Методы восстановления грузовых матриц корреспонденций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 656.073.7 Лебедева Ольга Анатольевна,

старший преподаватель, Ангарская государственная техническая академия,

тел: 89526326611, e-mail: kravhome@mail.ru Антонов Дмитрий Владимирович, Ангарская государственная техническая академия, тел: 89041505599, e-mail: dmitriy-ice.ru@mail.ru

МЕТОДЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ГРУЗОВЫХ МАТРИЦ КОРРЕСПОНДЕНЦИЙ

O. A. Lebedeva, D. V. Antonov

LOAD MOBILITY MATRIX RECOVERY METHODS

Аннотация. Приведен обзор методов восстановления матриц корреспонденции. Для эффективной организации грузовых перевозок в городах и совершенствования транспортной системы необходима информация о корреспонденциях и потоках на транспортной сети. Эта информация, как правило, рассчитывается с помощью методов, в основе которых лежат предположения о закономерностях формирования грузовых матриц корреспонденций, основанные на методе наименьших квадратов (MLS), робастном методе восстановления, нелинейном методе наименьших квадратов (NLLS) и методе максимального правдоподобия или методе наибольшего правдоподобия (MML), а также рассмотрены основные модели, применяемые при восстановлении грузовых матриц корреспонденций - гравитационная (GR) и гравитационно-вероятностная (GO). Сбор достоверных данных, которые можно применить при расчете грузовых матриц корреспонденций; обзор мирового и российского опыта по данному вопросу; применение гравитационных и робастных моделей, и их модификаций относительно исследуемой задачи являются целями дальнейший исследований.

Ключевые слова: транспортная сеть, грузовые матрицы корреспонденции, математические модели, методы восстановления матриц.

Abstract. An overview of mobility matrices recovery methods is given. For freight transport efficient organization in urban areas and improvement of the transport system, information about correspondence and streams on the transport network is needed. This information is usually calculated using methods based on the assumption that the laws of the formation of load mobility matrices based on the method of least squares (MLS), the robust recovery method, nonlinear least squares (NLLS) and the maximum likelihood method (MML), as well as the basic model used in the restoration of commercial correspondence matrices - gravity (GR) and gravity-probability (GO) models. Collection of reliable data that can be applied in the calculation of freight matrices correspondence; overview of the global and Russian experience in the matter; the use of gravity and robust models and their modifications with respect to the objectives of the problem are the purposes of our future investigation.

Keywords: transportation network, load mobility matrices, mathematical models, matrices recovery methods.

Спрос на грузовые передвижения в городе описывается набором матриц корреспонденций. Результатом прогноза являются матрицы суточных корреспонденций грузового транспорта.

Суточные матрицы корреспонденций грузового транспорта прогнозируют отдельно для транспорта малой грузоподъемности и средней и высокой грузоподъемности по следующим видам передвижений: внутригородские; на связях города с другими населенными пунктами; транзитные относительно города [1-3].

Матрицы корреспонденций прогнозируют грузовые потоки между транспортными районами города, число которых назначают исходя из численности населения в нем и уровня автомобилизации.

Для эффективной организации грузовых перевозок в городах и совершенствования транспортной системы [4, 5] необходима информация о корреспонденциях и потоках на транспортной сети. Эта информация, как правило, рассчитывается с помощью методов, в основе которых лежат предположения о закономерностях формирования грузовых матриц корреспонденций.

Рассмотрим основные модели, применяемые при восстановлении грузовых матриц корреспон-денций [6, 7].

1. Гравитационная модель (GR) разработана по аналогии с законом всемирного тяготения Ньютона. Ньютон утверждал, что сила F гравитационного притяжения между двумя материальными точками массы mi и md, разделёнными расстоянием R, пропорциональна обеим массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

т. • т,

F = G ■

R

(1)

Применительно к транспортной задаче F -количество передвижений (ездок) между несколькими точками (объектами); m - заменяется такими переменными, как численность населения с учетом информации по повышению привлекательности регионов; R - измеряется в натуральном выражении или заменяется соответствующей переменной, например стоимостью или временем ездки. Аналогично транспортная гравитационная модель может быть представлена в виде

а ^А (2)

T, = к ■

га

Эта модель обладает следующими свойствами. Модель показывает, что число ездок из пункта I в пункт D прямо пропорционально Oi и Dd и обратно пропорционально квадрату расстоя-

ния между ними. Таким образом, если два раза заданы конкретные О, и Ва, то количество поездок между зонами будет возведено в квадрат в соответствии с уравнением (2).

