0 = A0^n Х0 = A0^0,

A N+1Х0 = А 0^0 ^ А N = 1.

В общем случае используем равенство a(SN) = (AN : А е a(S')} = (1}. Следовательно, N = 1 для любого А е a(S), то есть a(S) С Gn .

Рассмотрим теперь вопрос о спектральном разложении оператора S е EndX, удовлетворяющего условию SN = I для некоторого N е N.

Теорема 3. Пусть для оператора в е Епё. X, где X — банахово пространство, выполнено равенство Б- = I, N е N. Тогда оператор Б можно представить в следующем виде

N-1

•2п -4п -2п.Ш— 1) ^—л -2пк

в = Ро + е% лтРх + е%4ПР2 + ... + е%-V"1 Р--1 = X] ег~Рк,

к=0

2пт 2пт , _ ч ат - N— 1

где Ро = 7+*2+г+^-1, Рт = /+(е^^-1 = ^ £ (е^1 < < т < N — 1. При этом имеют место следующие свойства:

(1) I = Р0 + Р1 + ... + Р--1 (разложение единицы);

(2) Р2 = Рг, 0 < т < N — 1 (то есть Рг — проекторы);

(3) РгР^ = 0 для г = ] (то есть проекторы дизъюнктны);

(4) вРк = РкБ = укРк (образ 1т Рк каждого проектора Рк, 0 < к < N — 1, есть собственное подпространство оператора S, отвечающего собственному значению ук.

Доказательство. Представление проекторов в условии теоремы можно получить из интерполяционной формулы Лагранжа. Из этой формулы мы получим, что Р0 = = 1+я+я2+..+я—1. Чтобы получить разложение проектора Р1, рассмотрим оператор Б1 = у-1^. Тогда оператору Б1 будут отвечать следующие корни из единицы у-1, 1, уь ... , У—-2. Тогда из интерполяционной формулы Лагранжа мы получим, что

Р1 = --1— = — - -N— -. Аналогичным образом строятся

проекторы Р2, ..., Р--1.

Покажем, что операторы Рк, 0 < к < N — 1, — искомые операторы. Справедливы равенства:

_М1 + N (е^ )-1Б + ... + N (е ^)-(--1)Б--1 Рк Рк = ^ =

I + (е ^ )-1Б + ... + (е^)-(--1)Б--1 п

— - — Рк,

N к

то есть операторы Рк являются проекторами, и

5 + (е ^ )-1Б2 + ... + (е ^)-(--2)Б--1 + (е ^)-(--1)1 вРк = Рк Б =-------^-----= е ^ Рк,

то есть оператор Б и проекторы Рк перестановочны.

Теперь докажем, что РкРт = 0, к = т. Воспользуемся перестановочностью оператора Б с проекторами Рк и Рт и свойством ассоциативности суперпозиции:

(БРк)Рт = Рк (БРт)1

2пк 2пт

е К Рк Рт = Рк (е К Рт),

2пк 2пт .

(е — — е—)Рк Рт = 0.

2п к 2 пт

В силу того, что е N и е N — различные корни из единицы, то РкРт = 0.

Рассмотрим теперь сумму

N-1 N-1 N-1 ...

N1 + ( £ у-1)^ + ( £ у-2)$2 +... + ( £ у- -1))^-1

Р0 + Р1 + Р2 + ... + PN-1 = -—-—-N-—-.

N-1

Каждая сумма £ у^ равна нулю, — ( N — 1) < р < — 1, так как представляет

к=0

собой геометрическую прогрессию с первым членом прогрессии Ь1 = 1 и знаменателем

N-1 ¿2пр дт

прогрессии д = е1 . Поэтому верно равенства £ ук = 1-(е 12П"Р) - = 0. Таким образом,

к=0 1-е1^

N-1

1=Т,Рк.

к=0

Применим к этому равенству оператор Б. Получим требуемое спектральное разложение

N-1 N-1

2п к

$ =Е$Рк = £ е^Рк.

к

к=0 к=0

2. Доказательство теоремы 1

Последовательность х : Ъ ^ X называется периодической периода N € N если имеют место равенства х(п + ^ = х(п), п € Ъ.

