CC BY
24
Информатика, вычислительная техника и управление. Моделирование. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы
УДК 656.02 Лебедева Ольга Анатольевна,
аспирант кафедры «Менеджмент и логистика на транспорте, Иркутский государственный технический университет, тел. 89526326611, e-mail: kravhome@mail.ru
Михайлов Александр Юрьевич, д. т. н., профессор кафедры «Менеджмент и логистика на транспорте», Иркутский государственный технический университет, e-mail: road@istu.edu
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ ОЦЕНКИ МЕЖОСТАНОВОЧНОЙ МАТРИЦЫ КОРРЕСПОНДЕНЦИЙ
O.A. Lebedeva, A. Yu. Mikhailov
COMPARATIVE ANALYSIS OF METHODS FOR INTERSTATION CORRESPONDENCE MATRIX ASSESSMENT
Аннотация. Статья посвящена задаче восстановления межостановочной матрицы корреспонденции на основе данных, поступающих с детекторов входа-выхода, на подвижном составе. На основе этой матрицы можно оценить все основные характеристики маршрута: объем перевозок, пассажирооборот, среднюю дальность поездки пассажиров, наполнение автобусов, эпюру пассажиропотока, коэффициент неравномерности загрузки маршрута по длине.
В статье проведено сравнение вариантов решения задачи наименьших модулей: с применением крупномасштабного алгоритма и начального приближения, среднемасштабного алгоритма, среднемасштабного алгоритма с начальным приближением, симплексного метода решения задачи линейного программирования.
С учетом полученных при обследованиях размеров пассажиропотоков на автобусных маршрутах были разработаны рекомендации для практического применения восстановления межостановочных матриц.
Ключевые слова: методы оценки, межостановочная матрица, пассажиропоток, маршрут, характеристики маршрута.
Abstract. The article is devoted to the problem of reconstructing interstation correspondence matrix based on the data coming from the detectors entry and exit, on the rolling stock. On the basis of this matrix it is possible to evaluate all the main characteristics of the route: the volume of traffic, the passengers, the average trip distance of passengers, filling buses epure passenger traffic, load imbalance ratio of the length of the route.
The article compares the solutions to the problem of the method of least modules using large-scale algorithm and an initial approximation, medium-
scale algorithm, medium-scale algorithm with the initial approximation, the simplex method for solving linear programming problems.
In view of the calculated passenger traffic on the bus routes, recommendations for the recovery interstation matrices practical application were developed.
Keywords: evaluation methods, interstation matrix, passenger, route, route characteristics.
Оценка существующих матриц корреспон-денций на основе замеров потоков (т. е. транспортных или пассажирских потоков) является распространённой задачей при анализе функционирования транспортных сетей. Частный случай такой задачи - маршрут городского пассажирского транспорта, для которого определяется межостановочная матрица корреспонденций. На основе этой матрицы можно оценить все основные характеристики маршрута: объем перевозок, пассажи-рооборот, среднюю дальность поездки пассажиров, наполнение автобусов, эпюру пассажиропотока, коэффициент неравномерности загрузки маршрута по длине [1].
С все большим распространением средств автоматического подсчёта пассажиров (детекторов входа-выхода) появляются возможности мониторинга и анализа пассажиропотоков в режиме реального времени. Поэтому в данной статье рассматривается задача восстановления межостановочной матрицы корреспонденций на основе данных, поступающих с детекторов входа-выхода, на подвижном составе.
Обычно указывается [2], что автоматический подсчет пассажиропотоков дает погрешность 3-5 % в зависимости от оборудования компании-поставщика и ряда других факторов, к числу кото-
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
рых относят количество дверей в подвижном составе и т. д.
Анализ точности измерений пассажиропотоков на двух автобусных маршрутах предприятия ОАО «Автоколонна 1948» в г. Ангарске, подвижной состав на которых полностью оборудован детекторами, показал, что максимальная ошибка, т. е. разница между суммарным количеством входящих и выходящих пассажиров, может достигать ± 15%. Вследствие этого для оценки межостановочной матрицы корреспонденций следует использовать процедуру, устойчивую к засорению исходных данных выбросами.
Робастные (от гоЬа8^, или устойчивые к выбросам, регрессионные методы изучались разными авторами, при этом предлагались различные приемы оценки регрессии. Одной из таких робаст-ных оценок является минимизация суммы абсолютных модулей отклонений - метод наименьших модулей (МНМ). В этом случае робастная оценка рассматривается как задача линейного программирования - методом наименьших модулей.
