CC BY
5
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ
ЗАДАЧ
Ахтямов А.В. Email: Akhtyamov17163@scientifictext.ru
Ахтямов Александр Вильгельмович - кандидат технических наук, доцент, кафедра теоретической механики и сопротивления материалов, Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова,
г. Белгород
Аннотация: рассматривается пример интерполяции функции двух переменных на основе использования многочлена Лагранжа. В статье дается краткий обзор методов линейной интерполяции. Приводятся многочлены Ньютона и Лагранжа. Приводятся выражения для построения многочлена Лагранжа. Статья сопровождается поясняющими таблицами. Дается обоснование применения многочлена Лагранжа для решения практических задач интерполяции. Приводятся расчетные выражения для применения многочлена Лагранжа при решении практических задач. Особенность статьи - в применении метода для интерполяции функции двух переменных. В заключении рассматривается пример интерполяции функции вязкого трения.
Ключевые слова: интерполяция, функция, многочлен, Ньютон, Лагранж.
INTERPOLATION METHODS FOR SOLVING SOME PROBLEMS
Akhtyamov A.V.
Akhtyamov AlexanderVilgelmovich - Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, DEPARTMENT OF THEORETICAL MECHANICS AND RESISTANCE OF MATERIALS, BELGOROD STATE TECHNOLOGICAL UNIVERSITY NAMED AFTER V.G. SHUKHOV,
BELGOROD
Abstract: considered of interpolation of a function of two variables based on the use of the Lagrange polynomial is considered. The article provides a brief overview of the methods of linear interpolation. The Newton and Lagrange polynomials are given. Expressions for constructing the Lagrange polynomial are given. The article is accompanied by explanatory tables. The application of the Lagrange polynomial for solving practical problems of interpolation is justified. Calculation expressions for the application of the Lagrange polynomial in solving practical problems are given. The special feature of the article is the application of the method for interpolation of a function of two variables. In conclusion, an example of the interpolation of the viscous friction function is considered. Keywords: interpolation, function, polynomial, Newton, Lagrange.
УДК 519.6
Под интерполяцией в общем смысле понимают нахождение значений некоторой функции по имеющемуся дискретному набору известной величины.
Как правило, требуется найти экстремальное значение функции, а известные значения получают в ходе экспериментальных наблюдений.
Пусть в ходе эксперимента путём измерения входной величины х (х0,х1,х2 ... хп) получены значения функции у = f (х) (у0,у1,у2,.■ ■ уп) (Табл. 1)
Таблица 1. Исходные данные
x0 x1 x2 x3 xn
y0 yi y2 y3 yn
Получение значений функции у = / (х) ,при котором значениях аргумента хь принадлежащего интервалу [ х 0, хи], но не совпадающего ни с одним из значений табл. 1 не всегда возможно из-за трудоёмкости или дороговизны эксперимента.
В таких случаях прибегают к построению приближенной функции, которая легко вычисляется и имеет ту же таблицу значений, что и экспериментальная табл. 1. Подобный процесс называется интерполяцией, а также узлами
интерполяции. Как правило, интерполирующую функцию пишут в виде полинома степени п.
Кратко рассмотрим классический полином, линейную интерполяцию, интерполяционные многочлена Ньютона и Лагранжа.
Канонический полином степени п имеет вид:
а0 + ахх + а2х2+... +апхп = 0 (1)
Выбор многочлена степени п основан на том факте, что через (п+1) точку проходит единственная кривая степени п. Для определения коэффициентов полинома (1) составляем систему линейных алгебраических уравнений, подставляя в (1) экспериментальные значения табл. 1.
' а0 + аххо + а2Хд+... +апх" = у0
а0 + а1х1 + а2х1+... +апх™ = у 1
а1хп а2хп~^~- ■ ■ +апхп — Уп
(2)
Решая систему уравнений (2), находят коэффициент полинома а0, а1(. . . аи.
При линейной интерполяции функцию приближенно представляют в
виде ломаной. При этом уравнения каждого линейного отрезка ломаной разные. Для -го интервала можно написать уравнение прямой, проходящей через точки и :
у - У[ — 1 X -
Уь Уь-1 Х1 х1-1 отсюда ,
У1 ~ У ¿-г
где а ^ = —-- , ЬI = у — а^_ 1.
Х1 Х1~1
Интерполяционный полином Лагранжа имеет вид:
(3)
Рп<Х> =^УгЬп(х) , (4)
где Ь (х) — (х хо) . ' ' (х х' _ 1) (х х'+1) . ' ' (х Хи) _1 Г (х х,с) (X; — х0) ... (X; — Х;_1)(х; — Х;+1) ... (Х; — Хп) I I (Х; — Х^)
-множитель Лагранжа.
В развёрнутом виде формулу Лагранжа можно записать: р _ (х ~ хг)(х ~ Х2^ ■■■ (х ~ хп) (х ~ х0)(х — хх) ... (х — хп) ^
(х0 — х1)(х0 — х2) ... (х0 — хп) (х1 — х0)(х1 — х2) ... — хп) ^ (х — х0)(х — х1)(х — х2) ... (х — хп_1)
(^П — Хо)(Хп ~ Х1 )(Х1 ~ Х2) ■■■ (■*-)! — ХП—\)
Полином Лагранжа часто применяют в теоретических исследованиях.
Если узлы интерполяции-равноотстоящие по величине, т.е. х^+1 — х^ = й, то удобно использовать интерполяционный многочлен Ньютона. При этом, если точка интерполирования находится в начале таблицы, то используют первую интерполяционную формулу Ньютона, в конце таблицы - вторую формулу.
