СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ В ЗАДАЧЕ О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 517.45 MSC2010: 35B10

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ В ЗАДАЧЕ О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ

© Ю. И. Никитин

Нижегородская государственная сельскохозяйственная академия ИНЖЕНЕРНЫЙ факультет просп. Гагарина, 97, Нижний Новгород, 603107, Российская Федерация e-mail: ura-nik@yandex.ru

© А. Н. Сахаров

Нижегородская государственная сельскохозяйственная академия инженерный факультет просп. Гагарина, 97, Нижний Новгород, 603107, Российская Федерация e-mail: ansakharov2008@yandex.ru

Special Trigonometric series in the problem of periodic solutions.

Nikitin U. I., Sakharov A. N.

Abstract. This paper describes a method for constructing periodic solutions for specialtype nonlinear equations with periodic coefficients. The basis of this method is to represent the desired solution in a nonstandard trigonometric series as a power series in sin t. The coefficients of such a series are calculated in a recursive way. Such a representation is permissible not only for continuous periodic solutions, but also for solutions with singularities. In addition, the representation of a singular solution in the form of a non-standard trigonometric series allows localizing its singularities. The equations in question may also have singularities. When finding singular solutions, we use the assumption that in the case of the existence of two such solutions, they are connected by a certain equality. Using this relationship, you can get the equation for these periodic solutions, either as a linear equation of the second order or as an equation of the first order. This allows, for example, to find the boundary curves for the stability zones of the Hill equation with a parameter. The results obtained on the existence of singular periodic solutions supplement the general theorems of [7] obtained by other methods.

Keywords: nonstandard trigonometric series, periodic solutions, singular periodic solutions

1. Введение

Задача о существовании периодических решений у дифференциальных уравнений вида

x + a(t)x = b(t)xm + c(t), (1)

где a(t), b(t), c(t) — T-периодические функции, а m G Z, актуальна для ряда практических приложений (в основном, в небесной и квантовой механике, биологии). Уравнение (1) можно рассматривать как нелинейное возмущение уравнения Хилла: регулярное, если m > 0, либо сингулярное, если m < 0. Конструктивное построение периодических решений таких уравнений, как правило, использует аппарат рядов Фурье, либо представление с помощью функции Грина. Однако, в ряде случаях целесообразнее искать периодические решения в виде рядов по степеням специально выбираемых функций, коэффициенты которых получаются рекуррентным способом (см., например, [1]). Такие ряды принято называть специальными рядами.

Будем считать, что период T коэффициентов в уравнении (1) равен 2п. Рассмотрим возожность построения 2п-периодических решений этого уравнения по степеням sin t. Как будет показано ниже, такое представление позволяет находить наряду с обычными и особые периодические решения. Напомним, что 2п-периодическое решение x(t) уравнения вида (1) называется особым, если при некотором t* G [0, 2п]

lim |x(t)| = то.

t^t*

Техника работы с особыми решениями достаточно полно отражена в книге [2].

В данной работе для уравнений вида (1) при нахождении особых решений мы будем использовать следующий прием, предложенный Е.А. Сидоровым в [6]. Допустим, что уравнение (1) имеет два периодических решения xi(t), x2(t), связанных соотношением

x2(t) = xi (t)tg t. (2)

Тогда, если известно одно из них, другое является периодическим решением вполне определенного дифференциального уравнения (возможно, с сингулярными коэффициентами), что существенно облегчает построение таких решений.

Заметим, что если в уравнении (1) c(t) = 0, но a(t) ф 0, то задача существования периодических решений, удовлетворяющих соотношению (2), сводится к отысканию периодических решений уравнения 1-го порядка, интегрируемого в квадратурах.

Работа организована следующим образом. В разделе 2 предложенная методика используется для построения периодических решений нелинейного уравнения с кубической нелинейностью. Показывается, что задача сводится к интегрированию линейного уравнения Гойна с сингулярностями [3], [4]. Эти результаты дополняют ряд теорем из сравнительно новой работы [7], полученных другими методами.

Те же самая задача, применительно к уравнению с квадратичной нелинейностью, рассматриваются в разделе 3.

Раздел 4 посвящен построению примеров периодических решений, удовлетворяющих соотношению (2), для дифференциальных уравнений Дуффинга-Матье и Ермакова.

