Обзор существующих методов восстановления грузовых матриц корреспонденций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Таким образом, наибольшее влияние на наполнение ИТ оказывает доля посетителей на ИТ, удаленность территории от центра города, площадь территории / ЦМТ. Для выявления степени влияния каждого из перечисленных факторов и их зна-

Библиогра

1. Вучик В.Р. Транспорт в городах, удобных для жизни / пер. с англ. А. Калинина под научн. ред. М. Блинкина. М.: ИД «Территория будущего», 2011. 577 с.

2. Зедгенизов А.В. Лагерев Р.Ю. К вопросу о генерации корреспонденций к крупному торговому центру на примере «Мебель сити» г. Иркутска // Авиамашиностроение и транспорт Сибири: сб. статей III

чимости необходимо проводить регрессионно-корреляционный анализ, позволяющий представить эмпирические зависимости.

Статья поступила 12.01.2016 г.

кии список

Всерос. науч.-практ. конф. (Иркутск, 11-12 апреля, 2013 г.). Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2013. С. 228-235. 3. Павлов Б.А., Бурков Д.Г. Оценка транспортного спроса жителей малоэтажной застройки (на примере «Шведской деревни» г. Иркутска) // Известия вузов. Инвестиции. Строительство. Недвижимость. 2014. № 6 (11). С. 80-86.

References

1. Vuchik V.R. Transport v gorodah, udobnyh dlja zhizni [Transportation for livable cities]. Moscow, ID "Territorija budushhego" Publ., 2011, 577 p.

2. Zedgenizov A.V. Lagerev R.Ju. K voprosu o genera-cii korrespondencij k krupnomu torgovomu centru na primere «Mebel' siti» g. Irkutsk [On the problem of trip distribution generation to large shopping centers on example of the "Mebel City" in Irkutsk]. Sbornik statej III Vseros. nauchn.-prakt. konf. "Aviamashinostroenie i transport Sibiri" [Aircraft Engineering and Transport in Siberia: Collection of Articles of III All-Russia scientific

and practical Conference (Irkutsk, April 11-12, 2013). Irkutsk, 2013, pp. 228-235.

3. Pavlov B.A., Burkov D.G. Ocenka transportnogo sprosa zhitelej malojetazhnoj zastrojki (na primere "Shvedskoj derevni" g. Irkutska) [Evaluation of transport demand of low-rise building residents at the example of "Sweedish village" in Irkutsk city]. Izvestija vuzov. Inves-ticii. Stroitel'stvo. Nedvizhimost'. - Proceedings of higher education Institutions. Investment. Construction. Real property, 2014, no. 6 (11), pp. 80-86.

УДК 656.13:658 (075.8)

ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ГРУЗОВЫХ МАТРИЦ КОРРЕСПОНДЕНЦИЙ

1 9

© Н.В. Тарханова1, Д.В. Антонов2

Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Представлены методы восстановления грузовых матриц корреспонденций: метод максимального правдоподобия (Maximum Likelihood) и байесовский подход (Bayesian Inference), которые способствуют оперативному управлению и транспортному планированию. Математическая модель расчета грузовых матриц корреспонденций позволяет значительно повысить эффективность и информативность грузопотоков с применением реальных данных, а также улучшить качество и усовершенствовать точность планирования транспортных систем городов. Ключевые слова: матрицы корреспонденций; прогнозирование корреспонденций грузового транспорта; восстановление грузовых матриц; оперативное управление; транспортное планирование.

REVIEW OF EXISTING METHODS OF FREIGHT TRIP DISTRIBUTION MATRIX RECOVERY N.V. Tarkhanova, D.V. Antonov

Irkutsk National Research Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

The methods of freight trip distribution matrices recovery are presented including the Maximum Likelihood method and Bayesian Inference, which contribute to operational management and transport planning. A mathematical model for

Тарханова Наталья Владимировна, кандидат технических наук, доцент кафедры менеджмента и логистики на транспорте, e-mail: tarnato@yandex.ru

Tarkhanova Natalia, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Management

and Logistics on Transport, tel.: e-mail: tarnato@yandex.ru

2Антонов Дмитрий Владимирович, магистрант, e-mail: dmitriy-ice.ru@mail.ru

Antonov Dmitriy, Master's degree student, e-mail: dmitriy-ice.ru@mail.ru

freight trip distribution matrices calculation allows to improve the efficiency and the information content of freight traffic by using real data. It will also advance the quality and accuracy of urban transport system planning. Keywords: trip distribution matrices; prediction of cargo transport trips; recovery of freight matrices; operational management; transport planning.

