Минимизация потерь прибыли в одной микромодели производства Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЭКОНОМИКИ

УДК 65в6

МИНИМИЗАЦИЯ ПОТЕРЬ ПРИБЫЛИ В ОДНОЙ МИКРОМОДЕЛИ ПРОИЗВОДСТВА

Любой предприниматель в целях получения максимальной прибыли стремится увеличить объем выпуска продукции и цену на нее. Однако необдуманное увеличение объема выпуска и цены может привести к противоположному эффекту. Поэтому при организации производства товаропроизводителю приходится учитывать факторы, которые приводят к потерям прибыли, убыткам.

Построим математическую модель организации производства некоторого товара, которая обеспечивала бы минимальные потери в прибыли.

Пусть рассматривается плановый период времени Т. Обозначим объем выпуска продукции в момент времени t через х^) ^ = 0,..., Т). Производителю важно, чтобы вся эта продукция была реализована, т.е. чтобы выпуск совпадал со спросом на этот товар в данный момент времени. Как известно, в первую очередь спрос зависит от цены на товар, но существуют и другие факторы, влияющие на спрос, как, например, цены товаров, заменяющих или дополняющих данный товар в потреблении, доход потребителя, вкусы и предпочтения потребителя и т.д. Все эти показатели, так же как и цена, имеют динамический характер, изменяются во времени, поэтому и спрос в конечном итоге можно рассматривать как некоторую функцию времени. Функциональную зависимость спроса от времени обозначим через

Добиться абсолютного совпадения спроса с объемом выпускаемой продукции практически нереально, а потому предприятие несет убытки. Если х(() > д(0, то налицо перепроизводство, и в первую очередь это ведет к потерям прибыли, если продукт скоропортящийся. Но даже если товар допускает длительное хранение, дополнительные затраты на его хранение неизбежны. Кроме того, в этой ситуации потребуются расходы на поиск новых потребителей. Если х(0 < д(0, то налицо дефицит, что означает недополучение прибыли, а это можно считать потерями. Кроме того, предприятие может лишиться постоянных покупателей и в результате опять будет терпеть убытки.

В любом случае потери растут, если растет величина \х(0 - д(^\, поэтому функциональную зависимость потерь от времени, которые возникают при несовпадении спроса и выпуска, определим как функцию:

т = а^)(х(0 - д(0)2, (1)

где а(0 - коэффициенты, которые характеризуют функцию потерь в каждый момент времени t, причем а(0 > 0.

Несовпадение спроса с объемом выпуска заставляет предпринимателя перестраивать производство, что опять ведет к убыткам. Определяющим фактором необходимости перестройки производства является величина:

и(0 = х^ + 1) - х(0, (2)

Н.Ю. Трошина,

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической экономики, СГУ

ВЕСТНИК. 2007. № 18(4)

♦

♦

т.е. интенсивность производства. Необходимость перестройки возникает как при увеличении выпуска (и^) > 0), так и при его уменьшении (и^) < 0). Функциональную зависимость потерь от перестройки производства определим как функцию:

Ф(0 = Ь(()и2((), (3)

где Ь^) > 0.

Пусть известен объем выпуска продукции в начальный момент времени: х(0) = х0. Предприниматель должен составить план выпуска в последующие моменты времени t = 1,...,7" так, чтобы суммарные потери, определяемые функциями (1), (3), были минимальны. Математической моделью этой задачи является дискретная задача оптимального управления, в которой в качестве состояния процесса рассматривается объем выпуска продукции х^), а в качестве управления - интенсивность производства и^). Связь между управлением и состоянием определяется равенством (2). На переменные х^) должно быть наложено естественное ограничение х^) >0. Полученная задача оптимального управления запишется следующим образом:

х^ +1) = + и() t = 0,...Т-1, (4)

х(0) = х0 , (5)

х^) > 0, t = 0,...,Т, (6)

1(х,и) = Тт£[ат(Ц - я«))2 + Ь^)] +

+ a(T)(x(T) - q(T))2 ^min. (7)

Наличие ограничения на переменные состояния сильно усложняет задачу. Чаще всего, чтобы избавиться от него, применяют метод штрафных функций или учитывают это ограничение только в ходе итерационного процесса, отбрасывая неподходящие решения1. В данной работе решается непосредственно задача (4) - (7).

