CC BY
86
МЕТОДЫ ГЕОГРАФИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ
УДК 525.623 А.Т. Кондрин
МЕТОДЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ПРИЛИВОВ
Введение. Решение многих практических задач, связанных с обеспечением судоходства, проведением гидрографических изысканий, проектированием инженерных и гидротехнических сооружений, с работами по освоению месторождений нефти и газа на шельфе и в прибрежной зоне, невозможно без учета приливных колебаний уровня моря и скорости течений. Расчет приливов и их исключение с высокой степенью точности из данных наблюдений необходимы при изучении неприливных колебаний уровня моря, вызванных сгонно-нагонными явлениями, цунами, шельфовыми волнами и сейшами. В силу этих причин требования к нашим знаниям о приливах и точности методов расчета их характеристик постоянно возрастают.
Предлагаемая статья представляет собой обзор публикаций, посвященных современной методике и проблемам гармонического анализа приливов.
Основы гармонического анализа приливов. Гармонический метод анализа приливных колебаний основан на разложении потенциала приливообразующих сил Луны и Солнца в тригонометрический ряд по определенным частотам. Эти частоты представляют собой различные комбинации сумм и разностей 6 фундаментальных частот, определяемых собственным вращением Земли, Земли и Луны вокруг общего центра масс, Земли вокруг Солнца, периодичностью положения лунного перигея (8,85 года), прецессией лунной орбиты с периодом 18,6 года, а также периодичностью положения перигея (около 21 ООО лет). Согласно [11, 12], частота каждой гармоники в разложении потенциала приливообразующих сил определяется набором из 6 целых чисел, служащих коэффициентами при фундаментальных частотах. Амплитуда и фаза каждой гармоники в этом разложении могут быть рассчитаны в зависимости от относительного расположения Земли, Луны и Солнца. Составляющие гармоники статического прилива имеют те же фазы, а их амплитуды можно рассчитать, поделив потенциал на ускорение свободного падения.
Отдельные гармоники, входящие в разложение потенциала приливообразующих сил, распадаются на три группы. Гармоники первой и наиболее важной группы имеют периоды, близкие к 12 час, и называются полусуточными. Ко второй группе относятся суточные гармоники с периодами около 24 час. Приливные гармоники третьей группы имеют периоды, равные приблизительно половине месяца, месяцу, полугоду, году и более. Самые медленные изменения,
учитываемые при гармоническом анализе приливов, связаны с периодичностью положения лунного перигея и прецессией лунной орбиты.
Статический прилив, вычисление которого основано на условии равновесия между приливообразую-щими силами и водами океана, полностью определяется астрономическими условиями. Однако реальный океан не находится в равновесии с приливообразую-щими силами. При этом амплитуда и фаза приливной волны существенным образом зависят от местных географических условий. Таким образом, высота прилива в момент времени t представляется как сумма гармонических колебаний [2, 7]:
+(t) = $0 + ХД cos (а/ - ^ (1)
или
K(t) = $0 cos (а t) + В, sin(aL t), (2)
где М — число анализируемых гармоник, A, = R. cosВ, = Д sin^L, (-£г) — фаза волны, а, — частоты, известные из разложения потенциала прили-вообразующих сил. Анализируя определенным образом данные наблюдений, можно выделить отдельные гармоники и вычислить коэффициенты A, и В, Тогда
Д = VA2T%; ^ = arctg (В/A). (3)
Традиционные методы гармонического анализа приливов. В течение длительного времени для гармонического анализа приливов в качестве основного применялся метод Дарвина [7]. В рамках этого метода выражение для приливных колебаний уровня записывается в виде
+(t) = Х fi + cos (а,, t + (9о + и), - .), (4)
где A0— средний уровень моря, а, — угловая частота, (90 + и), — начальная фаза i-й гармоники статического прилива, и . — средняя амплитуда и угол положения i-й составляющей прилива соответственно. Начальная фаза статического прилива, или астрономическая часть начальной фазы, состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое изменяется вследствие обращения Земли и Луны вокруг общего центра масс, вращения Земли вокруг Солнца и смещения перигея лунной орбиты. Второе слагаемое и медленно изменяется с периодом 18,6 года вследст-
вие прецессии лунной орбиты. Множитель называемый редукционным, описывает изменения амплитуд составляющих прилива с тем же периодом. Выражение (4) отражает классический подход к гармоническому анализу приливных колебаний, при котором в явном виде учитываются только суточные, полусуточные и более высокочастотные мелководные составляющие. Влияние низкочастотных составляющих описывается величинами 90, и и которые вычисляются в зависимости от положения восходящего узла и перигея лунной орбиты по приближенным формулам в любой момент времени / [2, 7]. Величины и называемые гармоническими постоянными, полностью определяются местными условиями.
