CC BY
102
УДК 528.85
Шама е. О.
Аспiрант, Запорiзький на^ональний технчний унiверситет, Украна, Е-таН: [email protected]
М1Н1М1ЗАЦ1Я К1ЛЬКОСТ1 1НФОРМАТИВНИХ ОЗНАК ПРИ ПОБУДОВ1 КЛАСИФ1КАТОРА РОСЛИННИХ ОБ'6КТ1В
В статтi показана можливють зменшення кiлькостi iнформативних ознак з початкових 256 значень до 4 при побудовi класифжатора рослинних об'екпв за результатами дистанцiйного зондування. Для побудови розшзнавально! моделi був використаний множинний лшшний дискримiнантний анаиз Фiшера. Для обраного набору даних, встановленi оптимальнi дiапазони ознаки.
Ключовi слова: розшзнавання, спектральнi коефiцieнти яскравосп, ознаки, класифiкатор.
ВСТУП
Основна вимога до шформацп - змша уявлення про об'екг дослвдження вщповщно до поставлених задач. Змют 1 шльшсть шформацп, що була отримана за допомогою дистанцшних метод1в, обумовлена р1внем первинних знань 1 заздалепдь сформульованими вимогами, задачами. Саме обмежешсть 1 визначенiсгь шформацп дозво-ляють формал1зувати отримаш ввдомосп. Отримана шформащя може бути р1зномаштна за формою 1 зм1стом, мати р1зномаштну щнтстъ, що визначаеться штересами споживача шформацп [1].Одтею з ключо-вих проблем в ргшент р1зноматтних завдань анал1зу даних (оцшка регресп, розшзнавання образ1в, кластериза-щя, прогнозування) е в1дб1р шформативних ознак. Ре-альт процеси в техшчних системах можуть описуватися великою к1льк1стю р1зних ознак. При цьому не завжди уа з них е 1стотними або значимими, тобто необх1дними для побудови адекватно! модел1 процесу (регресшно! модел1, класифшацшно! модел1 та ш.). Кр1м того, актуальшсть вщбору шформативних ознак стае особливо ввдчутною у зв'язку з характерною для б1льшосп алгортшв анал1зу даних проблемою «прокляття розм1рносп». Ця проблема полягае в р1зкому падшт ефективносп алгоритму або р1зкому збшьшент необидного обчислювального ресурсу для ефективно! роботи алгоритму при зб1льшент роз-м1рносп (збшьшенш числа ознак) вир1шувано! задач1 анал1зу даних.
На сьогодш запропоновано велику к1льк1сть метод1в ввдбору шформативних ознак або зниження розм1рносп [2]: метод головних компонент, модел1 1 методи факторного анал1зу, багатовим1рне шкалування 1 шш1. Кожен з розроблених метод1в мае сво! переваги 1 недол1ки, у ба-гатьох випадках е обмеження на застосування того або 1ншого методу. Вплив юлькосп ознак на яюсть розтзна-вання об'екпв (у тому рахунку 1 рослинних об'екпв) розглянуто у ряд робот [3, 4, 5]. Але в цих роботах класи-ф1кащя об'екпв проводилися або лише на два класи, або проводилися класиф1кащя нерослинних об'екпв (харак-
© Шама е. О., 2013
тер статистичного зв'язку м1ж коефщентами вщбиття рослинних об'екпв в1др1зняеться в1д статистичного зв'язку м1ж коефщентами вщбиття нерослинного походжен-ня), або була запропонована бшьша к1льк1сть ознак, шж у цш стат.