Таким образом, следующие ограничения для Тгй должны быть обязательно учтены (3), так как данные ограничения не удовлетворяют уравнению (2):

I

I

T = Oi,

d id '

T = D

T id Dd ,

(3)

где Oi и Dd - общее количество ездок, i и d -начальный и конечный пункт соответственно. Эти ограничения (3) могут быть удовлетворены, если вводятся постоянные Ai и Bd, связанные с разделением агломерации на зоны и повышением их привлекательности. Их называют «балансовые уравнения». Модель может быть выражена как

Td = O, ■ Dd • A • Bd ■ f(Ctd), (4)

где fid = f(Cid) - функция сдерживания;

Ai и Bd - переменные балансового уравнения.

Уравнения (4) для переменных Ai и Bd решаются итеративно. Этот процесс повторяется до тех пор, пока значения Ai и Bd не сходятся с некоторыми точными значениями.

Таким образом, вводится основная функция времени, расстояния или обобщенной стоимости, как правило, называемая «функцией сдерживания». Существует три типа функций сдерживания, используемые в исследованиях, которые также показаны на рис. 1, а именно:

f (Сы ) = CMa,

f (Cd ) = e-ßC" ,

f (Cd) = Cd ■ e

-ßCM

(5)

(6) (7)

1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

ехр(-0,1с)

ехр(-0,01с)

c**(-2)

exp(-0,3c)

c**(0,5)exp(-0,1c)

60

*

0 10 20 30 40

Движение в пути (минуты) Рис. 1. Типы сдерживания функций: функция «Power» (5) - силовая функция; функция «Exponential» (6) - экспоненциальная функция; функция «Tanner» (7) - функция Таннера.

2. Гравитационно-вероятностная модель (ОО) основывается на предположении, что грузоотправитель рассматривает ездку как возможность

доставки груза в определенные пункты с определенной вероятностью того, что потребности будут максимально удовлетворены. Рассмотрим модель в двумерном пространстве, что позволит в полной мере представить транспортную сеть с учетом направлений и расстояний.

Выбираем один пункт назначения, в параметры которого могут вноситься изменения. Внесение таких изменений в зависимости от расстояний ездки может привести к различным результатам. Гравитационно-вероятностная модель не учитывает увеличение или уменьшение протяженности транспортной сети, что не влияет на точность восстановления матрицы.

Проблема, препятствующая применению гравитационно-вероятностной модели, - это ранжирование расстояний и определение коэффициентов вероятности. Гравитационно-вероятностная модель является недостоверной при отсутствии каких-либо данных. Идеальная модель должна учитывать оба условия.

Wills (1978, 1986) разработал гравитационно-вероятностную модель (GO) восстановления матрицы корреспонденции для случаев с различными параметрами. Выбор между гравитационной и гравитационно-вероятностной моделью происходит экспериментально в зависимости от имеющихся исходных данных, которые позволяют, применяя методы восстановления грузовых матриц корреспонденций, эффективно распределить ездки.

Существует несколько методов восстановления матриц. Ниже приведены некоторые из них. 1. Нелинейный метод наименьших квадратов (NLLS). Основная идея метода заключается в процедуре калибровки неизвестного параметра путем минимизации суммы квадратов разностей между расчетной и наблюдаемой матрицей корреспон-денций

S = II 1 (Tid Tid

i d LT

12

(8)

где Т = 1 для нелинейного метода наименьших квадратов и Т = Тш для взвешенного метода наименьших квадратов.

Следующие уравнения (9) необходимы для нахождения неизвестных параметров гравитационно-вероятностной модели, которая минимизирует уравнение (8).