На практике астрономическую часть начальной фазы волны удобно задавать на момент начала наблюдений относительно меридиана Гринвича. В этом случае ее принято обозначать Гр.(90 + и). Тогда выражение (4) примет вид
+(О = $0 + X А +С08 (а, t + Гр . (90 + и), - , (5)
где g¡ — специальный угол положения, равный взятой с обратным знаком фазе составляющей реального прилива в момент времени, когда соответствующая составляющая статического прилива достигает максимального значения на меридиане Гринвича. Сравнивая (1) и (5), можно найти гармонические постоянные
+=ад, ^=Гр.(9о+и),+^ (6)
Применяемая в методе Дарвина процедура выделения отдельных гармоник не позволяет полностью исключить влияние других волн [5]. Вследствие этого точность вычисления гармонических постоянных существенно снижается. Кроме того, для обработки требуются строго определенные периоды наблюдений продолжительностью 15 или 30 сут с дискретностью 1 час, что ограничивает возможности применения этого метода и его разрешающую способность.
Расчет гармонических постоянных с помощью метода наименьших квадратов. Наиболее точно гармонические постоянные могут быть получены методом наименьших квадратов (МНК). Однако применение этого метода связано с большим объемом вычислений, поэтому его стали широко внедрять в практику только с появлением мощной вычислительной техники. Гармонический анализ кратковременных (до 1 года) рядов наблюдений с помощью МНК достаточно подробно изложен в работах [10, 16] и ряде других. Сущность его состоит в минимизации выражения
) = X (К (/.) - ] (/.))2, (7)
1 = 1
где ] (/.) — отсчет уровня в момент времени К (/..) — теоретическое значение уровня в тот же момент времени, 1 — число отсчетов. Используя представле-
ние (2), выражение (7) можно переписать в виде
1 м
)($0, $, В = X ($0 + X $с«5(а$ + ¡¡ш(а$ - ] (?;)). (8)
1 = 1 , = 1
Минимизируя выражение (8), получаем систему 2М + 1 нормальных уравнений, решая которую, находим неизвестные $0, В.. Амплитуда и фаза каждой гармоники в выражении (1) затем вычисляются по формулам (3), а гармонические постоянные — по формулам (6). Высокая эффективность МНК в процессе выделения отдельных составляющих прилива показана с помощью численного эксперимента, состоявшего в обработке месячной серии ежечасных значений уровня, предвычисленных по известным гармоническим постоянным 8 основных составляющих волн прилива [3]. Полученные таким образом исходные серии отсчетов уровня, свободные от помех и влияния других волн, авторы работы [3] проанализировали с помощью МНК и метода Дарвина. Точность полученных результатов оценивалась по среднему квадратичному отклонению вновь предвычис-ленных уровней от исходных аК . При обработке методом Дарвина для 30-суточной серии эта величина достигает 18 см, в то время как при обработке с помощью МНК она не превышает 0,3 см. Полученные значения гармонических постоянных из-за отсутствия помех практически совпали с исходными. Кроме того, анализ по методу Дарвина дал отсутствовавшие в исходных данных мелководные волны М4, М64 и Мб. При анализе с помощью МНК эти волны были полностью исключены. Таким образом, МНК при отсутствии помех позволяет выделять отдельные волны и вычислять их гармонические постоянные с очень высокой степенью точности.
Изложенные выше принципы использованы в работе [6], в которой рассматривается применение МНК для гармонического анализа кратковременных серий наблюдений от 4 до 30 сут. Как и в методе Дарвина, анализ выполняется для 11 главных составляющих волн прилива. При расчете гармонических постоянных по коротким рядам наблюдений, недостаточным для разделения анализируемых составляющих, некоторые менее значимые определяются на основе соотношений между амплитудами близких по частоте волн в статическом приливе. Для определения углов положения таких гармоник используется предположение, основанное на результатах наблюдений: отношение разностей углов положения составляющих волн прилива с близкими частотами приближенно соответствует отношению разностей их угловых скоростей.