Мета роботи полягае у дослвджент впливу шлькосп шформацшних ознак на як1сть розшзнавання рослинних об'екпв на три класи за експериментально отриманими даними дистанцшного зондування рослинних об'екпв, що обумовлена видом рослини. Кшьюсть обраних клаав, яка дор1внювала трьом обумовлена тим, що в якосп першо-го класу обрано корисну культуру (кукуруцзу), а в якосп двох 1нших клаав - бур'яни - мишш та амброз1я. Не-обхщшсть розпод1лу бур'шв на два класи обгрунтована тим, що для знищення однодольних бур'яшв (мишш) та дводольних (амброз1я) застосовують р1зш гербщиди [6]. Р1вень ймов1рносп в1рного розшзнавання встановимо р1вним 90 % для кожно! рослини, це е прийнятним для реальних польових умов. Розшзнавання рослин буде проведено на корисш (кукурудза - перший клас) 1 бур'яни (амброз1я - другий клас, мишш - третш клас).
1 МЕТОДИ ЗМЕНШЕННЯ КИЬКОСП ОЗНАК
Оск1льки велика розм1ртсть (юльюсть початкових ознак) становить суттеву проблему при побудов1 класифь катора, було запропоновано велику к1льк1сть метода зменшення розм1рносп [6]. Б1льшють цих метода забезпечу-ють функцюнальне вщображення, так що можна визначити ввдображення довшьного вектору ознак. Класичними процедурами е анал1з головних компонент 1 факторний анал1з, обидва з них зменшують розм1ршсть шляхом формуван-ня лшшних комбшацш ознак. Але коефщенти ввдбиття ввд рослини в шфрачервоному даапазот не е набором стати-стично незалежних ознак [7]. В цьому випадку не можли-во застосовувати розроблет 1 апробоваш вищенаведеш методи зменшення шформацшних ознак. Тому правиль-ний виб1р 1 в1дб1р кшькосп шформацшних ознак можна здшснити за допомогою суб'ективного перебору р1зних по складу набор1в ознак 1 вибором найб1льш шформатив-
ного з них при !х допустимiй кшькост! В якосп показника iнформативностi краще всього використати ймовiрнiсть правильного розпiзнавання окремо! рослини [8]. Опти-мальним виршальним правилом при оц1нц1 цього показника е правило Байеса.
Наприклад, для багатовимiрного нормального випад-ку для двох класiв, коли апрюрт ймовiрностi для кожного класу рiвнi, то байесовский рiвень помилки визначаеть-ся рiвнянням:
17 1 2 P(e) = ^^--I exp(---u )du ,
r/2 2
42 ■%
(i)
де r2 - квадратична махалонобкова ввдстань, яка дорiв-нюе:
r 2 = (Ц1 -Ц2/'Z 1(И
(2)
де ц 2 - вектори-стовбцi ознак першого та другого класу; ^ - ковариацiйна матриця.
Таким чином, ймовiрнiсть помилки зменшуеться при збiльшеннi r, прагнучи до нуля при спрямуванш r до не-скiнченностi. У разi незалежних змшних
diag (aj2,..., ad), маемо
d
=1 (■
i=1
Ц1
Цг2)2
(3)
Видно, що кожна з ознак кожного класу впливае на рiвень ймовiрносгi помилки. Найкращими в цьому сенсi е т ознаки, у яких рiзниця середнiх значень велика в по-рiвняннi iз стандартними ввдхиленнями.
При робот з багатоспектральними даними, як1 харак-теризують коефiцiенти вiдбитгя рослин, можуть засто-совуватися методи часткового перебору, до яких вщно-сять «послвдовно! селекци впереди», «послвдовнш селекци назад», «узагальнет» алгоритми селекци, «мЫмальний» алгоритм, алгоритм «гiлок i меж», алгоритм «стохастич-ного пошуку» i iн. Але вищезазначенi методи не гаран-тують одержання оптимального результату [9]. Тому що, коефщенти вщбиття рослин, в загальному випадку, е нерiвноцiнними та статистично залежними i при частко-вому переборi е вiрогiднiсть того, що велика частина варiантiв складання наборiв ознак виключаеться з розг-ляду. Тому використання алгоритмiв часткового перебору не завжди доцiльне, оск1льки показники розтзнаван-ня при !х застосуваннi можуть попршитись.