В обоих случаях интерполирующий полином пишут в виде: Рп(х) = а0 + а1(х-х0)
+ а2(х-х0)(х-х1)+...+ап(х-х0)...(х-хп_1) (6)
Для определения коэффициентов используют конечные разности. Конечные разности первого порядка имеют вид:
Дуо = у,- у0; Ду1 = у2 - У1;
Дуи- 1 = уи - Уп- 1 ,
где у ¿- значение функции, соответствующее значениям хг . Конечные разности второго порядка:
Д 2 у0 = у1 - уо; Д 2 у1 = У2 - у,
Д 2 уп- 1 = уп- 1 - уп- 2 ,
Конечные разности высших порядков имеют вид:
Д*уо = У" - 1 ,-у" - 10;
Д^у1 = у" - 12 -у" - 11;
Д*уп- 1 = у" - V 1- У" - V 2 ,
По найденным конечным разностям определяются коэффициенты а ¿:
В результате выражение (6) принимает вид:
Рп(х) =Уо+^(х~хо)
А 2у0 Д пу0
+ (х ~ хо)(х ~ х1)+- ■ ■ + ^х ~~ '' (х ~~
Выражение (7) называют первым полиномом Ньютона.
Для нахождения значений функции в конце интервала интерполирования применяют интерполяционную формулу Ньютона:
РпО) = Уп + О - *п)
"I 2 | 1^2 ^ *»)(* + ... + — (х Хп)(Х Хп_1).. . (х
- *1) (8)
При решении практических задач интерполяции функции двух переменных использование интерполяционных многочленов будет достаточно громоздким, поэтому используют практический приём путём последовательного интерполирования по каждой переменной отдельно. Поясним сказанное. Сначала находят значение г = / (х, у) , интерполируя по переменной х по формулам Лагранжа или Ньютона для целой переменной, используя значения в точках:
(х0;у0 ) , (х^у,,) , ... (хм;у0 ) . Затем, интерполируем по новому значению х, находят / (Ху,) и так далее. Получая, приближенные значения / (х,у0) ,/ (Ху, ) ,. . . / (Х,ум) , строят таблицу:
у у0 у1 уМ
ъ /(Х.Уо) /С^-ух) /С*.Ум)
и по этой таблице осуществляем интерполирование по переменной у. Получаем в итоге г « Ьт (у) , где Ьт (у) многочлен Лагранжа или Ньютона, построенный по узловым значениям уг и значениям / (х, уМ;) ,У = 0 , ш . При таком подходе погрешность метода определяется погрешностью интерполяции по x, а затем по у.
В качестве примера рассмотрим интерполяцию функции z=f(x,y), где под z принималось вязкое трение, а под х,у - давление в шинах и количество ламелей на шинах, приходящихся на площадь контакта.
Пусть заданы значения функции z в точках, показанных в таблице 2
Таблица 2. Исходные данные для расчета
--^^^^ 25-Ю"4 50■10"4
1 3,84 5
2 3,9 4,5
3 4 4,8
где х - давление в шинах, измеряемое в МПа, у- количество ламелей на площадь контакта ед/м 2 , z - сила вязкого трения, кН. По табл. 2 строим сначала интерполяционный многочлен Лагранжа L1,0(y), по таблице:
Таблица 3. Промежуточные результаты
у 25-10"4 50 ■ 10"4
г 3,84 5
Здесь х = 1. Тогда, многочлен Лагранжа имеет вид: Ь1,0(у)=
(у - 50 ■ 10~4)/(25 ■ 10"4 - 50 ■ 10"4) ■ 3.84 + (у - 25 ■ 10~4)/(50 ■ 10"4 - 25 ■ 10"4) ■ 5
Далее при х=2 строим многочлен Лагранжа L1,1(y), используя таблицу:
Таблица 4. Результаты для х=2
у 25-Ю"4 50■10"4
г 3,9 4,5
L1,1(y)= (у - 5 0 ■ 1 0 "4) / (2 5 ■ 1 0 "4 - 5 0 ■ 1 0 "4) ■ 3 .9 + (у - 25 ■ 10~4)/(50 ■ 10"4 - 25 ■ 10"4) ■ 4,5
Аналогично по третьей строке табл.2 при х=3, получаем: L1,2(y)= (у - 5 0 ■ 1 0 "4) / (2 5 ■ 1 0 "4 - 5 0 ■ 1 0 "4) ■ 4 + (у - 25 ■ 10~4)/(50 ■ 10"4 - 25 ■ 10"4) ■ 4,8
Затем, по условиям задачи находим значения L1,0(y*), L1,1(y*), L1,2(y*), где у* -значения давления в шинах и количества ламелей при которых мы хотим найти силу вязкого трения z=f(x*,y*)
Пусть L1,0(y*)=a0 L1,1(y*)=a1 L1,2(y*). Строим таблицу по этим числам
Таблица 5. Окончательные результаты
х 1 2 3
L1,j(z) а0 а1 а2
По этой таблице строим многочлен L 3 (х)
(х — 2)(х — 3) (х — 2) (х — 3) (х — 1)(х — 2) L3(x) - а0 (1 _ 2)(1 _ з) + ах (2 _ 1)(2 _ 3) + а2 (3 _ 1)(3 _ 2)
После этого приближенно находим z=f(x*,y*)=L 3(х*)
В этой статье описана процедура интерполяции функции двух переменных на основе использования многочлена Лагранжа.
Список литературы /References
1. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. 432 с.
