Методы и средства управления характеристиками активных опор Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.534.833

МЕТОДЫ И СРЕДСТВА УПРАВЛЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

АКТИВНЫХ ОПОР

© 2000 В.Н. Самсонов, В.Б. Балякин

Самарский государственный аэрокосмический университет

В работе рассмотрены методы и средства управления динамическими характеристиками активных опор роторных и стендовых систем с помощью регуляторов расхода. Рассмотрены случаи работы опор с газовой и жидкостной пленкой для различных режимов течения рабочей среды. Исследовано влияние параметров систем управления на динамические характеристики опор различного назначения. Показан метод выбора оптимального регулятора для активной опоры, работающей при заданном виде возбуждения.

Опорные узлы современных технических систем в силу повышающихся тактикотехнических требований нередко выполняются с использованием устройств активного типа с регулируемыми параметрами. В качестве управляющих элементов в активных опорах с внешним нагнетанием смазки, например, в гидро- и газостатических подшипниках и подпятниках, пневмогидростатичес-киих опорах (ПГСО), гидродинамических

Рис. 1. Типы регуляторов расхода для опор с внешним нагнетанием смазки а- регулятор постоянного расхода; б- интегрирующий регулятор; в- дифференциалъныш регулятор: г- регулятор с дополнительной механической связъю

демпферах, могут быть использованы регуляторы расхода различных типов (рис.1).

Регулятор расхода в таких устройствах в общем случае представляет собой гидравлическое сопротивление, величина которого изменяется в зависимости от давления на

входе Р вх и в рабочей камере Рк опоры. Они достаточно просто компонуются в опорах и обеспечивают существенное изменение их динамических характеристик. Регуляторы устанавливаются на входе в опоры и имеют активные связи пневмогидравлического и механического типа. Однако применение того или иного регулятора обуславливается необходимостью обеспечения заданного закона регулирования. Таким образом в процессе проектирования активных опор для выбора типа и параметров регуляторов расхода необходимо знать их законы регулирования. Активные связи в опорных узлах формируют дополнительные усилия, воздействующие на подвижную массу и зависящие от значений входных и выходных координат.

Использование положений теории релаксационного демпфирования позволило получить динамическую реакцию опорной системы в виде [1]

динР( ) Т2Б +1 -Ж1(Б) + Ж3(Б)

Ж1(Б)-Ж4(Б) - передаточные функции дополнительных каналов взаимодействия между входной координатой и давлением в рабочей камере опоры;

72^2п-;Ж4(Б)- /2”2М

а1 - а 2 №

Ь2 - Ь1

а - а 2

В каждом из каналов осуществляется преобразование координаты перемещения подвижной массы в ход элемента исполнительного устройства регулятора, которое далее преобразуется в изменение расхода рабочего тела. Преобразовательное устройство может быть механическим с передаточными функциями Ж1М(8), Ж2М(8) или пневмогидро-механическим Ж1П(3), Ш2П(Б).

В зависимости от формы гидравлического тракта регулятора величины у могут быть как постоянными величинами (для золотника и регулятора сопло-заслонка) или функциями от 5.

Введение дополнительных связей в опорах оказывает влияние на динамическую реакцию газового слоя и на резонансные характеристики системы. Закономерности этого влияния могут быть выявлены после опре-

Рис. 2. Схемы регуляторов расхода а- регулятор сопло -заслонка; б- мембранный регулятор; в- регулятор расхода из МР; г- регулятор гидростатического типа

деления передаточных функций элементов активных устройств и при учете их взаимодействия с другими структурными составляющими опорных узлов. Далее покажем это.

Сопло с дроссельной заслонкой

Регулятор расхода сопло-заслонка, имеющее сравнительно простую конструкцию (рис.2,а), широко используется в устройствах гидропневмоавтоматики. Оно состоит из сопла 1 и заслонки 2. Параметром регулирования является зазор х между соплом и заслонкой, изменяющейся при перемещении заслонки. Эффективное регулирование сопротивления регулятора сопло-заслонки возможно лишь при малых зазорах х между заслонкой и торцом сопла [2]. Обычно величина х не превышает 0,25 йс , так как при х=0,25 йс площадь сопла становится равной площади щелевого дросселя рёсх. Однако, на практике заслонка оказывает дросселирующее действие

при значениях х = (1,4 -1,6) —^ [3]. Расчет

дросселя состоит в определении его расходной характеристики. Для жидкости расход через дроссель рассматривают в виде

м = &„,№„ - Рк )р

а - коэффициент расхода через’ питающее 6¥верстие находится экспериментально

(обычно а =0,62...0,82 ); р ¿р - площадь дросселя , равная минимальной из площадей %ёсх и %йс 2/4; р- плотность жидкости.

