Неопределенность измерений и достоверность контрольных испытаний Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ргоМг ИаЬЛпг. Jewgienij Timofijewicz WOLODARSKIJ

Narodowy Uniwersytet Techniczny Ukrainy аг тг. 1§ог Aleksandrowicz CHARCZENKO

икга^Ы Naukowo-Badawczy Instytut Ochrony Przeciwpozarowej

NIEPEWNOSC POMIARU I WIARYGODNOSC BADAN

KONTROLNYCH

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ИЗМЕРЕНИЙ И ДОСТОВЕРНОСТЬ КОНТРОЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ

При производстве случайный характер дестабилизирующих факторов и их сочетания приводят к рассеиванию значений параметров, характеризующих функциональные возможности объектов. Таким образом, можно говорить, что отклонение действительного значения параметра х от его номинального значения хо определяется случайной погрешностью производства, которая для определенной схемы технологического процесса характеризуется некоторым распределением возможных значений контролируемой величины Д(х). Исходя из функционального назначения объекта, устанавливается некоторая область пригодности с предельными значениями параметра хн и хв. Если истинное значение параметра находится в этой области, т.е. хн < х < хв, то объект считается пригодным для реализации предписанной ему функции.

Процедура контрольных испытаний как раз и предназначена на установления факта пригодности П или непригодности П объекта. Процедуре сравнения и принятия решений в большинстве случаев предшествует измерение (преобразование) и полученный результат сравнивается с уставками, которые отображают граничные значения допуска на параметр в форме представления результатов измерения и могут быть как аналоговыми, так и цифровыми.

Таким образом, на испытания поступает объект пригодный выполнять

X

в

предписанные функции с вероятностью Р (П) = | /(х) dx.

X

н

Соответственно

X

н

+ ¥

Р(П) = 1 -Р(П) = Г Цх)ёх + 1 Цх)ёх.

хв

Так как контролируемый параметр вначале измеряется (преобразуется), а средство измерительной техники имеет погрешность у, то со значениями хн и хв сравнивается не х, а 2 = х + у. По результатам сравнения принимается решение

«годен» (Г) или «не годен» (Г ). На рисунке 1 представлены соотношения между измеряемой величиной х, результатом измерения 2, граничными значениями (уставками) хн и хв, а также возникающими при этом событиями.

— оо

Рис. 1 Состояние объекта и решения, применяемые при контроле

Принимая во внимание, что результат ъ отличается от истинного значения х, то из-за наличия погрешности у могут возникнуть следующие сложные события:

П, Г - объект действительно пригодный (П), решение по результатам испытаний принимается, что он «годен» (Г). Таким образом, наличие погрешности не повлияло на решение. Это может быть, когда или х находится далеко от граничных значений, или погрешность у при измерении х приняла малые значения.

П, Г - объект непригодный (П ), решение по результатам испытаний «годен» (Г). В данном случае влияние погрешности проявилось в ошибочном решении, которое называется необнаруженным (Н) отказом или риском заказчика (потребителя), или ошибка второго рода.

П, Г - Объект пригодный (П), решение по результатам испытания «не годен»

(Г ). Здесь, как и в предыдущем случае имеет место влияние погрешности измерения

2

на результат испытаний, это проявляется в ошибочном решении, которое называется ложный (Л) отказ, или риск изготовителя, или ошибка первого рода.

П, Г - Объект непригодный (П) и решение, соответствующее истинному

состоянию, «не годен» (Г). В этом случае наличие погрешности не повлияло на правильность результата контроля.

Так как одно из вышерассмотренных сложных событий при испытаниях обязательно произойдет, то можно записать

Р(П,Г) + Р( П, Г) + Р(П, Г ) + Р( П, Г ) = 1. Первое и последнее слагаемое отображают вероятность правильного принятия решений, соответствующих истинному состоянию объекта, соответственно Ри(Г)

и Ри( Г ). Два же остальных соответствуют вероятности принятия ошибочных решений: ложного отказа Р(Л) и необнаруженного отказа Р(Н). Правильность принимаемых при испытаниях решений характеризуется достоверностью - мерой доверия к принимаемым решениям. При абсолютно достоверном испытании вероятность правильно принимаемых решений равна единице, т.е. достоверность До = 1. Отличие достоверности от 1 определяется вероятностью возникновения ошибочных решений Рош = Р(Л) + Р(Н).

