CC BY
40
МЕТОДЫ И СРЕДСТВА СОЗДАНИЯ ИНФОРМАЦИОННОЙ БАЗЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТРАТЕГИЧЕСКОГО ПЛАНИРОВАНИЯ ПРОМЫШЛЕННОГО ПРЕДПРИЯТИЯ
Ф.г. МИЛЫХ,
кандидат экономических наук Орловский государственный технический университет
При разработке методов и средств подготовки управленческих решений в ходе формирования стратегии промышленных предприятий необходимо, во-первых, обращаться к достаточно простым и логически обоснованным математическим методам решения экономических задач, во-вторых, располагать соответствующими конкретными методиками, в-третьих, обеспечить информационно-аналитическую поддержку этих методов и методик компьютерными технологиями с дружественным интерфейсом.
Одним из таких методов является анализ иерархических структур, предложенный американским математиком Т Саати в 1971—1978 гг. и апробированный при решении ряда самых разнообразных задач. Этот метод, в русскоязычной литературе называемый методом анализа иерархий (МАИ), основан на теории иерархических систем и обратносимметрических матриц и позволяет «преобразовывать» качественные субъективные оценки эксперта в количественные отношения между приоритетами критериев, акторов (действующих сил), их целей, альтернатив оценок, сценариев развития событий, которые носят объективный характер [1]. В отличие от многих других экспертных методов МАИ «является моделью естественного хода человеческого мышления, создающего концепцию и структуру сложной проблемы» [6]. Кроме того, метод анализа иерархий учитывает психологические особенности поведения человека в процессе принятия решения, что во многом предопределяет успех использования МАИ для решения сложных многофакторных и многокритериальных задач, в которых имеется неопределенность относительно количественной оценки приоритетов элементов иерархической модели.
Несмотря на важность массового «внедрения» этого и подобных прогрессивных методов в среду
экономистов-практиков, определенная сложность используемого математического аппарата (в частности, теории матриц) ограничивает их применение в основном исследовательскими проектами, в которых имеется возможность привлечь специалистов в области математики и информационных технологий. Широкому применению современных методов оптимизации решений могут способствовать создание и распространение поддерживающих их компьютерных технологий. К таким программам, в частности, относится использованная в работе экспертная система Expert Decide версии 2.2, основанная на алгоритмах МАИ и специально предназначенная для проведения опроса групп экспертов в интерактивном режиме. Для обоснования сделанного нами выбора обратимся к анализу понятий в области теории принятия решений, основываясь при этом на изложении данного вопроса в работе [3].
Под принятием решений принято понимать особый процесс человеческой деятельности, направленный на выбор наилучшего варианта действий. В общем случае в процессе принятия решения люди могут играть разные роли: лицо, принимающее решение (ЛПР); владелец проблемы; участник активной группы; член группы, принимающий согласованные решения; эксперт; консультант по принятию решений; помощник ЛПР.
Поведение человека в задачах принятия решения имеет специфику, определяемую характеристиками человеческой системы переработки информации. Для понимания особенностей и механизма выполнения перечисленных ролей обратимся к понятиям и концепциям изучающей эти характеристики когнитивной психологии, где принято различать три основные этапа переработки информации в памяти человека: получение
информации из внешнего мира (кодирование), сохранение информации в памяти (хранение) и получение информации из памяти (извлечение) [3, с. 117].
В соответствии с моделью памяти, предложенной Р. Аткинсоном и Р. Шифриным, существуют три вида памяти: сенсорная, кратковременная и долговременная. Виды памяти различаются временем удержания и объемом запоминаемого материала, способом кодирования и уровнем организации хранимой информации. Информация из внешнего мира поступает в сенсорные регистры, где хранится около трети секунды. Далее она поступает в кратковременную память, где подвергается кодированию и может храниться до 30 с, а при повторениях и дольше. Без повторений информация или вытесняется другой, или «угасает». Далее информация поступает в долговременную память, в которой она может храниться «сколь угодно долго» [4]. Трехкомпонентную модель памяти можно сопоставить с устройством компьютера и выделить ее подсистемы: ввод информации, оперативная память, запоминающие устройства.
