Устойчивость энергосберегающей адаптивной радиальной гидростатической опоры с ограничением выходного потока смазки Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Journal of Siberian Federal University. Engineering & Technologies 6 (2011 4) 674-684

УДК 621.9: 621.89

Устойчивость энергосберегающей

адаптивной радиальной гидростатической опоры

с ограничением выходного потока смазки

В.А. Коднянко*

Сибирский федеральный университет Россия 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79 1

Received 2.12.2011, received in revised form 9.12.2011, accepted 16.12.2011

В работе рассмотрены вопросы качества динамики адаптивной радиальной гидростатической опоры с ограничением выходного потока смазки. Приведена математическая модель опоры, получена аналитическая зависимость для передаточной функции динамической податливости линеаризованной нестационарной модели.

Установлено, что опора может работать устойчиво на режимах отрицательной податливости. При этом обеспечиваются приемлемые показатели качества динамики свободных и вынужденных колебаний. Устойчивая опора имеет ограниченную область отрицательной податливости. Конструкция опоры при одинарном дросселировании входного потока смазки склонна к колебаниям, однако в указанной области обладает достаточным запасом устойчивости.

Ключевые слова: энергосберегающая, гидростатическая опора, гидростатический подшипник, отрицательная податливость, устойчивость.

Введение

Бесконтактные газостатические и гидростатические опоры (АГСО), в которых уменьшение податливости до нулевого и отрицательных значений обеспечивается за счет ограничения выходного потока смазки (АГСО-ВП) [1], в сравнении с адаптивными опорами с входными регуляторами расхода (АГСО-РР) обладают лучшими статическими характеристиками - более широким адаптивным диапазоном нагрузок, стабильностью характеристики податливости, значительно меньшим расходом смазки [2, 3]. Известно, что в существующих конструкциях АГСО-РР с уменьшением податливости значительно ухудшается качество динамики. Это объясняется негативным влиянием повышенной чувствительности входных регуляторов расхода к изменению давления смазки [4]. В АГСО-РР для обеспечения режима отрицательной податливости применяют единственное известное на настоящее время эффективное средство подавления неустойчивости - систему двойного дросселирования смазки в магистрали нагнетания, в которой регулятор выполняет функцию основного сопротивления, а дополнительные пассивные дроссели на входе в несущий слой - функцию демпфера вибраций [5]. В АГСО-ВП из-за

* Corresponding author E-mail address: [email protected]

1 © Siberian Federal University. All rights reserved

отсутствия входных регуляторов и, как следствие, сниженного энергопотребления проблема обеспечения устойчивости опоры, по-видимому, не стоит так остро. Поэтому устойчивость конструкции на режимах неположитеаьной податливости, вероятно, может быть (обеспечена без привлечения дополнительных средств демпфирования вибраций. Кроме того, смазочный слой толщины кт активного ограничителя выходного пока смазки, который расположен под мембраной (рис. 1), сам по себе может играть ромь демпфера, спосоаствуя тем самым улучшению динамики опоры.

Тем не менее, повышенный градиент давления в несущем слое смазки может стать причиной снижения показателей устойчивости такой опоры. Целью настоящей работы является теоретическое изучение устойчивости радиальной гидростатической АГСО-ВП одинарного дросселирования, расчетная схема которой показана на рис. 1. Описание конструкции опоры и анализ ее статических характеристик приведены в работе [3].

Математическая модель динамики опоры

Как и при исследовании статических характеристик АГСО-ВП [3], моделирование нестационарного радиального движения опоры основано на том, что соблюдается параллельное расположение осей корпуса и подвижных элементов (рис. 1). Исследование проведено в безразмерной форме. За масштабы основных величин приняты: радиус г0 вала - для линейных размеров, давление рн источника питания опоры - для давлений, пг02рн - для сил, к0ърн/6ц - для объемных расходов жидкости, И0 - для зазоров и эксцентриситетов подвижных элементов, /0 - для текущего времени. Здесь И0 - толщина к несущего смазочного слоя при соосном расположении элементов (при отсутствии нагрузки /), ц - вязкость смазки. Далее безразмерные величины обозначены прописными буквами.

Динамическая функция ф, т) распределения давления в тонких смазочных зазорах для несжимаемой смазки удовлетворяет нестационарному дифференциальному уравнению Рейнольдса [6]

дд>\ 3<р) 32\ 32 ) оТ

(1)

где Я (ф, т) = 1 - е,-(т) О^(ф) - функция радиального смазочно го зазора между несущими поверхностями смазываемых элементо в конструкции, 2, ф - продольная и окружная координаты, т - безразмерное время, е,- = е - эксцентриситет вала 2 и корпуса 1, е,- = ет - эксцентриситет колец 3 и вала 2, ек = е - ет эксцентриситет вала 2 и подвижных колец 3,

а =

12 иИ

рИХ

(2)

- безразмерный параметр, называемый «числом сдавливания» смазочной пленки [7].