В последнее время привлекает особое внимание ([8], [9], [10]) задача о существовании знакопостоянных периодических решений для уравнений 2-го порядка с периодическими коэффициентами. Эта задача рассматривается для уравнения X = |x |3 + f (t) в разделе 5.

Во всех случаях для представления периодических решений используются разложения в ряды по степеням sin t.

2. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ С КУБИЧЕСКОЙ

НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

Рассмотрим уравнение вида

x = b(t)x3. (3)

Предположим, что уравнение (3) имеет пару нетривиальных периодических решений, удовлетворяющих (2). Подставим это соотношение в уравнение (3). При этом для xi(t) получается линейное уравнение

, о \ x x sin t , .

(tg t — tg3 t)x + 2—— + 2-— = 0, (4)

cos21 cos31

П

коэффициенты которого имеют особенности в точках пп и ±— + пп. Действительно, при замене x2 = x1 tg t получаем уравнение

2 2 sin t . 3 3

xi tg t + xi—^ + xi-^ - b(t)x'1 tg3 t = 0.

cos21 cos31

Так как b(t)x3 = x1, то получаем уравнение (4). Его общее решение выражается через функции Гойна1

, . C^2 cos21 — 1 2

x(t) = V1 — 3cos21 + 2cos't«>+ C2\J 2 cos21 — 1 cos t 2

+ V1 — 3cos2 t + 2cos'tw|1/2 "1/4Л 03/2J/2|(cos tl

где W[a,q,a,в,Y ,á] (z) — решение общего уравнения Гойна:

d2 w ^ + ^ + в — Y — ^ + ^ dw ав z — q ^ ^

dz2 \z z — 1 z — a J dz z(z — 1)(z — a)

(5)

1Эти функции были впервые исследованы К. Гойном более ста лет назад [3]. Сейчас они активно используются для представления решений уравнений квантовой физики (см., например, [4], гл. 3,

[5]).

Теорема 1. Если дифференциальное уравнение (3) имеет пару нетривиальных периодических решения, удовлетворяющих соотношению (2), то они являются особыми. Более того, все решения, кроме тривиального, являются особыми периодическими решениями.

Доказательство. Утверждение теоремы можно доказать, используя представление (5) и свойства функций Гойна. Мы дадим прямое доказательство с помощью аппарата специальных тригонометрических рядов.

Периодическое решение уравнения (4) будем искать в виде специального ряда

0(í) = ^ ak sink t. (7)

Ufc sin k=0

Подставляя этот ряд в уравнение (4), получим рекуррентное уравнение для определения коэффициентов ak:

n ao

ai = U, a2 = —з, аз = 0,

(3(k — 1)2 — 2)ak-i — 2(k — 3)2ак-з , q , (8)

ak+1 = -t,-гг";-ñ-, k = 3,4,....

k+1 (k + 1)(k + 2) ' ' '

Решения этого уравнения зависят от одного произвольного параметра: коэффициента a0. Все нечетные коэффициенты равны нулю. Если a0 < 0, то все четные коэффициенты a2k > 0 при k > 1.

Сходимость ряда обеспечивается выполнением условий следующей леммы.

Лемма 1. Если при некотором k0 > 5 выполняется неравенство 0 < ako-3 < ako-1, то для всех k > k0 выполняются неравенства

а: ak+i > ak-i; b: 0 < ak+i < 3ak-i.

Следовательно, ряд (7) сходится при | sin

t| < R, где R < л/3.

Доказательство. Неравенство а следует из (8). Заменим ак-3 на ак-1, тогда

/ 3к - 19 \

V + к2 + 3к + 2) '

Аналогично выводится неравенство Ь:

(3 15к + 3 \

V к2 + 3к + 2 )

при к > к0. Лемма доказана.

k2 + 6k - 17 ( 3k - 19

ak+1 > ak-1 k2 + 3k + 2 - ak-41 + k2 + 3k + 2

3k2 - 6k + 3 f 15k + 3

ak+1 < ak-1 k2 + 3k + 2 < ak-43 - k2 + 3k + 2 1 < 3ak-1

Ряд (7) можно записать в виде

Е- • 2k ak sin t,

k=0

где ak = a2k. Из неравенства

lim

k

ak

ak+1

1

< -

3

следует, что ряд по степеням sin21 сходится при | sin t| < R, где R < л/3. При t ^ t* = arcsin R ряд (7) расходится, то есть уравнение (3) имеет особое периодическое решение.