Введем следующие обозначения: x = {x(0),...,x(T)} -дискретная траектория, u = {u(0),...,u(T - 1)} - дискретное управление, (x*,u*) - оптимальная пара (решение задачи (4) - (7)). Пары (x,u), удовлетворяющие условиям (4) - (6), будем называть допустимыми.

Рассмотрим конусы вариаций с вершиной в точке (x*,u*), соответствующие функционалу (7) и ограничениям: K0 - конус запрещенных вариаций функционала (7), K1 - конус касательных направлений для ограничений (4), (5), K2 - конус допустимых вариаций для ограничения (6). Сопряженные конусы обозначим соответственно K0*, K1*, K2*.

Для рассматриваемых конусов вариаций имеем следующие представления2. Конус K0 запрещенных вариаций с вершиной в точке (x*,u*) для функционала (7) состоит из тех и только тех пар (x,u), для которых выполняется неравенство:

T -1

£[2a(t)(x * (t) - q(t))x(t) + 2b(t)u * (t)u(t)] +

+ 2а(Т)(х* (Т) - я(Т))х(Т) < 0.

Конус К1 касательных направлений, соответствующий ограничениям (4), (5), состоит из тех и только тех пар (х,и), для которых выполняются равенства:

x(t + 1) = x(t) + u(t), (8)

x(0) = 0. (9)

Если Vt x*(t) ф 0 , то K2 - это все пространство пар

(x,u). Если же множество Q = {t: x*(t) = 0} не пусто, то K2 состоит из тех и только тех пар (x,u), для которых выполняется неравенство:

max [- x(t)] < 0.

teQ

Используя понятие и свойства опорных функционалов, можно найти вид функционалов, принадлежащих сопряженным конусам K0*,K2*.

Функционал f0, принадлежащий конусу K0*, определяется формулой:

f0 = А,{Е[2a(t)(x * (t) - q(t))x(t) + 2b(t)u * (t)u(t)] +

t=0

-2a(T)(x*(T)- q(T))x(T)} . (10)

Если Q пусто, то функционал f2 из K2* совпадает с нулевым функционалом. Если Q не пусто, то:

f2(x,u) = -%i Е a(t)(-x(t)),

ten

где lva(t) > 0, Е a(t) = 1.

ten

Обозначим ц(t) = X1a(t), если t e П , т.е. если x*(t) = 0. Если x*(t) ^ 0, то положим n(t) = 0. Тогда:

f2(x,u) = Е V(t)x((t), (11)

t=0

причем t) > 0, ^(t)x*(t) = 0.

Функционалы f1 из сопряженного конуса K* к конусу касательных направлений обладают свойством:

f1(x,u) = 0, если (x,u) e K1. (12)

Нетрудно показать, что конусы K0, K1, K2, выпуклы, K0, K2 открыты, K1 замкнут и их пересечение пусто. Следовательно, имеет место теорема Дубовицкого - Милютина3 о пересечении выпуклых конусов, согласно которой существуют не равные одновременно нулю линейные функционалы f0, f1, f2, заданные на множестве пар (x,u) и принадлежащие конусам K0*, K1*, K2* соответственно, для которых выполняется уравнение Эйлера: f0 + f1 + f2 =

Это уравнение используется для вывода необходимых условий оптимальности пары (x*,u*), которые состоят в следующем:

1) существуют числа ^(t) > 0 (t = 0,...,T) и дискретные переменные \(t) (t = 0,...,T), которые удовлетворяют сопряженной системе:

4(t) = v(t - 1) - a(t)(x * (t) - q(t)) - v(t) - (13) с краевым условием:

4(T) = - a(T)(x* (T)- q(T))- \i(T); (14)

2) выполняется условие:

V(t)x*(t) = 0 (t = 0,..., T); (15)

3) управление u* определялось по формуле:

1

u*(t) = T^V(t +1) (t = 0,--,T - 1). (16)

b(t)