Процесс принятия решения, по мнению большинства психологов, определяется особенностями кратковременной памяти человека. В соответствии с приведенной моделью в кратковременную память поступает информация как из окружающего мира, так и из долговременной памяти. А поскольку человек контролирует операции над информацией, хранимой в кратковременной памяти, то отсюда следует ее превалирующая роль, более того, «содержание кратковременной памяти иногда отождествляется с содержанием сознания» [4, с. 118].
Важнейшей характеристикой кратковременной памяти является ее объем, определяемый числом одновременно сохраняемых в ней элементов. В этой связи указывается «магическое число 7±2», ограничивающее возможности человека как измерительного устройства. Дж. А. Миллер придает этому числу смысл предела пропускной способности человека, выраженный в битах. Это означает, что под единицей запоминаемой информации следует понимать некий ее отрезок — чанк (chunk), в качестве которого может быть буква, фраза, смысловой образ. Время обучения зависит не только от размера, но и от числа чанков. Г. Саймон отмечает [7], что объем кратковременной памяти составляет от пяти до семи чанков (нижний предел и среднее значение числа Миллера).
При анализе механизма принятия решения необходимо учитывать особенности процесса
обмена информацией между кратковременной и долговременной памятью. Долговременная память принимает участие в принятии человеком решений, «поставляя в кратковременную память необходимые факты, знания и умения» [3, с. 129]. Если говорить об общих принципах переработки информации в долговременной памяти, то на этапе кодирования это смысловое кодирование, на этапе хранения реализуется модель семантической близости и иерархическая модель [3, с. 129]. Принципы извлечения информации изучены в меньшей степени. Соответствующие модели в большей мере определяются индивидуальными особенностями человека. Роль долговременной памяти особенно велика в процессе принятия решений экспертами — людьми, хранящими в долговременной памяти очень большое количество информации (чанков) в специально организованном виде. По оценке Г. Саймона, число таких чанков для одной области деятельности может составить от десятков тысяч до одного миллиона, причем эта информация накапливается в долговременной памяти эксперта не менее чем за десятилетний период [3].
Поведение человека в задачах выбора описывается различными психологическими теориями. В теории поиска доминантной структуры Г. Мон-тогомери и О. Свенсона [5] при выборе лучшей из нескольких альтернатив ЛПР стремится создать доминантную структуру. Путем попарного сравнения альтернатив выбирается та, которая лучше каждой из прочих хотя бы по одному критерию, и недостатки которой менее существенны по сравнению с недостатками других. В соответствии с этой теорией в процессе сравнения выбирается потенциально доминирующая альтернатива, с которой уже затем сравниваются другие. Теория конструирования стратегий Д. Пейна исходит из того, что в процессе выбора используется не одна, а несколько «стратегий и эвристик» [3, с. 131]. Сравнивая альтернативы, люди могут сначала пренебречь различиями в оценках по некоторым критериям, затем использовать стратегию аддитивных разностей, далее — стратегию извлечения и т. д. Для поведения ЛПР характерна совокупность стратегий. В то же время люди, особенно неподготовленные, могут совершить ошибочный выбор стратегии под влиянием тех или иных (часто малозначимых) характеристик альтернатив [3].
С точки зрения теории принятия решений, эксперт — это человек, в совершенстве владеющий умением решать повторяющиеся задачи. Знания эксперта имеют в основном подсознательный
характер и не могут быть вербализованы. Процесс их накопления и достижения экспертом высокого профессионального мастерства занимает не менее 10 лет. За это время в долговременной памяти эксперта возникают структуры хранения специально организованной в иерархическом виде информации [3, с. 172]. Важным в теории принятия решений является то, что модели, описывающие системы на каком-либо уровне общности, мало зависят от моделей, описывающих ту же систему на другом уровне. Отсюда следует принцип несводимости модели высшего иерархического уровня к комплексу моделей, полученных для низшего уровня общности. Иначе говоря, модели экспертного знания будут различаться для индивидуального, группового, регионального и федерального уровней. Общим для всех уровней будет, тем не менее, подход к решению экспертом задачи классификации — отнесения объектов к определенным классам решений.