Рис. 1. График отрезка специального ряда (7) для решения уравнения (4).

Чтобы доказать теорему необходимо показать, что уравнение (3) имеет линейно независимое решение х = Ф(£), неограниченное при £ ^ 0. Представим Ф(£) в виде ряда

те

ьк йпк г,

к=-1

получим рекуррентные соотношения, которые определяют коэффициенты ряда с точностью до постоянного множителя Ь-1. Рекуррентные формулы получаются отдельными для четных и нечетных коэффициентов, причем для четных коэффициентов рекурентное соотношение совпадает с (8). Поэтому ряд для Ф(£) будет суммой двух рядов ф(г) для четных коэффициентов и для нечетных. Проверка условий

леммы 2.1 дает ту же самую область сходимости (кроме значений £ = кп). Следовательно, существует линейно независимое особое периодическое решение Ф(£) и теорема доказана.

Замечание 1. После подстановки соотношения (2) в уравнение

X = Ь(*)ж2т+1, т е N

получаем линейное уравнение, решения которого при т =1, 2 выражаются через периодические функции и функции Гойна.

3. Уравнения с квадратичной нелинейностью

Рассмотрим теперь уравнение

x = x2 + c sin t. (9)

Это уравнение не может иметь ограниченных периодических решений. Действительно, если бы такое решение существовало, то среднее значение на периоде левой части равно нулю, а правой не равно нулю.

Подстановка соотношения (2) в уравнение (9) дает для xi(t) уравнение Риккати с сингулярными периодическими коэффициентами

22 2 sin t — cos t sin t cos2t — sin t cos t

x + x tg t = x ----+ c sin t---. (10)

Поэтому проще искать периодические решения2 непосредственно для уравнения (9).

Теорема 2. Уравнение (9) может иметь особые решения, представимте в виде ряда (7).

Доказательство. Подставим ряд (7) в уравнение (9):

<Х !Х> k

^(k(k — 1) sink-21 — k2 sink t)ak = ^ ^ajak— sink t + b sin t. k=0 k=0 j=0

Считая a0 и a1 произвольными, получаем

a0 b + 2a0a1 + a1 ai + 2a0a2 + 4a2

Й2 = —, аз = -, ад = -.

2 2' 3 6 4 12

k2ak 1 ч л

ak+2 = (k + 2)(k + 1) + (k + 2)(k + 1)¿ajak-j' k > 2. (11)

2Можпо искать периодические решения уравнения (10), рассматривая его как возмущение итери-

руемого с параметром возмущения с.

Покажем, что при некотором наборе а0,°1,Ь ряд будет иметь ненулевой радиус сходимости. Пусть коэффициенты ак (к < т) удовлетворяют условиям 0 < ак < М < 1. Используя равенство (11), получим по индукции для к > т

к2М + 2(к + 1)М2 М (к2 + 2к + 2) ак+2 < (к + 2)(к + 1) < (к + 2)(к + 1) < М < 1

Таким образом, при некоторых положительных а0, а1, Ь полученный ряд сходится при

|г| < 2.

п

Построенное решение стремится к бесконечности при £ ^ —. Последнее следует из того, что при достаточно больших к справедливо неравенство ак > М2. Действительно, индукцией по к можно показать, что

1 к2 М2

ак+2 > (к + 2)(к +1)(М2к2 + (М - М2)к2) = (к + 1)(к' + 2)(1 + где а = 1/М — 1 > 0. Поэтому при достаточно больших к

к2(1 + а) ----— > 1,

(к + 1)(к + 2) ,

то есть справедливо неравенство ак > М2. Отсюда следует, что если £ ^ п/2, то ряд расходится, и уравнение не может иметь ограниченных периодических решений.

Рис. 2. График отрезка специального ряда (7) для периодического решения уравнения (9).

Более интересным является случай уравнения

Xsin t = x2, (12)

у которого существуют два периодических решения: x = 0 и x = — sin t.

«Таврический вестник информатики и математики», № 2 (47)' 2020

Теорема 3. Уравнение (12) не может иметь периодических решений, удовлетворяющих соотношению (2).

Доказательство. Действительно, подстановка соотношения (2) в уравнение (12) дает уравнение Бернулли

cos t(tg t — 1) 2 x = — x tg t +----x ,

все решения которого

. . 4 cost

x(t) =

cos t sin t + cos2t + t + C непериодичны.