К преимуществам рассматриваемого метода следует отнести возможность обработки наблюдений произвольной продолжительности (при соблюдении условия разделения волн с близкими частотами) при различных интервалах между отсчетами уровня. Для исключения случайных колебаний, вызванных ошибками при отсчетах, а также метеорологическими
причинами, применяются процедуры сглаживания и низкочастотной фильтрации. Выше было отмечено, что МНК при отсутствии помех позволяет получать очень точные результаты. Однако при обработке реальных наблюдений без учета влияния неприливных колебаний и случайного шума такую степень точности получить невозможно. Так, по результатам обработки данных ежечасных наблюдений уровня на о. Медвежий продолжительностью 30 сут, были получены значения аК, равные 7,9 см по методу Дарвина и 7,2 см при применении МНК [6].
В работе [4] теоретические значения уровня в момент времени представляются в традиционном виде (2), хотя и в несколько иных обозначениях. Неизвестные коэффициенты и В, определяются с помощью МНК. Особенность работы [4] состоит в том, что получаемая система нормальных уравнений относительно неизвестных решается с помощью метода регуляризации, разработанного А.Н. Тихоновым [9] для решения некорректных задач линейной алгебры. Этот метод позволяет получить устойчивое решение при оптимальном выборе параметров регуляризации. Необходимость такого подхода объясняется тем, что гармонический анализ короткопериодных серий наблюдений с помощью МНК относится к классу некорректно поставленных задач, в которых небольшие отклонения в исходных данных могут вызвать большие изменения в решении. Оптимальный выбор параметров регуляризации определялся экспериментально путем сравнения получаемых решений с данными наблюдений. В работе [4] исследовались 1969-часовые (82-суточные) и 649-часовые (27-суточные) серии наблюдений, причем анализ выполнялся для 34 составляющих волн прилива.
Было установлено, что ежечасные 82-суточные серии наблюдений позволяют получить гармонические постоянные 32 волн с достаточной точностью без регуляризации. Для определения гармонических постоянных по 27-суточной серии необходима регуляризация, при этом удается выделить лишь 18 гармоник. В работе [4] эта методика была применена для гармонического анализа приливных колебаний в Архангельске и Могадишо. В Архангельске, где максимальная амплитуда прилива достигает 0,4 м, средне-квадратическое отклонение предвычисленных высот уровня от измеренных аК оказалось равным 17,7 см для 18 волн, а для 32 волн — 18,4 см (МНК). Относительные значения среднеквадратического отклонения РК = аК /$, где $ — максимальная амплитуда прилива, равны 0,44 и 0,46 соответственно. Расчеты по методу Дудсона [8] для 34 волн дали аК = 18,6 см (рК = 0,465). Следует отметить, что в данном пункте приливные колебания сильно искажены вследствие влияния мелководья, а также осложнены непериодическими колебаниями уровня (паводки, сгонно-нагонные явления). Для правильного полусуточного прилива с максимальной амплитудой 1 м (Могадишо) величина аК оказалась равна 10,0 см для 18 волн по МНК (рК = = 0,10) и 11,1 см для 34 волн по методу Дудсона (рК =
= 0,11). Значительно большая величина относительного отклонения в Архангельске, чем в Могадишо, очевидно, объясняется указанными выше причинами.
Как отмечено выше, при применении классического подхода величины / и и определяются по приближенным формулам в зависимости от долготы восходящего узла лунной орбиты и считаются постоянными на весь исследуемый период. Как принято сейчас говорить, эти величины описывают нодаль-ную коррекцию. При анализе более длительных серий продолжительностью до года и более с привлечением большого числа анализируемых гармоник но-дальную коррекцию необходимо определять более точно [13, 14].
Составляющие прилива в разложении потенциала приливообразующих сил можно разбить на группы. Каждая группа содержит гармоники с близкими частотами, т.е. с равными первыми тремя числами Дудсона. В такой группе большие пики окружены малыми второстепенными (сателлитами), обеспечивающими нодальную модуляцию первых. Результирующий сигнал представляет собой синусоиду, фаза и амплитуда которой медленно изменяются со временем. Если мы анализируем ряды продолжительностью не менее 18,6 года, то нодальная коррекция не нужна, так как влияние долгопериодных составляю -щих учитывается непосредственно, и мы имеем возможность разрешения всех гармоник, обеспечивающих нодальную модуляцию. На практике длины записей часто составляют 1 год и менее, что не позволяет выделить все необходимые гармоники. Поэтому для введения их в анализ и определения нодальной коррекции предполагается, что фазы и амплитуды гармоник с близкими частотами, составляющих приливной отклик реального океана, находятся в том же соотношении, что и в статическом приливе.