С формальной точки зрения задачу классификации можно представить так. Имеются объекты, описываемые многими признаками. Необходимо отнести эти объекты к определенным классам решений. Наиболее важная характеристика таких задач — их повторяемость: люди решают эти задачи многократно, вырабатывая навыки наиболее успешного, эффективного решения. Эксперт — человек, способный не только «увидеть через заданную совокупность значений отдельных признаков целостный образ объекта» [3, с. 158], но и выполнить его отнесение к одному или нескольким классам решений или, другими словами, дать прогноз поведения объекта.
Как и ранее, здесь может оказаться полезным использование компьютерной метафоры, которая тем более продуктивна ввиду актуальности задачи создания компьютерных экспертных систем, а в более широком плане — интеллектуальных систем, теория разработки и внедрения которых интенсивно применяется в самых различных отраслях науки и практики.
Приведем основные идеи метода экспертной классификации.
1. Структуризация проблемы. Чтобы передать знания компьютеру, нужен общий язык, характеризующий конкретную предметную область. Удобен язык признаков (или характеристик), описывающий объект исследования. Результатом этого этапа является совокупность признаков, необходимых для полной классификации объектов определенного типа, все возможные значения этих признаков, а также перечень классов решений.
2. Предъявление эксперту описаний объекта в привычном виде. Представленные ранее характерные особенности экспертных знаний позволяют считать адекватным способом получения информации от эксперта тот, при котором эксперт решает привычную для себя задачу. Описание проблемы вводится в компьютер. Комбинируя признаки, компьютер «предлагает» эксперту выполнить их сравнения; кроме того, эксперту представляется перечень классов решений, из которых он выбирает свой ответ.
3. Проверка информации эксперта на непротиворечивость. Не ошибающихся экспертов не бывает [3]. Информацию эксперта следует подвергать проверке, основанной на той или иной концепции. У О. И. Ларичева это — гипотеза о характерности, предполагающая независимость оценок эксперта по отдельным признакам. Альтернативной концепцией может быть гипотеза транзитивности или согласованности оценок [6] и др. Алгоритм проверки должен быть реализован программно, причем желательной является дружественность интерфейса, «помогающего» эксперту самостоятельно устранять возможные ошибки.
4. Эффективная стратегия опроса эксперта. Здесь возможны два варианта. В первом стратегия опроса является относительно жестко заданной, соответствующей, например, предлагаемой самим экспертом иерархии уровней решения задачи. Представляется более эффективным другой вариант, когда эксперт выбирает удобный для него порядок ответов на серии вопросов для того или иного уровня. Компьютерная система должна быть достаточно гибкой и соответствовать его индивидуальным особенностям.
Метод экспертной классификации, основанный на этих принципах, «открывает путь к точной имитации оценок эксперта и является средством преодоления существенных трудностей, связанных с приобретением экспертных знаний» [3, с. 171].
Подавляющее большинство методов принятия решений предназначено для решения задач, относящихся к этапу сравнения заданных альтернатив и выбора наилучшей из них. На этом этапе важно выбрать научно обоснованный метод и соответствующую ему информационную технологию, отвечающие сформулированным требованиям. Как правило, задача выбора стратегии предприятия сводится именно к этому этапу, и, с точки зрения теории оптимизации, она может быть сформулирована как задача многокритериальной оптимизации в условиях неопределенности.