Чтобы получить эти условия, возьмем (x,u) e K1. Используя формулы (10), (11) и свойство (12), запишем уравнение Эйлера:

t=0

=0

- Хо X [2аа)(х * а) - яа))ха)+2ь^)и * амо] -

t=о

- Хо2а(Т)(х * (Т) - я(Т))х(Т) + X ^)х«) = 0. (17)

t=о

Согласно (8) для пар (х,и) е К1 имеет место равенство:

- х^ + 1) + х(0 + u(t) = 0. Умножая это равенство на вспомогательные переменные v(t) (t = 0,...,Т -1), будем иметь:

у^ +1)(-х^ +1) + x(t) + и= 0 . Просуммируем полученное выражение по t от 0 до Т - 1 и сложим с (17). Получим:

Т-1

-Х0X[2а(()(х* (() - я(())х(() + 2Ь(()и * (ф(()] -Х02а(Т)(х* (Т) -

t=0

- д(Т))х(Т) +£ №)х(Ц + +1)(-х(( +1) + х({) + и({)) = 0,

t=0 t=0

или:

Т-1

- Х0X[2а(0(х * (0 - яЮ)х(0 + 2Ь^)и * (ф^)] -

t=0

Т Т -1

- Х02а(Т)(х * (Т) - я(Т))х(Т) + £М)хт -XуЮх(0 +

t=о м

Т -1

+ у( 0 )х( 0) - у(Т)х(Т) + + 1)(х(0 + и= 0.

t=0

Преобразуем это равенство, учитывая, что х(0) = 0:

Т-1

X

t=0

X[V« +1)- Хо2a(t)(x *(0 - яа)) + №)]ха) -

Таким образом, y(t) = 0 , и, значит, ^(t) = 0. Следовательно, х,и) = 0, а так как при Х0 = 0 ^(х,и) = 0, то из уравнения Эйлера будет вытекать, что £,(х,и) = 0, а это противоречит теореме Дубовицкого - Милютина.

Таким образом, Х0 & 0 , и можно взять Х0 = ^, а тогда из (20), так как Ь^) > 0, для оптимального управления будем иметь формулу:

1

и= +1)

Ь(t)

гдеv(t) удовлетворяет сопряженному уравнению (13) и краевому условию (14).

Докажем теперь обратное утверждение, а именно: если пара (х*,и*) допустима и для нее выполняются условия (13) - (15), то эта пара является оптимальной. Для этого образуем вспомогательный функционал:

Т Т -1

1(х,и) = X аа)(ха) - Я^))2 + X Ь^)и2(О -

t=0 t=0

Т-1

- 2X4^ +1)(- х^ +1) + х^) + и^)) - 2х( 0 ),

t=0

где v(t) - переменные, удовлетворяющие условиям (13) - (14).

Обозначим А/ = I(х,и)- /(х*,и*), А/1 = 11(х,и)- 11(х*,и*) .

Если (х,и) - произвольная допустимая пара, то, очевидно, А/1 = А/.

Для А/1 имеем:

Щх, и) = X [а(0(х^) - я^))2 - а(^(х * (^ - я^))2] +

t=0

Т-1 Т-1

+ X [Ь^)и2(О - Ь^)и *2 а)] - 2XУ(0(-Ах(0) -

t=0 Т -1

+X [ V«+1) -Х02ь^)и*а)]иа)+

t=0

+ [^(Т) - Х02а(Т)(х * (Т)- я(Т)) + Т)]х(Т) = 0.

Пусть переменные v(t) удовлетворяют условиям:

Ч^) = - 1)- Х02а^)(х*^)- я- №) , t = 0.....Т-1, (18)

у(Т) = -Х02а(Т)(х * (Т)- я(Т)) + ¡л(Т) . (19) Тогда будем иметь:

X [ +1) -Х02Ь^)и*(П]и(П = 0.

t=0

Так как на управление и(0 не наложено никаких ограничений, отсюда следует:

+1) = Х02Ь^)и*^), t = 0,...,Т - 1. (20) Покажем, что Х0 & 0 . Пусть Х0 = 0 . Тогда из (20):

Ч(1) = ¥( 2) =... =ч(Т) = 0. Далее, так как х*(0) & 0, то 0) = 0 , поэтому на основании (18):

¥( 0) = 0.

