CC BY
106
Научно-технические ведомости СПбГПУ 2-1' 2012. Экономические науки
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Соколов, Р.В. Экономико-математическое обоснование выбора варианта инвестиционного бизнес-процесса получения образования [Текст] / Р.В. Соколов, С.М. Галилеев // Вестник Инжэкона. - СПб.: СПбГИЭУ, 2011. - Вып. 1 (44).
2. Мылова, И.Б. Инновации в образовании: дистанционное обучение [Текст] / И.Б. Мылова [и др.]. -СПб.: СПбАППО, 2009. - 119 с.
3. Rogers, Patricia L. Encyclopedia of Distance Learning [Text] / Patricia L. Rogers, A. Berg Gary, V. Judith Boettecher [et al.]; 2 Ed. - Information Science Reference, 2009. - 2612 p.
4. Лопатин, М.В. Управленческий потенциал современных предприятий [Текст] / М.В. Лопатин, В.К. Потемкин // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Серия «Экономические науки». - 2008. - № 3/2.
УДК 338.2: 659.19:06.39
В.В. Чуркин, В.Н. Юрьев
ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО РАНЖИРОВАНИЯ АЛЬТЕРНАТИВ НА ОСНОВЕ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК
При принятии решений в различных ситуациях нередко приходится иметь дело с множеством критериев, которые носят качественный характер. Например, традиционные критерии инвестиционного анализа, такие, как чистая текущая стоимость, внутренняя норма доходности и др. не всегда и не всех устраивают. Важно формировать критерии и принимать решения с опорой на опыт и знания экспертов.
Постановка задачи. Речь идет о выборе решений в неструктурированных (имеют лишь качественное описание) и слабоструктурированных (сочетающих количественные и качественные зависимости) задачах. Будем считать заданным множество альтернатив и рассматривать, главным образом, задачи коллективного принятия решения, т. е. в распоряжении ЛПР индивидуальные оценки экспертов, в общем случае по множеству как количественных, так и качественных критериев.
Недостатки наиболее известных экспертных методов принятия решений. Наиболее широко известен Метод Анализа Иерархий (МАИ). Поскольку метод подробно описан в литературе [1], сразу перейдем к анализу его недостатков.
1. Исходные данные (матрицы парных сравнений) представлены в шкале отношений,
т. е. эксперт должен указать во сколько раз один элемент (критерий, альтернатива) важнее другого. Если для количественных данных это тривиально, то для качественной информации это не так просто. В методе МАИ, как реакция на такое замечание, эксперты оценивают альтернативы по порядковой шкале, указывая оценки (баллы), типа «существенное превосходство», «значительное превосходство» и др., а согласно методу эти оценки переводятся в числа 5, 7, и др. Дальнейшая обработка соответствует количественной шкале. За рамками метода остаются вопросы индивидуального понимания экспертами разницы между «существенным превосходством» и «значительным превосходством», интерпретации результата действий над оценками.
2. Как известно, чтобы сохранились отношения между оценками объектов в порядковой шкале, результаты их обработки должны быть инвариантны к строго монотонным преобразованиям. Другими словами, например если умножить оценки 1, 2, 3 и т. д. на положительную константу, то результат (вектор приоритетов альтернатив/критериев) не должен измениться. В методе МАИ это требование не выполняется.
Экономико-математические методы и модели
3. Результаты парных сравнений могут быть противоречивыми (не соблюдается транзитивность; такие матрицы парных сравнений называют несогласованными). Автором метода Т. Са-ати предложены средства для выявления таких противоречий (отношение согласованности). Однако даже для несогласованных матриц третьего порядка нетрудно найти примеры, когда отношение согласованности очень мало (составляет тысячные доли).
В соответствии с методом МАИ матрица признается несогласованной, когда отношение согласованности велико (> 0,1). Для устранения несогласованности эксперту предлагается пересмотреть свои оценки в матрице парных сравнений. Однако процесс пересмотра результатов сравнений для минимизации противоречий является трудоемким и напоминает «жонглирование вычислениями».
4. Процесс синтеза приоритетов приводит к линейной свертке значений критериев для каждой альтернативы, причем весами являются вычисленные по матрице парных сравнений «приоритеты» критериев. Оптимальной считается альтернатива с максимальным значением такой свертки.
5. Для агрегирования индивидуальных предпочтений экспертов предлагается средняя геометрическая оценка элементов матриц парных сравнений на том основании, что при наличии противоположных (взаимообратных) индивидуальных предпочтений агрегированная оценка получается нейтральной (равна единице). Но согласно теории измерений такая средняя оценка неприменима к оценкам в порядковой шкале.