Отметим, что множество периодических периода N последовательностей образуют замкнутое подмножество из Iте(Ъ,Х), которое обозначим символом 1^(Ъ,Х). Непосредственно из определения следует, что оператор сдвига $(1) € ЕпсИ^ обладает свойством $(1^ = $^) = I. Тогда для элементов множества /^(Ъ,Х) будет иметь место следующая лемма.

Лемма 4. Каждая периодическая последовательность х € периода N > 2 до-

N-1

пускает представление вида х(п) = £ хку'к, где п € Ъ, хк € X и определяются

к=0 к

N-1

равенством хк = N £ У-х(г), 0 < к < N — 1.

г=0

Доказательство. В силу теоремы 3 оператор левого сдвига $(1) можно представить

N-1 N-1

в следующем виде $(1) = £ укРк, где Рк = N £ У-$г — проекторы. Также будут

к=0 г=0

N-1

верными следующие равенства 5п(1) = $(п) = £ укРк, для любого п € Ъ. Поэтому

к=0 к

для любых т, п € Ъ выполнено

N-1 N-1

х(п + т) = ($п(1)х)(т) = ($(п)х)(т) = (^ у^Ркх)(т) = £ упк(Ркх)(т).

к=0 к=0

Чтобы получить искомое разложение, нужно взять т = 0. Таким образом,

1 N-1 1 N-1 1 N-1

хк = (Ркх)(0) = (- £ (1)х)(0) = ^ £ у-(1)х)(0) = ^ £ у-х(г).

г=0 г=0 г=0

Пусть Х0 — замкнутое подпространство из банахова пространства X. Для элементов пространства X определим следующее отношение эквивалентности: х ~ у, если

х — уеХо.

Обозначим через х (или х + Х0) множество [у е X : у — х е Хо}. Его называют классом эквивалентности, содержащим х: Классы эквивалентности являются элементами векторного пространства Х/Х0, называемого фактор-пространством пространства X по подпространству Х0. В данном пространстве сложение элементов и умножение их на скаляры определяются следующими формулами

х + у = ж + у, ах = ахс.

Фактор-пространство Х/Х0 является банаховым пространством с нормой

1|х|| = ||х + у\\, х,у еХ, а е С.

Доказательство. Введем фактор-отображение, то есть отображение, действующее по правилу х м х + Х0 : X м Х/Х0. Введем норму на Х/Х0 таким образом, чтобы данное отображение было ограничено. Так как по определению Х0 замкнуто в X, то на Х/Х0 для каждого х е X положим

||х|| = ||х + Хо|| = Ы ||х + уЦ = |И|.

У&Л0 гЕх

Заменяя в формуле у на —у, видим, что величина ||х + Х0|| равна расстоянию от х до Хо.

Пусть I — замкнутый идеал из банаховой алгебры А. Тогда фактор-пространство А = I является банаховой алгеброй, если в ней операцию умножения ввести следующим образом

жу = ху, х,у е А.

В этом случае алгебра А = называется фактор-алгеброй. Приступим к доказательству теоремы 1.

Непосредственно из определения ограниченной на бесконечности последовательности периода N следует, что со С = (Ъ,Х).

Рассмотрим фактор-пространство = I)/со(Ъ,Х) и фактор-оператор

5(1) е End, определенный равенством 5(1)Х = ¿>(1)х = 5(1)х + со. Непосредственно из определения 5(1) следует, что

5(1) х = 8{Ы)х = х,

для любого х е А также

!3(к)х = в(к)х = 5 (к)х + со = 5 (1)к х + со,

где х е

---- N ~

Таким образом, Б(1) = I — тождественный оператор в банаховом пространстве I^^(Ъ,Х)/со(Ъ,Х). Поэтому к нему применимы результаты раздела 1.

Представим оператор I в виде

N-1

1=Р0 + Р1 + ... + PN-1 =2^Р3,

=0

N-1 г __ __

где Р) = N £ У-Б(1) , 0 < ] < N — 1 являются проекторами. Однако Р^х = РjX,

1=0

3 = 0,...,N — 1

N-1

Также введем в рассмотрение операторы Р) = N £ (1)г, 0 < 3 < N — 1.

1=0

Отметим, что так построенные операторы Р) не обязательно являются проекторами.