В работе [2] отмечено, что для газа при малых открытиях сопло-заслонка часто работает как ламинарный, а при больших - как турбулентный дроссель. Расходные характеристики дросселя для этого случая определяются по зависимостям для сверхкритическо-го истечения газа

2к

2 к+1

Ь-Ь ~

(к -1) ЕЯТ Для докритического истечения

( 2 ] к-1 2к

1к +10 І (к +1)ЕЯТ ’

м - аРдр Р

где к- показатель адиабаты; Я - газовая посто-

янная; g - ускорение свободного падения; Т -абсолютная температура ; Ь = Рк./ Р вх .

Значение коэффициента расхода определяется по экспериментальным данным, приведенным в работах [2,3]. Для этого предварительно находится вспомогательная величина

О- - /(Яе) - Р-

Яе РвхХ ^

к -1

2к

gRT

2 к+1

Р~к-р ~

по которой отыскивается коэффициент расхода а [2].

Сопло-заслонка является усилителем с коэффициентом усиления для жидкости

дм К = д

а для газа

дм

2( Рвх Рк )р

к -^-ар—сРвх-

дх

2к

(к-1№

к+1

Рк-Р

В приборах пневмогидроавтоматики заслонкой управляет маломощный чувствительный элемент. В активных опорах заслонка регулятора связана с перемещениями подвижного элемента опоры механически или пнев-могидравлически.В общем случае связь механического типа (рис.1,г) имеет передаточную функцию вида

Т1Г дх С1 + ёБ

уу =----=----------1-----------

2 д1 т1 Б2 + —Б + С1 + С2’

где т1 - масса заслонки (подвижного органа регулятора); С1, С2 - жесткости, а й - демпфирование элементов связи.

Массой заслонки обычно можно пренебречь и в результате получаем передаточную функцию дополнительной активной связи механического типа, вносимой регулятором сопло-заслонка,

к -где ЛР _

Ж2(3) - кр

кС1

1 + Т1РБ 1 +

(а1 а2 )(С1 + С2 )

коэффициент

Т - — Т -усиления; Т1Р - с и Т2р -

ные времени регулятора.

С + с2

постоян-

В случае пневмогидравлической связи между опорой и регулятором его подвижный элемент снабжается упругим элементом с жесткостью СП. При этом передаточная функция Ж1П отыскивается из уравнения равновесия всех сил, действующих на заслонку,

т1Б28х -8Р + Сп8х - 0 .

Сила, действующая на заслонку со стороны сопла равна Р=Р1+Р2, где Р1- реактивная сила, возникающая при попадании потока на заслонку и растекании его по поверхности заслонки при повороте на угол р/2; Р -сила статического давления, действующая на торец сопла и заслонку. Она определяется по формуле [3]

' + р ^ (Р1 - Р2) + тіс рс 4

+

2

2р | РгЫг -рР2

2

где рС - плотность рабочей среды на срезе

сопла, —н - диаметр торца, Рг - текущее значение давления между торцом сопла и заслонкой, г- текущий радиус.

Сила давления на торце сопла | Ргг—г определяется с помощью экспериментальных

данных. Если величина

мала, то си-

ловую характеристику дросселя типа сопло -заслонка, т.е. зависимость силы Р от зазора х, с достаточной точностью можно определить по приближенным зависимостям [2]. Подставляя в уравнение (7) приращение

дР

Ср __ К~,± Ср

силы Р в виде ОР - др 1, получаем пере-

даточную функцию регулятора типа сопло -заслонка

Ох _ дР/дР1

1п

ОР1 (Ь2 - ь^сп’

где Сп - жесткость упругого элемента зас-и.

Массой т1 заслонки можно пренебречь

п

лонки.