Экспертный метод многокритериального принятия решений ЭЛЕКТРА (I, II, III). Эти методы предложены известным французским специалистом по теории принятия решений профессором Б. Руа [2]. К их недостаткам можно отнести определение числовых весов критериев, их суммирование, определение числовых порогов, учет ацикличности отношений альтернатив.
Упомянем еще метод (методику) ПАТТЕРН [3, 6]. К недостаткам методики ПАТТЕРН отнесем необходимость задания экспертами числовых оценок (весов критериев, коэффициентов относительной важности) и способ расчета ко-
эффициентов в многоуровневой структуре. Достоинство метода - понятная интерпретация при распределении ресурсов и ассигнований на установленные мероприятия или цели.
В рамках широко известного подхода, основанного на многокритериальной теории полезности MAUT (Multi-Attribute Utility Theory) [4], отметим, что в каждой конкретной задаче выбора альтернатив при построения многокритериальной функции полезности приходится решать ряд сложных проблем: проверить условия независимости; построить однокритериальные функции полезности; определить веса критериев. Последние две проблемы также требуют от эксперта числовых оценок.
Подводя итог рассмотрению известных экспертных методов принятия решений, отметим следующие общие недостатки:
- необходимость задания экспертами (ЛПР) числовых оценок, но как показывают многочисленные опыты, человек легче и правильнее отвечает на вопросы качественного, сравнительного характера, чем количественного;
- проблему нетранзитивности (ацикличности), связанную с парными сравнениями;
- произвольность ряда преобразований (сведение векторной оптимизации к скалярной посредством взвешенной свертки критериев).
Метод ЭСИМ. Рассматривается экспертно-статистический иерархический метод, впервые представленный в работе [5], развитие которого последовало в [6-9]. В этих работах предложены методы оценки компетентности экспертов и учет различий в компетентности при проведении экспертиз, а также разработан метод экс-пресс-ЭСИМ, позволяющий выполнять ранжирование на основе оценок одного эксперта.
Принципиальное отличие рассматриваемого метода (ЭСИМ, Expert Statistical hierarchical Method - ESIM) [5] состоит в том, что эксперты проставляют только порядковые оценки и, поскольку они указывают свои предпочтения в виде ранжировок (результаты агрегирования также представлены ранжировками), то не возникает проблема нетранзитивности. В общем случае, в данном методе не фиксируется множество критериев, и каждый эксперт может формировать критерии самостоятельно.
Таблица 1
Этапы метода ЭСИМ
Этап Название Комментарий
1 Построение дерева декомпозиции критериев Экспертом выполняется декомпозиция обобщенных (подмножеств) критериев. Листья дерева декомпозиции - простые критерии
2 Локальное ранжирование критериев Выполняется экспертом, причем каждый раз среди сыновей одного узла
3 Глобальное ранжирование критериев Использовано положение: если А корень поддерева, В и С его сыновья, причем В важнее С, то все потомки В важнее потомков С
4 Ранжирование альтернатив по каждому простому критерию Выполняется экспертом
5 Глобальное лексикографическое ранжирование альтернатив по простым критериям с учетом их важности Выполняется программно на основе результатов этапов 3 и 4
6 Статистическая обработка индивидуальных результатов экспертов Выполняется агрегация индивидуальных предпочтений
Метод ЭСИМ содержит несколько этапов, они представлены в табл. 1. При этом этапы 3, 5 и 6 выполняются исключительно программно.
Поскольку ниже приводится пример на основе уже подготовленных данных для метода МАИ, то нам удобно, чтобы не привлекать множество экспертов, воспользоваться методом экспресс-ЭСИМ, который рассмотрим более детально. Ранжировку можно представить как некоторый случайный вектор. Если известна функция распределения для таких векторов, то на компьютере с помощью датчика случайных чисел можно смоделировать (имитировать) групповую экспертизу с множеством экспертов. Чтобы определить функцию распределения, ранжировку следует рассматривать как случайную дискретную цепь Маркова.
Определим дискретную цепь Маркова е с множеством состояний (критериев, альтернатив) Е = {1, 2, ..., п} и множеством моментов времени Т = {0, 1, 2, ...}. Поведение системы, описываемой однородной дискретной цепью Маркова, полностью определяется двумя характеристиками: начальным распределением р(0) ] е Е; вероятностями перехода +1 = ] | ^ = ¿) = р, I , ] е Е.
г вида
С помощью начального распределения и вероятностей перехода можно, используя формулу полной вероятности, вычислить зависящие от времени абсолютные распределения процесса:
р(г +1) = Рт р(г) = (Р т)гр(0), г = 0,1,2,...