Существуют две группы задач принятия решений [3]. В задачах первой группы осуществляется анализ заданных альтернатив. В задачах второй группы находится решающее правило, позволяющее оценить как заданные, так и новые альтернативы. Разработаны многокритериальные методы решения задач обеих групп. Для решения задач стратегического планирования предприятий, в зависимости от их постановки, применимы многокритериальные методы обеих групп. Наиболее известны методы, основанные на следующих теориях: 1) многокритериальная теория полезности MAUT; 2) теория попарного сравнения многокритериальных альтернатив ELECTRE; 3) теория аналитической иерархии AHP.
Многокритериальная теория полезности MAUT (Multi-Attribute Utility Theory) представляет собой дальнейшее развитие теории полезности. Ее отличают следующие особенности [3, с. 92]:
1) строится функция полезности, имеющая аксиоматическое (т. е. чисто математическое) обоснование;
2) некоторые условия, определяющие форму этой функции, подвергаются затем проверке в диалоге с ЛПР;
3) решается обычно задача второй группы, а полученные результаты используются затем для оценки заданных альтернатив.
В качестве аксиом в теории MAUT используются те же аксиомы, что и в общей теории полезности, а также специфические для многокритериального случая. Из общих аксиом отметим следующие [7]:
1) аксиома, утверждающая, что может быть установлено отношение между полезностями любых альтернатив (либо одна из них превосходит другую, либо они равны);
2) аксиома транзитивности: из U (А) >= U (B), U (B) >=U (C) следует U (A) >=U (C) (здесь символ «>=» означает отношение превосходства полезности альтернатив);
3) функция полезности непрерывна, и можно использовать любые малые части полезности альтернатив.
Вторая группа аксиом носит название аксиом независимости. Они позволяют утверждать, что некоторые взаимоотношения между оценками альтернатив по критериям не зависят от значений по другим критериям. Различают несколько условий независимости [8]: 1) по разности; 2) по полезности; 3) по предпочтению. Первые две аксиомы независимости отражают условия независимости одного критерия от остальных, третья — условия независимости пары критериев от прочих.
Метод MAUT, основанный на многокритериальной теории полезности, весьма сложный и трудоемкий, требующий больших затрат времени эксперта (построение функций полезности связано с определением эквивалентов определенности для «лотерей» при заданных вероятностях значений критериев). Кроме того, здесь в неявном виде предполагается, что эксперт может делать точные количественные измерения как относительно альтернатив по каждому из критериев, так и относительно весов самих критериев. Это предположение имеет некоторое обоснование, однако, как справедливо отмечено в работе [6], «трудно предположить, что полезности и вероятности просто находятся в головах ЛПР в ожидании, что их извлекут оттуда».
Методы ранжирования многокритериальных альтернатив, предложенные в конце 1960-х гг. группой французских ученых во главе с профессором Б. Руа, свободны от многих трудностей теории полезности [3]. В отличие от MAUT, оценка каждой альтернативы является не абсолютной, а относительной, т. е. эксперт сравнивает одну альтернативу с другой. Сущность метода (точнее, семейства методов) заложена в самом названии ELECTRE — ELimination Et Choix Traduisant la REaliti (исключение и выбор, отражающие реальность). Этот метод «работает» только с уже заданными альтернативами. Эксперт производит сравнение пар альтернатив по множеству критериев, по результатам которого множество критериев разбивается на три подмножества, различающихся по отношению предпочтительности альтернатив (А предпочтительнее В, А равноценно В, В предпочтительнее А). Затем формулируется индекс согласия с гипотезой о превосходстве одной альтернативы над другой (или же, в разновидностях метода ELECTRE, индексы сильного и слабого превосходства), с учетом весов критериев. Кроме того, по самому «противоречивому» критерию рассчитывается индекс несогласия с гипотезой о превосходстве А над В. Получаемые в результате попарных сравнений матрицы индексов согласия и несогласия являются основой для выделения ядер недоминируемых альтернатив, которые находятся в отношении несравнимости либо эквивалентности. Компьютер или аналитик предлагает ЛПР (эксперту) серию возможных решений задачи выбора в виде различных ядер, в результате чего можно получить одну лучшую альтернативу. Достоинством методов семейства ELECTRE является поэтапность выявления предпочтений эксперта в процессе назначения уровней согласия и несогласия и изучения ядер. Трудности, как и в методе MAUT, связаны с назначением весов критериев.