Справедливы следующие равенства

N-1 N-1 1 N-1

х = = (ЕР))х = £ - £ У-бЦ) х =

N

=0 =0 =0

N-1 1 N-1 N-1

Е м Е ^(1)гх + С0 = Е Р>х + С0,

j=o г=0 j=o

для любого х €

N,1^ •

N -1

Значит, существует такая последовательность у0 € с0, что х = £ Р,х + у0. Пред-

=0

N-1

ставим последовательность х в виде х(п) = £ уп(у"п(Р,х)(п)) + у0(п). Положим

=0

Xj(п) = у-п^х)(п), п € Ъ. Покажем, что Xj € 0 < j < N — 1, то есть нужно доказать, что ( Б(1)хj — Xj) € с0. Верны равенства

N-1

п 1 1

( Б(1)х,- — Xj)(п) = хj(п + 1) — хj(п) = у"п-1 (- £ у"г(Б(1)гх)(п + 1))

г=0

1 N-1 1 N-1 N-1

Ъп( м Е ^(Б(1)гх)(п)) = „у"п(Е У-^^п + г + 1) — £ у"гх(п + г))

г=0 г=0 г=0

1 , АП NN _ 1 —п /

= Nх(п + N) — х(п)) = ^У-П(х(п + N) — х(п)). Последняя часть равенства стремится к нулю при п ^ то для любого 3, так как х €

е I ~

Таким образом, получили следующее представление последовательности х €

оо

^ 1

х(п) = Е хк(п)У

к=0

где хк € , 0 < к < N — 1. Теорема 1 доказана.

3. Доказательство теоремы 2

Спектр оператора В представим в виде:

а(В) = ао и и а,

где а0 = а(В) П Т = (у!, у2,..., ут} — совокупность собственных значений, лежащих на окружности; агП = (А € а(В) : |Л.,-| < 1} — совокупность собственных значений, лежащих внутри окружности Т; аои1 = (Л € а(В) : > 1} — совокупность собственных значений, лежащих вне окружности. В соответствии с этим разбиением спектра рассмотрим проекторы Т0, ТгП, , которые соответственно построены по спектральным множествам а0, а^п, аоад4. Таким образом, I = Т0 + + . Эти проекторы индуцируют разложение Х = Х0 ф Х^ ф Хои1 пространства X, где Х0 = 1тТ0,ХгП = 1т'Ргп,ХоуЛ = 1т'Роиг. Эти подпространства являются инвариантными для оператора В, и пусть В0 = В1Х0,В^п = В1Х^п,Вои1 = В 1Хои1. Таким образом, В = В0 ф Вгп ф Воиt относительно построенного разложения пространства Х. К обеим частям уравнения (1) применим проектор Тгп, и тогда получим последовательность х%п = 'Ргпх, удовлетворяющую равенству

Vin = Viny G Co.

Из (2) следует, что

S (N )xin(n) = BinXinin) + Vinin), (2)

(I - BinS(-N))xin = S(-N)ym. (3)

Поскольку Цб'(—N)|| = 1, BinS(—N)xin(n) = S(—N)BinXin, n G Z, и спектральный радиус r(Bin) оператора Bin меньше единицы, то оператор I — BinS(—N) обратим и из

те

(3) получаем, что xm = (I — BinS (—N ))-1S (—N ) ym = £ BnnS (—N (n + 1)) yin. Ясно,

n=0

что xin G c0(Z,X). Аналогичный результат получим при применении проектора Vout к уравнению (1):

( S( N)xout)(n) = BoutXout(n) + yout(n), yout = VoutU G Со. (4)

Оператор Bout обратим, и a(B—1i) = {^G Vaut}, то есть его спектральный радиус меньше единицы. Используя перестановочность оператора Sn c Bout из (4), получим равенства

S (N )B-t Xout (n) = Xout (n) + B-uit Vont (n)n G Z,

или

(I — S(N )B—t )xout(n) = —B-Wt Vout(n),n G Z.

