CC BY
51
МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ ИНСТРУМЕНТАЛЬНОЙ ДОСТОВЕРНОСТИ КОНТРОЛЯ Вагин Александр Васильевич, к.т.н., директор, ФКП «НИИ «Геодезия», г.Красноармейск, (e-mail: info@niigeo.ru) Сидоров Михаил Игоревич, к.т.н., первый заместитель директора, ФКП «НИИ «Геодезия», г.Красноармейск, (e-mail: info@niigeo.ru) Пирогов Владимир Викторович, к.т.н., с.н.с., ФГБУНИнститут конструкторско-технологической информатики РАН,
г. Москва, (e-mail: vpirogov@mail.ru) Рагуткин Александр Викторович, к.т.н., доцент, проректор, ФГБОУ ВО Московский технологический университет (e-mail: vragutkin@gmail.com)
В статье рассмотрены вопросы повышения инструментальной достоверности контроля, рассмотрены алгоритмы контроля и их оптимизация.
Ключевые слова: надежность, критерии работоспособности, инструментальный контроль, оптимизация, мажоритарный алгоритм.
Методы повышения инструментальной достоверности контроля связаны, прежде всего, с улучшением качества этого процесса при уменьшении ошибок, вызванных несовершенством контрольной аппаратуры, т.е. ее ограничениями по точности и надежности. К таким методам относятся повышение безотказности контрольной аппаратуры, разброса контролируемых допусков. Многократное параллельное резервирование измерителей (контроль по разным каналам), повышение точности контрольной аппаратуры, техническое обслуживание контрольной аппаратуры. Большую группу методов повышения инструментальной достоверности контроля составляют методы, базирующиеся на статистической обработке результатов измерений.
Реализация статистических методов повышения достоверности контроля осуществляется применением определенных алгоритмов контроля. Под алгоритмом контроля понимается совокупность правил, по которым производится отработка результатов изменения и принятия решения о годности или негодности параметра. В дальнейшем под термином «алгоритм контроля» будем понимать также и метод повышения достоверности, связанный с этим алгоритмом.
Алгоритмы контроля работоспособности делятся на два класса: алгоритмы с фиксированным временем изменения и последовательные [1]. Алгоритмы с фиксированным временем изменения предполагается изменение вектора контролируемых параметров Е на интервале времени [0,Т]. обработка вектора результатов измерения V^) дает оценку вектора контролируемых параметров:
max {s, П- s +1}< m <П (1)
где Х - некоторый функционал.
Оценка сравнивается с порогом Л: если Ж - Л принимается решение «годен», в противном случае - решение «не годен».
Оптимальный алгоритм. Оценкой вектора контролируемых параметров является апостериорная (условная) вероятность принадлежности вектора Е области работоспособности изделия О. Значение оптимального порока зависит от выбранного критерия оптимизации
Ж = р{Е еО/У{(), I е[0, Т]} (2)
Оптимизированный мажоритарный алгоритм. По каждому контролируемому параметру определяется оценка
Т
Ж = ,
0 (3)
где
() |Х если у()ек, вк ]
уО = 1 (\-\ 1
[0, если У()е[ак, вк ] [ак, вк] - контрольный допуск на параметр.
Порогом здесь является время ^ е [0, Т]. Решение «годен» принимается,
если Ж ( =1 ^), где N - количество контролируемых параметров изделий, в противном случае принимается решение «не годен». Значения векторов [[,вк] и берутся оптимальными по выбранному критерию.
Суть последовательных алгоритмов состоит в том, что непрерывно, в
каждый момент времени 1е [0, , вычисляется оценка которая сравнивается с двумя порогами Л (() Л ((). Если Ж () - Л() принимается решение «годен», если Ж () - решение «не годен»; если Л ()< Ж ()<Л((), решение не принимается и измерения продолжаются.
Класс последовательных алгоритмов имеет несколько разновидностей. Последовательными алгоритмами с усечением называются таки алгоритмы, для которых устанавливается ограничение по времени выполнения
((е[0,ТДля таких алгоритмов Л()=Л(т)=л. Если Ж() = ?[(((], где f -некоторая функция, такой алгоритм называется последовательным алгоритмом без памяти, по аналогии с последовательным приемом с переспросом без памяти, применяемым в системах связи. К последовательным алгоритмам относятся также последовательный оптимальный алгоритм, являющийся обобщением оптимального алгоритма, и последовательный мажоритарный алгоритм, являющийся обобщением мажоритарного алгоритма.