Подход аналитической иерархии АНР (Analytical Hierarchy Process) и соответствующий ему метод анализа иерархий (МАИ в русском обозначении [6]), развитый в 1970-е гг. и популярный до сегодняшнего времени, имеет как сторонников, так и противников. Этот метод, как и предыдущий, относится к методам первой группы, т. е. предназначен для сравнения фиксированного числа заданных альтернатив. Сторонников АНР-подхода привлекает как идея декомпозиции сложной задачи многокритериальной оптимизации в условиях неопределенности в виде многоуровневой иерархии, так и математическая сторона метода, основанная на оценках отношений парного предпочтения элементов различных уровней по специально организованной качественной шкале с последующим их «переводом» в количественные и синтезе полученных (теперь уже количественных) соотношений (векторов и матриц приоритетов). Недостатки МАИ некоторые авторы видят в изменении предпочтений между двумя заранее заданными альтернативами при введении новой, недоминирующей альтернативы (эффект rank reversals). По мнению О. И. Ларичева, в МАИ недостаточно обоснован «переход к числам при проведении измерений, оторванность метода объединения оценок от предпочтений ЛПР» [3, с. 106].
Краткое описание основных этапов МАИ приведено в работе [3], однако в связи с критикой этого метода обратимся к первоисточнику [6], — книге Т. Саати, известного специалиста в области исследования операций. Примечательно, что долгое время идеи метода анализа иерархий были малодоступны советскому читателю: период интенсивной разработки различных приложений метода относится к 1974 — 1978 гг., книга [6] Т. Саати издается в 1980 г. и переиздается в 1988 г. в США, и только в 1993 г. издательство «Радио и связь» публикует ее перевод на русский язык, выполненный Р. Г. Вачнадзе (Институт вычислительной математики Академии наук Грузинской ССР). Он же предложил русскоязычную аббревиатуру АНР — МАИ.
Как отмечает Т Саати в предисловии к этой книге, на создание теории МАИ повлияло следующее:
1) при наблюдении за людьми, участвовавши -ми в процессе построения и установления приоритетов иерархии, обнаружено, что они, естественно, занимаются последовательным группированием отдельных предметов в пределах уровней и разделением уровней по сложности;
2) лица, знакомые с определенной проблемой (эксперты), могут построить ее иерархию разными
способами, однако, если суждения людей схожи, то их результаты будут близки. Кроме того, этот процесс малочувствителен, т. е. различия при детализации в пределах иерархии на практике не приводят к существенным изменениям в результатах;
3) в процессе разработки теории найден математически обоснованный способ оперирования оценками.
Примечательно, что метод анализа иерархии противостоит линейной логике (что отвечает сине-ргетическому подходу), вследствие чего, по мнению автора, МАИ «представляется более обоснованным путем решения многокритериальных задач в сложной обстановке с иерархическими структурами, включающими как осязаемые, так и неосязаемые факторы» [6, с. 6]. Что касается замечания О. И. Ларичева о «недостаточной обоснованности перехода к числам при проведении измерений», то вся история математики свидетельствует об обратном. Вслед за Т Саати приведем высказывание по этому поводу известного математика Г. Данцига из книги «Число — язык науки»: «человеческий мозг обладает свойством восприятия чисел, которое является первичным и предваряет фактический подсчет... Это — интуитивная способность, которая не является умением считать» [6, с. 9 — 10]. Т. Саати заключает, что «то, что нам известно как «качественное», является нечетким способом (выделено нами) осознания различий» [6, с. 10].