2

—

и тогда передаточная функция пневмогидрав-лической активной связи, вносимой соплом

- заслонкой, имеет вид

Ш,= кР =

1 P (Ь -К)СП ■

Следует заметить, что для регулятора расхода этого типа передаточная функция Ж1(Б) вследствие наличия диссипативных сил в зазоре и упругом элементе в действительности близка к передаточной функции апе-

к

риодического звена Ж (Б) = т Б +1'

Золотниковый регулятор расхода

Золотниковые регуляторы значительно реже, чем сопло - заслонка, используются в пневматических устройствах. Они выполняются с малыми зазорами между втулкой и золотником и при работе на недостаточно очищенном воздухе или без смазки (вследствие трения и износа рабочих поверхностей) имеют пониженную чувствительность, нестабильны, возможны отказы в работе. Золотники могут иметь коническую или цилиндрическую (рис. 1, а,б) дросселирующую щель и реализуют закон управления вида

к

Ж1(Б) = кр .

ТРБ +1

Мембранный регулятор

В работе [4] предложено для повышения жесткости гидростатических опор использовать мембранный регулятор расхода (рис.2,б), представляющий собой щелевое сопротивление, величина которого изменяется при перемещении мембраны. Передаточная функция Ж1(Б) этого регулятора при наличии потока несжимаемой жидкости в трактах получена в виде

^(Б ) =

Т1Р Б +1

Т4Р Б2 + Т2Р Б +1

к

Использование его в газостатических опорах требует уточнения вида Ж1(Б) . Это связано со сжимаемостью газа. Учет динамических эффектов при сдавливании газа в рабочей щели оказывает существенное влияние

на динамическую реакцию газового слоя, и, следовательно, на закон управления регулятора Ж1(Б) .

Уравнение равновесия сил, действующих на мембрану т1, в приращениях имеет вид

т1Б2 дх + Смдх + дЖ = /1дРК, (1)

где дЖ = Сдин (Б )дх - приращение динамической реакции сдавливаемой газовой пленки в зазоре, См - жесткость мембраны,

^1 = р ; г - внутренний радиус щели.

Для отыскания Ж1П = дх/дРК необходимо найти величину ду . Для этого примем следующие допущения.

1. Величина зазора х много меньше линейных размеров пластины и мембраны;

2. Поток газа в рабочей щели считается ламинарным, что предполагает малые числа Яв и параболический профиль скоростей в зазоре;

3.В любой точке потока выполняется

соотношение рП

- соті.

4. Приращения дХ и дРК малы по сравнению со статическими С0 и РК0 соответственно.

Воспользуемся результатами работы [5], где решено уравнение Рейнольдса для кольцевого упорного подпятника. Сила, действующая на сжимаемые пластины, равна

ОЖ(і) - р(г22 - г12 )| ОР(і, г )—г

(2)

где г1 = г1 /г2 ; г = г /г2 ; г2 - наружный радиус щели. Применяя к (2) преобразование Лапласа временной функции

ОЖ(Б) -¡ОЖ(і)е ~*сСі,

получаем выражение для динамической реакции газовой пленки в виде суммы бесконечного ряда

Сймн (Б) --

ОЖ(Б) _ 48риг;

- У

ъ Аи ^4

Б

Ох (Б) х0 ч к(1 + Б )•

0

4

Проведенные исследования показывают его быструю сходимость. Поэтому возможно приближенное равенство

сймн (Б)

Ь

1 + Б/ (Ос

(3)

где

Ь = 48^г24(1 + Ь)(1 -г)2 ^ = к2пх0Рко лх0 ’ С 12^г22(1 - г )2

Подставляя выражение (3) в уравнение равновесия (1), получаем передаточную функцию пневматической связи

Ж

Ох

1П

ОРк т15 + См Лі + Ь ,

постоянные времени регулятора.

Видно, что передаточная функция дополнительной связи, обеспечиваемая мембранным регулятором, имеет высокий порядок, что затрудняет ее исследование. Однако, в области низких частот, характерных для работы опорных узлов, можно пренебречь членами высших порядков. В этом случае закон управления мембранного регулятора имеет вид

»1(Б) - кР

Т1РБ +1 Т2рБ + 1 .

Необходимо добавить, что это упрощение не распространяется на устойчивость опоры.

