CC BY
212
УДК 551.466
Вестник СПбГУ. Сер. 7. 2012. Вып. 4
Р. И. Май, О. В. Марчукова
МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ПРИЛИВОВ ПО СУТОЧНОЙ СЕРИИ НАБЛЮДЕНИЙ С УЧЕТОМ МЕЛКОВОДНЫХ ВОЛН
Как форме, волне чужды ромб, треугольник, куб, всяческие углы (в этом — прелесть воды); И. Бродский, 1994. («Тритон»).
Введение
Гармонический анализ является стандартным методом исследования и прогнозирования приливных явлений [1]. Он широко вошел в практику научных исследований и различных прикладных инженерно-технических задач: навигация, проектирование и обеспечение безопасного функционирования различных гидротехнических сооружений, рыбный промысел, разведение марикультур и многое другое.
Первые методы гармонического анализа (методы Дарвина и Дудсона), в которых вычисление констант прилива выполнялось вручную по специальным трафаретам, получили широкое распространение и использовались вплоть до 70-х годов прошлого столетия. Методы Дарвина и Дудсона позволяли по ряду ежечасных измерений уровня моря длиной 15 суток или 30 суток определить гармонические постоянные основных составляющих прилива. С появлением компьютеров эти методы стали вытесняться гармоническим анализом методом наименьших квадратов (МНК). Метод наименьших квадратов, действительно, стал универсальным методом анализа приливов, который полностью удовлетворяет все требования по точности. В указанных методах гармонического анализа (Дарвина, Дудсона, МНК) были определенные ограничения на длину ряда. Общий принцип для всех методов можно выразить следующим образом: чем больше длина ряда, тем больше гармоник выделяется из анализа, и тем, соответственно, точнее прогноз (предвычисление) приливного уровня моря.
Получение длительных рядов наблюдений не всегда представляется возможным, особенно для малобюджетных прибрежных экспедиций, когда не рентабельно использовать дорогие измерители уровня моря или течений с возможностью записи и хранения непрерывных наблюдений в течение хотя бы полумесяца — период, за который можно разделить солнечный и лунный прилив. Поэтому анализ приливов по коротким рядам наблюдений стал насущной проблемой сразу же, как только гармонический анализ вошел в практику исследователей моря.
Методы анализа суточной серии и двух суточных серий наблюдений за уровнем моря были опубликованы английскими исследователями приливов А. Т. Дудсоном и Х. Д. Варбургом в 1941 г. В методе анализа 24-часовой серии наблюдений используются соотношения двух главных полусуточных и двух главных суточных волн прилива, которые должны быть известны заранее. Такие соотношения не всегда известны, поэтому более полезным и универсальным представляется второй метод, предложен© Р. И. Май, О. В. Марчукова, 2012
ный этими учеными. Он позволяет по двум 24-часовым рядам измерений уровня моря определить четыре составляющие прилива (М2, Б2, К1 и О1). Из-за того, что используются два массива данных, разнесенных во времени, этот метод в нашей стране получил название Парный метод. В нем по отношению амплитуд и разности фаз суточных и полусуточных гармоник разных календарных дат с помощью специальных алгоритмов производится разделение суточной гармоники на две приливные волны (К1 и 01), и полусуточной гармоники — на две приливные волны М2 и Б2.
Для использования Парного метода необходимо заранее рассчитать амплитуды и фазы суточной и полусуточной гармоник для разных дат. Для этой цели используются специальные методы анализа ежечасных рядов измерений длиной одни сутки. В данной статье рассматривается один из них — гармонический анализ суточной серии наблюдений за приливами по способу Арктического института (метод АНИИ).
