МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И ИХ СИСТЕМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И ИХ СИСТЕМ Кулжанов У.Н.1, Анарбаев Х..2, Кулжонов Ж.Н..3

1Кулжанов Уткир Нематович - PhD, доцент, кафедра теории вероятностей и прикладной математики; 2Анарбаев Хамидулла -студент, математический факультет, Самаркандского государственного университета имени Шарафа Рашидова; 3Кулжонов Жовлон Нематович - преподаватель, Самаркандский государственный архитектурно-строительный университет, г. Самарканд, Республика Узбекистан

Аннотация: рассматриваются методы решения тригонометрических уравнений, неравенств и их систем. Кроме того, Среди методов решения тригонометрических уравнений был выделен метод замены переменной, который позволяет свести тригонометрическое уравнение к алгебраическому. Возможен и обратный ход: алгебраическое уравнение или систему уравнений можно заменить тригонометрическими уравнением или системой уравнений. При этом используются тригонометрические подстановки. Методы решения более сложных неравенств разнообразны. Среди них есть методы, аналогичные методам решения уравнений, и метод интервалов, основанный на решении уравнений. При решении систем любых уравнений, в том числе и тех, среди которых есть тригонометрические, используются теоремы о равносильности систем. Сформулируем их для систем двух уравнений с двумя неизвестными. Их легко обобщить на системы П уравнений с П неизвестными, где П > 3 .

Ключевые слова: тригонометрическое уравнение, неравенство, системы, тригонометрическая подстановка, корень, алгебраическое уравнение, периодическая функция, замена переменных

METHODS FOR SOLVING TRIGONOMETRIC EQUATIONS, INEQUALITIES,

AND THEIR SYSTEMS Kulzhanov U.N.1, Anarbaev Kh.2, Kulzhonov Zh.N.3

1Kulzhanov Utkir Negmatovich - PhD, Associate Professor, DEPARTMENT OF PROBABILITY THEORY AND APPLIED MATHEMATICS; 2Anarbaev Khamidulla - student, FACULTY OF MATHEMATICS, SAMARKAND STATE UNIVERSITY NAMED AFTER SHARAFRASHIDOV; 3Kulzhonov Zhovlon Negmatovich - lecturer, SAMARKAND STATE UNIVERSITY OF ARCHITECTURE AND CIVIL ENGINEERING, SAMARKAND, REPUBLIC OF UZBEKISTAN

Abstract: methods for solving trigonometric equations, inequalities, and their systems are considered. In addition, among the methods for solving trigonometric equations, the variable replacement method was highlighted, which allows one to reduce a trigonometric equation to an algebraic one. The reverse is also possible: an algebraic equation or system of equations can be replaced by a trigonometric equation or system of equations. In this case, trigonometric substitutions are used. Methods for solving more complex inequalities are varied. Among them are methods similar to methods for solving equations, and the interval method based on solving equations. When solving systems of any equations, including those that include trigonometric ones, theorems on the equivalence of systems are used. Let us formulate them for systems of two equations with two unknowns. They can be easily generalized to systems o f П equations with П unknowns, where П > 3 .

Keywords: trigonometric equation, inequality, systems, trigonometric substitution, root, algebraic equation, periodic function, change of variables.

УДК 517.51

1. Потеря и приобретение корней при решении тригонометрических уравнений. Среди методов решения тригонометрических уравнений был выделен метод замены переменной, который позволяет свести тригонометрическое уравнение к алгебраическому. Возможен и обратный ход: алгебраическое уравнение или систему уравнений можно заменить тригонометрическими уравнением или системой уравнений. При этом используются тригонометрические подстановки.

1. Если известно, что корень алгебраического уравнения по модулю не превосходит единицы, т.е.

X < 1, то возможна подстановка x = cost, где 0 < t <Ж или x = sint,

л л

где--< t < —.

2 2

Это обосновано следующими положениями. Так как |х| < 1 и |cost| < 1, то можно считать, что

х = cost. Тогда t = arccosx. Поскольку arccosх е [ü; л], то и t е [0; л]. Аналогичные рассуждения можно провести для замены х = sin t. Задача 1. Решить уравнение : 8х(2х2 ! -фх4 -8х2 +1)= 1.

Решение. Покажем, что корень этого уравнения по модулю меньше единицы. В самом деле, если предположить, что |х| > 1, то получим:

2х2 -1 > 1, 8х4 - 8х2 +1 = 8х2 (х2 -1)+1 > 1, |8х(2х2 - фх4 - 8х2 +1) > 8.