ÖS ~ -^л -^л

= j а = / , / ,

öa , d

Td - T,d )

1 - T TT

öT^

öa

= 0,

Транспорт

1 to

2'T'd Tid

> ) id

дТ,

др

= 0. (9)

5fi= /р=??

Модель (9) имеет два неизвестных параметра (а, Р), которые необходимо оценить. Метод Ньютона в сочетании с методом Гаусса - Жордана может быть использован для решения уравнения (9).

2. Метод максимального правдоподобия (ML 1, ML 2). Метод максимального правдоподобия, или метод наибольшего правдоподобия (ММП, ML, MLE - английское maximum likelihood estimation) в математической статистике - это метод оценивания неизвестного параметра путем максимизации функции правдоподобия. Основан на предположении о том, что вся информация о статистической выборке содержится в функции правдоподобия. Метод максимального правдоподобия был проанализирован, рекомендован и значительно популяризирован Р. Фишером между 1912 и 1922 годами (хотя ранее он был использован Гауссом, Лапласом и другими).

Оценка максимального правдоподобия является популярным статистическим методом, который используется для создания статистической модели на основе данных и обеспечения оценки параметров модели.

Для фиксированного набора данных и базовой вероятностной модели, используя метод максимального правдоподобия, мы получим значения параметров модели, которые делают данные «более близкими» к реальным. Оценка максимального правдоподобия дает уникальный и простой способ определить решения в случае нормального распределения.

Сущность метода заключается в следующем.

Предположим, что вероятность ездки ptd для каждого конкретного грузоотправителя i и грузополучателя j выражена как

Pld =

T

1 id

1

T = II Tld

(10)

Метод максимального правдоподобия (ML) основывается на выборе гипотезы Н, максимизирующей уравнение (10), и будет давать распределение

Целевая функция для этого выражения

1=сПП рЬ. (11)

Уравнение (10) записываем с учетом целевой функции (11) и используя множители Лагран-жа:

ш

Ь InTd J-1 Щ + In с .

(12)

Целевая функция может быть упрощенной и выражена как

L = Hlt inTd

(13)

Для того чтобы однозначно определить параметры (а, в) гравитационно-вероятностной модели GO, которая максимизирует уравнение (13),

[ражения:

требуются следующие вы дЬ

да

дЬ др

/а =11

i d

=h=YL

T,

id

дТ

id

T

V id

T

J-,-,!

T

V id у

да

dT„

др

= о,

= о.

(14)

3. Метод наименьших квадратов (MLS). Это математический метод, применяемый для решения различных задач, основанный на минимизации суммы квадратов отклонений некоторых функций от искомых переменных. Он может использоваться для решения переопределенных систем уравнений (когда количество уравнений превышает количество неизвестных), для поиска решения в случае обычных (не переопределенных) нелинейных систем уравнений, для аппроксимации точечных значений некоторой функцией. МНК является одним из базовых методов регрессионного анализа для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным [8].

Пусть х - набор m неизвестных переменных (параметров), fi(x), i = 1... n, n > m - совокупность функций от этого набора переменных. Задача заключается в подборе таких значений х, чтобы значения этих функций были максимально близки к некоторым значениям у-. По существу, речь идет о «решении» переопределенной системы уравнений fi(x) = уi, i = 1..n в указанном смысле максимальной близости левой и правой частей системы. Сущность МНК заключается в выборе в качестве «меры близости» суммы квадратов отклонений левых и правых частей - f(x) - уi. Таким образом, сущность МНК может быть выражена следующим образом:

42

(15)

I e=E(y - / (x))

^ min.

x

В случае если система уравнений имеет решение, минимум суммы квадратов будет равен нулю и могут быть найдены точные решения системы уравнений аналитически или, например, различными численными методами оптимизации. Если система переопределена, то есть, говоря нестрого, количество независимых уравнений боль-

d

d

d

d

ше количества искомых переменных, то система не имеет точного решения и метод наименьших квадратов позволяет найти некоторый «оптимальный» вектор х в смысле максимальной близости векторов y и f(x) или максимальной близости вектора отклонений e к нулю (близость понимается в смысле евклидова расстояния).