Гармонический анализ суточной серии наблюдений за приливами по способу
Арктического института
Известный выпускник 1938 г. океанологического направления кафедры гидрологии вод моря и суши (прообраза кафедры океанологии) Ленинградского государственного университета Игорь Владиславович Максимов (фото), работая в Арктическом научно-исследовательском институте (АНИИ), опубликовал метод, названный им гармоническим анализом по способу Арктического института [2], в последствии этот метод стал известен как метод АНИИ1. Он позволяет по ряду длиной 24 часа выделить амплитуды и фазы суточной, полусуточной и четвертьсуточной гармоники. Благодаря своей простоте метод АНИИ нашел своих сторонников в различных научных организациях, занимающихся исследованием динамики моря [3-8]. В 1955 г. в Дальневосточном научно-исследовательском гидрометеорологическом институте метод АНИИ был модернизирован: расчеты выполняются с помощью специальных вычислительных форм [3], представленных в виде таблиц для суточной и полусуточной составляющих. Именно такая вариация метода АНИИ была описана в различных руководствах и монографиях по приливам [5-7]. Метод АНИИ модификации 1955 г. стал более удобным для вычислений, но потерял одну замечательную возможность оригинального метода — расчет мелководной четвертьсуточной гармоники.
В табл. 1 и 2 приведены стандартные формы расчета суточной и полусуточной составляющих прилива, впервые предложенные в [3]. Каждая из вычислительных форм представляет собой таблицу с пронумерованными столбцами. В столбцы № 1, 2,
1 В некоторых работах, например, в [6, 8] рассматриваемый метод обозначается как метод ААНИИ. Это связано с тем, что Арктический научно-исследовательский институт (АНИИ) в 1958 году в связи с распространением своей научной и экспедиционной деятельности в южную полярную область сменил название на Арктический и Антарктический научно-исследовательский институт (ААНИИ). На наш взгляд, более корректно придерживаться первоначального обозначения — метод АНИИ, так, как оно было предложено И. В. Максимовым задолго до смены названия института.
Игорь Владиславович Максимов (1910-1977)
Таблица 1. Форма вычисления амплитуды и фазы суточной гармоники
Измерения 2 Вычисления для суточной волны
час 1 данные час 2 данные 3 час | данные 4 час | данные 5 1-2 6 3-4 7 5-6 8 сое 9 7x8 10 5+6 11 вш 12 10x11
0 404,4 12 406,4 -2,1 0,0 -2,1 0,08333 -0,17 -2,1 0,00000 0,00
1 420,3 13 422,1 11 381,4 23 364,3 -1,8 17,1 -18,9 0,08049 -1,52 15,3 0,02157 0,33
2 408,4 14 411,0 10 360,0 22 350,2 -2,6 9,8 -12,4 0,07217 -0,90 7,1 0,04167 0,30
3 393,9 15 395,4 9 350,4 21 344,2 -1,5 6,2 -7,7 0,05893 -0,45 4,7 0,05893 0,28
4 383,1 16 383,3 8 349,0 20 349,9 -0,2 -0,9 0,7 0,04167 0,03 -1,0 0,07217 -0,07
5 372,5 17 374,1 7 355,8 19 355,2 -1,5 0,5 -2,1 0,02157 -0,04 -1,0 0,08049 -0,08
6 363,2 18 363,4 -0,2 0,0 -0,2 0,00000 0,00 0,0 0,08333 -0,02
Х1 = Е = -3,06 У1=2 = 0,73
А1 = 3,1 см 167°
Таблица 2. Форма вычисления амплитуды и фазы полусуточной гармоники
Измерения X Вычисления для полусуточной волны
час 1 данные час 2 данные 3 час данные час 4 данные 5 1-2 6 3-4 7 5+6 8 С08 9 7x8 10 7 11 8Ш 12 10x11
0 404,4 6 363,2 12 406,4 18 363,4 41,1 43,0 84,1 0,08333 7,01 84,1 0,00000 0,00
1 420,3 7 355,8 13 422,1 19 355,2 64,6 66,9 131,4 0,07217 9,49 131,4 0,04167 5,48
2 408,4 8 349,0 14 411,0 20 349,9 59,4 61,1 120,5 0,04167 5,02 120,5 0,07217 8,70
3 393,9 9 350,4 15 395,4 21 344,2 43,5 51,2 94,7 0,00000 0,00 94,7 0,08333 7,90
4 383,1 10 360,0 16 383,3 22 350,2 23,2 33,1 56,3 -0,04167 -2,34 56,3 0,07217 4,06