Кроме того, это уравнение не имеет других периодических решений, кроме указанных выше. Это следует из того, что никакой тригонометрический ряд (даже формальный) не удовлетворяет уравнению (12).

Еще один пример уравнения c квадратичной нелинейностью, имеющего семейство особых решений:

x + a(t)x = x2. (13)

Соответствущее уравнение для xx(t)

Х + xtgt = x2(tg21 - tgt)cos21 имеет семейство периодических решений

3cos t

x(t,C) =

C — cos31 — sin31

x(t,C)

(неособых при |C| > 1.) Отсюда получаем коэффициент a(t) = x(t,C) —

x(t,C)'

4. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ДУФФИНГА-МАТЬЕ

Имеются разнообразные результаты о существовании периодических решений для уравнений вида

X + а(г)х = с(£)хт, (14)

в том числе и сингулярных [7], [8] и др. В некоторых работах устанавливается существование двух положительных решений или решений противоположных знаков [9], а также бесконечного числа периодических решений [10].

Уравнения типа (14) допускают применение приема нахождения периодических решений, связанных соотношением (2). Рассмотрим с этой точки зрения регулярный случай этого уравнения, когда |т| = 3. В работе [8] доказано существование двух периодических решений уравнения Дуффинга-Матье, но не указан алгоритм

их численно-аналитического нахождения. Ниже указаны семейства уравнений вида (14), допускающие существование такого алгоритма.

Упомянутый выше результат об уравнении Дуффинга-Матье

x + (а + b cos t)x + cx3 = 0 (15)

из работы [8] заключается в следующем. Пусть

Л+ = {а + bcos t G L1(0, 2п) : а + bcos t > 0, ||а + bcos t||p < K(2p*)}3.

Тогда при выполнении условия а < b < 0 < c или а + b cos t G Л+ уравнение (15) имеет, по крайней мере, два нетривиальных периодических решения.

Дополним этот результат задачей о существовании пары периодических решений, удовлетворяющих соотношению (2) для уравнения вида

x + а^^ = x3. (16)

Решение поставленной задачи сводится к построению соответствующего коэффициента а^).

Если x2(t) — решение (16), то при замене x2(t) = x1(t) tg t получаем равенство

1 sin t 3 3

xi tg t + 2xi-— + 2xi-— + а(^1 tg t = x3 tg31.

cos2 t cos3 t

Вычитая из него уравнение x1 + a(t)x1 = xi, умноженное на tgt, получаем уравнение Бернулли

2 sin t 3 3

x-п + 2x-— = x3 (tg31 — tg t),

cos2 t cos3 t

которое имеет два семейства 2п-периодических решений

4 cos t

± . V C — cos 4t

(неособых при \C| > 1). Подставляя периодическое решение в уравнение (16) получаем

8 + 8 cos 2t + 8 cos 4t 2cos3t — 2cos5t 6 — 6cos8t а(^ = 1+ C — cos4t (C — cos 4t) cos t — — (C — cos4t)2. (1 )

Теорема 4. Уравнение (16) c коэффициентом (17) имеет два 2п-периодических решения

4 cos t 4 sin t

x1(t) = , x2(t) = , C > 1,

1W л/C — cos 4t л/C — cos 4t

удовлетворяющих условию (2).

3Здесь У ■ ||р обозначают обычную Ьр-норму на [о, 2п], р* определяется как р* = р/(р? 1). если 1 < р < ж, и р* = 1, если р = те.

Рассмотрим теперь уравнение Ермакова'

4

. . b . . x + a(t)x = —. (18)

x3

Допустим, что это уравнение имеет два периодических решения, связанных соотношением (2). Тогда для x1 получаем уравнение

2x3 4 sin t /1 \

x—^ + 2x4-— = b — tg t .

cos2 t cos3 t tg3 t

Оно имеет два семейства особых 2п-периодических решений

Ц(C sin61 — 2C sin41 + (C + b) sin21 — b) sin21

sin t

Теперь найдем коэффициент a(t):

a(t) = —(4C2 cos121 — 12C2 cos101 + (12C2 + 20C) cos81 — (4C2 + 40C) cos61+

2 ОП2 -

+ (26Cb + 4b2) cos41 — (6Cb + 4b2) cos21 + 3b2)/(4(C2 cos81 — 2C2 cos61+

+ (2Cb + C2) cos41 — 2Cb cos21 + b2) sin21 cos21). Для уравнения (18) с таким коэффициентом a(t) имеет место аналог теоремы

4.1.