где ц = 1 + Б / сос

Для отыскивания закона управления ре-у

Ж1(Б) = ь _ь Ж1л найдем величи-гулятора 2 1

ну у (Б) . Расход газа в сечении радиусом г2 для рабочей щели определяется в динамике как

М = Мвх - Б (ру), (4)

где у = к(г12 - г23)х. Из выражения (4) получаем, что

дМ дМ е е

У(Б) = = ^ =1‘+|2Б • (5>

где Х Х2 = -Рк(г12 - г22) .

дх

Это позволяет отыскать функцию Ж1(Б) в виде

Ж1 (Б) = кР-----Т3зрБ + Т21рБ +1----

Р Т6РБ3 + Т4РБ2 + Т2РБ +1,

где кР - (Ь - Ь )С " коэффициент усиления

(Ь2 Ь1 )СМ

/1X1

регулятора;

т - —+— т -—+х

± 1Р І цію і

Ос СМ

9^2 Р

Ос Х1

т

7» ___ Т2 гр _ '•*' ГГ1

3Р

т

р1 ' 4 Г ■> 6 Р

Х1ос СМ СМо

Мшс

Регулятор расхода из МР

Пористый материал МР(металлорезина) может быть использован в качестве упругого и дросселирующего элемента регуляторов расхода, изменяющего свою пористость при изменении давления в камере или нагрузки, приложенной к элементу из МР. Конструкция упругого дросселя из МР показана на рис.2,в. Параметр регулирования - перемещение основания х. Течение газа только радиальное. Одним торцом упругая втулка крепится к основанию, другой - заглушен. По дросселирующим характеристикам регулятор расхода с МР может быть подобен мембранному регулятору, т.е. щели и заслонке с зазором кэ. Для последнего получено выражение для динамической реакции пленки (3), которое может быть использовано для расчета динамической реакции слоя в МР. Для этого необходимо отыскать зазор кэ щелевого дросселя - аналога МР, величина которого определяется из условия равенства гидродинамических сопротивлений МР и дросселирующей

щели, т.е. RMP (х) - Rщ (кэ). При этом должны выполняться равенства RMP (х0) - Rщ(кэ0) и

ОИ„

0

дR

‘МР

дх

Ох

0 . Отсюда

Ок -

дЛ™ / дR

дх дк

Ох

(6)

0

В соответствии с (3) и (6) получаем выражение для динамической реакции

Жп ( б )

Ох

дх дк

Ї1

ЬБ

1 + Б/ о с

(7)

1+Б

О

(тБ + СМР ,

1 +

Б

О

+ ЬБ

где СМР - жесткость втулки из МР.

С учетом выражений (5),(6),(7) получаем передаточную функцию дополнительной активной связи, обеспечиваемой регулятором расхода с МР, в виде:

Ж1(Б) - кР

ТЗРБ2 + Т1РБ +1 Т6 РБ3 + ТЛ„Б2 + Т1ВБ +1

4Р

2Р

где

ПГСО как регулятор расхода

Наличие в ПГСО кольцевой дросселирующей щели переменной длины делает возможным использование ее в качестве регулятора (рис.2,г). Закон управления, осуществляемый этим регулятором, отыскивается из уравнения равновесия всех сил, приложенных к плунжеру

т1 Б2 Ох + (ОРКР - ОРК )ГКР - СПРОх - 0 и выражения для динамической реакции слоя

С - РОРкр - с 1 + Т1РБ

СдинР - Оос ~ ср 1 + ТБ . При этом

и(Б) -

8М

Ох

рп Ощ

' 24 тДТ

кР к 2

- к •

Жп ( 5 ):

Ох

ОрК

Л

т

я

Л252 + ст1 РБ + сР - с

ПР

кР

кР -

дКмр /дКщ

дх дкэ

1 X Т -—— + — Т -

-МР е ’ 2 Р

О

сМр (Ь - Ъ,)

д&мр /дКщ

Т

X

Х2

дх дкэ

ЗР

т

4Р

с

с„

т

■ + ■

1;

6Р

О с с МР

Х1^с ^МР

Для определения гидродинамического сопротивления втулки из МР воспользуемся зависимостями, полученными в работе[6]. Для ламинарного потока через материал МР расход равен

М - 4щЬ-

П гй2ПР АГр

153т(1 - П )2тЧп— Аг

Аг г1 ,

АР - Рх - РК,Аг - Г2 - г1, —пр - диаметр

где

проволоки, П- пористость материала, для газа Р- Рср /^Т

Для турбулентного режима течения через втулку из МР

АГ 153(1 - п)2 г1 г2 ^

— -—4 3 2 т—1п—м+

Аг 4яЬг1п йпт р Аг г1

+ 1,42(1 -П) г М 2 .