5 372,5 11 381,4 17 374,1 23 364,3 -8,9 9,7 0,8 -0,07217 -0,06 0,8 0,04167 0,03
х2=х= 19,11 У2 = Х = 26,16
А2= §2 = 32,4 см 54°
3 и 4 вносятся данные измерения уровня моря, причем порядок занесения значений определяется в зависимости от порядкового номера часа в сутках. Следует обратить внимание на то, что в вычислительной форме для суточной составляющей в столбцах 1 и 2 порядок ввода данных прямой, а в столбцах 3 и 4 — обратный. Также следует обратить внимание на то, что в столбцах 1 и 2 даны первые 6 часов от полуночи и полудня (пропуск 6 часов между данными в столбцах 1 и 2). Для полусуточной составляющей прилива (табл. 2) порядок записи более простой: данные вносятся в прямой последовательности сверху вниз для каждого столбца. В заголовках столбцов указываются действия, которые нужно выполнить, чтобы получить значения, вписываемые в данный столбец: например, заголовок «1-2» означает, что в данном столбце должны быть записаны разности соответствующих ячеек столбцов № 1 и № 2. То же самое при других заголовках различных столбцов: «5+6» — сумма соответствующих ячеек столбцов № 5 и № 6, «7 х 8» — произведение ячеек столбцов № 7 и № 8 и т. д. Для расчетных форм суточной и полусуточной составляющих в столбцах № 8 и № 11 даны постоянные множители, определенные для данной гармоники. Конечным итогом вычислений должны быть значения X и Y, которые представляют собой сумму значений в столбцах № 9 и № 12, соответственно. По ним уже можно рассчитать значения амплитуды
В табл. 1 и 2 для примера приведены расчеты амплитуд и фаз суточной и полусуточной гармоники. Для удобства прочтения таблицы постоянные значения выделены жирным шрифтом, значения измерения уровня моря — курсивом, а все вычисления — обычным шрифтом.
Обоснование гармонического анализа приливов по способу Арктического института с помощью классического метода наименьших квадратов
Несмотря на широкое распространение метода АНИИ, остаются нераскрытыми принципы, заложенные в его основе. В первых работах, описывающих этот метод [2, 3], недостаточно подробно указывается, как получены формулы, лежащие в основе метода [2], почему именно таким образом были составлены вычислительные формы [3]. Пользователю приходится доверяться приведенным вычислительным схемам, кочующим из одного руководства в другое.
На наш взгляд, полезно рассмотреть принципы, заложенные в методе АНИИ, для понимания его возможностей и пределов применения. Для этой цели выполним следующие выкладки. Колебания уровня моря будем аппроксимировать с помощью простой гармонической функции:
где A — амплитуда, g — фаза, и q — угловая скорость (частота) гармоники, t — время, меняющееся от 0 до 23 часов. Объединив неизвестные множители X = H cos g и Y = H sin g, то формулу (1) в общем виде можно выразить через
(1)
(2)
Применив к ней условие наименьших квадратов получим систему из двух линейных уравнений
23
X[Sf - X cos (qt)-Y sin (qt )]2 -> 0,
-2^ [^t - X cos (qt) - Y sin (qt)] cos (qt) = 0
t=0 23
-2^ - X cos (qt) - Y sin (qt)] sin (qt) = 0
t=0
которую, после преобразования, можно представить в виде
23 23 23
XAt cos (qt)- XX cos (qt )cos (qt)- YX sin (qt )cos (qt ) = 0
t=0 t=0 t=0 23 23 23
XA sin (qt)-X X cos (qt )sin (qt)-YX sin (qt )sin (qt) = 0
t=0
t =0
t =0
Введем следующие обозначения:
23
CS = X cos (qt )sin (qt) = X sin (qt )cos (qt) = SC,
t=0 t=0
23 23
SS = X sin (qt )sin (qt), CC = X cos (qt )cos (qt),
t=0 t=0
23 23
^C = X^t cos(qt) и ^S = X^t sin(qt),
t=0
тогда получим удобную для преобразования запись