Замечание 2. Уравнение (1) при a(t) =const и m = 3 после подстановки соотношения (2) преобразуется в уравнение

X(tg t — tg31) + + + a(tg t — tg3 t)x — c(t)(1 — tg31) = 0.

cos21 cos3 t

Это уравнение имеет общее решение, выражающееся через функции Гойна и их производные. Например, если c(t) = 0, то решение имеет вид

x(t) =

Ci(2 cos21 — 1)2 sin t

C2 cos t(2 cos21 — 1)2 2

sin t

4В англоязычной математической литературе это уравнение известно как уравнение Пинни.

5. Уравнения с модулем

Здесь метод специальных тригонометрических рядов применяется для построения положительных (отрицательных) периодических решений уравнения

x = |x|3 + a + b sin(t). (19)

Теорема 5. Уравнение (19) может иметь периодические решения, представимте в виде ряда (7).

Доказательство. Допустим, что (19) имеет положительное периодическое решение, представимое в виде ряда (7). Подставим этот ряд в уравнение (19):

<Х !Х> k

^^(k(k — 1) sink-2t — k2 sink t)ak = a^ajak-i-j sink t + a + b sin t.

k=0 k=0 i,j=0

Считая a0 и ai произвольными, получаем

a2 + a b + 3a2a1 + a1 3aia0 + 3a2a2 + 4a2

0

a2 — -, a3 — -, a4 —

12

k2ak 1 ч л

ak+2 = (k + 2)(k + 1) + (k + 2)(k + 1) ^ak-i-j, k > 2. (20)

—0

При некотором наборе a0,a1,a, b ряд будет иметь ненулевой радиус сходимости, что можно доказать по индукции, используя равенство (20). Пусть коэффициенты

ak (k < m) удовлетворяют условиям 0 < ak < M < —=. Тогда для k > m имеем

V 3

k2M + 3(k + 1)M3 M (k2 + 3k + 1) 1

ak+2 < (k + 2)(k + 1) < (k + 2)(k + 1) < M < —3. Таким образом, при некоторых положительных a0,a1,a, b полученный ряд имеет ненулевой промежуток сходимости.

На рис. 3 представлено положительное решение уравнения

3 sin t

x = |x(t)|3 — 1 + —, (21)

полученное с помощью ряда по синусам.

6. Заключение

Полная картина поведения сингулярных периодических решений невозможна без описания механизма их появления в уравнениях вида (1). Приведенные выше примеры показывают, что предлагаемый метод нахождения сингулярных периодических решений сводится к нахождению таких решений либо для линейных уравнений 2-го

порядка, либо нелинейных уравнений 1-го порядка с сингулярными коэффициентами. В простейшем случае — это уравнение на торе вида

в + tg t sin в = Л + a(t) + b(t) cos в, (22)

где a(t) и b(t) — непрерывные периодические функции, Л — параметр. Используя аппроксимации p(t) для функции tgt (например, аппроксимацию Паде), возможно свести задачу о рождении особых решений к случаю, описанном в [11], так как в этом случае существует инвариант потока — число вращения. Это предположение подтверждается численными экспериментами: ниже приведен график (рис. 4) зависимости числа вращения р от параметра Л уравнения (22).

Ступеньки графика (интервалы запирания фазы) соответствую областям существования предельных циклов на торе. При p(t) ^ tg t возможно появление особых периодических решений.

Соотношение (2) может быть использовано и для решения бифуркационных задач. Простейший пример такого типа приведен в заметке [6], в которой рассматривается задача о ветвлении собственных значений для уравнения Хилла-Матье (о пограничных кривых зон устойчивости). Наиболее просто рассматривается случай 1-ой зоны устойчивости для уравнения

х + (Л + f (t, e))x = 0, (23)

Рис. 4. Число вращения потока, порождаемого уравнением в + p(t) sin в = Л + a(t) + b(t) cos в (p(t) — аппроксимация Паде tg t).

I -0.5 0 0.5 I 1.5

Рис. 5. Границы закрашенных областей являются пограничными кривыми зон устойчивости.

где f (t, е) имеет период п по t. При Л = 1, е = 0 существуют два решения xi(t) = cos t, x2(t) = sin t, так что x2(t) = x1(t) tg t.