При последовательной процедуре контроля время изменения является случайной величиной, распределение которой зависит от качества объекта контроля, погрешностей изменения, вида функционала и функций
Л ),Л ). Это обстоятельство приводит к тому, что время измерения при последовательных алгоритмах в среднем меньше, чем при алгоритмах с фиксированным временем измерения. Для последовательных алгоритмов с
усечением средней время становится меньше интервала Е0, Т ].
Особое место среди статистических методов повышения достоверности контроля занимают мажоритарные алгоритмы. Они отличаются простотой реализации и могут использоваться в допусковых средствах контроля (как в автоматизированных, так и неавтоматизированных) [2]. Примем следующие допущения: контролируемые параметры изделия взаимозависимы; погрешности отдельных измерительных трактов независимы между собой; результаты последовательных измерений контролируемого параметра представляют собой независимых реализации случайной величины; допускается только аддитивная погрешность измерения.
Пусть работоспособность изделия характеризуется ^-мерным вектором
определяющих параметров Еы ^ ^), таким образом, изделие явля-
ется работоспособным, если все параметры находятся в пределах установленных на них допусков, т. е.
: & ^, Ъ} 11 " 1N}, (4)
где , А - гарантированный допуск на у-й параметр. Все параметры являются контролируемыми, по результатам контроля принимается решение «годен» (изделие работоспособно), если принимается решение «годен» по каждому из контролируемых параметров.
Мажоритарный алгоритм может применяться как при контроле отдельного параметра, так и при контроле любой совокупности параметров.
Алгоритм состоит в следующем. Производятся многократные измерения контролируемого параметра % (всего п измерений). После каждого /-го измерения производится сравнение результата измерения ос,@, Q, где ^ -
погрешность измерения с контрольным допуском ^, Ь ]. После п-го измерения подсчитывается общее число попаданий результатов измерений в поле контрольного допуска. В результате после п-го измерения имеется ^
исходов у е —к, вк ] и п исходов у&\-ак, вк ]. Если ^ > 5, где 5 - заданный целочисленный порог 1 - 5 - п, то принимается решение «годен», если т < 5, то принимается решение «не годен».
Блок-схема устройства для реализации мажоритарного алгоритма контроля приведена на рис.1.
/ > £," годен
ИТ У1 =% + Ь Ср У е[ак , вк ] и Ср
С2
/ < £," не годен
Рисунок 1 - Блок-схема устройства реализации мажоритарного алгоритма контроля, ИТ - измерительный тракт, Ср - устройство сравнения, С2 -
счетчик
Поскольку при выбранном числе измерений (проверок) возможно варьирование значениями порога £ и границ контрольного допуска [ак, вк ], очевидно, что из всех значений этих параметров имеются наилучшие относительно выбранного критерия, т.е. оптимальные. Конкретные значения
£, ак, вк можно назвать решающим правилом при мажоритарном алгоритме контроля:
^ = , [ «к, вк ]} (5)
Оптимальное решающее правило следует искать относительно выбранных показателей достоверности, т.е. решающее правило должно оптими-ровать один из показателей достоверности [3].
Найдем зависимости вероятностей ложного и необнаруженного отказов, через которые выражаются показатели достоверности, от параметров мажоритарного алгоритма. Обозначим их соответственно а, &. Пусть при наблюдении за контролируемым параметром, действительное значение которого %, получено п взаимно независимых результатов измерения У, = ( =1 и).
Условная вероятность получения и результатов в пределах контролируемого допуска, а (( -/) вне его согласно частной теореме о повторении опытов будет следующей:
Р, (/%) = СР (%)[1 - Р (%)](6)
где Р(%) = |^(у/%%Лу (у е[ак,вк]) - условная вероятность того, что результат измерения окажется в пределах допуска;
Ф(у1 %% - условная плотность распределения результата измерения.