X x CC + Y x SC = ^C ] X x CS + Y x SS = ^S I
(3)
(4)
(5)
по которой легко найти неизвестные X и У. К примеру, найдем У, для этого оба уравнения в системе поделим на множители при коэффициенте X
X + Y
SC = ^C CC ~ CC
X + У^ = М СБ СБ
затем от второго уравнения (6) отнимем первое и получим уравнение
(6)
Y
SS - SC ^c
CS CC)~ CS CC'
по которому можно определить искомое неизвестное:
t =0
t =0
Y =
ЪS x CC-ZfC x CS
(7)
55 х СС - БС х СБ
Проделав то же самое относительно второго неизвестного, можем найти коэффициент:
X =
^S x SC-ZfC x SS CS x SC - CC x SS '
(8)
По полученным X и Y легко определить амплитуду А = л/ХГ + Y и фазу g = arctg
Все усложняется тем, что у нас в ряде наблюдений за уровнем, длиной 24 часа, присутствуют не одна гармоника, а, как минимум, две: суточная и полусуточная, плюс еще одно неизвестное — средний уровень. Тогда метод наименьших квадратов надо было применять к более сложному уравнению:
M
ъ = Zo+Z лcos (- gi),
(9)
где Z0 — средний уровень моря, A¡, qi и gi — амплитуда, угловая скорость и фаза i-й гармоники, M — количество гармоник (при учете только суточной и полусуточной гармоники M = 2). В итоге в системе получится не два уравнения, а пять при М = 2, семь при M = 3, и т. д. Все это сделает задачу о нахождении амплитуд и фаз более сложной. Однако, если искать гармоники, период которых кратен длине ряда, то для каждой такой гармоники можно воспользоваться уже выведенными формулами для X (8) и Y (7). Чтобы объяснить это, найдем аналитически значения параметров CS, CC и SS, для этого проинтегрируем за сутки произведения, cos (qt)sin (qt), cos (qt)cos (qt) и sin (qt)sin(qt):
24 /
J cos
0
2n
-1 sin
T
2n\ T .2 —t I at =—sin T I 4n
2n t Y
T . 2
= — sin 4n
2n 24 I,
T 1
(10)
24 /
J cos
0
2n
—t |cos T
t
— t I dt =- + -T I 2
T sin
4n
-I
T
8n
24
Jsin
0
2n
-1 sin
T
^ 11 dt = I -
T I 2
T sin
4n
-I
T
8n
24
= 24 " 2
T sin
4n
8n
24 2
T sin
4n
8n
(11)
(12)
В приведенных формулах (10, 11, 12) угловая скорость гармоники q заменена выражением q = —, где T — период гармоники. В правой части всех трех формул присутствует функция синуса с аргументом кп —. Так как значение sin (пк) всегда равно
0
нулю, если к — любое целое число, то для любого периода Т, кратного суткам, справедливы следующие равенства: СБ = БС = 0. Следовательно, выведенные формулы для X и У можно существенно упростить:
7 = (13)
X = (14)
СС
При интегрировании за сутки первое слагаемое в правой части для уравнений СС и ББ равно 12 (ББ = СС = 12). Из-за этого уравнения (13, 14) для расчета неизвестных упрощаются до вида:
23
sin (q)
SS _ t=o
Y = ^- =
12 12
23
&cosq)
X=5^ = <=>-.
12 12
Получены основные формулы, реализованные в методе АНИИ [2, 3], который по большому счету является вариацией анализа Фурье.
Рассмотрим теперь табулированные вычислительные схемы. В первоначальной версии метода АНИИ [2] в расчетной форме для каждого часа наблюдений рассчитывались функции косинуса и синуса, из-за чего таблица содержала в себе 24 строки. Так как в числителе приведенных выше выражений (15, 16) присутствуют гармонические функции cos (qt) и sin (qt), то множители для t¡t периодически повторяются. Поэтому в более компактной и удобной для вычислений модификации метода АНИИ [3] значения высот уровня были сгруппированы таким образом, что для их сумм приходился cos (qt) sin (qt)
бы один множитель —^—- и — . Пример такой комбинации ординат уровня видим в табл. 1 и 2, где в столбцах-множителях № 8 и № 11 этих таблиц записаны значения cos (qt) и sin (qt), деленных на 12.
