Последовательный оптимизированный мажоритарный алгоритм контроля испытаний Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ ОПТИМИЗИРОВАННЫЙ МАЖОРИТАРНЫЙ АЛГОРИТМ КОНТРОЛЯ ИСПЫТАНИЙ

Пирогов Владимир Викторович, к.т.н., старший научный сотрудник, ФГБУНИнститут конструкторско-технологической информатики РАН,

г. Москва, (e-mail: vpirogov@mail.ru) Сидоров Михаил Игоревич, к.т.н., первый заместитель директора, ФКП «НИИ «Геодезия», г.Красноармейск, (e-mail: info@niigeo.ru) Ставровский Михаил Евгеньевич, д.т.н., профессор заместитель директора по науке ФГАУ «НИИ "Центр экологической промышленной политики", г.Мытищи,

(m.stavrovsky@eipc.center) Рагуткин Александр Викторович, к.т.н., доцент, проректор, Московский технологический университет (e-mail: vragutkin@gmail.com)

В статье рассмотрены вопросы повышения инструментальной достоверности контроля, рассмотрен последовательный мажоритарный алгоритм контроля работоспособности и его оптимизация.

Ключевые слова: надежность, критерии работоспособности, инструментальный контроль, оптимизация, мажоритарный алгоритм.

Последовательный мажоритарный алгоритм контроля работоспособности является обобщением мажоритарного алгоритма контроля и аналогичен обнаружению сигнала в шуме посредством биномиальных испытаний [1]. Реализуется этот алгоритм контроля многократным измерением контролируемого параметра % и сравнением результата у на каждом этапе с

контрольным допуском [ак ,вк ]. После каждого сравнения определяется общее число попаданий результата измерения в пределы контрольного допуска ц. Если на очередном этапе контроля это число становится равным целочисленному порогу s, принимается решение «годен»; если число попаданий результата измерения за пределы допуска становится равным n — s +1, где n - максимально допустимое число измерений, принимается решение «не годен»; если на этом этапе контроля указанные условия не выполняются, производится еще одно измерение. На последнем n-ом этапе обязательно принимается решение «годен» или «не годен».

На i-м этапе контроля условия принятия решений записываются следующим образом:

ц = s - " годен"

i — ц = n — s + 1 - " не годен"

s + i — П — 1 < ц < s - " продолжить испытания"

Блок-схема устройства для реализации последовательного мажоритарного алгоритма контроля приведена на рис. 1.

Рисунок 1 - Блок-схема устройства для реализации последовательного мажоритарного алгоритма контроля ИТ - измерительный тракт, Ср - устройство сравнения; Сч1, Сч2 -счетчики; И - схема совпадения; НЕ - инвертор.

После каждого измерения устройство сравнения выдает сигнал «I» если

Ус е \ак ,вк ], и сигнал «О» если Ус к ,вк 1. Сигналы поступают на счетчики Сч1 и Сч2 емкостью Б-1 и П-Б соответственно. При получении на выходе устройства Б сигналов «I» либо П-Б+1 сигналов «0» переполняются соответственно Сч1 или Сч2, выдавая сигналы «годен» или «не годен».

В автоматических системах контроля последовательный мажоритарный алгоритм легко реализуется программированием [2,3]. Как и для мажоритарного алгоритма, отыскание оптимального решающего правила состоит

в отыскании таких значений Б, [ак ,вк], при которых оптимизируется выбранный показатель достоверности.

Для решения задач оптимизации и оценки показателей достоверности контроля найдем зависимости вероятностей ложного и необнаруженного отказов от параметров последовательного мажоритарного алгоритма. Поскольку при последовательном мажоритарном алгоритме, как и вообще при последовательных процедурах принятия статистических решений, время наблюдения (измерения) является случайной величиной, необходимо найти также зависимость среднего числа изменений от параметров алгоритма.

Для этого найдем распределение числа изменений до получения результата «годен» или «не годен».

Пусть - вероятность занесения единицы в Сч1, а Ч^) - вероятность занесения единицы в Сч2 при условии, что истинное значение контролируемого параметра равно % . Очевидно, что:

р(Е) = | ф(у/Е)4У

Уфк Вк ]

д (Е) = 1 - Р (Е)

(1) (2)

Выдача результата «годен», т.е. переполнение Сч1, равно через т измерений произойдет при совместном наступлении двух независимых событий: в Сч1 за т -1 предыдущих измерений занесено £-1 единиц и после т-го измерения в него заносится единица. Вероятность первого события

С-1 Р4-1 (Е)ют-4 (Е)

согласно теореме о повторении опытов [1] равна т-1 а второго

- Р(е).