Условная вероятность забраковать годный параметр равна, очевидно, вероятности того, что число и окажется меньше заданного порога £ при условии, что действительное значение параметра принадлежит допуску:
а(£,п,%) = Р{ < £,п/% е [а,Ь]} = £Рп(//%),(% е [а,Ь]
,=1 (7)
условная вероятность принять негодный параметр равна вероятности то-
го, что число и окажется равным или больше порога 5 при условии, что действительное значение параметра не принадлежит допуску
~Р{5,п,%) = р{и > 5,п/5^ТОТЬ]}= £Рп(и/%),(%ща,Ь])
/"5 (8)
Для того чтобы получить выражения для вероятностей ложного и необнаруженного отказов, необходимо умножить правые части выражений (7), (8) на вероятность того, что параметр принимает значение %, равную
/, где /(%) - плотность распределения контролируемого параметра, и проинтегрировать полученные выражения в соответствующих пределах. В результате получим:
5-1
о(5, п) = £ СП / х(%)
/"5 %е[а,Ь ]
¿(5, п)=£ СП |/(%)
%е[а,1
_уе[ак ,вк]
1^07 %)у
уе[ак ,вк]
_уе[ак ,вк] уфк ,вк ] _
(9)
(10)
При нормальных законах распределения контролируемого параметра и
/ (%) = п(т%,а%) ю(( ) = п(0, а,) погрешности измерения, т.е. в случае, когда \ % %, \ ■> и,
где ^(0 - плотность распределения погрешности измерения (систематическая погрешность измерения отсутствует), ^[у/%] = п(%,а) и выражения (9), (10) приобретают следующий вид:
1 х
о(5,п )=72^-'
-кх
5-1
£ С
ф,
ГУ2 - у'
-ф,
г у - у'
1 -Ф,
Г У 2 - у4
+ ф,
г У1 - у'
)у
(11)
р(5, п ) = -!= Ы2ж
-кх __у_ п
I е2 £ сп
ф,
гУ2 - у4
-ф,
г У1 - у4
1 -Ф,
ГУ2 - у4
+
+ ф,
г у1 - у4
ш ^ П 2
)у + |е2 £ СП
х /=5
ф,
гу2 - у'
-ф,
г у1 - у'
1 -ф,
Гу2 - у'
г у1 - у4
П-г
)у
х =
Ь - т%
а
где % - нормированный допуск на параметр;
к т% - а
Ь - т% минус коэффициент несимметрии допуска;
у = ак -т% = Ьк -т% У 1 ;У 2
а
а
(12)
'с и е
% % - соответственно нормированные нижняя и верх-
няя границы контрольного допуска;
п—1
п-г
е <
2
£
£
£
г=0
£
£
£
П
x
£
£
£
X
£
£
г = С
ср
р - нормированное среднеквадратичное отклонение погрешности измерения;
л и тК
ф 0 (и ) = е^йт
^ 0 - нормированная функция Лапласа.
Перейдем к оптимизации мажоритарного алгоритма. Очевидно, что при заданном значении числа измерений п необходимо отыскать такие параметры алгоритма Б, [ак, вк ], при которых максимизируется абсолютная достоверность контроля, минимизируется средний риск или максимизируется достоверность результата «годен».
Максимизация абсолютной достоверности соответствует минимизации среднего риска при С1=С2=1. Поэтому будем рассматривать две задачи оптимизации: минимизации среднего риска и максимизации достоверности результата «годен».
При оптимизации мажоритарного алгоритма по критерию минимума
среднего риска отыскиваются такие значения Б, ак, вк, при которых достигается минимум функции , [ак, вк Ь, т.е.
минимум функции , [ак, вк Ь, ■
К™ { С,а(Б, [, вк ] С2Р(Б, а, вк ])
I1-
Б [ в ] ^ (13)
При нормальных законах распределения:
Ятт = $тт , [У2 ]С 2Р(Б, ^))}
Средний риск есть функция трех переменных - двух непрерывных
ак,вк(К^) и дискретной Б. Аналитическое исследование функции среднего риска К не представляется возможным ввиду ее сложности. Результаты расчета показывают, что при фиксированном Б имеет место минимум
(^1 = ^ V = ^).
При фиксированных значениях ак, вк функция в зависимости от значений
С,/ С
2 либо монотонно возрастает, либо монотонно убывает, либо имеет минимум.
Следовательно, параметры мажоритарного алгоритма, оптимальные по критерию минимума среднего риска, могут быть найдены в следующем порядке. При фиксированном значении Б, начиная с Б=1 и до Б=п, решается система трансцендентных уравнений
дЯ(Б, а к, вк)
1 а = а ,, в = в ,
функции при определенных значениях к кор' к кор'
дак дЯ(Б, ак, вк)
двк
= 0 = 0
а в
в результате чего определяются значения , оптимальные при данном S, и по формуле для среднего риска определяется минимальный при
min R
данном S средний риска а«в выбирается минимальное значение, т.е.