Модификация метода АНИИ для условий выраженных нелинейных эффектов
В первоначальном варианте метода АНИИ [2] была реализована возможность определения амплитуд и фаз трех гармоник: суточной гармоники, полусуточной гармоники и четвертьсуточной гармоники. Если суточная и полусуточная гармоника описывают приливные волны, вызванные приливообразующей силой, то четверть-суточная гармоника появляется в результате трансформации профиля полусуточной приливной волны на мелководье. В оригинальной версии метода [2] расчетная схема была выполнена для двух ортогональных составляющих течений и трех гармоник, из-за чего размер вычислительной формы составлял 21 столбец и 24 строки. При до-
бавлении к этой таблице вычислительных алгоритмов для одной новой мелководной гармоники вычислительная форма увеличилась бы еще на 6 столбцов. Следовательно, оригинальный вариант метода АНИИ не удобен для составления вычислительных форм дополнительных гармоник.
В 1955 г. в работе [3] были предложены более компактные и удобные расчетные схемы, но в них исключены вычисления для четвертьсуточной составляющей. В то время приборный парк океанологических экспедиций состоял в основном из механических измерителей, не имевших возможности получать и хранить длинные ряды измерений за течениями. Поэтому метод АНИИ использовался для оценок амплитуд приливных течений в открытых частях морей и океанов, где нелинейные приливные явления выражены слабо. Следовательно, пренебрежение четвертьсуточной гармоникой в модификации метода АНИИ 1955 г. можно признать обоснованным. С развитием измерительной техники, появлением сначала буквопечатающих вертушек, а затем электронных измерителей течений с возможностью хранения длительных рядов, метод АНИИ был вытеснен из арсенала исследователей динамики вод открытого моря, где его заменил гармонический анализ методом наименьших квадратов. Однако для прибрежных районов, где затруднительно или нерентабельно использовать дорогие современные измерительные приборы, имеющие возможность автономной работы, метод АНИИ оказывается востребованным до сих пор [8]. Но возникла другая проблема: в прибрежных акваториях сильны нелинейные приливные явления, и метод АНИИ модификации 1955 г. не может дать корректных результатов из-за существенной роли мелководных приливных волн. Поэтому, на наш взгляд, назрела необходимость составления новых вычислительных форм для учета мелководных гармоник.
Воспользовавшись основным принципом, лежащим в основе метода АНИИ, нами были составлены вычислительные формы для четырех мелководных волн (табл. 3 и 4), которые целесообразно учесть при анализе суточной серии наблюдений. Вычислительные формы новых гармоник дополняют стандартные таблицы для суточной (см. табл. 1) и полусуточной (см. табл. 2) волн. Расчеты для гармоник с кратными периодами были объединены в одну таблицу: вычисления амплитуд и фаз 1/6- и 1/3-суточных волн сведены в одну расчетную форму (см. табл. 3), аналогично алгоритмы определения параметров 1/8- и 1/4-суточных гармоник также объединены в одну таблицу (см. табл. 4).
Особенности составления вычислительных форм в методе АНИИ позволяют рассчитывать амплитуду и фазу любой гармоники отдельно, отсутствие вычислений других гармоник никак не скажется на значениях амплитуды и фазы искомой волны. Эта особенность выгодно отличает метод АНИИ от других методов гармонического анализа приливов, что также может оптимизировать вычислительные работы, так как пользователь имеет возможность упустить из виду те волны, высоты которых заведомо незначительны.
Для примера, рассчитаем амплитуды и фазы 6 гармоник для ряда измерений уровня моря, выполненных в августе 2011 г. в полузамкнутом бассейне Сисяярви, соединенным узкими проливами с губой Амбарная, Баренцево море. Данные получены в ходе экспедиции кафедры физической географии и ландшафтного планирования СПбГУ под руководством Андрея Анатольевича Бобкова.
В табл. 5 представлены амплитуды и фазы 6 гармонических составляющих колебания уровня моря, рассчитанных по вычислительным формам, приведенным в табл. 1-4.