Введение

Автомобильные грузоперевозки играют важную роль в развитии экономики страны, являясь связующим звеном между местами производства и добычи сырья в производственной сфере, между поставщиком и клиентом в коммерческой сфере. Автомобильные грузоперевозки имеют важное значение также и во внешнеэкономической деятельности нашей страны. Но сфера перевозки грузов с использованием автомобильного транспорта имеет множество проблем, которые необходимо решать для повышения эффективности грузоперевозок.

Транспортные системы городов являются одним из важнейших факторов, который влияет не только на общие показатели социально-экономического развития страны. Повышение качества жизни населения, увеличение роста занятости, укрепление бюджета города, развитие бизнеса и привлечение инвестиций - на все это также во многом влияет совершенствование транспортной сети.

Рост доходов транспортных предприятий, снижение аварийности и удешевление эксплуатации транспортных средств дают экономический эффект от улучшения улично-дорожной сети (УДС). Существуют прямые, перечисленные выше, и косвенные эффекты, к которым относятся: рост производства в результате уменьшения цены за перевозки и экономии времени; улучшение здоровья населения за счет снижения числа дорожно-транспортных происшествий (ДТП).

В мире уже существуют удачно реализованные проекты подобного плана. Например, в Риме и Лондоне организован платный въезд в центр города, что позволило «разгрузить» центр. В США распространены «перехватывающие» парковки, что позволяет уменьшить число автомобилей в городе. Сеть платных дорог хорошо развита в Италии.

На сегодня для определения потоков и загрузки элементов сети существует много математических моделей, и важной проблемой в большинстве данных моделей является необходимость наличия информации о передвигающихся по городу индивидуумах. Эта информация представляется в виде матрицы корреспонденций.

При прогнозировании корреспонденций грузового транспорта используют следующие исходные данные [1]:

• Численность населения каждого транспортного района. Эти данные используются для определения матриц корреспонденций потребительских грузов и отходов.

• Объем промышленного производства для каждого транспортного района. Эти данные используются для определения матриц корреспонденций промышленных грузов.

• Дислокация и мощность транспортных терминалов.

• Дислокация и объемы производства предприятий строительной индустрии. Эти данные используются для определения матриц корреспонденций потребительских грузов.

• Дислокация транспортных зон и информация об их специфике и обслуживаемых территориях.

• Дислокация складских зон, их мощность и специализация.

• Дислокация и объемы производства крупных предприятий пищевой промышленности.

• Дислокация терминальных пунктов перевозки отдельных типов грузов.

Одним из возможных приемов обработки данных, полученных от перевозчиков, является расчет восстановления грузовых матриц, который позволит создать грузовую карту агломерации с нанесением на нее графов сети.

Повышение качества обработки данных, полученных от перевозчиков, а также использование этих данных для оперативного управления и транспортного планирования является весьма актуальной задачей транспортного планирования, и этому способствует разработка

методов оценки грузовых матриц корреспонденции.

В мировом опыте уже многократно рассмотрена задача определения транспортного спроса по результатам выборочного обследования потоков на транспортноИ сети. Эту тему часто поднимают в своих докладах на конференциях и в публикациях R. Hamerslag, S. McNeil, M.G.H. Bell, N.L. Nihan, E. Cascetta, G. Davis, S. Erlander, C. Fisk, М. Florian, С. Hendrickson, D.O. Jornsten, Y. Iida, J.T. Lundgren, M.J. Maher, S. Nguyen, Т. Sasaki, J. Van der Zijpp, H.J. Van Zuylen, L.G. Willumsenl, Н. Yang, D.E. Boyce, Н. Spiess. Также необходимо отметить работы, в которых приведена наиболее подробная информация по данноИ тематике [2-5].

Для лучшего понимания задачи определения матрицы корреспонденции по зарубежным методикам можно привести следующую классификацию, рассмотренную Torgil Abra-hamsson, в котороИ систематизированы работы по данному вопросу за последние 30 лет [2].

T. Abrahamsson полагает, что в наиболее общем виде алгоритм восстановления существующей матрицы корреспонденции формулируется следующим образом [2]:

min (g, v) = YF (g, g) + Y2F2 (v, v), g, v > 0

(1)

при условии

v = as sin

in g ( g )

где g - восстанавливаемая матрица корреспонденций; v - вектор значений наблюдаемых потоков; Fi, F2 - некоторые меры расстояния; Y[, Y2 - некоторые коэффициенты согласованности; as sin g (g) - распределение потоков по сети, разделяющее матрицу корреспонденции gfj на потоки, следующие разными маршрутами.