При £ > 0 рождаются два собственных значения Л1(е), Л2(е), разность которых пропорциональна £. Предполагая, что Л2 — Л1 = —4е, получаем x2(t, е) = e6sin21 cost, Л1;2 = 2 — (1 + е)2, f (t, е) = £ cos2 2t — 4cos2t. Общее решение уравнения (23) для такой функции f (t, е) выражается через решения конфлюэнтного уравнения Гойна. Картина поведения граничных кривых зон устойчивости показана на рис. 5, где изображены области захваты фазы на плоскости параметров Л, е.

В процессе написания этой статьи авторы ознакомились с работой [12], где предложен общий метод построения уравнений Гойна из систем дифференциальных уравнений 1-го порядка.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Филимонов М. Ю. Применение метода специальных рядов для представления решений уравнения Линя-Рейснера-Цяня // Труды института математики и механики. 2008. Том 14, № 1. - C. 181-201.

FILIMONOV, M. Yu. (2008) Application of the method of special series to the representation of solutions of the Lin-Reissner-Tsien equation. Proceedings of the Institute of Mathematics and Mechanics. 14 (1). p. 181-201.

2. Сидоров А. Ф. Избранные труды: Математика. Механика. М.: Физматлит, 2001. SIDOROV, A. (2001) Selected Works: Mathematics. Mechanics.. Moscow, Fizmatlit.

3. HEUN, K. (1889) Theorie der Riemann'schen Functionen zweiter Ordnung mit Vier Verzweigungspunkten. Math. Ann. 1889. 31. p. 161-179.

4. Славянов С.Ю., Лай В. Специальные функции: единая теория, основанная на анализе особенностей. — СПб: Невский диалект. 2002. — 312 с.

SLAVYANOV, S. and LAY, W (2002) Special Functions: A Unified Theory Based on Singularities. St. Petersburg, Nevskiy Dialekt.

5. Бухштабер В. М., Тертычный С. И. Голоморфные решения дважды конфлюент-ного уравнения Гойна, ассоциированного с RSJ-моделью перехода Джозефсона // Теоретическая и математическая физика. 2015. T. 182, № 3. — с. 373--404.

BUCHSTABER, V. M. and TERTYCHNYI, S. I. (2015) Holomorphic solutions of the double confluent Heun equation associated with the RSJ model of the Josephson junction. Theoret. and Math. Phys.. 182 (3). p. 373--404.

6. Сидоров Е. А. О некоторых задачах бифуркационного типа. — Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы. 2001. — C. 242-244.

SIDOROV, E. A (2001) On some problems of bifurcation type. Abstracts of the Voronezh Winter Mathematical School. p. 242-244.

7. P. HABETS, L. (1990) Sanchez Periodic solution of some Lienard equations with singularities. Proc. Amer. Math. Soc.. 109. p. 1135-1144.

8. PEDRO, J. (2003) Torres Existence of one-signed periodic solutions of some second-order differential equations via a Krasnoselskii fixed point theorem. J. Diff. Equations. 190. p. 643-662.

9. RACHUNKOVA, I. (2000) Existence of two positive solution of a singular nonlinear periodic boundary value problem. Journal of Computational and Applied Mathematics. 113 (1-2). p. 24-34.

10. GRAEF, J. R., KONG, L. and WONG, H. (2008) Existence, multiplicity, and dependence on a parameter for a periodic boundary value problem. J. Diff. Equations. 245 (5). p. 1185-1197.

11. Сахаров А. Н, Сидоров Е. А. О бифуркациях периодических решений комплексных полиномиальных дифференциальных уравнений // Вестник ННГУ. сер. математика. — 2004. — Том 1, №. 2. — с. 159-169.

SAKHAROV, A. N and SIDOROV, E. A. (2004) On bifurcations of periodic solutions of complex polynomial differential equations. Vestnik of NNSU. Series of Math. 1 (2). p. 159-169.

12. Салатич А. А., Славянов С. Ю., Стесик О. Л. Системы ОДУ первого порядка, порождающие конфлюентные уравнения Гойна // Заметки научных семинаров ПОМИ. 2019. Том 485. С. 187-194.

SALATICH, A. A., SLAVYANOV S. Yu. and STESIK, O. L. (2019) Systems of first order ODE generating confluent Heun equations. Representation theory, dynamical systems, combinatorial methods. Part XXXI, Zap. Nauchn. Sem. POMI, 485, POMI, St. Petersburg. p. 187-194.