Таблица 3. Форма вычисления амплитуд и фаз мелководных гармоник (1/3-суточные и 1/6-суточные волны)
Измерения X Вычисления для 1/3-суточной волны Вычисления для 1/6-суточной волны
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
час данные час данные час данные 1+2+3 С08 4x5 8Ш 4x7 С08 4x9 8Ш 4x11
0 404,4 8 349,0 16 383,3 1136,6 0,08333 94,72 0,00000 0,00 0,08333 94,72 0,00000 0,00
1 420,3 9 350,4 17 374,1 1144,8 0,05893 67,46 0,05893 67,46 0,00000 0,00 0,08333 95,40
2 408,4 10 360,0 18 363,4 1131,8 0,00000 0,00 0,08333 94,31 -0,08333 -94,31 0,00000 0,00
3 393,9 11 381,4 19 355,2 1130,6 -0,05893 -66,62 0,05893 66,62 0,00000 0,00 -0,08333 -94,21
4 383,1 12 406,4 20 349,9 1139,4 -0,08333 -94,95 0,00000 0,00 0,08333 94,95 0,00000 0,00
5 372,5 13 422,1 21 344,2 1138,8 -0,05893 -67,11 -0,05893 -67,11 0,00000 0,00 0,08333 94,90
6 363,2 14 411,0 22 350,2 1124,4 0,00000 0,00 -0,08333 -93,70 -0,08333 -93,70 0,00000 0,00
7 355,8 15 395,4 23 364,3 1115,5 0,05893 65,73 -0,05893 -65,73 0,00000 0,00 -0,08333 -92,96
Х3=Е = -0,77 ¥3 = Е = 1,85 Х6=Е = 1,66 ¥6 = Е = 3,13
А3 = ёз = 2,0 см 113° А6 = ёб = 3,5 см 62°
Таблица 4. Форма вычисления амплитуд и фаз мелководных гармоник (1/4-суточные и 1/8-суточные волны)
Измерения X Вычисления для 1/4-суточной волны Вычисления для 1/8-суточной волны
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
час данные час данные час данные час данные 1+2+3+4 С08 5x6 8Ш 5x8 С08 5x6 8Ш 5x12
0 404,4 6 363,2 12 406,4 18 363,4 1537,5 0,08333 128,12 0,00000 0,00 0,08333 128,12 0,00000 0,00
1 420,3 7 355,8 13 422,1 19 355,2 1553,4 0,04167 64,72 0,07217 112,11 -0,04167 -64,72 0,07217 112,11
2 408,4 8 349,0 14 411,0 20 349,9 1518,2 -0,04167 -63,26 0,07217 109,57 -0,04167 -63,26 -0,07217 -109,57
3 393,9 9 350,4 15 395,4 21 344,2 1484,0 -0,08333 -123,67 0,00000 0,00 0,08333 123,67 0,00000 0,00
4 383,1 10 360,0 16 383,3 22 350,2 1476,6 -0,04167 -61,52 -0,07217 -106,56 -0,04167 -61,52 0,07217 106,56
5 372,5 11 381,4 17 374,1 23 364,3 1492,3 0,04167 62,18 -0,07217 -107,70 -0,04167 -62,18 -0,07217 -107,70
Х, = Е = 6,58 У4=Е= 7,41 Хв = 1= 0,10 У8=Е= 1,40
а4= 9,9 см 48° а8= 1,4 см 86°
Для анализируемого ряда характерно преобладание полусуточной составляющей, описывающей почти 89% дисперсии колебания уровня моря. Вклад оцененных мелководных гармоник в общую дисперсию уровня моря также существенен и составляет почти 10%, в то время, как вклад суточной гармоники меньше процента. По данным табл. 5 видно, что 1/4- и 1/6-суточные гармоники имеют амплитуды большие, чем амплитуда суточной волны. Сравнение амплитуд показывает, что учет только суточной и полусуточной гармоники (метод АНИИ модификации 1955 года [3]) для района с выраженными нелинейными приливными явлениями дает некорректный результат.
Таблица 5. Амплитуды и фазы шести гармонических составляющих колебания уровня моря в полузамкнутом бассейне Сисяярви (губа Амбарная, Баренцево море, суточная серия наблюдений 20 августа 2011 года)
Гармоника Амплитуда (А), см Фаза Вклад гармоники в общую дисперсию колебания уровня моря, %
суточная 3,1 167 0,8
полусуточная 32,4 54 88,8
третьсуточная 2,0 113 0,3
четвертьсуточная 9,9 48 8,3
1/6-суточная 3,5 62 1,1
1/8-суточная 1,4 86 0,2
Время, ч
Рис. 2. Предвычисления приливного колебания уровня моря в полузамкнутом бассейне Сисяярви (губа Амбарная, Баренцево море) по результатам расчета различных модификаций метода АНИИ.