Теория МАИ отражает то, что, по словам Т. Саати, «представляется естественным ходом человеческого мышления» [6, с. 8]. К этому высказыванию, с которым мы полностью согласны, добавим еще два положения, высказанные ранее в явной и неявной формах: 1) в основе метода лежит нелинейная логика и 2) количественные результаты метода следует рассматривать в рамках нечеткого подхода, нечеткой логики. Здесь мы расширяем первоначальную концепцию Саати, придавая весам элементов на разных уровнях иерархии не точечное, а интервальное значение, поскольку даже при провозглашении принципа консенсуса в качестве определяющего при согласовании оценок экспертов в группе реально наблюдаются колебания качественных оценок и соответствующих им количественных отношений между сравниваемыми элементами.
Представляется также, что тезис О. И. Ларичева об «оторванности метода объединения оценок от предпочтений эксперта» в МАИ находится скорее в плоскости «смещения» уровня принятия решений экспертом на тот или иной этап решения задачи выбора в целом. В любом случае, говоря словами
Т. Саати, «никакая математика не может заменить человеческий ум и опыт в интерпретации реального мира» [6, с. 6]. Если математика, «встроенная» в виде алгоритма в компьютерную программу, позволяет производить синтез качественных оценок «за эксперта», освобождая его от рутинных (может быть, и не вполне понятных ему) вычислительных операций с векторами и матрицами, то решение остается за ним. Эксперт, работая в интерактивном режиме с программой поддержки принятия решений на ЭВМ, отслеживает адекватность получаемых промежуточных и конечных расчетов своим представлениям и, при необходимости, корректирует как свои оценки по частным вопросам, так и иерархию в целом, добиваясь при этом необходимой степени адекватности [8].
Накопленный опыт в использовании МАИ для решения самых разнообразных задач выбора оптимального решения, а также смежных вопросов позволяет говорить о перспективности его применения и в задачах управления стратегического планирования промышленного предприятия на различных уровнях.
Приведем основные положения МАИ, приняв за основу изложения книгу Т. Саати [6]; математическая сторона метода применительно к разработанной в ОрелГТУ совместно с ОРАГС компьютерной системе Expert Decide представлена также в работе [2].
Метод анализа иерархий является приемом решения задач многокритериальной оптимизации в условиях неопределенности, когда критерии оптимизации не могут быть измерены в количественной форме. В методе экспертам предлагается решать отдельные задачи парного сравнения критериев и альтернатив. Прямое назначение метода — совместная работа группы экспертов, объединенных единой целью, по согласованию мнений, зачастую противоречивых, по определенной проблеме. МАИ позволяет группе экспертов взаимодействовать по обсуждаемой проблеме, модифицировать свои оценки и в результате объединять групповые оценки рациональным образом. Результатами являются, во-первых, установление иерархии целей, факторов, критериев, акторов (действующих сил), альтернатив и сценариев по обсуждаемой проблеме, во-вторых, выявление приоритетов элементов каждого уровня иерархии.
Эффективность использования информационно-аналитических технологий на основе МАИ при формировании стратегии предприятий обеспечивается следующими положениями [2]:
• любая сложная проблема может быть подвергнута декомпозиции;
• результат декомпозиции можно представить в виде иерархической системы наслаиваемых уровней, каждый из которых состоит из многих элементов (факторов);
• на любом уровне иерархии качественные сравнения экспертами попарной значимости элементов (субъективные суждения) могут быть преобразованы в количественные соотношения между ними, при этом они будут отражать объективную реальность;
• возможен синтез отношений между различными элементами и уровнями иерархии.
При решении сложной задачи, связанной с принятием управленческих решений и прогнозированием возможных результатов, сталкиваясь с множеством контролируемых и неконтролируемых компонентов, разумно объединить их в группы в соответствии с распределением некоторых свойств между элементами, то есть построить иерархию. Центральным вопросом на языке иерархии является следующий: насколько сильно влияют отдельные факторы самого низкого уровня на вершину иерархии. Неравномерность влияния по всем факторам приводит к необходимости определения интенсивности влияния (приоритетов факторов). Определение приоритетов факторов низшего уровня относительно цели (фокуса) сводится к последовательности парных сравнений. Эти сравнения производятся в созданных по иерархии матрицах (таблицах) парных сравнений.