По аналогии с [3] при математичесаом моделировании предполагали, что продольный размер втулки 3 мал по сравнению с ее диаметром. В этом случае при наличии продольных миароканавоа в междурядной области влиянием окружных перетокон смазки в зазорах можно пренебречь (5Р/5ф = 0). При этом уравнение (1) упрощается и принимает вид

д2Р

И.

иУ

(3)

Уравнение (3) по областям интегриро вания имеет следующее аналитическое решение:

Р(г,<р,т) =

а —-1 (1 - ) + Рк (<х, г) 1 - для зазора в торцевой области, 2Н ,

4

<гН

2Н

&Н,

3 (12 -() + Рк (<х, м) - для зазора в междурядной области,

2Н:

-1(1 -2Ь1) + Рк(е>,т) - для зазора под мембраной ,

(4)

где ОДУф, т)_ функция давления на выходе питающей щели 5, Щ л ширина колец 3, Ь2 - пцловина ширины междурядной облдути несй щело слоя.

Решение (4) получепо при использовании очевидных граиичных условий для функции Р:

Р(0, р, т) = Рк ((, т), Р(Г1,р,т) = 0 - -ля зазера в терцевей области,

дР

32

(0, р,т) = 0, Р(Г2<р,т) = Р((р,т) - для зазера в междурядной области,

дР-

Р(0,р,т) = Рк(р,т~)= —(Г,р,т) = 0 -для зазера пед мембрапей.

32

Безразмеийый обыемный расход смазки через любое еечнние 2 = 2о радиального зазора определяется формулой [6]

дР

е = -яр—(2 ,<=,т).

32

С учетом этого и (4) нестационарное уравнение баланса расходов смазки на выходе одной щели ц входе в не сущий слой опоры примет вид

P аТ • • •

AH (1 - Pk) = Hi Т + Hk + аL2 H +аТ Hm

(5)

где Ае - параметр, определяемый постоянными размерными величинами зазора входной щели 5 [3].

Несущая способность соответствующих радиальных смазочных зазоров определяется формулой

1 L-H ^

Wt=-\ Ces{p)dp\ P (Z, p, T)dZ.

Выполнив интегрирование функции давления (4) по координате 2, получили формулы для определения несущей способности зазоров д ая половины междурядной и торце вой обласки не-сущегослоя и в области зазора, распо ложенного под мембраной:

W = ^J

L 2 Т 2

^^=Li J

P Т\н

k 3НЪ

\

Pk -

W H

6H3

wm =

RL

L

P -

LHL

3Hl

Cos(p)dp,

A

Cos(p)d <p, A

(6)

Cos(cp)dp,

где Я1 - наружный радиус подвижных элиментов 3.

С учутом (6)) формула для нестационарной несущей! способности опоры таиова:

W = 2(Wc+W т) = -J и i

k+L )p dHk__

2 2) k YlHl 3H3

L2H

Cos(pp)dp.

(7)

Ввиду малой мас сы подвижного элемента 3 связанная с ним сила инерции будет пренебрежимо мала по сравнению с воздействующими на неео гидравлически ми силами. В этом случае радиальное с мещение ет втулки под влиянием воздейсевующих на нее сил давиения уЦл и Жк, уровновешивкемых силой упругого сопротивления мембраны, в соотоитствии с зеконоу Гука может быта предстаглено уравнением

я i

L ((-0,5) + L

а •

А'

Hk 4R Hm

H H

Hi

Cos(p)dp, (8)

где Km - безразмерная радиальная податливость материала мембррн.

Масштаб текущего времени определен из условия равенства единицы безразмерной массы вала: mh0 / nr^pj,2 = 1, где m - масс а вала.

С! учетом силы инерции массы вала и формулы (7 ) уравнение баланса сил, действующих на вал 2, примет вид

сь '

п

- + Ье

Рк~

Ц Нк 4 И

ПИк, 3И3

Со$У(р)(1(р + е = С,

(9)

где 17 - при ложенная 1С валу 2 внешняя возмущающая сила (нагрузка на о пору).

Воспользовавшись уравнением (5) и очевидным соотношением еа = е - ет, величины еу и Рк исключили из рассмотрения. С учетом этого нестационарные уравнения (8) и (9) будут представлять математическую модель динамики АГСО-ВП, которая в данном случае является нелинейной системой автоматического регулирования с возмущающей входной величиной Е и выходным и величинами е и ет.