8р2 Ь г2 п3 йптгг р

Ж 2(5 )

кЛ2

В

т1 2

— Л2 + НБ + ср - СП

где

4 = 1 + Т1РБ , В=( ь - Ь), Н = (ст1р - сПрТ2р).

Полученное выражение для области низких частот может быть упрощено до вида

1 + ВБ

Ж* (Б) - кР

1+н б

’ В1 - Т2Р ’

где

н1 -

с - с

^р ^ПР

С Т - С Т

Р 1Р ПР 2Р

С -С

Р ПР

Возможность широкого изменения параметров регулятора кр, В1 и Н1 и наличие отработанной методики расчета делает регулятор этого типа весьма удобным для использования в гидрогазостатических опорах.

На рис.3-4 показаны амплитудно-частотные характеристики опор при различных значениях параметров регуляторов расхода кР, Т1Р, Т2Р . Их анализ позволяет заключить, что использование дросселей типа «сопло-заслонка» и золотника с коэффициентом усиления кр<0 уменьшает, а с кр>0 - увеличива-

0

Рис. 3. АЧХ опоры с регулятором типа сопло -заслонка

ет резонансную частоту. Влияние параметров регулятора на величину коэффициента усиления вибрации на резонансе зависит от значений параметра X - Т1ю0 (рис. 3).

Результаты расчетов амплитудно-частотных характеристик опор с мембранным, гидростатическим регулятором расхода и из материала МР приведены на рис.4. Влияние параметров кР, Т2Р на АЧХ опоры аналогично результатам, полученным для сопла с дроссельной заслонкой и золотником. Увеличение постоянной времени Т с отрицательным коэффициентом усиления снижает резонансные частоты опоры, для которой Х^Ю. При

этом уменьшается коэффициент усиления на резонансе. Для опоры с Х£1 изменение Т1Р в пределах, соответствующих устойчивым режимам работы, или практически не влияет на АЧХ системы, или приводит к незначительному увеличению резонансного пика. Использование регуляторов расхода с кР >0 приводит к обратным результатам.

Выбор оптимального регулятора

Повышение качества работы активных систем невозможно без выбора схемы и структуры регулятора и определения его оптимальных параметров. Для синтеза опоры, оптимальной по динамическим характеристикам, используется метод оптимальной фильтрации Винера [7]. Процедура оптимизации заключается в отыскании передаточной функции копт(Б) оптимальной опорной системы, а по ней - передаточной функции регулятора расхода. Знание законов управления, реализуемых различными регуляторами, позволяет преодолеть трудности, связанные с реализацией передаточных функций в конкретную физическую систему.

Для составления интегрального уравнения Винера-Хопфа и получения к (Б) вос-

.г т ^ опт' х

пользуемся критериальными функциями, включающими квадратичные значения (среднеквадратичные - для случайных процессов; интегральные квадратичные - для детерминированных) относительного перемещения

х и ускорения на выходе 5х2 ,

^ - Е[х2 ] + рЕ[(52х2)

или

(8)

Рис. 4. АЧХ опор с регуляторами мембранного, гидростатического типа и из МР а, б - X = 10; в, г - X =0,1

^ = Е [( Б2 х2)2 ] + рЕ [х2 ]

- для случайных процессов;

^ = Зх + рЗБ2 х2 или ^ = ЗБ2 х2 + рЗх (9) -для детерминированных процессов, где Р - неопределенный множитель Лагранжа.

Критерии (8), (9) удобны для аналитических расчетов и применяются для выбора структуры и параметров опорной системы.

Решение для оптимальной синтезированной функции копт(Б) получено вариационными методами в работе [7] и имеет вид

Копш ( S) =

[Г (Г)/ Л" (S)]

А (5)

где Г(5) - 2рФ(5) / 54 - преобразование Фурье для взаимно-корреляционной функции входа и выхода;

А(5) - А* (5) - А" (5) - Р^ + р0Ф(5)

- преобразование Фурье для корреляционной

функции входа; Ф(5) - \ е йЯ(т)й - спектральная плотность входного сигнала в операторной форме; Я ( Т) - корреляционная функция входа.