По заполненным таблицам рассчитываются векторы приоритетов данного уровня, т. е. приоритеты факторов. При этом вычисляются также коэффициенты согласованности оценок эксперта. Если согласованность неудовлетворительна, можно выявить элементы, обусловливающие эту несогласованность, т. е. нелогичность соотношения присвоенных оценок.
Из математических задач, сопутствующих реализации метода анализа иерархий, следует выделить следующие:
1) вычисление главного собственного вектора матрицы парного сравнения и его нормализация с целью определения векторов приоритетов;
2) вычисление максимального собственного числа матрицы парного сравнения с целью определения согласованности данных;
3) иерархический синтез для взвешивания собственных векторов весами критериев с целью вычисления суммарного вектора приоритетов;
4) выявление элементов матрицы парных сравнений, обусловливающих ее несогласованность, и корректировка матрицы оценок;
5) вычисление усредненного вектора приоритетов с целью определения согласованного мнения экспертов.
В основе метода анализа иерархий лежат следующие аксиомы:
1) обратная симметричность как основная характеристика парных сравнений. Для матрицы парных сравнений А = (а.) интенсивность предпочтения а. над ал обратна интенсивности предпочтения а над а ;
2) гомогенность сравниваемых элементов данного уровня иерархии;
3) зависимость нижнего уровня от непосредственно примыкающего к нему высшего уровня.
Поскольку число сравниваемых элементов, как правило, не превышает семи (психологический предел 7±2 элементов-объектов при одновременном сравнении), результатом оценок по каждому отдельному уровню иерархии является квадратная неотрицательная обратносимметрическая матрица порядка не более семи, диагональные элементы-числа которой равны единице, а остальные элементы подчинены равенству:
а = 1/ а.. (1)
V ' л х '
Вычислительные аспекты метода связаны с операциями над матрицами парных сравнений, или, иначе, оценок. В результате определенных операций над каждой из матриц оценок могут быть вычислены приоритеты сравниваемых элементов — объектов данного уровня иерархии и степень согласованности оценок (под которой понимается мера отклонения матрицы оценок от матрицы отношений, элементами-числами которой являются отношения весов сравниваемых элементов-объектов). Суммарные (общие) приоритеты нижних элементов-объектов могут быть найдены в результате выполнения арифметических действий (умножения) над соответствующими матрицами оценок для каждого элемента-объекта вышестоящих уровней. По аналогичным правилам, только над матрицами-столбцами, составленными из числовых мер согласованности для отдельных матриц оценок (также для каждого из вышестоящих элементов-объектов), вычисляется мера согласованности иерархии в целом.
Приближенное вычисление векторов приоритетов производится перемножением всех элементов каждой строки и извлечением корня соответствующей степени с последующей нормализацией
полученных величин. Более точное вычисление основано на теореме, согласно которой нормализованные строчные суммы степеней примитивной матрицы в пределе дают искомый собственный вектор. Краткий вычислительный способ получения данного вектора сводится к возведению матрицы в степени, каждая из которых представляет собой квадрат предыдущей. Строчные суммы вычисляются и нормализуются. Вычисления прекращаются, когда разность между этими суммами для двух последовательных итераций становится меньше заданной величины.
Вычисление собственных чисел матрицы парного сравнения сводится к решению матричного уравнения
AV = XV, (2)
где V— собственный вектор, отвечающей соответствующему собственному значению X.
Из полученного в результате вектора-столбца собственных чисел выбирается максимальный элемент X , и далее вычисляется индекс согласо-
max'
ванности I , и отношение согласованности OC
coord
по формулам:
Icoord (Xmax П) / (П 1); (3)
OC = I . / I , (4)
coord' err1 v 7
где n — порядок матрицы A; Irn — случайный индекс (индекс согласованности, сгенерированной случайным образом по шкале от 1 до 9 обратно-симметрической матрицы с соответствующими обратными величинами элементов; значения I
err
приведены в книге Т. Саати [6]. Согласованность матрицы тем выше, чем меньше X отличается от
max
ее размерности n.