( л лЛ

Сделаем замену: х = sin t, t el--; — I. Тогда:

I 2 2 J

2х2 -1 = 2sin21 -1 = 1 - cos2t -1 = -cos2t;

8х4 - 8х2 +1 = 2(2х2 -1)2 -1 = 2cos2 2t -1 = cos4t. Уравнение примет вид:

- 8sin t cos2t cos4t = 1,

л л

— < t < —. 22

Умножим обе части уравнения на cost. Приобретения корней не произойдет, так как значения

л ( л лЛ t = — + лт, n е Z , не принадлежат интервалу l--; — I. Последовательно получим уравнения:

- 8sin t cost cos2t cos4t = cost, - sin8t = cost,

sin8t + sin| — -1 I = 0, 2sin| 71 + л | cosí91 -л I = 0,

12 J 12 4 J \ 2 4 J

• (7 лЛ Л sinl -1 + — I = 0, 12 4 J

cosí — t-л I = 0,

\ 2 4 J

л 2

t =---+ — лт, n e Z,

14 7

л2

t = —+ — лт, m e Z. 6 9

í л л |

Из найденных t значений интервалу l--; — I принадлежат числа

л 3л 5л л 7л л 5л 14 ; 14 ; 14 ; 6 ; 18 ; 18; 18.

. л . 3л 5л 1 ,7л .л 5л

Ответ. - sin—, sin-, - sin-, — , sin-, - sin—, - sin-.

14 14 14 2 18 18 18

í \ 4 л

Заметим, что если бы ввели подстановку х = cost, t е (0; л), то получили бы ответ cos-,

7

2л 6л 1 л 5л 7л

cos-, cos-, —, cos—, cos-, cos-, то есть те же самые числа, но записанные другим

7 7 2 9 9 9

способом.

2. Если алгебраическое уравнение содержит выражение вида yja2 - х2 , a Ф- 0

л

2 2

то возможна

_ I 2 2 I I • л л подстановка х = a cost, 0 < t < л, тогда \a - х = a sin t, или х = a sin t,--< t < —, тогда

V2 2 II

a - х = a cost.

Действительно, область допустимых значений X в этом выражении удовлетворяет условию X < \а\

т.е.

x г -i x .

< 1. Тогда можно считать, что — = cosí, t е [ü; ж\ или — = sin t, t е

ж ж 2; 2

. В первом

случае имеем: x = a cost, yla2 - x2 = yja2 (l - cos21) = |a||sin t| = |a| sin t, т.к. при t е [ü; ж\ выполняется условие sin t > ü. Во втором случае x = a sin t, у/a2 - x2 = |a||cost| = |a| cost, т.к.

, т.к. если

t e

ж ж 2; 2

то cost > 0 и Icostl = cost. Задача 2. Решить уравнение

л/T—x = 2x2 -1 + 2xVl^"2

x .

Решение. Область определения уравнения задается условием |x| < 1. Тогда введем подстановку, например, x = cost, t е [ü; ж\. Получим систему

[л/l - cost = 2cos21 -1 + 2costV 1 - cos21, |ü < t < ж.

Упрощая уравнение, последовательно будем иметь:

J2sin- = 1 + cos2t -1 + 2cost sin t,

2

V2sin — = cos2t + sin2t, sin — = sinl 2t + Ж 2 2 I 4

ж

Используя условия равенства синусов, находим

л t ^

2t +---= 2жп, n е Z,

4 2

Л ж t „ „

2t + — ^ - = ж + 2жп, п е Z, 42

3ж 3ж

Условию 0 < t < ж удовлетворяет только t =-, тогда x = cos-.

10 10

ж 4

t =---ь — ж1?, n e Z,

6 3

Зж 4

t =--ь — жп, n e Z.

10 5

Ответ. cos-

Зж 10

2. Методы решения тригонометрических неравенств

Решение неравенств типа sin f (x) > 0 (< 0, > 0, < 0), cos f (x) > 0 (< 0, > 0, < 0),

tg f (x)> 0 (< 0, > 0, < 0), ctg f (x)> 0 (< 0, > 0, < 0) и непосредственно сводящиеся к ним рассмотрены в п. 3.1. Методы решения более сложных неравенств разнообразны. Среди них есть методы, аналогичные методам решения уравнений, и метод интервалов, основанный на решении уравнений.

Прежде чем переходить к описанию методов решения тригонометрических неравенств подчеркнем,

что при решении неравенств вида f (x) > 0 (< 0, > 0, < 0), где f (x) - периодическая функция с периодом T следует сначала решить это неравенство на одном отрезке длины T, исключив один из

концов (например, для 0 < x < T или--< x < — и т.д.), а затем получившееся решение периодически

2 2

продолжить. Один из концов необходимо исключить во избежание повторения решений, т.к. один конец получается из другого прибавлением или вычитанием T, т.е. он автоматически рассматривается при продолжении решения.

В некоторых случаях довольно сложное с виду неравенство с помощью равносильных преобразований сводится к решению элементарного неравенства. Рассмотрим примеры.