Такой подход применен в [18], где представлен пакет программ для выполнения гармонического анализа приливов на основе алгоритмов, описанных в [13, 14, 16]. Однако в данном случае приливный сигнал моделируется в комплексном виде
1
[ (/) = Е0 + 61/ + X ак А' + а-к нт,а/, (9) к = 1
где 1 — число анализируемых гармоник. При этом начало отсчета временной оси помещается в середине обрабатываемого промежутка времени, что обеспечивает эффективность вычислительных процедур. Использование комплексного представления позволяет единообразно обрабатывать скалярные (высота уровня) и векторные (горизонтальные течения) временны е ряды. Значения частоты акизвестны из разложения приливного потенциала. Комплексные амплитуды не известны и определяются с помощью МНК, причем решение находится с помощью оператора деления матриц МАТЬАВ. Сопоставляя (9) с традиционным действительным представлением (2), получим $к = ак + а_к, Вк = , (ак - а_к). Для анализа
можно использовать 45 астрономических и 1О1 мелководную составляющую.
Нодальная (сателлитная) коррекция рассчитывается следующим образом. Рассмотрим главный пик с индексом к и его сателлиты с индексами к]. Влияние сателлитов приводит к медленной модуляции главной гармоники с периодами более 8 лет. Полученную комплексную амплитуду можно выразить через "истинную" амплитуду ак в виде
о^/=/какеЬ*' + 1и* = ак егЧ' + £ ак] Л/. (11)
Разделив (11) на акес/, получаем /кёи* =
= 1 + Е (ак]/ак) е м Ч - '.
]
Соотношение фаз и амплитуд составляющих ак и сателлитов ак- принимается таким же, как в статическом приливе. Если анализируемые временные ряды имеют продолжительность более 18,6 года, то величины ак и ак- можно рассчитать непосредственно, без использования статического прилива [15]. Стандартные параметры, т.е характеристики эллипса приливных течений, а также амплитуды и фазы колебаний уровня, легко выражаются через ак и а-к.
Для оценки достоверности полученных результатов необходимо определить, является ли та или иная составляющая действительно приливной или она отражает влияние широкополосного неприливного шума. Эта задача решается путем нахождения доверительных интервалов на основе статистических характеристик (дисперсии) остаточного шума. В качестве значимых принимаются составляющие, имеющие 95%-й доверительный уровень. С точки зрения отношения мощности приливного сигнала к мощности шума значимыми считаются составляющие, для которых это отношение больше 1. Эффективнее проблему выделения приливного сигнала на фоне неприливных колебаний можно разрешить с помощью метода, предложенного в [17], который пока не нашел широкого применения. Хорошие результаты могут быть получены с помощью методики, состоящей в преобразовании исходных данных в частотно-временную область с последующей обработкой каждого частотного интервала с помощью МНК [2О].
Заключение. В заключение отметим, что на основе МНК в настоящее время созданы эффективные методы гармонического анализа приливов в океане, что существенно повышает точность их предвычисле-ния. Дальнейший прогресс в этой области связан с
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Войнов Т.Н. Гармонический анализ долгопериодных приливов по срочным наблюдениям и среднесуточным значениям уровня моря // Метеороло гия и гидрология. 2ОО2. № 4. С. 50—58.
2. Дуванин А.И. Приливы в море. Л., 1960.
3. Кудрявцев Н.Ф., Смирнова Л.Е. К вопросу точности гармонического анализа методом Дарвина // Тр. ААНИИ. 1970. Т. 293. С. 129—133.
возможностью обработки многолетних временньгх рядов наблюдений с включением в анализ максимально допустимого по критерию разрешимости числа приливных гармоник. В принципе это позволяет исследовать полную структуру приливов, включая долгопериодные составляющие, и отказаться от приближенных астрономических формул при вычислении нодальной коррекции. Однако для выделения всех необходимых составляющих волн необходимы ряды наблюдений продолжительностью не менее 18,6 года, которые доступны лишь для немногих пунктов побережья. Зачастую такие ряды содержат данные только срочных наблюдений с дискретностью 4 часа. При этом анализ многолетних рядов осложняется из-за эффекта маскировки (подмены) ряда частот прилива [1]. Вследствие этого необходима предварительная фильтрация исходных данных.