min min R S а е
S аке и соответствующих ему значения S, а«, е«. При симметричном допуске на параметр контрольный допуск также симметричен, и вместо системы уравнений достаточно решать одно уравнение. Для случая нормальных законов распределения параметра и погрешности изменения это уравнение имеет вид:
с " 'Цс п
^ I V - у 1 ^ ( V + у
Ф0| -Н + Фо1 '
^ i v - у 1 ^ ( v + у --Ф о | -- 1-Ф о1
i -п
^ i v - у1 ^ ( v + у Ф о | -- 1 + Ф о1
yj'nz
(V - У )2 (V+У )2
2 z + e 2 z
dy
+ C 2
-Дя __
!z C п
^ i v - у 1 ^ ( v + y Фо| —^ I + ФоI
1 -Ф о I 1-Ф о I V + У
Ф о|^ 1 + Ф о ( ^
■\Jlnz
(V - У )2 (V+У )2
Rz2 + e 2 z2
dy
= о
п-i-1
i -1
X
z
z
z
z
x у
1
2
R
X
e
e
z
z
i-1
n-i-1
i - n
i=S
1
e
= ек -т = т - ак
С р С р
где р р
В некоторых случаях при реализации мажоритарного алгоритма из тех или иных соображений контрольный допуск не назначается, и результаты изменения сравниваются с гарантийным допуском (ак=а, вк=в, У1=-кх, У2=х). При этом задача оптимизации по критерию минимума среднего риска существенно упрощается и состоит в отыскании такого значения Б, при котором достигается минимальный риск (в частном случае максимизируется абсолютная достоверность контроля).
Как показывают исследования, зависимость вероятностей ложного и необнаруженного отказов от параметров оптимизации, а также зависимость Р Р
Дг от А°, Но такова (это относится не только к мажоритарным алгоритмам), что максимум достоверности результата «годен» достигается при
Р Р Р ^ Р
очень больших значениях А°,. Увеличение л0 (в пределах л0 1) приводит к существенному сокращению производительности контроля. Поэтому при оптимизации мажоритарного алгоритма контроля необходимо задавать ограничения на вероятность ложного отказа. Тогда задача оптимизации состоит в отыскании условного экстремума функции Дг при огра-
Р (а) тахД а<а ничении на л0У ': Б[в] при доп, что эквивалентно минимизации
Р Р
Но при ограничениях на л0.
Подобный критерий в теории статистических решений именуется критерием Неймона-Пирсона [4]. Таким образом, при оптимизации мажоритарного алгоритма по критерию максимума достоверности результата «годен», необходимо найти такие значения 5, [ак, вк], при которых минимизи-
Р о — о
руется НоУИ>. При этом ~ доп.
Список литературы
1. Кубарев А.И. Надежность в машиностроении. - М.: Изд. стандартов, 1989. 264 с.
2. Оценка и оптимизация надежности технологических систем потенциально опасных объектов. Махутов Н.А., Ставровский М.Е., Новиков В.Д., Кравчишин Д.Н. Экология и промышленность России. 2003. № 9. с. 36.
3. Технологическое обеспечение эксплуатационной надежности машин и оборудования. Емельянов С.Г., Лукашев Е.А., Олейник А.В., Посеренин С.П., Пузряков А.Ф., Ставровский М.Е. монография / под общей редакцией М. Е. Ставровского; Юго-Западный государственный университет. Курск, 2010.
4. Методика оптимизации производственных процессов службы технического обслуживания и ремонта оборудования на предприятиях ОПК. Олейник А.В., Ставровский М.Е., Кузнецова Л.В., Николаев А.В., Глухов А.Е., Кузнецов Л.Ю. Экономика и управление в машиностроении. 2010. № 6. С. 47-52.
Vagin Alexander V., candidate of technical Sciences,
PCF "Sri "Geodesy", Krasnoarmeysk, (e-mail: info@niigeo.ru),
Sidorov Mikhail I., candidate of technical Sciences,
PCF "Sri "Geodesy", Krasnoarmeysk (e-mail: info@niigeo.ru),
Pirogov Vladimir V., candidate of technical Sciences,
Institute of design and technological informatics of the RAS, Moscow, (e-mail: vpirogov@mail.ru),
Ragutkin Alexander V., candidate of technical Sciences,
FGBOU VO Moscow Technological University (e-mail: vragutkin@gmail.com)
METHODS OF INCREASE OF INSTRUMENTAL RELIABILITY OF CONTROL
Abstract: The article examines the issues of improving the instrumental reliability of control, examines control algorithms and optimizes them.
Key words: reliability, performance criteria, instrumental control, optimization, majority algorithm.