В случаях, когда отсутствует исходная матрица, используют методы, основанные на распределении потоков. В этих методах наиболее сложным является установление маршрутов, по которым следуют корреспонденции gfj из зоны i в зону j - Такая информация представляется в виде матрицы Р, элементы P-j котороИ являются долей корреспонденции между зоной f и зоной j , использующих дугу a :

0 < Pa < 1,

(2)

соответственно интенсивность потока va на данной дуге a :

v,

a - RZfjPf/gfj, a e A ,

(3)

где R - фактор плотности.

С. Fisk предложил сочетание процедуры моделирования равновесного распределения и максимизацию вида [2]

min Zjgj (ln ( gfj)-1)

(4)

при ограничениях:

С(h)x(f-h)> 0, Vf;

Tkhijk = gij, Vi,J;

va = ^LkPijkhijk, Va e A; gij > hjk > 0,

где С(h) - стоимость передвижения по данному пути при интенсивности движения; h, / - вектор потоков, полученных в результате моделирования; p?-k - доля корреспонден-

ций из i в j, использующих путь k, если ребро a не принадлежит пути k, то Pia = 0.

Рассмотрим наиболее известные методы оценки матриц корреспонденций - метод моделирования потоков.

Обзор методов моделирования (Survey of modelling approaches) 1. Метод максимального правдоподобия (ML - Maximum Likelihood) повышает вероятность восстановления целевой матрицы с высокой точностью. Предполагается, что элементы

целевой матрицы g получают в виде набора случайных величин. Наблюдаемые транспортные потоки v представляют собой источник информации g. Матрица, которая будет оценена c учетом параметров v и g , как правило, считается статистически независимой. Вероятность наблюдения g и v может быть выражены как:

L (g, v|g ) = L (g\g }L (V|g).

(5)

Благодаря независимости предположения о наблюдаемых потоках дорожного движения и целевой матрицы, вероятность наблюдения обоих наборов равна произведению двух правдоподобий. Применяя принцип ML для решения этой задачи, составляем матрицу g,

которая максимизирует вероятность. С учетом условия 0 -1п (0) = 0 мы можем максимизировать логарифм.

Если целевая матрица получена путем простой случайной выборки в области с константами, можно предположить, что матрица следует полиномиальному распределению. Это

зависит от выборочных исследований относительно а,: если g¡ - ездки из общей выборки gi. Ездки относительно I находятся как а i = g / gi. Для логарифма получим вероятность

L(g|g) :

InL(gI g) = X(gijln(afgij )) + const-

(6)

iJ

Если доли выборки являются достаточными, вероятность распределения Пуассона может быть принята для целевой матрицы и для логарифма L (:

ln L (g 1 g) = S(~^igij + gijln (aigj )) + const-

(7)

j

Если наблюдаемые транспортные потоки получены путем распределения вероятности Пуассона и не зависят от целевой матрицы, применяем аналогичное выражение для вероятности L (v |v(g)):

L()v(g)) = ln(va (g))" Va (g)) + const> (8)

aeA

где va (g) - объем потока g. Если рассматривается многомерное нормальное распределение (MVN - Multivariate normal variables), то для учета погрешностей наблюдаемых транспортных потоков рассчитывается с нулевым значением и ковариационной матрицей W:

ln L ( v J v ( g )) = -1 ( v - v ( g ))' W 1 ( v - v ( g )) + const.

(9)

Если формулы (7), (8) являются допустимыми, задача оценки матрицы может быть сформулирована следующим образом:

max Ъу (-aigij + %ln (aigij )) + ЪаЕА(va ln (va (g)) - va (g))

s.t.

ЪУ = va> Va e A

(10)

gj * 0.

Это одна из задач оптимизации, которую рассмотрел Мартин Шписс (1987). Для ее решения автор предлагает алгоритм циклического координатного типа (на практике применяется редко).