(1)
где р(г) - вектор-столбец, ¿-я компонента которого определяет вероятность ¿-го состояния цепи Маркова в момент г; Рт - транспонированная матрица вероятностей перехода.
Чтобы с помощью вектора начального распределения и матрицы вероятностей перехода смоделировать именно групповую экспертизу (множество ранжировок), надо наложить ограничение на цепь Маркова: она должна быть поглощающей, и каждое состояние до поглощения должно встретиться ровно один раз.
Теперь определим способы задания матрицы вероятностей перехода и вектора начального распределения. Рассмотрим обратно-симметрическую матрицу парных сравнений метода МАИ А = {а^} = —. В работе [7] приводятся
аргументы в пользу определения матрицы пере-
4
Экономико-математические методы и модели.
хода Р = {Р} на основе матрицы парных сравнений следующим образом:
0, если а у < 1 или (г = у) & (3к : ак > 1)
1, если (г = у)&(Vk ф ¡ал < 1) (2)
4
S
"1, впротивном случае.
k e{j|(a. >1)&(s*i)}
Для полного задания цепи Маркова нам осталось определить начальное распределение. В методе МАИ по матрице парных сравнений определяется вектор локальных приоритетов как решение задачи поиска собственного вектора, соответствующего максимальному собственному числу (для однозначности нормализованному). Для обратно-симметрической матрицы эта задача всегда разрешима. Компонента г этого вектора показывает, насколько г-й критерий важен для достижения цели в ряду других критериев или насколько г-я альтернатива удовлетворяет критерию сравнительно с другими альтернативами (насколько критерий выражен в г-й альтернативе среди остальных альтернатив). Другими словами, в какой степени каждый из них может претендовать на первое место в ранжировке, а это соответствует начальному распределению цепи Маркова.
Ниже, в примере поясняется вариант лексикографического агрегирования предпочтений метода ЭСИМ.
Программная реализация метода ЭСИМ.
Программа разработана с использованием следующих технологий и инструментов: язык Java (JDK 1.7), что обеспечивает независимость платформ; среда разработки NetBeans 7.0.1; графический интерфейс на базе библиотеки Swing. Для работы в программе предусмотрены две роли пользователей: ответственный за проблему и эксперт. Их взаимодействие с программой представлено на рисунке. Ответственный пользователь описывает проблему и задает альтернативные решения. Эксперты оценивают предложенные альтернативы по иерархической системе критериев, которые они сами задают и упорядочивают по важности на основе своих знаний в предметной области. После того как все эксперты проранжируют альтернативы по каждому критерию, ответственный за проблему сможет получить результаты индивидуального лексикографического ранжирования альтернатив по каждому эксперту (причем лексикографическое решение является парето-оптимальным) и агрегирования индивидуальных предпочтений экспертов по вариантам метода ЭСИМ [9]:
- ЭСИМте - агрегирование заключается в ранжировании альтернатив по величине их медианных оценок (по выборке из оценок экспертов);
- ЭСИМто - агрегирование заключается в ранжировании альтернатив согласно моды для первого места, затем моды первых двух мест для оставшихся альтернатив и т. д.;
Диаграмма метода ЭСИМ
aij
k
- ЭСИМ1ех - агрегирование заключается в лексикографическом ранжировании альтернатив, причем самым важным признаком является число экспертов, поместивших альтернативу на первое место, затем на второе и т. д.
Согласно теории измерений агрегирование на основе медианных оценок корректно в порядковой шкале. Агрегирование на основе ЭСИМто и ЭСИМ1ех также инвариантно по отношению к допустимым преобразованиям индивидуальных оценок экспертов в порядковой шкале [9].
Ясно, что круг многокритериальных задач с оптимальным решением, получаемым лексикографическим упорядочением, узок (во-первых, необходимо определить строгий порядок на множестве критериев, а, во-вторых, принять принцип оптимальности: «очередной по важности критерий определяет лучшее решение, а если он не позволяет его определить, то следующий за ним»). В любом случае, лексикографическое решение (лучшая альтернатива) является эффективным по Парето. В то же время, соответствующее бинарное отношение не позволяет компенсировать плохое значение по важному критерию великолепными значениями по остальным. Для ослабления этого ограничения в методе ЭСИМ используется групповая экспертиза. Теперь порядок на множестве критериев и альтернатив может быть не строгим, более того, эксперты могут использовать разные системы критериев. Появляется устойчивость относительно оценок альтернатив (согласно закону больших чисел с ростом числа экспертов уменьшается вариация).