Вычисление суммарных собственных векторов приоритетов сводится к перемножению матриц и векторов-столбцов соответствующих уровней иерархий.
Задача выявления элементов матрицы парных сравнений, обусловливающих ее несогласованность, возникает в случае неудовлетворительной согласованности матрицы оценок вследствие ошибки эксперта, заполняющего анкету парных сравнений, либо недостаточной логичности его оценок. В обоих случаях происходит нарушение принципа транзитивности. Результат может быть улучшен при дальнейшей совместной работе с экспертом, однако встречаются случаи, когда это невозможно. Математическая сторона этой задачи проста. Формируется матрица отношений, элементами-числами которой являются отношения приоритетов (весов сравниваемых элементов-объектов). Затем вычисляется матрица разностей, элементы которой —
разности между элементами исходной матрицы и найденными отношениями, находят максимальное отклонение и заменяют в матрице оценок либо только соответствующий «дефектный» элемент, либо всю строку, его содержащую.
Часто приходится решать задачу определения среднего мнения по однородной группе экспертов. Исходя из того, что в МАИ используется шкала отношений, усреднение необходимо производить по правилу вычисления средней геометрической величины. Модификации усреднения могут быть получены как за счет выбора усредняемой величины (элементов матриц оценок, векторов приоритетов для отдельных уровней иерархии или для иерархии в целом), так и путем введения весов компетентности (логичности) оценок экспертов и вычисления взвешенной средней геометрической величины. Веса логичности оценок ак рассчитываются по формуле:
а
= (1 - ОСИ.)
(5)
где ОСИк — отношение согласованности иерархии в целом по данным матриц оценок к-го эксперта. При этом получаемые в результате усреднения величины нормируются по приведенным алгоритмам.
После определения средней геометрической величины вычисляются относительные показатели отклонения оценок данного эксперта от усредненного значения. В качестве основы для расчета соответствующего показателя отклонения вектора приоритетов используется норма вектора отклонения | ААк | вектора приоритетов к-го эксперта Ак от усредненного нормализованного вектора приоритетов А . Нормализация относительного
г г теапп г
показателя 8Ак производится по формуле:
8Ак = (п - 1) 1/2|ААк1, (6)
где п — порядок матрицы оценок.
Все указанные функции реализованы в системе поддержки принятия решений Expert Decide 2.2. Основные функции, а также приемы работы в данной системе описаны в Руководстве пользователя [2].
ЛИТЕРАТУРА
1. Андрейчиков А. В., Андрейчикова О. Н. Анализ, синтез, планирование решений в экономике. — М.: Финансы и статистика, 2001.
2. Кузнецов А. И., Шуметов В. Г. Алгоритмы и процедуры системы поддержки принятия управленческих решений Expert Decide 2.0 // Компьютерные технологии в учебном процессе и научных исследованиях. Сб. докл. н. -метод. семинара ОрелГАУ. — Орел: ОрелГАУ, 2000.
3. Ларичев О. И. Теория и методы принятия решений, а также Хроника событий в Волшебных Странах: Учебник. — М.: Логос, 2000.
4. Ларичев О. И. Объективные модели и субъективные решения. — М.: Наука, 1987.
5. Montgomery H, Svenson O. A think-aloud study of dominance structuring in decision processes // H. Montgomery, O. Svenson (Eds. ). Process and Structure on Human Decision Making. Chichester, J. Wiley and Sons, 1989.
6. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. — М. : Радио и связь, 1993.
7. Simon H. A. How big is a chunk. /Science. 1974. № 183.
8. Теория и практика принятия решений в экономике и управлении экспертными методами / В.А. Иванов, В.Г. Шуметов, Ф.Г. Милых и др. — М.: МГУДТ, 2003.