Тогда условная вероятность получения результата «годен» ровно за т

Р^ | т/ ]

измерений ^/ьу будет следующей:

Р (тА) = С-1Р'-1 Е)дт- Е), £ < т < л (3)

Аналогично условная вероятность получения результата «не годен» ровно за т измерений Рн (;Е) будет:

Р (т/Е = ст-4Рт-("-4+1) (Е)дп-*+х (е) (п - 4 +1 < т < п

Р (т) и рн (т)

(4)

Для получения безусловных вероятностей 1 г ^ и 1 н ^ необходимо умножить правые части выражений (3) и (4) на элемент вероятностей ?(Е)4Е и проинтегрировать их в бесконечных пределах:

р (т)=ст--1 ] / (е)

-ад ад

Рн (т ) = с;;; | / (е)

I

_уфк ,вк]

Щ уе 4У

I

.УФк ,вк ]

Щ уе 4У

уе[ак ,вк] т-(П-4+1)

Щ УЕ \4У

4Е, (^ < т < п);

(5)

I

щ УЕ №

П-4+1

4Е, (п - 4 +1 < т < п);

. (6) Учитывая, что на интервале [1, ^^ П - 4 +1)] не может переполниться ни

один из счетчиков, на интервале [тш{4, П- 4 + 1},тах{4, П- 4 +1}] может переполниться только Сч1, если ^^^П- 4 +1}= 4 или только Сч2, если

тт{,П-4 + 1}=П-4 +1, наконец, на интервале [тах{4,П-4 +1},п] могут переполниться оба счетчика получим распределение случайной величины т: 0 при 1 < т < тт{, П - 4 +1}; Рт ={Рг(т), если 4 < П-4 +1

П ( \ Т-Г 1 при

Рн (т), если б > П - б +1

рг (т) + Рн(т) при тах{4, П - 4 +1} < т <П Зная условные вероятности получения результатов «годен» и «не годен»

тт{, П - 4 +1} < т < тах{, П - 4 +1}

4

ровно за т измерений, можно определить a, Р:

- т-(П-л+1)

«= I f (%) I сП-7

<Тф,Ь]

УG[аквк ]

П-s+1

л <\%уу

I- уе[ак,вк]

Р = | / cm:11

£е[а ,Ь] m=s

| у/ку

уе[ак ,вк]

I

уе[ак ,вк]

<Р\ РУ

(7)

(8)

Математическое ожидание числа измерений до окончания контроля параметра О определяется по формуле:

11 11 Q = М [т] = I тРг (т) + I тРн (т)

т=П-л+1

(9)

Пусть f (%) = П(%, т;,*;Ы<)==П(<,0К*,) тогда = *

1 ' / = тН«"2 £сг

"V 2Л -кх т=п-х+1

Ф 0

V - У'

-Ф 0

тогда

Ух - у"

т-(П-х+1)

1 -Ф 0

V - у"

+ Ф 0

Р =

1 I -кх у

1 I Г

т-1

42л

-кх ^ п

I 21 с

Фо!^ 1-Фо\ У -У

1 -Ф 0

v - у

+ Ф 0

1X1 ^ п

I е 21 ст-!

+ е

2

ф о!^ 1-Ф о \ ^ у

2

1 -Ф о!^ 1-Ф о г У - у

2

2

у - у

Ру

V - у

(1о)

Ру +

(11)

П-х+1

Ру

Q =

1

+

42л

1 -Ф,

х У

(V "2"

Ф о\ ^ 1-Ф о í ^

I тСт-1

1 -Ф\ - У

+ Фо

У2 - у 1 ^ У - у 2 1 + ф I 1

п-х+1

I сП-;

/ , т-1

2

Фо\ ^ 1-Фо< У- у

2

V - у 2

т-(п-$+1

+

(12)

Рассмотрим решение задачи оптимизации последовательного мажоритарного алгоритма. В качестве наиболее общего критерия оптимизации этого алгоритма. Очевидно, следует принять средний риск, включающий потери на проведение дополнительных измерений, поскольку среднее число измерений, как видно из формул (9) и (12), зависит от параметров алгоритма. Выражение для среднего риска Яп в этом случае имеет вид:

Яп = с1а + с2р + ^

(13)

где с - удельные затраты на проведение дополнительных измерений. Оптимизация алгоритма по критерию минимума среднего риска в виде

(13) состоит в отыскании таких Б, [ак ,вк], при которых достигается мини-

т=п-$+1

т—л

л

т=л

2

X

2

2

2

2

л

т-л

X

2

2

2

2

т=л

т-л

X

т=л

т-л

л

2

2

2

т=л

X

2

2

т=п-х+1

мальное значение Яп, т.е.

Кп шт = тШ 1{clа(s, [к , вк ])+ С 2В( £ К , вк ]+ К , вк ]} ...