В программе предусмотрены защитные механизмы идентификации и аутентификации пользователей, предусмотрена возможность просмотра ответственным за проблему прогресса в работе каждого эксперта, причем он может разрешить экспертам знакомиться с системой критериев других экспертов, что важно при проведении многотуровых экспертиз.
Пример (постановка и исходные данные для примера заимствованы из источника [10]). Принимается решение о создании машиностроительного предприятия. Имеются три варианта решения: создание на своей территории иностранного предприятия (А1); создание совмест-
ного предприятия (А2); строительство собственного предприятия (А3). Качество продукции при всех вариантах решения будет примерно одинаковым. Предприятие должно выпускать продукцию, необходимую для других отраслей промышленности. Строительство предприятия позволит развивать территорию, на которой будет построено оно (строительство дорог, жилья и т. д.). Кроме того, создание иностранного или совместного предприятия обеспечит доступ к новым производственным технологиям.
При принятии решения учитывается мнение следующих сторон (требуется учесть мнение всех сторон в равной степени): государственные органы (С1) заинтересованы, прежде всего, в налоговых поступлениях (К1), немного меньше - в доступе к технологиям (К5), еще немного меньше - в развитии территории (К4); местные власти (С2) заинтересованы, прежде всего, в развитии территории, несколько в меньшей степени - в налоговых поступлениях; представители машиностроительной отрасли (С3) заинтересованы, прежде всего, в получении прибыли (К2), немного меньше - в доступе к новым технологиям; представители отраслей-потребителей (С4) заинтересованы в получении продукции машиностроения по минимальным ценам (К3).
Для матриц парных сравнений из [10] в настоящей работе получены матрицы переходных вероятностей соответствующих цепей Маркова по формуле (2) и получены соответствующие упорядочения. Для иллюстрации приведем получение ранжировок критериев для государственных органов (С1). Начальное распределение цепи Маркова задается вектором локальных приоритетов р(0) = = (0.57,0.17,0.26)т (вычисляется по приведенной выше матрице парных сравнений). В результате все допустимые случайные реализации имеют следующие последовательности (ранжировки): К1, К5, К4 (табл. 2).
Учитывая ограничение на объем работы, далее не приводятся матрицы парных сравнений критериев для остальных заинтересованных сторон, матрицы парных сравнений альтернатив, соответствующие им матрицы переходных вероятностей.
4
^кономикО-Математичесше^еТОДЫ^^ОДеЛ^^
Таблица 2
Построение матрицы переходных вероятностей по матрице парных сравнений
Государственные органы - С1 К1 К4 К5
К1 1,00 3,00 5,00
К4 0,33 1,00 0,33
К5 0,20 3,00 1,00
( з-1 0
Р =
с-1
3-1 + 5-1 3-1 + 5-1 0 1 0
з-1
0 ^г
з-1
0
Таблица 3
Оценка предпочтений эксперта номер 1 из группы С1
Простые критерии Ранг важности Оценки альтернатив
критерия А1 А2 А3
Налоговые поступления, млн д. е. - К1 1 1 2 3
Прибыль машиностроительной отрасли, млн д. е в год - К2
Цена продукции К3
Возможность развития территории К4 2 1 2 3
Возможности для доступа к новым технологиям К5 3 2 1 3
Поскольку все заинтересованные стороны равносильны, то, согласно ЭСИМ, они имеют равное представительство экспертов. В примере мы примем, что у каждой стороны по три эксперта, и, учитывая ограничения метода МАИ, их оценки альтернатив по всем критериям не зависят от сторон и имеют одинаковое распределение. Однако важность критериев у этих групп экспертов разная. Рассмотрим для примера эксперта номер 1 из группы С1. Формально мы должны рассмотреть табл. 3 и применить лексикографическое упорядочение альтернатив.
Поскольку все допустимые случайные реализации упорядочений для критериев этой группы имеют вид К1, К5, К4, то самым важным является критерий К1. Но для этого критерия в данном примере все допустимые случайные реализации имеют вид А1, А2, А3. Таким образом, из этой таблицы достаточно использовать только строку, соответствующую критерию К1, чтобы получить упорядочение альтернатив: А1 ь А2 ь А3.
Можно заметить, что в данном примере в каждой группе экспертов все определяется только наиболее важным критерием: для С1, С2 -
это К1; для С3 - это К2; для С4 - это К3. Ниже, в табл. 4 первые три эксперта отстаивают интересы государственных органов (С1), следующие три - С2 и т. д.