Ля неариаация математической модели и пер едаточная функция податливости опоры

Исследование устойчивости АГСО-ВП проведено с использованием линейных методов теории автоматического регулирования [8]. Для этого выполнена линеаризация нелинейностей в уравнениях матаматической модели в окрестности установившегося режима ра(юты опоры. Всякую динамическую величину представляли в виде Х(т) = Х0 + ДХ(т), где Х0 соутветстуует установившемуся режиму, ДХ- малоа динамическо е оеилоиыние вуличиныХ отХв

Процедура линеаризации позволили вывести велечины отклонений динамиииских функций за знак интеграла в уравнениях (6)-(9) и тем самым) привести интегралы к виду, нигда подынтегральные функции становятся зависимыми лишь от окружной координаты. Это дает возможность провести их интегрирование численным методом (вычисления проводились с использованием мчтодл Симпсонл [9]). Затем к уравнениям модели, записанной в отнаенениал, пртменено интегральное преобразчаание Лапласа [8]. В р еиультате получеча система линейных оравнуний отнлсительно ивображений малых отклонений величин модели

(^Се^ + ^+С^Л^1, (Ю)

((+(0^ +5е )) + (-£,+ С4 5)дВт = ДС9,

гди - лапласовы трансформанты откленвний соответутвующих динамичеиких величин, 5 -пиреманивя пре образоввния Лапласа. Входящие в уравнен ия понстанты ияыисляются по формулам

2п 2в 25 2п

В0 = | а0й2йф,В1 = | (а0С + й7)с)ф,В2 - | а0С4й),В3 = | (а0й5 + й6) йф,

0 0 0 0

2п 2п 2п 2и

В4 = | аъй2йф, В5 = | (а3й3 + ) йф, В6 = | (а0й4 + й9 ) йф,В7 = | а3йъйф,

у 0 0 0

й0 = ЛНЬ1, й1 =(й0 + Н\) , й2 = 3й0й12Н\Со52 (ф), й3 = 0, 5а1\dlCos2 (ф),

0 Т Т АП 2L( o ( Т2=а 2 с 2 ( CoS2{(p) CoS2(<p) CoS2{(p)

a4 = cL^dCos O, d5 = aLpCos d6 = a=-3—, d7 = -a2-3—, d8 = aA

и 1 z Hi из

= =а5саш= L£n±а а=Ь±Т±гал а

И 2л Ъл 12 л л 6л

2oÚ

а = =-1, C0 = 1 — B, , ==i = B 1 — В, ,2+т = -==1 + B l, ,2+ъ = B5 a B, , C4 = B7 — В5.

Исключив из (Ю) величину Aem , посредством несложных преобразовнний нашли пере-доточнвю функцию

„,. ч Аи 22A + C,s

= Т1? =--А-Г> (11)

AF af + aas + a2s + a3s

где

a= = B + (-+Q + B0), b, = В 4 C, C C0 C= — B0 С 2 + B- C2 , a2 = C= + (—2, C3 — C4 ,a3 = 22,.

Передаточная функция ( 11) является лапласовой трансформантой динамичеекой подетли-вости опоры, а ее знаменатель - характеристическим полиномом динамичес кой системы. Статическая поднтловонть опоры апраделяется величиной K = C0/a0.

Результаты исследования устойчивости опоры

Свободное радиальное движение опоры оценивали с помощью корневых критериев качества её динамики: нормировааной степени ус тойчивости % = -Max Reo {st}e [0;1], которая обратно пропорциональна продолжительностн переходного процес са, где sk_ корни нормированного характеристичнского нравнення мгтемотической модели [а]; затухания колебаний за период 4 = [1 - Ехр(-2я rio/' |Г)] К0 0о%> е [0;100%], ^де; в - мнимая часть аорня so, для которого Re {sa} = -т|0 Досааточно ^^гсохоийлто еначениями ээтгзихх критериев можно считать т|0 > 0 , 1 - 0 ,2; 4 > 60%. Критерей т)0 определяет быстроту затухания переходного процесса, 4 - его колебательность. Запас устойчивости опоры оценивали по показателю колебательности M, который характеризует относительную величину резонансного пика амплитудно-частотнмй характер:-стиои (АЧХ) частотной передаточной функции, которая получеется из (11), либо аналогичной передаточной функции формальной заменой s = iQ, что соответствует переходу от преобразования Лапласа к преобразованию Фурье, где Q - безразмерная частота колебаний, i - комплексная константа [8].