Загальна к1льк1сть наборiв ознак у разi повного перебору визначаеться величиною
P = 1 С; = 2m -1, i=1
(4)
де Ст - к1льк1сть поеднань з m по i; m - к1льк1сть пооди-ноких ознак в початковш системi; i=1,2,.. ,,m.
2 ЕКСПЕРИМЕНТ I ОБРОБКА РЕЗУЛЫАТТО
Вимiри спектральних коефiцiенгiв ввдбття проводи-лися на полi ТОВ «Aгрофiрма «Матвпвка», Вшьнянсько-го району, Запорiзько! областi на початку червня при мшливш хмарностi. Поле було засаджене корисною культурою - кукурудзою, яка на момент зняття вимiрiв мала вш 6-7 недiль п1сля сходав. Окрiм корисно! культури на полi були присутнi наступнi бур'яни: амброзiя, берiз-ка, мишiй, пирiй, пастуша сумка, суршиця i iн. Серед бур'яшв, для подальшого дослiдження, були вщбраш мишiй та амброзiя, так як вони складали переважну долю бур'яшв на пол^ Перемiщення об'ектива приймача спектрометра вiд одше! рослини до шшо! в продовж рядка проводилося рiвномiрно, приблизно на постшнш швид-костi руху (0,5-1) м/с. Вимiри спектральних характеристик рослин проводилися за допомогою приладу, який автоматично з перiодом 1 s збертав поточну шформа-щю (коефiцiент ввдбиття i координати мiсця) i зовшшньо-го вигляду рослини. Пристрiй для дослщження спектрiв складався з: спектрометра Red Tide650 з волоконно-оп-тичним кабелем P200-2-UV-VIS i лiнзою 74-VIS (фiрма Ocean Optics); Web-камера A4Tech PK-838G для фото-графування зображення рослин.
3 уах експериментальних даних, для подальшого досль дження було вщбрано 2268 спектральних юефщенпв в1дбит-тя рослин. Крт^ем ввдбору була можливiсть вiзуального визначення виду рослин по зображеннях i формi спектрально! криво! (ввдсуттсть обмежень i надшрно! зашумлен-носп). Назва i к1льк1сть вибiрок рослин, яю були вiдiбранi для подальшого дослвдження, наведенi в табл. 1.
Наступним етапом була обробка отриманих даних i визначення впливу кiлькостi ознак на яшсть розп1знання рослин. Спектральт коефщенти ввдбиття рослин, як1 були отримаш спектрометром, за допомогою написаного макросу були введет в програму Excel2010, в результатi чого було отримано 3 масиви чисел: матриця коефщенпв ввдбиття для кукурудзи - 699x256, матриця коефщенпв вiдбиття для мишш - 687x256 i матриця коефщенпв ввдбиття для амброзй' - 882x256.
Дал^ кожна з трьох матриць тддавалася нормуван-ню за лшйним законом
цi M-i,min
(5)
цг.
де юг-, цi - нормованi та вимiрянi спектральнi коефщен-ти яскравост на довжинi хвилi , в^поввдно;
Таблиця 1. Видовий склад дослщжуваних рослин
Вид рослини Латинська назва Кiлькiсть екземпляргв
Кукурудза zea 699
Aмброзiя Ambrosia artemisiifölia 882
Мишш Setaria viridis 687
Усього 2268
2
r
ст
юг- =
Н-г,тах, Н-г,тш - максимальн1 та М1Н1МаЛЬН1 вим1рян1 спек-тральт коефщенти яскравосп.
Залежнють нормованих коефщенпв вщбття, розра-хованих по формул1 (5), ввд довжини хвил для кукурудзи, мишш i амброзп наведеш на рис. 1.