Таким образом,

те

xOMt (n) = -(/ - S (N )B-1 )-1B-1 yout (n) = - £(B-1S (N ))fcB-1 yout, yout G co.

n=0

Из этой формулы следует, что хо^ € с0(й, Х). Проектор Р0 можно представить в виде

Р0 = Р! + ... + Рм,

где Рк — проектор, и АРк = укРк, где | ук |= 1, 1 < к < N. Ввиду предполагаемой простоты собственных значений число ук представимо в виде ук = е гХк, 1 < к < N. Применим проектор Ро к разностному уравнению (1) и далее применим проектор Рк

Рк хо(п + 1) = РкВохо(п) + Рк уо(п),

где хо = Рохп, хк(п) = Ркхо(п),к = 1, N. _

Следовательно, хк(п + 1) = укхк(п) + ук(п), где хк(п) = Ркх0(п), к = 1, N,п Е Z. Сделав замену хк(п) = Укпхк(п),п Е Z, получим

жк(п + 1) = хк(п) + ук(п), п Е Z,

где хк — медленно меняющаяся последовательность, а хк(п) отличается от хк(п) по формуле (1) на множитель уП, где ук — корень из единицы. Поскольку ук Е с0 и S(1)хк — хк Е со, следовательно хк, где 1 < к < т — медленно меняющаяся на бесконечности последовательность. Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Баскаков, А. Г. Гармонический анализ линейных операторов / А. Г. Баскаков. — Воронеж : Изд-во ВГУ, 1987. — 165 с.

2. Баскаков, А. Г. Гармонический и спектральный анализ операторов с ограниченными степенями и ограниченных полугрупп операторов на банаховом пространстве / А. Г. Баскаков // Мат. заметки. — 2015. — № 97:2. — C. 174-190. — DOI: http://dx.doi.org/10.4213/mzm10285.

3. Баскаков, А. Г. Исследование линейных дифференциальных уравнений методами спектральной теории разностных операторов и линейных отношений / А. Г. Баскаков // Успехи мат. наук. — 2013. — Т. 409, № 68:1. — C. 77-128. — DOI: http://dx.doi.org/10.4213/rm9505.

4. Баскаков, А. Г. Медленно меняющиеся на бесконечности полугруппы операторов / А. Г. Баскаков, Н.С. Калужина, Д. М. Поляков // Изв. вузов. Математика. — 2014. — № 7. — C. 3-14. — DOI: http://dx.doi.org/10.3103/S1066369X14070019.

5. Баскаков, А. Г. Теорема Берлинга для функций с существенным спектром из однородных пространств и стабилизация решений параболических уравнений / А. Г. Баскаков, Н. С. Калужина // Мат. заметки. — 2012. — Т. 92, № 5. — C. 643-661. — DOI: http://dx.doi.org/10.4213/mzm8963.

6. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С.В. Фомин. — М. : Наука, 1976. — 143 с.

7. Рудин, У. Функциональный анализ / У. Рудин. — М. : Мир, 1975. — 444 с.

8. Рыжкова, А. А. О периодических на бесконечности функциях / А. А. Рыжкова, И. А. Тришина // Науч. ведомости Белгород. гос. ун-та. Серия: Математика. Физика. — 2014. — № 36. — C. 71-75.

9. Рыжкова, А. А. О почти периодических на бесконечности решениях разностных уравнений / А. А. Рыжкова, И. А. Тришина // Изв. Сарат. ун-та. Новая сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2015. — № 15:1. — C. 45-49. — DOI: http://dx.doi.org/10.18500/1816-9791-2015-15-1-45-49.

REFERENCES

1. Baskakov A.G. Garmonicheskiy analiz lineynykh operatorov [Harmonie Analysis of Linear Operators]. Voronezh, Izd-vo VGU, 1987. 165 p.

2. Baskakov A.G. Garmonicheskiy i spektralnyy analiz operatorov s ogranichennymi stepenyami i ogranichennykh polugrupp operatorov na banakhovom prostranstve [Harmonic and Spectral Analysis of Operators with Limited Powers and Limited Semigroups of Operators on a Banach Space]. Mat. zametki [Mathematical Notes], 2015, no. 97:2, pp. 174-190. DOI: http://dx.doi.org/10.4213/mzm10285.

3. Baskakov A.G. Issledovanie lineynykh differentsialnykh uravneniy metodami spektralnoy teorii raznostnykh operatorov i lineynykh otnosheniy [The Study of Linear Differential Equations by Methods of Spectral Theory of Differential Operators and Linear Relations]. Uspekhi mat. nauk [Russian Mathematical Surveys], 2013, vol. 409, no. 68:1, pp. 77-128. DOI: http://dx.doi.org/10.4213/rm9505.