Задача оценки матрицы корреспонденций по данным замеров интенсивности движения на улично-дорожной сети уже рассматривалась Транспортной лабораторией ИрГТУ (ТЬ-КТИ) в следующей форме [3, 4]
' ' (1)
I e=z
yi a„x,
j=i
I((+h)
ра пп преобразуется в матрицу А2 размером п3п, т. е. дополняется двумя диагональными матрицами 01 и 02.
0 а12 ... а1п 1 0 ... 0 1 0 ... 0 0 0 ... а2 0 1 ... 0 0 1 ... 0
А2 =
0 0 0 0 0 0 ... 1 0 0 ... 1 Вектор ошибок е определяется с учетом результатов оценки вектора корреспонденций х на предыдущей итерации. В зависимости от знака ошибки в, задаются элементы вектора х2, начиная с индекса (пп - п)/2 + 1. Теперь задача (2) формулируется как
n • n + 7 • n ) /2 - 4 min I . / x
^ (n • n - n)2 +1 Aj
(3)
при ограничениях
где в, - остатки регрессии; уг - значение интенсивности движения по ребру графа улично-дорожной сети г; г = 1,2,...,п; п - количество дуг, на которых известна интенсивность движения; ау = 1, если корреспонденция ] принадлежит дуге г, в противном случае - 0 (элементы матрицы инциденций А); j = 1, 2, ..., т; т - количество оцениваемых корре-спонденций.
Аппроксимация с применением МНМ формулируется как задача линейного программирования с целевой функцией в виде суммы модулей ошибок в,
(2)
где gi = max \ 0, et \, hi = min \ -eb 0 I; при ограничениях Ax + g - h = y; W > 0, g > 0, h > 0.
Для нахождения вектора корреспонденций x (вектор-столбец размерности (n n - n)/2) решается задача линейного программирования для нового вектора переменных x2 размерности (n n+7-n)/2-4. Целевая функция (2) включает лишь часть вектора переменных x2. Матрица коэффициентов A разме-
A2 x2 = y;
xlb < x2 < xub; x>0.
На первой итерации МНМ необходим оцененный каким-либо методом вектор x0; при этом допускаются даже экспертные оценки. В настоящей работе начальные значения x0j, преобразуемые в вектор x0 (0-я итерация), определялись на основе использования гравитационной модели
x0 = a.bjA.Bj, (4)
где a - суммарный поток из i; bj - суммарный поток в j; A,, Bj - коэффициенты балансировки по столбцам и строкам матрицы.
Для решения этой задачи линейного программирования была использована функция LINPROG, реализованная в библиотеке Optimization Toolbox пакета MATLAB 7.9.0, которая формулируется как
min fTx (5)
x
при односторонних и двухсторонних ограничениях:
A ■ x < b ; Aeq x x < beq ;
lb x x < ub . Представлялось интересным с теоретической и практической точек зрения провести сравнение вариантов решения метода задачи наименьших модулей применительно к задаче.
1. Крупномасштабный алгоритм, адаптированный для задач большой размерности с разреженными матрицами. Данный алгоритм линейного программирования основан на методе Жин-Занга. Линейное программирование выполняется с расчетом внутренних
Информатика, вычислительная техника и управление. Моделирование. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы
точек (ЫР80Ь), алгоритм одновременного решения прямой и двойственной задач с внутренними точками на основе метода Ме-рота.
2. Среднемасштабный алгоритм, используемый для задач небольшой размерности, который основан на одном из наиболее распространённых оптимизационных алгоритмов последовательного квадратичного приближения (SQP). Так как в исходной задаче присутствуют ограничения - равенства, метод SQP преобразуется в специальную реализацию ньютоновских методов решения системы Лагранжа.
3. Среднемасштабный алгоритм с начальной точкой.
4. Симплексный метод решения задачи линейного программирования.
Нами рассматривался вариант с использованием первого a • x < ь и третьего ограничений задачи 1ь х x < ub , при этом на значениях определяемых параметров x (корреспонденций и остатков регрессии) накладывалось только нижнее ограничение 0. В первом и третьем вариантах использовалось начальное приближение - матрица корреспонденций, рассчитанная с помощью упрощенной гравитационной модели.
При тестировании вариантов решения задачи линейного программирования рассматривались маршруты с количеством остановок от 12 до 24. В данной статье представлены результаты тестирования маршрута с 12 остановками.
Первый тест выполнялся следующим образом:
• задавались точные матрицы корреспонден-ций и количества входящих и выходящих на остановках;
• рассчитывалась матрица корреспонденций;
• исходная и рассчитанная матрицы корре-спонденций преобразовывались в вектор-столбцы, которые сравнивались с использованием среднеквадратической ошибки RMSE и критерия Стьюдента для случая двух зависимых выборок (т. е. парного сравнения элементов столбцов).