Для визначення впливу кшькосп шформацшних ознак на як1сть розтзнавання рослинних об ' екпв на 3 класи за експериментальними даними був використаний множин-ний л1ншний дискримшангаий анал1з Фшера, при прове-дент якого для вщбору найбшьш шформативних ознак була виконана процедура покрокового включення змшних. Були розраховаш значення класиф1кацшних матриць для кожного набору ознак, для окремих набор1в ознак розра-ховували Wilks' Lambda, оцшено отриману систему кла-сифшацшних р1внянь i адекваттсть отримано! модели Ре-зультати дослвдження оброблеш 1з застосуванням статис-тичного пакету програми «STATISTICA6.1 ® for Windows компани StatSoft Inc, а також «Microsoft Excel 2003». Ок-рем1 статистичт процедури i алгоритми реал1зоват у виг-ляд! спещально написаних макроав у вщповщних програ-мах. Для ус1х вида анал1зу статистично значимими вважа-ли вщмшносп при р<0,05.
Зменшення ознак проводили до тих шр поки ймов1ршсть в1рного розтзнавання одше1 1з рослини -кукурудзи, мишш, амброзп не стане менше 90 %. В1дб1р шформацшних ознак проводився в межах одного набору, тобто 183 ознаки вщбиралися з початкового набору, що складав 256; 81 з 183; 73 з 81; 46 з 73 i т. д., поки не був досягнутий задовшьний вар1ант для 5 ознак. Класиф1ка-цшна матриця для 4 ознак наводиться для констатаци факту зменшення ймов1рносп в1рного розтзнавання. Резуль-тати розрахуншв наведен на рис. 2-6. На рисунках прий-нят1 наступш скорочення: а - амброз1я, k - кукурудза, m - мишш.
Значення ймов1рностей в1рного розтзнавання для 183, 81, 73, 46, 30 i 3 шформацшних ознак у вигляд класи-фшацшних матриць не наводяться, але враховуються при побудов1 граф1ка залежносп усереднених значень ймов-1рностей в залежносп ввд кшькосп ознак, який наводиться на рис. 7.
Рис. 1. Залежнють нормованих коефщенив вiдбиггя вщ довжини хвилi для амброзп, мишто, кукурудзи
Рис. 2. Класифiкацiйна матриця для апостерюрно'1 ймовiр-носгi розтзнання рослин на три класи з використанням 256 ознак
Class
Total
Classification Matrix ['Вместе - амброзия, кукуруза. мыший_6) Rows: Observed classifications Columns: Predicted classifications
Percent Correct
31.98356
k
p= 3032
F= 3833
p= 3029
38.52608 36.94323
643.0000 4.0000 52.0000 0 0000 869,0000 13:0000 7.0000 14 0000 666.0000
36 03175 650 0000 887 0000 731 0000
Ш Ш
Рис. 3. Класифжацшна матриця для апостерюрно'1 ймовiр-ност розпiзнання рослин на три класи з використанням 7 ознак
Group Classification Matrix (Вместе - амброзия Rows: Observed classifications Columns: Predicted classifications кукуруза. мыший_6)
Percent Correct fc p=.30820 a p=.38889 m p=.30291
к 90 98712 636 6 57
а 96.71202 0 853 29
m 95.48763 13 18 656
Hl
Рис. 4. Класифжацшна матриця для апостерюрно'1 ймовiр-ност розпiзнання рослин на три класи з використанням 5 ознак
Рис. 5. Даш дискримшантного аналiзу при класифжаци рослин на три класи з використанням 5 ознак
Group Classification Matrix (Вместе - амброзия. Rows: Observed classifications Columns: Predicted classifications ■гукуруза, мыший_6)
Percent Correct k p=,30820 a p=.38889 m p=.30291
k 83.54793 584 5 110
a 96.25851 0 849 33
m 91,41193 31 28 628
Total 90.87302 615 882 771
ШШ
Рис. 6. Класифжацшна матриця для апостерюрно'1 ймовiр-носгi розпiзнання рослин на три класи з використанням 4 ознак
Рис. 7. Залежнють ймовiрностi BipHoro розпiзнання рослин (середньо! за трьома класами) вiд юлькост iнфopмативних ознак
З вищенаведених розрахунк1в, видно, що прийнятним з точки зору якосп розтзнавання рослинних об'екпв на три класи (кукурудза, мишш, амброз1я) е зменшення шлькосп ознак до 5, при цьому ймов1рн1сть в1рного розтзнавання для амбрози складае 96,71 %, для мишш 95,48 % i для кукурудзи - 90,98 %. При цьому найбшь-ший вклад в дискpимiнацiйну характеристику з 5 обра-них ознак дае довжина хвилi 462,5 нм, суттевий вклад дае також ознака з довжиною хвилею 643,49 нм. 1х сумарний внесок в загальний вщсоток вipнoгo poзпiзнавання рос-лини складае понад 64 %.