- 2X + 1)Ах(П - 2ч(Т)(-Ах(Т) - 2X4^ + 1)Аи(0.

t=о t=о

Преобразуя выражение справа, получим:

Т-1

А/1(х, и) = X [а(()Ах2(() + 2а(()(х * (() - я(П)гх(П] + а(Т)Ах 2(Т) +

t=0

Т -1

+ 2а(Т)(х * (Т) - я(Т))Ах(Т) + X [Ь^)Аи2 (() + 2Ь(ф * (()Аи(()] +

t=0

Т -1 Т -1

+ 2X (У^) - V« + 1))Ах(()) + 2ч(Т)Ах(Т) - 2X4^ + 1)Аи(().

t=0 t=0

Так как переменные y(t) удовлетворяют равенствам (13), (14), (16), то будем иметь:

АЦх,и) = Xа(ПАх2^) +X Ь^)Ми2(П + 2Xv(t)Аx(t).

t=0 t=0 t=0

Для допустимой пары x(t) > 0 (при всех Кроме того, имеет место равенство (15). Поэтому Ы = > 0. Значит, для лю-

бой допустимой пары (х,и) А/1(х,и) > 0. Следовательно, (х*,и*) - решение задачи (4) - (7).

Т -1

Таким образом, условия (13) - (16) являются не только необходимыми, но и достаточными. Тем самым задача оптимального управления сведена к следующей краевой задаче, которую принято называть краевой задачей принципа максимума:

1

ха +1) = х^) +—у^ +1), t = 0,...,Т- 1, (21) Ь^)

у (О = у^ +1) -а(0(х(0-яЮ) + №) , t = 0,...,Т- 1, (22) х(0) = х0, (23)

у(Т) = -а(Т)(х(Т) - я(Т)) + ц(Т) , (24)

^(t)x(t) = 0, t = 0,...,Т, (25)

^) > 0, t = 0,...,Т. (26)

Существование и единственность решения этой системы следуют из необходимости и достаточности условий (13) - (16) и существования и единственности решения задачи (4) - (7) как линейно-квадратичной задачи оптимального управления. Далее приводится алгоритм, позволяющий сократить число уравнений системы, необходимых для нахождения оптимального управления и оптимальной траектории.

Покажем, что для переменных х((),у((), удовлетворяющих уравнениям (21), (22), (24), имеют место формулы:

, MT_i(T) = --

1

где:

лГ1 = 1+ a(T) ,B =-a(T)q(T)

b(T-1) Bt-1= b(T-1) • ' b(T-1)

Ct-i = -a(T) - a(T-1)^ , C^ = a(T)q(T)+a(T-1)q(T-1) --a(T - 1)Bt-1, Qt-1(T) = 1 - a(T - 1)Mt-1(T) ,

С,+

At = At+1 —. t.+1. Bt = Bt+1 — t+1

b(t)

b(t)

Mt(t +1) = -— , t = 0.....T - 2,

b(t)

1

(29)

M(t) = Mm(t)-—Qm(t) , т = t + 2,..., T , t = 0.....Г - 2;

b(t)

C = С, +1 -a(t)A, D = Dt+1 - a(t)q(t)- a(t)Bt, t = 0.....T- 2,

Q(t +1) = 1-a(t)Mt(t +1) , t = 0,...,T- 2, Qt(T) = Qt +1(t)- a(t)Mt(t), т = t + 2,..., T , t = 0,...,T- 2. Найдем x(T - 1) из (21), используя (24):

x(T -1) = x(T)-^¡^ = x(T)[(-a(T)(x(T) -

b(T -1)

b(T -1)