В случае диагональной весовой матрицы (а значит, и ковариационной матрицы случайных ошибок) имеем так называемый взвешенный МНК (WLS — Weighted Least Squares). В данном случае минимизируется взвешенная сумма квадратов остатков модели, то есть каждое наблюдение получает «вес», обратно пропорциональный дисперсии случайной ошибки в данном наблюдении:

п е2

eTW =1 (16)

t=i at

Фактически данные преобразуются взвешиванием наблюдений (делением на величину, пропорциональную предполагаемому стандартному отклонению случайных ошибок), а к взвешенным данным применяется обычный МНК [8].

4. Робастный метод восстановления. МНК-оценки являются эффективными в классе всех несмешанных оценок, если погрешности измерений компонента вектора f распределены по нормальному закону. Однако на практике часто нормальность закона распределения погрешностей будет нарушаться. Некоторые нарушения нормальности закона распределения могут приводить к значительной потере эффективности МНК-оценки и ее отклонению от истинных значений искомых параметров. Истинный закон распределения погрешностей измерений остается неизвестным.

Особенно большая потеря эффективности МНК-оценки происходит при наличии даже небольшой доли больших выбросов. На практике большим выбросам соответствуют те измерения fi, реальная погрешность которых значительно превосходит приписываемую им дисперсию erf,

причем ни реальная величина таких погрешностей, ни их номера i неизвестны.

При наличии больших выбросов необходимо применять робастные методы оценивания, позволяющие значительно снизить вредное влияние на оценку больших выбросов и получить приемлемую итоговую оценку искомых параметров [6].

Существует несколько робастных методов оценивания. На их основе можно сконструировать различные робастные методы восстановления.

Один из методов робастного восстановления основан на замене квадратичной нормы в экстре-

мальных задачах

AT • A)-1 A

имнк = argmin (Au - f )T Q-1 (Au - f) на £^н°рму.

Вместо экстремальной задачи (1)рассмотрим экстремальную задачу:

= argmm£ |(Au )i - f|

(17)

где (А ),■ - ,-я компонента вектора А> 1 — Р < 2 .

При уменьшении р вплоть до единицы ро-бастность оценки (17) увеличится.

Поскольку при р > 1 функционал правой части (17) выпуклый, то существует единственная робастная оценка (17).

При р ф 2 оценка (17) нелинейна, а ее фактическое вычисление значительно более сложно, чем вычисление МНК-оценки (1).

Из сказанного следует вывод о необходимости учета при моделировании грузовых корре-спонденций следующих данных [3]:

• численность населения каждого транспортного района. Эти данные используются для определения матриц корреспонденций потребительских грузов и отходов;

• объем промышленного производства для каждого транспортного района. Эти данные используются для определения матриц корре-спонденций промышленных грузов;

• дислокация и мощность транспортных терминалов;

• дислокация и объемы производства предприятий строительной индустрии. Эти данные используются для определения матриц корре-спонденций потребительских грузов;

• дислокация рудеральных зон и информация об их специфике и обслуживаемых территориях;

• дислокация складских зон, их мощность и специализация;

• дислокация и объемы производства крупных предприятий пищевой промышленности;

• дислокация терминальных пунктов перевозки отдельных типов грузов.

Основная сложность использования официальных данных при прогнозе грузовых передвижений не позволяет получить достоверного результата, так как они не относятся к данным статистической отчетности, поэтому имеет место искажение отчетности перевозчиками. Кроме того, значительная часть грузов перевозится неспециализированными предприятиями, мелкими транспортными предприятиями, не ведущими такой отчетности.

i=1

Транспорт

ш

5.

Целями, которые в дальнейшем ставятся пе- 4. ред нами, являются:

- сбор достоверных данных, которые можно применить при расчете грузовых матриц корре-спонденций;

- обзор мирового и российского опыта по данному вопросу;

- применение гравитационных и робастных моделей и их модификаций относительно исследуемой задачи. 6.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Крипак М.Н. Применение динамической транспортной 7. задачи с задержками для согласования ритмов работы поставщиков и перевозчиков // Вестник ИрГТУ. 2009.

№ 1 (37) С. 65-67.