Серед обраних рослин, найкраще poзпiзнаванню тддаеться амбpoзiя. Це може бути зумовлене геомет-piею листк1в, !х товщиною i щiльнiстю, вщносною наявн-ютю пiгментiв (хлopoфiлу, каpoтинiв, ксантoфiлiв i iн). Зменшення ознак, в першу чергу, впливае на зменшен-ня ймoвipнoстi вipнoгo розтзнавання корисно! культу-ри - кукурудзи.
Також, при пеpебopi ознак було встановлено, що шльшсть ознак може бути зменшена з 5 до 4, при цьому ймoвipнiсть розтзнавання для кожного класу не буде нижче нiж задана (90 %). Також, для випадку 4 ознак, були встановлет оптимальт ознаки - довжини хвиль, якими е: 395,68 нм, 462,5 нм, 643,49 нм i 729,8 нм. Кожна з чотирьох довжин хвиль змiнювалась в диапазон ±50 нм, в piзних кoмбiнацiях. Для допуску ±50 нм для кожно! довжини хвил^ ймoвipнoстi вipнoгo розтзнавання суттево не змiнювались i для кожно! рослини були бшьше 90 %. На рисунках 8 i 9 наводяться класифiкацiйна матриця i данi дискримшантного аналiзу для випадку 4 ознак (вони вiдpiзняються ввд набору ознак, що наводився на рисунку 5). При спpoбi зменшити к1льк1сть ознак до 3 для цього набору ознак, ймoвipнiсть вipнoгo poзпiзнавання для амбpoзi! склала 99,43 %, для мишш 97,23 %, для кукурудзи 85,4 %, що не е задовшьним для встановленого piвня вщповщност!
ВИСНОВКИ
В результат проведених експериментальних дослвд-жень, було встановлено що кшьшсть iнфopмацiйних ознак можна зменшити до 4 при вдалому пеpебopi початко-вих ознак. Зменшення ознак дасть мoжливiсть зменшити ваpтiсть класифшатора, спростить його схему, шдвищить надайтсть. Так, при обраних 4 довжинах хвиль (ознаках):
Group Classification Matrix (Вместе - амброзия. Rows: Observed classifications Columns: Predicted classifications кукуруза. мыший_Б)
Percent Correct к p=,30820 a p=.388S9 rn p=,30291
'к 94.4206011 660 0 39
а 99,31973 0 376 6
m 97,52547 11 6 670
Total 97,26631 671 882 715
Рис. 8. Класифжацшна матриця для апостерюрно! ймoвipнoстi розтзнання рослин на три класи з використанням 4 ознак
N=2268 Discriminant Function Analysis Summary {Вместе - амброзия, кукуруза, мыший б) No. ofvars in model: 4: Grouping: Var257(3 grps) waits' Lambda: .06223 approx. F (8,45241=1701.4 p<0,0000
Wilks1 Partial Lambda Lombda F-remove 2,2262 p-leve Toler. 1-Toler. (R-Ssr.)