2. Байесовский подход (Bayesian Inference)

Байесовский подход предполагает получение целевой матрицы в виде вероятностной функции Pr(g) из расчетной матрицы g. Если наблюдаемые транспортные потоки рассматриваются как еще один источник информации g с вероятностью L(v| g), то теорема Байеса предлагает способ объединения двух источников информации. Для апостериорной вероятности f (g|v) наблюдения g в зависимости от наблюдаемых транспортных потоков представлены как:

f (g|v)~ L (vl g)-pr (g) . (11)

Функция апостериорной вероятности позволяет определить доверительную область для g, но из-за сложности практических вычислений могут быть получены только точные оценки. Это значение может принимать максимальную величину логарифма апостериорного распределения для g , которое максимизируется в lnf (g\v). Для первого члена L(v|g) в

(11), наблюдаемые транспортные потоки обычно предполагаются с вероятностью Пуассона или распространением MVN. Для логарифма L (v| g) будут использоваться выражения (6) и

(7). Функцию вероятностью Pr (g) принято считать полиномиальным распределением. Тогда

для логарифма Pr (g) , используя приближение Стирлинга, имеем:

lnPr (g) = -Ъgj ln

j

r \ gij

gij

+ const

(12)

<

Это функция минимальной информации. Подобную функцию также получают с пуассо-новской аппроксимацией полиномиального распределения. Бен Майер (1983) предполагает

многомерное нормальное распределение как Pr(g) со средним g и матрицей рассеяния

Zq:

lnpr ( g 1 ( g - q У ( g - q ) + const. (13)

Б. Майер предполагает, что выполняется условие пропорциональности. Для подсчета транспортных потоков он высказывает предположение, что при применении MVN, оцененные матрицы также становятся нормально распределены. Модель Б. Майера применяется на очень малой транспортной сети. Проблема оптимизации байесовского подхода заключается в том, что в матрице обобщенный метод наименьших квадратов (GLS - Generalized Least Squares) учитывает сумму двух частей слагаемых.

Первое относится к целевой матрице g (4) или (5), а второе касается наблюдаемых транспортных потоков. Байесовский подход является статистическим методом с учетом общих свойств матрицы и GLS-подходов. Cascetta и Nguyen получают разное значение g в классических подходах (ML и GLS) и байесовского подхода. В первом случае значения gj являются

параметрами функции правдоподобия L(g, v|g), а во втором случае - gj являются случайными величинами с заданными априорными распределениями. Выводы

С помощью методов оценки существующих матриц корреспонденций транспортных потоков по доступным исходным данным можно добиться более эффективной эксплуатации транспорта. Матрицы корреспонденций можно использовать для расчетов эффективности долгосрочных инвестиций в решение транспортных проблем.

Статья поступила 21.01.2016 г.

Библиографический список

1. О введении в действие «Руководства по прогнозированию интенсивности движения на автомобильных дорогах»: распоряжение Минтранса РФ от 19.06.2003 N ОС-555-р (для опытного применения).

2. Abrahamsson Т. Estimation of Origin destination Matrices Using Traffic Counts // A Literature Survey. NASA Interim Report IR-98-021, May, 1998. 27 p.

3. Boyce D., Ralevic-Dekic B., Bar-Gera H. Convergence of traffic assignments: how much is enough // Transport Engineer. 2004. № 1. P. 49-55.

4. Boyce D.E., Janson B.N. A Discrete Transportation Network Design Problem with Combined Trip Distribution and Assignment // Transportation Research. 1980. Vol. 14. P. 147-154.

5. Erlander S. On astimation of trip matrices in the case of missing and uncertain data // Transportation Research. 1985. Vol. 19. P. 123-141.

References

1. O vvedenii v deistvie «Rukovodstva po prognozirovaniyu intensivnosti dvizheniya na avtomobil'nykh dorogakh», rasporyazhenie Mintransa RF ot 19.06.2003 №. OS-555-r (dlya opytnogo primeneniya), [On introduction of the "Guide to traffic intensity prediction on the roads": the order of the Ministry of Transport of 19 June 2003 N ОС-555-р (for experimental use) ].

2. Abrahamsson Т., Estimation of Origin destination Matrices Using Traffic Counts, A Literature Survey, NASA Interim Report IR-98-021, May, 1998, 27 p.

3. Boyce D., Ralevic-Dekic B., Bar-Gera H. Convergence of traffic assignments: how much is enough. Transport Engineer, 2004, no. 1, рр. 49-55.

4. Boyce D.E., Janson B.N., A Discrete Transportation Network Design Problem with Combined Trip Distribution and Assignment. Transportation Research, 1980, vol. 14, рр. 147-154.

5. Erlander S. On estimation of trip matrices in the case of missing and uncertain data. Transportation Research, 1985, vol. 19, рр. 123-141.