4(T - 1) = - a(T)(x(T) - q(T)) - ц(Т ) - a(T - 1)[At-1x(T) - Bt-1 -+ Mt-1(T)p.(T)] - a(T - 1)q(T -1) - ц(Т -1) = (-a(T) - a(T - 1)A-1 )x(T) -- a(T)q(T) - a(T - 1)BT-1 - a(T - 1)q(T -1) - (1- a(T - 1)Мт-1(Т))ц(Т) -- ц(Т -1) = Ct_1x(T) - DT_1 - QT JTMT) - ц(Т -1). Таким образом, формула (28) верна для t = Т - 1. Аналогично подсчитаем x(T- 2), \(Т- 2): x(T - 2) = At-2x(T) -Вт-2-Mt-2 (Т - 1)ц(Т - 1)-Мт-2(Т)ц(Т), мт - 2) = Ct_2x(T) - DT_2 - Qt_2(T - 1)ц(Т -1) - Qt_г(Т)ц(Т) -ц(Т - 2).

Значит, формулы (27), (28) верны при t = Т - 2. Пусть теперь они верны для момента времени t. Докажем их справедливость при t - 1. Из равенства (21) имеем:

"Г* ~ 'Г |cr+f

J [C,x(Tf* D, • X GtfWf* m}^ r b(t -1) b(t -1) b(t-1)'*f

x(t) = A,x(T) + Bt + £M{(t)h(t) , t = 0,...,T- 1, (27)

T=t + 1

y(t) = Ctx(T) + Dt + ( t M t )+^(t) , t = 0,., T - 1, (28)

M.

А, (ffrfji

ьр-1)

т.е. получили (27) для t - 1.

Используя полученную формулу и предположение индукции, подсчитаем у(t -1):

у« -1) = у«) - аа - 1)(х« -1) - яа -1)) + -1) = Сх(Т) + Ц +

+ % Qt (t M t ) + v(t) - a(t - 1)[At-1x(T) + Bt -1 + % M,-1 ( t M t )]

+

+ a(t - 1)q(t -1) + -1) = (C, - a(t - 1)A,-, )x(T) + D, - a(t - 1)B,-, + + a(t - 1)q(t -1) + v(t) - a(t - 1)M,-,(t)^(t) + £ [Q,( t) - a(t - 1)M, _,( т)]]х( т) +

T=t +1

+v(t -1) = Ct-1X(T) + Dt-1 + ( 1 - a(t - 1)M(-1 (t)Mt) + + £ Qt _1 ( iM( t) + v(t -1) = Ct-X(T) + Dt _1 + £ Qt _1 (T MT) + ^(t -1).

T=t+1 T=t

Следовательно, формула (28) верна для t - 1.

Из (27) при t = 0, учитывая начальное условие x(0) = x0, будем иметь:

т

Xo = Ao x(T) + Во + £ Mo( т M t ).

t=1

Так как A0 ф 0 (следует из формул (29)), отсюда можно выразить x(T):

-я(Т))+»(Т)] = (1^-а(1Ь)х(Т) - ашп-ЖЬ=

// ш п Ь(Т -1/ Ь(Т -1) Ь(Т -1)

= Ат-1х(Т) + Вт+ Мт_,(ТМТ) . Отсюда следует формула (27) для t = Т - 1. Далее, используя полученную формулу и равенство (22), вычислим у(Т - 1):

x(T) = A0'[x0 -B0 M0(tMt)].

(30)

Подставим найденное значение x(T) в (27). Получим: x(t) = AtA0'[x0 - B0 M0( t M t )] + Bt +% Mt( t M t ),

T=t+1

t = 1.....T - 1.

(31)

T=t + 1

T=t +1

♦

♦

Таким образом, нашли выражение переменных х(г) через ^(г). Если подставим их в равенства (25), получим систему квадратных уравнений относительно переменных . Найдя неотрицательное решение этой системы, при котором х(г) > 0 (г = 1,...,Т), по формулам (30), (31) вычислим оптимальную траекторию. Затем из (28) найдем сопряженные переменные, а из (16) - оптимальное управление.

Следует заметить, что для решения систем нелинейных алгебраических уравнений разработаны численные методы, хорошо известные в литературе4.

При краткосрочных временных интервалах Т может быть целесообразным применение алгоритма точного решения задачи, который состоит в следующем.