395,68 nm 0.38570110 161343 5878.929 0 00 0,00 0,00 0.00 0 483373 0,205325 0,229 644 0.582314 0,516627 0,794675 0,770356 0.417687
462,50 nm 0 119004 0.522925 1031,833
643,43 nm 0,110512 0,563109 0,080304 0.774930 877,493 328.487
729,80 nm
Рис. 9. Даш дискримшантного аналiзу при класифжацй рослин на три класи з використанням 4 ознак
395,68 нм, 462,5 нм, 643,49 нм i 729,8 нм, ймoвipнiстъ вipнo-го розп1знавання для амбрози складае 99,31 %, для мишш 97,52 % i для кукурудзи - 94,42 %. Найбiльший вклад в дискримшацшну характеристику з 4 обраних ознак дае довжина хвил 395,68 нм, внесок в загальний вщсоток вipнo-го poзпiзнавання рослини яко! складае 72,4 %.
Щдсумовуючи oтpиманi результати, можна сказати, що для впевненого адекватного розтзнавання виду рослини серед трьох обраних (кукурудзи, амбрози, мишш) достат-ньо 4 ознаки. При цьому перша ознака повинна належати дoвжинi хвилi « (400±50) нм, друга - и (460±50) нм, третя - и (640±50) нм i четверта ознака - и (750±50) нм.
СПИСОК ЛГГЕРАТУРИ
Рачкулик, В. И. Отражательные свойства и состояние растительного покрова / В. И. Рачкулик, М. В. Ситникова. -Л. : Гидрометеоиздат, 1981. - 287 с. Медведев, А. В. Непараметрические системы адаптации / Медведев А. В. - Новосибирск : Наука, 1983. - 174 с. Пиза, Д. М. Выбор наборов признаков для распознавания растительных объектов / Д. М. Пиза, С. В. Морщав-ка // Системний аналiз, управлшня i шформацшш технологи: Вюник Харювського державного полтехшчного ун-iвеpситету. Збipка наукових праць. Випуск 97. - Харюв : ХДПУ. - 2000. - С. 69-74.
Daridi, F. Parameterless genetic algorithms: review and innovation / F. Daridi, N. Kharma, J. Salik // IEEE Canadian Review. Summer. - 2004. - No. 47. - P. 19-23. Сергиенко, Р. Б. Исследование эффективности коэволю-ционного генетического алгоритма условной оптимизации / Р. Б. Сергиенко // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнeва. - № 3 (24). - 2009. - С. 31-36. Дорожко, Г. Р. Стратегия и тактика борьбы с сорной растительностью / Г. Р. Дорожко, В. М. Пенчуков, О. И. Власова // Политематический сетевой электронный научный журнал кубанского государственного аграрного
университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар : КубГАУ, 2012. - №01 (75). -С. 111-121. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2012/01/ pdf/38.pdf
7. Загоруйко, Н. Г. Методы распознавания и их применение / Загоруйко Н. Г. - М. : Сов. радио, 1972. - 270 с.
8. Толчельников, Ю. С. Оптические свойства ландшафта / Толчельников Ю. С. - Л. : Наука, 1974. - 212 с.
Шама Е. А.
Аспирант, Запорожский национальный технический университет, Украина
МИНИМИЗАЦИЯ КОЛИЧЕСТВА ИНФОРМАТИВНЫХ ПРИЗНАКОВ ПРИ ПОСТРОЕНИИ КЛАССИФИКАТОРА РАСТИТЕЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ
В статье показанная возможность уменьшения количества информативных признаков с начальных 256 значений до 4 при построении классификатора растительных объектов по результатам дистанционного зондирования. Для построения распознавательной модели был использован множественный линейный дискриминантный анализ Фишера. Для выбранного набора данных, установлены оптимальные диапазоны признаков.
Ключевые слова: распознавание, спектральные коэффициенты яркости, признаки, классификатор.
Shama E. О.