В качестве входных параметров использованы: податливость Km материала мембраны; наружный радиус R кольца 3; L - половина длины опоры; х е [0;1] - нормированный коэффициент настройки входной дросселирующей щели 5 при соосном расположении подвижных элементов и отсутствии нагрузки на опору, и «число сдавливания» с, оказывающее влияние лишь на динамику опоры.

На рис. 2 изображены графики функции п0 (с) для различных значений нагрузки F на вал 2 для Km = 8,98 и х = 0,38, при которых опора имеет наиболее близкую к постоянной величине отрицательную податливость при малых и умеренных значениях F (на рис. 3 представлены

Рис. 2. Зависимости нормированной степени устойчивости % от числа сдавливания а и внешней нагрузки 7эпри£= 1Д = 0,3;^ = 1,2; 4. 0,34;^,= 1С,23

Рис. 3. Зависимости статической податливости К от внешней нагрузки ^ и податливости мембраны К при/ = 1,5; ¿1 = 0,3; = 1,2;х =0,38 "

графики зависимости податливости опоры от внешней нагрузки). Видно, что длительность переходного процесса в опоре экстремально зависит от «числа сдавливания» смазочной пленки. При малых а опора неустойчива (% < 0), левой от максимума ветви функции % (а) устойчиво работающей опоры (п0 > 0) соответствует колебательный переходный процесс (4 < 100%), пра-

- 680 -

вой - апериодический (£ = 100 %). С увеличением нагрузки F на опору область устойчивости по параметру с расширяется. При ето м наблюдается заметный рост Это означает, что нагроу жение вала является фактором стабилизации и повышения быстродействия АГСО-ВП. Вместе с тем, как показывают графики рис. 4, для критерия £ затухания колебаний за период обеспечиваются и показатели этого критерия достаточно высокие (£ > 80%), что свидетельствует о приемлемом качестве динамики сво бодных колебаний опор ы.

Из рис. 5, на котором показаны графики зависимости n0 (F) при различных значениях Km, видно, что по аналогии с с этот параметр также доставляет максимум функции быстродействия. Действительно, с увеличением Ко в целом наблюдается рост кривых т)0 (F), затем их снижение. Сравнение данных графитов с графиками рис. 3 позволяет сделать ивтересный вывод о том, что максимум быстродействия наблюдается в области Km, соответствующих нулевой податливости опоры (K = 0). Видно, что быстродействие такой опоры примерно втрое больше, чем у обычной гидростатичесеой опоры (Km = 0). Соорее всего, этот факр оКъясняется специфическими демпфирующими свойствами смазочного зазора, расположенного поо мембраной!. Вместе с тем с увеличением Km (при Km > 9 для приведенных на рис. 5 графиков) в области отрицательной податливости (K < 0) быстродействие опоры заметно снижается и начиная с определенного значения Km опора теряет устойчивостк во всей области воспринимаемых нагрузок.

Для оценки запаса устойчивости линейных динамических систем часто используют показатель колебательности M = MaxA(Q) (резонансный пик кривых), где A(Q) - АЧХ какой-либо частотной передаточной фкннции изучаемой динамической системы [8]. Чем ме ныне запас устойчивости, тем больше склонность системы с колебаниям и тема выше резонансный пик АЧХ. Допустимое значение показателя колебательности для хорошо демпфированных систем не должно превосходить M = 1 ,5, одоуко допустимо и Мс 2,5 [8].

Рис. 4. Зависимости показаселя зотухания колебаний за период £ от внешней нагрузки F и податоивссти мембраны Km при L = 1,5; Lj = 0,3; R =1,2;к = 0 ,38; снк 4

Рис. 5. Зависимости нормированной степени устойчивости % от внешней нагрузки / и податливости мембраны Кт при / = 1,5; /1 = 0,3; К1 =1,2;% = 0,3Т; а = 4

Л(П )

0 I I I I I I I I I I I I Т Г

0 0,2 0,4 0,6 0,8

Рис. 6. Амплитудно-частотные характеристики А(П) опоры для различных значений внешней нагрузки F при / = 1,5; / = 0,3; Кг = 1,2;х = 0,38; К =8,98, а = 4,5

Для АЧХ, соответствующей частотной передаточной функции (11) динамической податливости адаптивных опор, подобный подход к определению запаса устойчивости неприменим по скольку, например, для опор) нулевой станической податливости расчет почазателя колебч-теланости заведомо давал бы бесконечно большую величину. Для корректного применения

критерия M необходимо использовать другу ю передаточную функцию. Для рас сматриваемой конструкции, которая работает на режимах нулевой или отрицательной податливости, такой функцией может быть, например, реакция опоры на внешнее силовое воздействие F в виде перемещения ет кольца 3 относительно корпуса 1. Соответствующая передаточная функция имеет вид

, . . Asm B0 + C2 s Ф (s) = _ =-0-2-

m\"J . „ , , 2 , 3 '

AF a0 + als + a2 s + a3 s

На рис. 6 показаны АЧХ A(Q) = | Фт((й) / Фт(0) | час тотной передаточной функции Фт для режима статическому отрицателаной податливости. Из н ир следует, что АЧХ имеют экстремальный характер, что свидетельствует о склонности такой опоры к колебаниям.