4. Baskakov A.G., Kaluzhina N.S., Polyakov D.M. Medlenno menyayushchiesya na beskonechnosti polugruppy operatorov [Slowly Changing at Infinity Semigroups of Operators]. Izv. vuzov. Matematika [Russian Mathematics], 2014, no. 7, pp. 3-14. DOI: http://dx.doi.org/10.3103/S1066369X14070019.

5. Baskakov A.G., Kaluzhina N.S. Teorema Berlinga dlya funktsiy s sushchestvennym spektrom iz odnorodnykh prostranstv i stabilizatsiya resheniy parabolicheskikh uravneniy [Beurling's Theorem for Functions with a Significant Range of Homogeneous Spaces and the Stabilization of Solutions of Parabolic Equations]. Mat. zametki [Mathematical Notes], 2012, vol. 92, no. 5, pp. 643-661. DOI: http://dx.doi.org/10.4213/mzm8963.

6. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elementy teorii funktsiy i funktsionalnogo analiza [Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis]. Moscow, Nauka Publ., 1976. 143 p.

7. Rudin U. Funktsionalnyy analiz [Function Analysis]. Moscow, Mir Publ., 1975. 444 p.

8. Ryzhkova A.A., Trishina I.A. O periodicheskikh na beskonechnosti funktsiyakh [Periodic Functions at Infinity]. Nauch. vedomosti Belgorod. gos. un-ta. Seriya: Matematika. Fizika, 2014, no. 36, pp. 71-75.

9. Ryzhkova A.A., Trishina I.A. O pochti periodicheskikh na beskonechnosti resheniyakh raznostnykh uravneniy [On Almost Periodic at Infinity of Solutions of Difference Equations]. Izv. Sarat. un-ta. Novaya ser. Ser. Matematika. Mekhanika. Informatika, 2015, no. 15:1, pp. 45-49. DOI: http://dx.doi.org/10.18500/1816-9791-2015-15-1-45-49.

HARMONIC ANALYSIS OF PERIODIC SEQUENCES AT INFINITY

Anna Aleksandrovna Ryzhkova

Postgraduate Student, Department of Nonlinear Oscillations,

Voronezh State University

a.r.ryzhkova@gmail.com

Universitetskaya Sq., 1, 394036 Voronezh, Russian Federation

Abstract. Let X be a complex Banach space and EndX be a Banach algebra. By lC = lC( Z,X) we denote the Banach space of two-sided sequences of vectors in X with the norm

||x||0 = sup \\x(n)\\, X : Z ^ X, x G 1°. nez

By c0 we denote the (closed) subspace of sequences of I00, decreasing at infinity, i.e. lim ||x(n)|| = 0.

n—^CXD

In the space l°°, let us consider the group of operators S(n) : I00 ^ I n G Z where (S (n)x)(k) = x(k + n), k G Z, x G I

The sequence x G 100 is called slowly varying at infinity if 5(1)x — x G c0,

i.e.

lim \\x(n + 1) - x(n)\\ = 0.

The sequence x of lx is called periodic at infinity period N > 1, N e N, if

S(N)x — x e c0.

An example of a sequence slowly varying at infinity is sequence x(n) = = sin(ln(a + n)), n e Z, where a > 0.

The set of slowly varying at infinity sequences form a closed subspace of lx which is denoted by I.

The set of periodic at infinity period N form a closed subspace of lx, which is denoted by INote that cq c Ic I%% for any N > 1.

Suppose that yk = e12^, 0 < k < N — 1, — the roots of unity. Note that they form a group, denoted further by Gn. One of the main results is

Theorem 1. Each periodic at infinity sequence x e lx period N > 1 representation of the form

n -1

x(n) = Y1 Xk (n)Yfc,

k=0

where Xk e l^, 0 <k<N — 1.

In a Banach space Ix(Z,X), where X — finite-dimensional Banach space, consider the difference equation

X(n + N) = Bx(n) + y(n), n e Z, (1)

where y e co(Z,X),B e EndX with the property So = a(B) n T = {Yi,Y2...,ymj — set of simple eigenvalues, where T = (A e C : |A| = 1} and a(B) denotes the spectrum of the operator B.

Theorem 2. Each bounded solution x : Z ^ X of the equation (1) is a periodic sequence at infinity, which is a representation of the form

n

X (n) = Y^xk (n)ynk, k=l

where xk e Yk e T, 0 < k < N-1.

Key words: periodic sequences at infinity , difference equations, eigenvalues, spectral decomposition, projectors.