Равенства (30), (31) представляют собой относительно переменных х(1),...,х(Т),|(1),...,|(Т) систему линейных алгебраических уравнений, которую можно записать в следующем виде:

х(1) + ДАо1 £ Мо ( т М т) М{ (т М т) =

т=1 т=г+1

= А,А-1[х0 - Во] + В„ f = 1.....Т -1, (32)

х(Т) + Ао1^ Мо(тМт) = А01(Х0 - Во ). (33)

т=1

Нужно найти решение этой системы при условиях: \х(г)х(г) = 0, \х(г) > 0, х(г) > 0 (г = 1,...,Т). Для этого при каждом г положим х(г) = 0, или \х(г) = 0 .

Пусть, например: х(г]) = о, когда ^ е и1, \и(т¡) = 0, когда т] е и2, (34) где и1, и2 - некоторые упорядоченные подмножества множества индексов и = {1,2,..., Т}, причем

и1 и и2 = и, и1 п и2 =0.

В результате получим систему Т уравнений с Т неизвестными. Обозначим определитель этой системы через А. Возможны следующие случаи.

УДК 65в6

1. Определитель Д ф 0 . Тогда будем иметь решение:

(х((, ),...,х((к), Iт),...,\1(тк)}, е и2, т, е и1. (35)

Если в этом решении есть отрицательные величины, то отбрасываем его, выбираем другой вариант равенства ^(г)х(г) = 0, т.е. меняем множества индексов и1, и2 в условии (34) и повторяем вычисления.

Если в полученном решении (35) все х(г]), |(т]) > 0,

из найденных х(г])(г] е ]2)и х(^) = 0 (^ е и1) строим оптимальную траекторию.

2. Определитель А = 0. Если при этом система не имеет решения, то переходим к другой комбинации ц(г)х(г) = 0, как говорилось выше.

Рассмотрим случай, когда при А = 0 система имеет бесконечно много решений и среди них есть такое, в котором все х(г), |(г)>0. Но тогда такое решение не единственно, и мы получили противоречие с единственностью решения исходной задачи. Следовательно, такая ситуация невозможна, в случае А = 0 следует сразу переходить к другой комбинации индексов в (34).

Из существования решения исходной задачи следует, что оптимальное управление будет найдено за конечное число шагов, каждый из которых состоит в решении системы линейных алгебраических уравнений размерности Т. В частности, если Т = 4, максимальное количество систем, которое придется решить, равно 16.

Таким образом, получен алгоритм точного решения построенной математической модели. Использование этого алгоритма позволит составить план выпуска продукции, который обеспечит минимальные потери в прибыли.

1 См.: Лагоша Б.А. Оптимальное управление в экономике. М., 2003.

2 См.: Трошина Н.Ю. Принцип максимума и задача синтеза для линейных дискретных систем: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 1997.

3 См.: Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Задачи на экстремум при наличии ограничений // ЖВМ и МФ. 1965. № 3.

4 См.: Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М., 1966.

ОЦЕНКА ФАКТОРОВ

ДИВИДЕНДНОЙ ПОЛИТИКИ КОРПОРАЦИИ

Сегодня уровень корпоративной культуры в России повышается, вводится понятие «культура отношений с акционерами», которое включает в себя такие элементы, как проведение честной и открытой дивидендной политики, культуру проведения собраний акционеров, четкое реагирование на запросы акционеров, регулярное информирование акционеров о деятельности компании и т.д. Дивидендная политика должна учитывать неотъемлемое право акционера на получение части чистой прибыли в виде дивидендов, основываться на сбалансированном учете интересов корпорации и ее акционеров при определении размеров соответствующих выплат, способствовать повышению капитализации компании и ее инвестиционной привлекательности.

Основной целью разработки дивидендной политики является установление необходимой пропорциональности между текущим потреблением прибыли собственниками и будущим ее ростом, максимизирующим рыночную стоимость корпорации и обеспечивающим стратегическое ее раз-

Е.А. Фокина,

ассистент кафедры экономической информатики и управления, Волгоградский государственный университет

ВЕСТНИК. 2007. № 18(4)