Post-graduate student, Zaporizhian National Technical University, Ukraine
MINIMIZATION OF THE NUMBER OF INFORMING SIGNS WHEN CONSTRUCTING THE CLASSIFIER OF VEGETABLE OBJECTS
In the article a possibility is considered as to decrease information features at discrimination of vegetable objects. The multiple discriminant Fisher analysis with step-by-step inclusion of variables was used as an algorithm of discrimination. The information features were selected on the basis of the subjectively individual approach. The features were selected from frequency areas in which there existed the greatest difference by a reflection coefficient value between spectral reflection coefficients for each kind of plants. The special-purpose literature on these themes was also taken into account. For the analysis of the discrimination efficiency by the classifier of plants (for a different amount of features) a probability of plant proper discrimination was used. A minimum admissible level of the correct detection probability for each kind was set as 90 %. For investigation there were used the real reflection coefficients of plants -maize, bristlegrass and ambrosia that were measured in field conditions.
Keywords: recognition, spectral brightness coefficients, signs, classifier.
REFERENCES
1. Rachkulic V. I., Sitnikova M. V. Otrazhatelnie svoystva rastitelynogo pokrova. Leningrad, Gidrometeoizdat, 1981, 287 p.
2. Medvedev A. V. Neparametricheskie sistemy adaptacii. Novosibirsk, Nauka, 1983, 174 p.
3. Piza D. M., Morshchavka S. V. Vybor naborov priznakov dlya raspoznavanie rastitelnih obektov. Sistemnyi analiz, upravlinnya i informatsiyni tehnologii: Visnyk Kharkivskogo derzhavnogo politehnichnogo universitetu. Zbirka naukovyh prats, Vypusk 97, Kharkiv, HDPU, 2000, pp. 69-74.
4. Daridi F., Kharma N., Salik J. Parameterless genetic algorithms: review and innovation, IEEE Canadian Review. Summer, 2004, No. 47, pp. 19-23.
5. Sergienko R. B. Issledovanie effektivnosti koevolyutsionnogo geneticheskogo algoritma uslovnoi optimizatsii, Vestnik Sibirskogo gosudarstvennogo aerokosmicheskogo
9. Дуда, Р. Распознавание образов и анализ сцен / Р. Дуда, П. Харт. - М. : Мир, 1976. - 326 с.
10. Прикладная статистика. Классификация и снижение размерности. Справочное издание / [Айвазян С. А., Бухшта-бер В. М., Енюков И. С., Мешалкин Л. Д.]. - М. : Финансы и статистика, 1989. - 607 с.
Стаття надшшла до редакци 09.12.2013.
universiteta imeni akademika M.F. Reshetneva, 2009, No. 3 (24), pp. 31-36.
6. Dorozhko G. R., Penchukov V. M., Vlasova O. I. Strategiya i taktika borby s sornoy rastitelnostyu, Politematicheskiy setevoi elektronnyi nauchnyi zhurnal kubanskogo agrarnogo gosudarstvennogo (Nauchnyi zhurnal KubGAU) [Elektronnyi resurs], Krasnodar, KubGAU, 2012, No. 01 (75), pp. 111-121, Rezhim dostupa: http://ej.kubagro.ru/ 2012/01/pdf/38.pdf
7. Zagoruyko N. G. Metody raspoznavaniya i ih primeneniye. Moscow, Sov. Radio, 1972, 270 p.
8. Tolchelnikov U. S. Opicheskie svoystva landshafta. Leningrad, Nauka, 1974, 212 p.
9. Duda R., Hart P. Raspoznavanie obrazov i analiz stsen. Moscow, Mir, 1976, 326 p.
10. Aivazyan S. A., Buhshtaber V. M., Yenyukov I. S. Meshalkin L. D. Prikladnaya statistika. Klassifikatsiya i snizheniye razmernosti. Spravochnoe izdaniye. Moscow, Finansy i statistika, 1989, 607 p.