Таблица 4
Ранжировки альтернатив экспертами
Номер эксперта А1 А2 А3
1 1 2 3
2 1 2 3
3 1 2 3
4 1 2 3
5 1 2 3
6 1 2 3
7 3 2 1
8 3 2 1
9 3 2 1
10 1 2 3
11 1 2 3
12 2 1 3
Научно-технические ведомости СПбГПУ 2-1' 2012. Экономические науки
Используем лексикографическое агрегирование индивидуальных предпочтений [9], заданных табл. 4. Для этого составим следующую таблицу распределения частот альтернатив по местам в ранжировках (табл. 5).
Таблица 5
Распределение частот альтернатив по местам в ранжировках
Эта таблица строится на основе табл. 4 следующим образом. Альтернативу А1 восемь экспертов поместили на первое место (при заполнении некоторых клеток таблицы учитывается возможное существование кластеров в табл. 3
[9]). Один эксперт поместил ее на второе место и три - на третье и т. д. по всем альтернативам. Сумма чисел столбца, соответствующего любой альтернативе, должна равняться числу экспертов, но сумма чисел строки, соответствующей любому месту, может быть и больше и меньше числа экспертов за счет кластеров.
По таблице частот альтернатив легко выполняется лексикографическая агрегация. При этом в качестве критериев рассматривается количество голосов экспертов за то или иное место для альтернативы. На этом множестве критериев определяется естественный порядок: самым важным критерием является число голосов, отданных альтернативе за первое место, затем -за второе и т. д. Реализация лексикографической агрегации в рамках метода ЭСИМ обозначается как ЭСИМ1ех. Результат применения метода ЭСИМ1ех для примера (см. табл. 4) имеет вид А1 у А3 у А2, т. е. предлагается создание на своей территории иностранного предприятия.
Место A1 A2 A3 Агрегированная ранжировка ЭСИМ1к1
1 8 1 3 A1
2 1 11 0 A3
3 3 0 9 A2
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Саати, Т. Л. Принятие решений. Метод анализа иерархий [Текст] / Т.Л. Саати. - М.: Радио и связь, 1989. - 316 с.
2. Руа, Б. Классификация и выбор при наличии нескольких критериев [Текст] / Б. Руа // Вопросы анализа и процедуры принятия решений: сб / под ред. И.Ф. Шахнова. - М.: Мир, 1976. - С. 80-107.
3. Лопухин, М. ПАТТЕРН - метод планирования и прогнозирования научных работ [Текст] / М. Лопухин. - М.: Сов. радио, 1971. - 159 с.
4. Кини, Р.Л. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения [Текст] / Р.Л. Кини, Х. Райфа. - М.: Радио и связь, 1981.
5. Чуркин, В.И. Повышение эффективности инвестиций с социальной составляющей [Текст] / В.И. Чур-кин // Стратегическое управление организациями: теория и практика инновационного развития: сб. науч. тр. Всерос. науч.-практ. конф. - СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2011. - С. 169-178.
6. Чуркин, В.В. Программное обеспечение ранжирования альтернатив на основе порядковых оценок [Текст] / В.В. Чуркин, В.Н. Юрьев // ХЬ Неделя науки СПбГПУ: матер. Междунар. науч-практ. конф. Лучшие доклады. - СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2012. - С. 252-254.
7. Чуркин, В.И. Повышение эффективности инвести-
ций с социальной компонентой [Текст] / В.И. Чуркин // Современные методы обеспечения эффективности и надежности в энергетике: сб. науч. тр. Всерос. конф. -СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2011. - С. 62-91.
8. Чуркин, В.И. Экспертно-статистический иерархический метод упорядочения альтернатив [Текст] /
B.И. Чуркин // Системный анализ в проектировании и управлении: сб. науч. тр. XV Междунар. науч.-практ. конф. - СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2011. -
C.103-113.
9. Чуркин, В.И. Порядковая агрегация предпочтений в экспертно-статистическом иерархическом методе упорядочения альтернатив [Текст] / В.И. Чур-кин // Стратегическое управление организациями: основные проблемы и методы их решения: сб. науч. тр. Всерос. науч.-практ. конф. - СПб.: Изд-во Поли-техн. ун-та, 2012. - С. 130-138.
10. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http:// bsuir-helper.ru/predmet/mispr/laby/laba-2-prinyatie-reshenii-v-slabostrukturirovannykh-zadachakh-na-osnove-metoda-an.htm
11. Силкина, Г.Ю. Пространственно-временная структура инновационных процессов и ее модельное представление [Текст] / Г.Ю. Силкина // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Серия «Экономические науки». - 2012. - № 1.