По результатам теста (табл. 1 и рис. 1) первые три варианта дают схожие результаты, а четвертый вариант - большую среднеквадратическую ошибку. Это позволяет сделать вывод, что симплексный метод не подходит для решения рассматриваемой задачи.
Т а б л и ц а 1 Сравнительный анализ точности оценки
Метод решения задачи линейного программирования Средняя разность RMSE Критерий Стьюдента
1) с использованием крупномасштабного алгоритма и начального приближения -0,051282 4,21777 -0,107382
2) с использованием среднемасштаб-ного алгоритма -0,012821 4,27160 -0,026507
3) с использованием среднемасштаб-ного алгоритма и начального приближения 0,012821 4,24415 0,026679
4) симплексный метод решения задачи линейного программирования -0,000000 20,39162 -0,000000
1 - с использованием 2 - с использованием 3 - с использованием 4 - симплексный
крупно-масштабного средне-масштабного средне-масштабного метод решения
алгоритма и алгоритма алгоритма и задачи линейного
начального начального программирования приближения приближения
Рис. 1. Значения среднеквадратической ошибки RMSE при восстановлении матрицы
Во втором тесте оценивалась устойчивость вариантов к ошибкам исходных данных. Ошибки от ±10 % до ±30 % вносились в значения вошедших и вышедших пассажиров. Далее вычислялась матрица корреспонденций, которая сравнивалась, как и в первом тесте, с точной матрицей (табл. 2). По результатам таких тестов несколько более высокую точность показывал вариант решения задачи линейного программирования с использованием среднемасштабного алгоритма и начального приближения.
25
20
15
10
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
Т а б л и ц а 2
Влияние ошибок измерения количества входящих-выходящих пассажиров на точность оценки межостановочной матрицы корреспонденций
Метод решения задачи линейного программирования ШМ8Е
Внесенные ошибки
без ошибок ±10% ±20% ±30%
1) с использованием крупномасштабного алгоритма и начального приближения 3,003 3,893 3,875 4,408
2) с использованием сред-немасштабного алгоритма 3,091 3,177 3,417 3,940
3) с использованием сред-немасштабного алгоритма и начального приближения 3,113 3,199 3,363 3,905
Т а б л и ц а 3 Влияние вариации количества входящих-выходящих пассажиров на точность оценки
На следующим этапе исследований рассмотрено влияние вариации пассажирообмена остановочных пунктов на ошибки оценки матрицы корреспонденций (табл. 3). Результаты этого эксперимента показывают, что с ростом пассажиропотока лучшую точность дают варианты с начальным приближением.
С учетом полученных при обследованиях размеров пассажиропотоков на автобусных маршрутах можно рекомендовать для практического применения восстановление межостановочной матрицы с использованием среднемасштабного алгоритма и начального приближения. При этом предлагаемый метод сохраняет работоспособность при ошибках измерений входящих-выходящих пассажиров до 20 %.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лебедева О. А. Расчет основных характеристик маршрута на основе межостановочной матрицы // Вестн. Иркут. гос. техн. ун-та. 2012. № 8 (67). С.145-147.
Метод решения задачи линейного программирования ШМ8Е
Вариационный размах, пасс./ч
1 -50 10 -50 20-50 30-50 40-50
1) с использованием крупномасштабного алгоритма и начального приближения 12,70 10,41 7,98 5,88 8,17
2) с использованием среднемас-штабного алгоритма 12,62 9,86 7,89 5,57 11,00
3) с использованием среднемас-штабного алгоритма и начального приближения 12,57 9,90 7,89 5,57 8,69
2. Лебедева О.А. Основные показатели оценки точности измерений пассажиропотока с применением детекторов входа - выхода // Вестн. Иркут. гос. техн. ун-та. 2012. № 8 (67). С. 115118.
3. Михайлов А.Ю. Оценка матрицы корреспон-денций в виде задачи линейного программирования со смешанными ограничениями // Вестн. Оренбур. гос. ун-та. Автотранспортные системы. 2004. №5. С. 95-99.
4. Тебеньков С. Е., Левашев А. Г., Михайлов А.Ю. Анализ транспортных потоков в транспортных коридорах // Проблемы и перспективы развития Евроазиатских транспортных систем : материалы второй Междунар. науч.-практ. конф., Челябинск, 11 мая 2010 г. Челябинск, 2010. С. 213-218.