При анализе кратковременных рядов характеристики гармоник, которые не могут быть выделены непосредственно, но необходимы для определения но-дальной модуляции, выводятся с помощью статического прилива. Все это указывает на настоятельную необходимость накопления новых данных наблюдений над приливами более высокого качества, а также расширения сети пунктов наблюдений. Важнейшими задачами остаются обновление и расширение имеющейся базы гармонических постоянных с учетом их сезонной изменчивости. Большое значение имеет также проблема разделения собственно приливного сигнала и неприливных колебаний, вызванных, в частности, метеорологическими причинами. Особые трудности возникают при изучении приливных колебаний в мелководных прибрежных районах и эстуариях. В больших эстуариях сезонные изменения температуры и солености воды, а также течений сильно влияют на динамику прилива.
Кроме того, сезонные изменения различны в разные годы, поэтому приливный процесс становится нестационарным. В мелководных эстуариях приливные изменения уровня сильно искажены множеством высокочастотных гармоник, возникающих при трансформации приливных волн. Картина еще больше осложняется наличием метеорологических колебаний, отдельные волны которых взаимодействуют между собой, а также с волнами прилива [19]. Изучение приливных колебаний в таких случаях требует разработки специальных методов, выходящих за рамки традиционного гармонического анализа.
4. Макаева О.С. Гармонический анализ приливов методом наименьших квадратов // Тр. ГОИН. 1981. Вып. 138. С. 48—43.
5. Марголинский Е.М. Об уточнении гармонических постоянных волн прилива, полученных методом Дарвина // Океанология. 1968. Т. 8. Вып. 4. С. 735—745.
6. Пересыпкин В.И. Применение метода наименьших квадратов для гармонического анализа приливов // Тр. ААНИИ. 1976. Т. 319. С. 215—244.
7. Руководство по обработке и предсказанию приливов. Л., 1941.
8. Сяис^енко A.S. Применение ЭВМ для гармонического анализа наблюдений над приливами по методу Дудсо-на // Тр. ГОИН. 1975. Вып. 126. С. 176-183.
9. Тихонов A.S. О некоторый: задачах линейной алгебры! и устойчивом методе их решения // Докл. АН СССР. 1965. Вып. 163. № 3. С. 59-594.
10. CeuWwjK? Св#оя '.%. On the Fourier analysis of tidal observations // Intern. hydrographic Rev. 1963. Vol. 40. № 1. P. 113-126.
11. 'ооАоя $.7 The harmonic development of the tide generating potential // Proc. R. Soc. Vol. A100. P. 305-329.
12. 'ооАои $.7 Appendix to circular letter 4-H. The harmonic development of the tide generating potential // Intern. Hydrographic Rev. 1954. Vol. 31. № 1. P. 37-61.
13. Тоиетвя 0.G.G. Manual for tidal heights analysis and prediction // Pacific Marine Sci. Rep. 77-10, Sidney, 1977.
Кафедра океанологии
14. Touema« 0.G.G. Manual for tidal currents analysis and prediction // Pacific Marine Sci. Rep. 78-6. Sidney, 1978.
15. Touema« M.G.G, 1ex/e/G (.7. Harmonic tidal analysis of long time series // Intern. Hydrographic Rev. 1991. N 68 (1). P. 85-108.
16. GoGLw G. The Analysis of Tides. Liverpool: University Press, 1972.
17. CbuWwjK? '.(. Tidal spectroscopy and prediction // Phil. Trans. R. Soc. 1966. Vol. A259. P. 533-581.
18. Paw/owe] R., ZewW] 6. Classical tidal harmonic analysis including error estimates in MATLAB using TTIDE // Computers and geosci. 2002. Vol. 28. P. 929-937.
19. RoxMfeu J.R., Zewwow G.: An intensive analysis of shallow water tides // Geophys. J. R. Astr. Soc. 1968. Vol. 16. P. 275-293.
20. 9e«eGLNov A.3., Arnoso 9'era R. VAV: a program for tidal data processing // Computers and geosci. 2003. Vol. 29. P. 487-502.
Поступила в редакцию 27.01.2007
A.T. Kondrin
METHODS OF HARMONIC ANALYSIS OF TIDES
The advanced methods of harmonic analysis of tides are described. Proficient algorithms hav e been elaborated basing on the method of least squares which make it possible to process observati onal data series of various durations and analyze any required number of tidal harmonics, thus impro ving the calculation accuracy for harmonic constants. The problem of nodal correction during the a nalysis of short-term observational data series (less than 1 year) is discussed, as well as the actual ta sks of further studies, such as updating and expanding the base of harmonic constants, separation of tidal and non-tidal oscillations and investigation of tidal regime features in shallow water areas and estuaries.