Таким образом, реальная достоверность, учитывающая влияние погрешности измерения, будет

Д = До - Рош или Д = 1 - Р(Л) - Р(Н) Причем «вес» каждой из составляющих ошибочных решений может быть разным в зависимости от функционального назначения испытуемого объекта. Так в случае испытания объектов на пожаробезопасность вторая составляющая -необнаруженный отказ, практически недопустима.

Итак, качество контроля определяется неопределенностью результата, его достоверностью. Качество процедуры измерения характеризуется погрешностью средства измерительной техники, его конструктивными и схемотехническими решениями. Чтобы обеспечить надежность результата измерения (уменьшить влияние случайных величин) проводят серию из п наблюдений и приходят к точечной оценке

_ 1

х = —

п г=1

оценке измеряемой величины [1]. При этом предполагается, что всегда можно указать некоторое значение е, для которого будет выполняться неравенство

7 хг измеряемой величины, которая позволяет затем перейти к интервальной

р(хи -х| <е) = 1 -а (1)

где хи - истинное значение измеряемой величины, а - уровень статистической значимости.

Иными словами отклонение полученной оценки от истинного значения измеряемой величины с доверительной вероятностью Рдов = 1 — а не будет превышать значение е. Таким образом, интервальная оценка свидетельствует о том, с какой вероятностью Рдов интервал, длина и расположение которого может изменяться от

эксперимента к эксперименту, будет накрывать истинное значение хи измеряемой величины.

При появлении новых, нетрадиционных объектов измерения в аналитической химии, медицине, психологии, социологии возникла необходимость во введении новых характеристик, оценивающих качество измерения. Это привело к введению в международную метрологическую практику понятия «неопределенность измерений» [2, 3].

Главное отличие концепции неопределенности измерения от концепции погрешности результата заключается, во-первых, в отходе от понятия истинное значение, как такового, которое не поддается познанию. Во-вторых, распределение компонентов (составляющих) неопределенности осуществляется не в соответствии с характером их проявления (систематические или случайные), а по способу их оценивания.

Различие концепций погрешности и неопределенности вытекает из выражения (1). Так при оценивании истинного значения хи при помощи доверительного интервала приходим к выражению:

х — е—а < хи < х + е—а,

2 2

т.е. интервал с «концами»

Л

х -£—а , х + £1—а

V 2 V 2 У

с вероятностью (1 -а) накрывает

детерминированное значение измеряемой величины хи. Здесь е а = ко есть —

квантиль распределения Стьюдента (или при большом п Лапласа), о -среднеквадратическое отклонение результатов измерений хг (г = 1, п).

Если же представить неравенство (1) относительно х , то прийдем к выражению:

хи -£1а < х < хи + е1-а •

2 2

Отсюда следует, что интервал длиною 2е а включает в себя х . Следовательно,

интервал

Л С

х -£1-" 9 х + £-а

V 2 ) V 2

симметрично расположенный по отношению

к полученному результату х, включает в себя (1 - а)% возможных значений измеряемой величины, рассеянных по отношению к центру распределения х . При этом речь не идет ни о каком истинном значении. Иными словами результат х мог быть получен с вероятностью (1 - а) при измерении одного из возможных значений

измеряемой величины, находящейся в интервале

Л

х -ег_а 9 х + £1-а

V 2 ) V 2 У

. Причем концы

этого интервала зафиксированы, в отличие от случая использования доверительного интервала.

Из такого подхода как раз и вытекает данное в [2, 3] определение: «неопределенность это параметр, связанный с результатом измерений и характеризующий рассеяние значений, которые могли бы быть обоснованно приписаны измеряемой величине». И, как было отмечено, концепция неопределенности не использует понятия истинного значения, так как рассматривает отклонение по отношению к среднему, а не к истинному значению.

В зависимости от способа оценивания неопределенности в [2, 3] вводятся неопределенность типа А и неопределенность типа В, которые обозначаются соответственно иА и ив .

Исходными данными для вычисления иА являются результаты многократных измерений. При этом стандартная неопределенность единичного измерения вычисляется по формуле

ил

У

1

п ■

(х - х)2, (2)

1 г=1

а стандартную неопределенность измерений входной величины, при которых результат определяется как среднее арифметическое х , вычисляют по формуле

и А (х ) = .

1

п(п -1) г=1

2 (х - х )2.