£,[ак ,вк 1 (14)

В частном случае (при с=0) оптимизация по этому критерию соответствует оптимизации по критерию (8), а при С=0, С=С2 - оптимизация по критерию максимума абсолютной достоверности контроля.

Средний риск в виде (14) так же, как и в (4), является функцией трех переменных, причем для всех составляющих среднего риска получены аналитические выражения (7) - (12). Оптимизация алгоритма состоит в нахождении минимума этой функции и значений оптимальных значений аргументов, соответствующих этому минимуму. При каждом фиксированном значении £ от s=1 и до £=п решается трансцендентное уравнение (предполагается, что наложено условие, что коэффициенты несимметрии гарантийного и контрольного допусков одинаковы) относительно А, в результате чего определяются оптимальные при данном £ значения контрольных допусков и значение среднего риска.

ЯК ([

т, - к А, т^ + А

яд = 0 (15)

ЯА

Затем из всех п минимальных значений среднего риска выбирается минимальное и соответствующие ему оптимальные значения £к, ак, вк.

В ряде случаев при реализации последовательного мажоритарного алгоритма контрольный допуск не назначается, и результаты измерений сравниваются при гарантийном допуске (ак=а, вк=в, У1=-кх, У2=х). При этом задача оптимизации упрощается и состоит в отыскании такого значения Б, при котором достигается минимальный средний риск.

Последовательный мажоритарный алгоритм так же, как и мажоритарный алгоритм, может быть оптимизирован по критерию максимума достоверности результата «годен». При оптимизации алгоритма по этому критерию необходимо задавать ограничения на вероятность ложного отказа а и на среднее число измерений Q, поскольку максимум Дг достигается при

больших значениях а ^ р и при Q ^ п . Задача оптимизации может быть сформулирована таким образом:

птхД" при а<адоП; Q = &оп (16)

£,(ак ,вк )

ппп в пРи а<адоп; Q < ^оп (17)

£,(ак ,вк )

Исследования показывают, что при заданном П с увеличением £ вероятность необнаруженного отказа уменьшается, а а, Q растут при любом фиксированном А (если перейти от двух переменных ак и вк к одной А, характеризующей ширину поля допуска). При увеличении А вероятность в увеличивается, а падает, а Q может либо увеличиваться, либо уменьшаться.

Оптимальное решающее правило, т.е. такие £, А, при которых миними-

зируется ß и выполняются ограничения, может быть определено (зависимости а,ß, Q от параметров алгоритма получены) методами нахождения условного экстремума функции нескольких переменных при заданных ограничениях.

В некоторых частных случаях задача оптимизации существенно упрощается. Так, если результаты измерения сравниваются при гарантийном допуске (контрольный не назначается), оптимальное решающее правило отыскивается так: определяется методом перебора такое максимальное S,

при котором выполняются условия: а ~ адоп'Q ~ Qdon . Это связано с тем, что а при увеличении S уменьшается, а ß, Q - увеличиваются. Если ограничения на Q не накладываются при ^ ~ Qdon, то оптимальное решающее правило определяется аналогично оптимальному решающему правилу при оптимизации мажоритарного алгоритма по критерию максимума достоверности результата «годен».

Список литературы

1. Кубарев А.И. Надежность в машиностроении. - М.: Изд. стандартов, 1989. 264 с.

2. Оценка и оптимизация надежности технологических систем потенциально опасных объектов. Махутов Н.А., Ставровский М.Е., Новиков В.Д., Кравчишин Д.Н. Экология и промышленность России. 2003. № 9. с. 36.

3. Методика оптимизации производственных процессов службы технического обслуживания и ремонта оборудования на предприятиях ОПК. Олейник А.В., Ставровский М.Е., Кузнецова Л.В., Николаев А.В., Глухов А.Е., Кузнецов Л.Ю. Экономика и управление в машиностроении. 2010. № 6. С. 47-52.

Sidorov Mikhail I., candidate of technical Sciences,

PCF "Sri "Geodesy", Krasnoarmeysk, (e-mail: info@niigeo.ru),

Stavrovsky Michael E., Doctor of Technical Sciences, Professor

Institute "Center of ecological industrial policy", Mytishchi

(e-mail: m.stavrovsky@eipc.center)

Pirogov Vladimir V., candidate of technical Sciences,

Institute of design and technological informatics of the RAS, Moscow,

(e-mail: vpirogov@mail.ru),

Ragutkin Alexander V., candidate of technical Sciences,

Moscow Technological University (e-mail: vragutkin@gmail.com)

SEQUENTIAL OPTIMIZED MAJORITY ALGORITHM FOR TEST CONTROL.

Abstract: In the article the questions of increasing the instrumental reliability of control are considered, the sequential majority algorithm of working capacity control and its optimization is considered.

Keywords: reliability, performance criteria, instrumental control, optimization, majority algorithm.