Задача 3. Решить неравенство: 3 sin2 2x + 7 cos2x — 3 < 0;

Решение. С помощью элементарных преобразований неравенство приводится к виду cos2x(7 — 3cos2x)< 0. Поскольку второй множитель положителен при любом x, неравенство

71 3n

равносильно неравенству cos2x < 0, т.е. 2тг н— < 2x <--н 2nn, n e Z, или,

2 2

n 3n ^

rn н—< x <--н 7n, n e Z.

4 4

Задача 4. Решить неравенство: 3 sin2x + 8cos2 x < 1;

Решение. а) С помощью элементарных преобразований неравенство приводится к однородному второй степени:

sin2 x - 6sin x cosx - 7 cos2 x > 0.

Оно равносильно совокупности

[cos x = 0, sin2 x > 0,

или,

tg2x - 6tg x - 7 > 0,

7 , 7

x = —н nn, n e Z,

2

tg x <-1, tg x > 7,

n

nn + arctg7 < x < — + nn,

n ^ n „ nn--< x <---н nn, n e Z.

2

4

3. Решение систем тригонометрических уравнений

При решении систем любых уравнений, в том числе и тех, среди которых есть тригонометрические, используются теоремы о равносильности систем. Сформулируем их для систем двух уравнений с двумя неизвестными. Их легко обобщить на системы n уравнений с n неизвестными, где n > 3 .

Теорема. 1. Любое уравнение системы можно заменить на равносильное ему.

Теорема. 2. Любое уравнение системы можно заменить на алгебраическую сумму его с другим уравнением.

Теорема. 3. Любое неизвестное можно выразить из одного уравнения и подставить полученное выражение вместо соответствующего неизвестного в другое уравнение.

Теорема. 4. К системе уравнений можно присоединить уравнение-следствие данных уравнений.

Г f (x, y ) = 0,

Теорема 5. Система уравнений i / \ / \ равносильна совокупности систем

Is ^ y)- Kx y)=0

ff (x, y)= 0^ [f (x, y) = 0,

Ig(x, y) = 0 иЛи [Л(х, y) = 0.

Основные методы и приемы решения систем, содержащих тригонометрические уравнения, те же, что и для алгебраических систем. Во-первых, это метод исключения неизвестных. Он реализуется двумя путями:

1) из одного уравнения выражают неизвестное или его функцию и подставляют в остальные (метод подстановки); 2) преобразуют данные уравнения и составляют их комбинации (сумму, разность, произведение, частное), чтобы уменьшить число неизвестных. Во-вторых, это метод замены переменных, позволяющий тригонометрическую систему свести к алгебраической.

[ S

„ ч cosx cosy = —,

Задача 5. Решить систему уравнений: i 4

tg x tg y = 1.

Решение. Выражая тангенсы через синусы и косинусы и учитывая первое уравнение, получим систему ' л/3

4 ,

S

cos х cos y =

равносильную данной.

sin х sin y =

Заменим уравнения их суммой и разностью, чтобы использовать формулы косинуса разности и косинуса суммы аргументов. Получим систему

соб(х - у) = —, 4 " 2

соб(х + у ) = 0.

Решая ее, приходим к совокупности двух тривиальных систем алгебраических уравнений, равносильной данной системе:

Л

x - y =---ъ 2 л, п е Z,

' 6

Л

или <

x - y = —ъ 2лп, п е Z, '6

Л

x + y = —ъ Л, к е Z 2

Л

x + y = —ълк, к е Z. 2

Ошееш. [ Л + Л(2п + к); Л + Л(к-2п)|, I Л + Л(2п + к); Л + Л(к-2п)|,

^ 6 2 п е Z, к е Z.

3 2

3 2

6 2

Задача 6. Решить систему:

бш(х + у)бш(х - у) = -1,

соб2х соб2 у = 1.

2

Решение. Преобразуем произведение функций в первом уравнении в сумму, а второе уравнение умножим на — 1. Получим систему

соз2 у — соз2 х = ——,

2

соб2 у •(- соб2х) = -—.

Сделаем замену: - соб2х = и, соб2у = V. Система примет вид

1

и + V = —, 2

1

^ = —. 2

2 1 1 _ 1

Тогда и и V - корни квадратного уравнения t Н— t--= 0 . Они равны -1 и — . Исходная

2 2 2

система равносильна совокупности двух систем:

cos2x = 1,

1 или cos2^ = —

Г X

Ответ. I ТП;--h Так

I 6 ,

n е Z, к е Z.

1

cos2 x = —, 2

cos2y = -1.

^ Л -Лълк'

Л Л , I I Л Л

—ълп; —ъЛк |, I---ълп; —ъЛ

3 2 J I 3 2 ,

Список литературы /References

1. Заборонков Н.А. Задачник-практикум по тригонометрии. - Горький, 1975.

2. Новоселов С.И. Специальный курс тригонометрии. - М., 1956.

3. Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы /А.Г. Цыпкин, А.И. Пинский. - М., 1983.

4. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 11 кл. сред. шк. - М., 1991.