Индексы «+» и «-» показывают, что полюса и нули функции находятся соответственно в левой и в правой полуплоскостях. Функция копт(5) и соответствующая структура оптимального регулятора зависят от характера входного возмущения.

В случае, когда вибрация основания представлена белым шумом, оптимальная функция копт(5) может быть реализована простейшей системой упругодемпфирующей подвески, представляющей параллельное включение демпфера и упругости. Для этого случая нет необходимости использовать активную систему.

Для узкополосного спектра с корреляционной функцией Я(т) - Де~аТ и плотнос-

тью Ф( S ) =

D

а

где D. - дисперсия

к й2 - Б2 ’

возбуждения; а - коэффициент затухания корреляционной функции, функция к (Б) имеет вид

( = с2 Б2 + дБ + со Копт( ) Б2 + 2Ьа + 2Ь2 . ( )

Здесь коэффициенты

C0 = 2b2; C = 2b; C2 =

2b(a + b) а2 + 2bS + 2b

; b =

уточнены по сравнению с полученными в работе [8].

Структуру и параметры оптимального регулятора расхода найдем после преобразований частотной передаточной функции

опорного узла и выражения (10). В первом приближении в частотной характеристике передаточной функции можно пренебречь членом Т 53, слабо влияющим на АЧХ опорного узла в области низких частот, и записать

К (5) -

w2( TS+1)

Б2 [1 - ^(Б)] + ю02(ТБ +1). (11)

Приравняв числители и знаменатели выражений (10) и (11), получаем, что оптимальная передаточная функция может быть реализована с регулятором, осуществляющим

закон управления Ж(Б) = кР / (1 + ТРБ) . Коэффициенты кр и Тр определяются через известные параметры вибрации и собственную частоту опоры

1 -

2 2 ща1

2b2 (а2 + 2ab + 2b2)

b

" T

г>

а + b

b(a + 2ab + 2b2)

Таким образом, оптимальная работа опорной системы, служащей, например, для гашения вибрации узкополосного спектра, может быть осуществлена с помощью регуляторов расхода рабочего тела типа «сопло-заслонка» или золотникового типа.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Самсонов В.Н., Токарев И.П. Выбор разгрузочного устройства для испытаний летательных аппаратов и двигателей // Вибрационная прочность и надежность двигателей и систем летательных аппаратов. Куйбышев: КуАИ, 1979.

2. Богачева А.В. Пневматические элементы систем автоматического управления. М.: Машиностроение, 1966.

3. Дмитриев В.Н., Градецкий В.Г. Основы пневмоавтоматики. М.: Машиностроение, 1973.

4. Лонцих П.А., Елисеев С.В. К динамике элементов активной цепи пневматической виброзащитной системы // Вибрационная защита и надежность приборов, машин и механизмов. Иркутск, 1973.

5. Гриффин, Ричардсон, Яманами. Исследо-

вание демпфирующего эффекта сжатой жидкостной пленки /Труды Американского общества инженеров-механиков. М.: Мир.1965. №3.

6. Чегодаев Д.Е., Мулюкин О.П., Колтыгин Е.Б. Конструирование рабочих органов машин и оборудования из упругопористого материала МР. Самара: НТЦ «Авиа-

тор», 1994.

7. Ньютон Д.К., Гулд Л.А., Кайзер Д. Ф Теория линейных следящих систем. М.: Физ-матгиз, 1961.

8. Богомолов А.И., Степанов П.А. Определение оптимальных передаточных функций систем амортизации // Известия высших учебных заведений. 1979. №7.

METHODS AND MEANS OF CONTROLLING ACTIVE SUPPORT

CHARACTERISTICS

© 2000 V.N. Samsonov , V.B. Balyakin

Samara State Aerospace University

Methods and means of controlling active supports characteristics with the help of consumption regulators are described in this paper. Support operation has been studied with gas and liquid film for various types of flow. The influence of control systems parameters on the dynamic characteristics of various supports has been investigated. The method for the selection of the optimal regulator of the active support with the predetermined type of vibration generator has been demonstrated.