2

При определении неопределенности типа В, в отличие от неопределенности типа А, используют априорные данные, такие как сведения изготовителя средств измерительной техники (СИТ): класс точности, предельные составляющие погрешности, данные поверки, калибровки, сведения о виде распределения вероятностей и т. п. Неопределенности этих исходных данных обычно представляются в виде границ отклонения значений величины от ее оценки. Наиболее распространенный способ формализации неполного знания о значении величины в предположении равномерного закона распределения возможных значений этой величины в указанных нижней хн и верхней хв границах измеряемой величины. При этом стандартная неопределенность вычисляется по формуле:

и.(х )=^.

При проведении контрольных испытаний почти всегда отсутствует возможность проводить п измерений. Поэтому при наличии существенного влияния случайных величин на результат говорить о погрешности измерения нет смысла. Использование же выражения (2) для определения стандартной неопределенности единичного измерения невозможно, т.к. мы не располагаем средним значением х . Здесь о влиянии случайных величин можно судить лишь оперируя некоторыми граничными значениями возможного рассеивания результатов и вероятностью, с которой эти рассеяния будут находиться в данных границах. Таким образом приходим к неопределенности типа В, а для вычисления стандартной неопределенности и. (х) следует исходить не из равномерного, а из нормального закона распределения.

Источником неопределенности результата измерения является также и не исключенное влияние величин, носящее систематический характер. Обобщенной характеристикой СИТ является класс его точности. Класс точности определяется границами основной и дополнительной погрешностей, т.е. границами, в пределах которых находится систематическая составляющая погрешности А0. Как уже

отмечалось, это влияние может быть представлено в виде стандартной неопределенности типа В.

Предположим, что класс точности выражается двухчленной формулой [1], тогда:

А 0 = ±(а + Ьх),

где: а - аддитивная составляющая погрешности; Ьх - мультипликативная составляющая погрешности.

Тогда результата измерения можно записать как:

у = р(х) = х ±(а + Ьх), или х = р(х) + (а + Ьх),

т.е. значение измеряемой величины лежит в интервале неопределенности

(р(х) - (а + Ьх)]; (р(х) + (а + Ьх)]. Качество контроля характеризуется достоверностью, которая зависит от соотношения и взаимного расположения допускового интервала (хв ^ хн) и интервала неопределенности, длина которого будет

(р(х) - (а + Ьх)] - (р(х) + (а + Ьх)] = 2(а + Ьх). Следовательно, используя интервал неопределенности измерений можно определить границы неопределенности результатов контроля, т. е. определить границы областей, где может сказываться влияние СИТ на результат контроля (на рис. 2 заштрихованные области).

_ хн- а Ьхн)_х- (а ^/////{//хМ^Л^ Ьхв)_х>

Г . х Г V г

Рис. 2 - Зоны неопределенности и достоверного принятия решений

Это приводит к алгоритму адаптивного контроля, позволяющему минимизировать ошибочные решения. Действительно, при «попадании» результата в интервал \хн +(а + Ьхн)], [хв - (а + Ьхв)] принимается достоверное решение «годен»

Г. Если же результат измерения будет меньше [хн - (а + Ьхн)] или больше

[хв + (а + Ьхв)], то будет приниматься достоверное решение «не годен» Г .

Аналогичным образом, можно, используя стандартную неопределенность типа А, представить интервал неопределенности результатов контроля и на его основе построить алгоритм адаптивного контроля [4].

В заключение следует заметить, что, учитывая свойство аддитивности вероятностей, можно, используя понятие неопределенности измерений, учитывать идеальное и суммарное влияние случайных и систематических факторов при контроле, где вероятность ошибочных решений определяется площадью под кривой распределения возможных значений контролируемой величины на интервалах, соответствующих ошибочным решениям.

Литература

1 Орнатский П.П. Теоретические основы информационно-измерительной техники. -Киев: Вища школа, 1983 - 455 с.

2 Guide to the Expression of Uncertainly Measurement: First edition. - ISO. Switzerland,

1993.

3 Государственная система обеспечения единства измерений. РМГЧЗ - 2001.

Применение «Руководства по неопределенности измерений». - Минск: Издательство стандартов. 2003. - 19 с.

4 Володарський С.Т., Кухарчук В.В., Поджаренко В.О., Сердюк Г.Б. Метролопчне

забезпечення вимiрювань i контролю. - Вшниця: Велес, 2001. - 219 с.