Из графиков видно, что при малых и умеренных нагрузках (F < 0,7) пики кривых не превосходят M = 2,5, что свидетельствует об удовлетворительном запасе устойчивости опоры. Для больших нагрузок (F > 0,72) характерно M < 1,5, т. е. при нагружении опора становится хорошо демпфированной системой, что подтверждает ранее сделанный аналогичный вывод относительно качества свободных колебаний опоры.

Заключение

На основании проведенного исследования можно сделать заключение о том, что радиальная опора с ограничением выходного потока смазки может работать устойчиво на режимах отрицательной податливости. При этом обеспечиваются приемлемые показатели качества динамики свободных и вынужденных колебаний. Область отрицательной податливости устойчивой опоры ограничена определенным значением параметра Km. АГСО-ВП отрицательной податливости при одинарном дросселировании входного потока смазки склонна к колебаниям и обладает достаточным запасом устойчивости лишь в этой области. С дальнейшим ростом параметра Km динамика опоры существенно ухудшается и она становится неустойчивой.

Определенные перспективы расширения области отрицательной податливости и повышения запаса устойчивости опоры могут быть связаны с установкой дополнительного демпфирующего сопротивления на входе в несущий слой, т. е. с введением в конструкцию системы двойного дросселирования, использование которой для этих целей в известных конструкциях адаптивных опор неизменно давало положительный эффект.

Список литературы

[1] Пат. 2370680 Российская Федерация, МПК F16C 32/06. Гидростатический подшипник / В.А. Коднянко, А.А. Ткачев; заявитель и патентообладатель ФГОУ ВПО Сибирский федеральный ун-т. - № 2008123713/11; Заявл. 10.06.2008; Опубл. 20.09.2009, Бюл. № 29; Приор. 17.10.2005, № 2005132058 (Российская Федерация). - 4 С. : ил.

[2] Коднянко, В.А., Ткачёв А.А. Статические характеристики двухрядной радиальной газостатической опоры с регуляторами выходного потока смазки // «СТИН». 2009. № 6. С. 6-8.

[3] Коднянко, В.А. Отрицательная податливость энергосберегающей адаптивной радиальной гидростатической опоры с ограничением выходного потока смазки // Журнал Сибирского федерального университета. Техника и технологии. Красноярск, 2010. Т. 3. № 4. С. 444-453.

[4] Легаев, В.П. Аэростатический шпиндельный узел с аэростатическими направляющими // Владимир. Информационный листок ЦНТИ № 324-75.

[5] Коднянко В.А., Шатохин С.Н. Исследование динамики газостатической опоры с двойным дросселированием газа в магистрали нагнетания // Машиноведение, 1978, № 6, - С. 90-95.

[6] Константинеску, В.Н. Газовая смазка: Пер. с румынск. М.: Машиностроение, 1968. 709 с.

[7] Пинегин, С.В., ТабачниковЮ.Б., Сипенков И.Е. Статические и динамические характеристики газостатических опор. М.: Наука, 1982. С. 265.

[8] Юревич, Е.И. Теория автоматического управления. Л.: Машиностроение, 1975. С. 414.

[9] Двайт, Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы: Пер. с англ. М.: Наука, 1973. 228 С.

Stability of Energy-Saving Adaptive Journal Hydrostatic Bearing with a Restriction of the Output Lubricant Stream

Vladimir A. Kodnyanko

Siberian Federal University 79 Svobodny, Krasnoyarsk, 660041 Russia

The paper discusses issues of quality of the dynamics for adaptive radial hydrostatic bearing with a restriction of the output lubricant stream. The article presents a mathematical model of support, an analytical dependence for the transfer function of the dynamic compliance for the linearized nonstationary model.

It is established that reliance can operate stably at modes of negative compliance. This provided an acceptable quality indicators of dynamics for free and forced oscillations. Sustained bearing has a limited region of negative compliance. Design of bearing for ordinary throttling input lubricant is prone to fluctuations, but in this area has a sufficient margin of stability.

Keywords: energy-saving, hydrostatic bearing, negative compliance, stability.