2. Лобанов Е. М. Транспортная планировка городов.

М. : Транспорт, 1990. 240 с. 8.

3. О введении в действие «Руководства по прогнозированию интенсивности движения на автомобильных дорогах» (для опытного применения) : распо-ряж. Минтранса РФ от 19.06.2003 N ОС-555-р.

Крипак М.Н. Оптимизация транспортного обслуживания грузовладельцев в пределах крупного города : автореф. дис. ... канд. техн. наук / Иркутский государственный технический университет. Иркутск, 2009.

Гозбенко В.Е., Иванков А.Н., Колесник М.Н., Пашкова А.С. Методы прогнозирования и оптимизации транспортной сети с учетом мощности пассажиро и грузопотоков. Деп. в ВИНИТИ 17.04.2008, № 330-В2008

Крянев А.В. Применение современных методов математической статистики при восстановлении регрессионных зависимостей на ЭВМ. М. : МИФИ, 1988. 80 с.

Tamin, O.Z. Application of Transport Demand Models for Inter-regional Vehicle Movements in West-java (Indonesia) / O.Z. Tamin // Journal of the Eastern Asia Society for Transportation Studies, Vol' 2, No. 3, Autumn, 1997. P. 903-916.

Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений. М. : Физматгиз, 1962. 349 с.

УДК 621.311: 621.331 Вторушин Дмитрий Петрович,

к. т. н., инженер-инспектор, ООО «Иркутская энергосбытовая компания», e-mail: vtorushind_p@bk.ru

Черепанов Александр Валерьевич, ассистент, Иркутский государственный университет путей сообщения,

тел. 89500550834, e-mail: santela89@mail.ru

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА ЛИНЕАРИЗАЦИИ В ЗАДАЧАХ СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СИНТЕЗА СИСТЕМ ВНЕШНЕГО ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ

ЖЕЛЕЗНЫХ ДОРОГ

D. P. Vtorushin, A. V. Cherepanov

USE OF THE METHOD OF LINEARIZATION IN PROBLEMS OF STRUCTURAL AND PARAMETRICAL SYNTHESIS OF SYSTEMS OF EXTERNAL POWER SUPPLY

OF THE RAILWAY

Аннотация. Система тягового электроснабжения железной дороги переменного тока имеет многочисленные и сложные связи с питающей сетью. Ввиду ограничений экономического и организационного характера при моделировании питающей сети реально доступна оперативная информация только по ее элементам, непосредственно примыкающим к шинам высокого напряжения тяговых подстанций. Поэтому при решении задач оперативного управления необходимо построение упрощенной эквивалентной модели. Процедура редукции может быть выполнена на основе методов и алгоритмов, базирующихся на линеаризации уравнений установившегося режима в исключаемой части сети.

На основе компьютерного моделирования показано, что линеаризованная эквивалентная модель дает возможность ее многократного использования для широкого спектра режимов, в том числе при наличии транзитов мощности по линиям электропередачи, питающим тяговые подстанции. Погрешности эквивалентирования по напряжению на токоприемнике электровоза не превышают процента.

Ключевые слова: электроэнергетические системы, системы электроснабжения железных дорог переменного тока, эквивалентная модель внешней сети.

Abstract. The system of traction power supply of the railroad of alternating current has numerous and difficult communications with a power line. In view of restrictions of economic and organizational character, when modeling a power line the operational information only on its elements which are directly adjoining tires of a high voltage of traction substations is really available. Therefore at the solution of problems of operational management creation of the simplified equivalent model is necessary. Procedure of a reduction can be executed on the basis of the methods and algorithms which are based on linearization of the equations of the set mode in the excluded part of a network.

On the basis of computer modeling it is shown that the linearized equivalent model gives the chance of its repeated use for a wide range of the modes, including in the presence of transits of power on the power lines feeding traction substations. Errors on tension on a current collector of an electric locomotive don't exceed one percent.

Keywords: electrical power systems, systems of power supply of the railroads of alternating current, equivalent model of an external network.

Введение При проектировании и эксплуатации систем

тягового электроснабжения (СТЭ) магистральных