1 — данные измерения уровня моря; 2 — предвычисления по трем гармоникам, вычисленных по [2]; 3 — предвычисления по двум гармоникам, вычисленных по [3]; 4 — предвычисления по шести гармоникам (суточная, полусуточная, третьсуточная, четвертьсуточная, 1/6- и 1/8-суточные гармоники).
Более наглядно сопоставление предвычисленного уровня моря по данным различных модификаций метода АНИИ с измеренным уровнем моря (рис. 2). Видно, что наилучшее совпадение измеренного ряда и аппроксимирующего графика отмечается для суммы 6 гармоник, а наименее точное — при использовании лишь двух гармоник (модификация метода АНИИ 1955 г. [3]).
Таблица 6. Сравнение измеренного ряда с предвычислением по гармоническим постоянным, рассчитанным по различным модификациям метода АНИИ
Статистические параметры Модификации метода АНИИ
по И. В. Максимову [2] по К. Н. Соловейчик [3] с учетом 1/3-и 1/6-суточных гармоник с учетом 1/4-и 1/8-суточных гармоник с учетом 1/3-, 1/4-, 1/6-и 1/8-суточных гармоник
Количество волн 3 2 4 4 6
Коэффициент парной корреляции (r) 0,95 0,91 0,91 0,95 0,96
Максимальное отклонение, см 6,2 15,9 12,0 5,0 3,2
Средняя абсолютная ошибка (MAE), см 2,7 6,6 6,5 2,6 1,3
Среднеквадратическая ошибка (RSME), см 3,5 8,0 7,4 3,4 1,6
В табл. 6 приведены основные параметры сравнения измеренного ряда и аппроксимирующих его функций. Высокие коэффициенты парной корреляции (0,91-0,96), характерны для всех синфазных гармонических колебаний. Различия в моменте наступления максимумов двух рядов сказываются в уменьшении коэффициента парной корреляции: минимальное значение r = 0,91 отмечается между измеренным рядом и его аппроксимацией с помощью суммы только двух главных гармоник. Такое заниженное значение коэффициента парной корреляции по сравнению с другими рядами предвычисления объясняется несоответствием моментов наступления полных вод в графике измеренного уровня и предвычисления по двум гармоникам. На рис. 2 видно, что ошибка определения момента полной воды, используя данные, полученные по модификации метода АНИИ 1955 года [3], составит один час. В результатах предвы-числений уровня моря с учетом четвертьсуточной гармоники моменты наступления полных вод по данным измерений и по данным предвычисления совпадают (рис. 2), а коэффициент парной корреляции составит 0,95. Интересно отметить, что при учете амплитуд и фаз шести выделенных волн коэффициент парной корреляции для измеренного и предвычисленного ряда равен 0,96 (при округлении до второго знака после запятой). Остальные параметры из табл. 6 также свидетельствуют о том, что наихудшее совпадение с измеренным уровнем моря имеет место при учете в аппроксимационной функции только суточной и полусуточной гармоник (MAE = 6,6 см, RSME = 8,0 см), а наилучшее — при использовании всех выделенных мелководных волн (MAE = 1,3 см, RSME = 1,6 см).
Заключение
В работе представлена модификация метода АНИИ, адаптированная под условия с выраженными нелинейными приливными явлениями. Новые расчетные формы для четырех мелководных гармоник были составлены по аналогии с вычислительными схемами, предложенными в работе [3]. Модификация метода АНИИ с учетом мелководных гармоник была протестирована на ряде измерения уровня моря в полузамкнутом бассейне Сисяярви (губа Амбарная, Баренцево море). Результаты сравнения измеренного ряда и аппроксимирующих его функций с учетом выделенных гармоник показали достоверные результаты. Можно заключить, что метод АНИИ с учетом мелководных гармоник может быть использован для анализа коротких рядов наблюдений за приливным колебанием уровня моря или приливными течениями в тех районах Мирового океана, где сильны нелинейные приливные эффекты.
Необходимо напомнить, что полученные для ряда, длиной одни сутки, амплитуды и фазы гармоник пригодны лишь для аппроксимации измеренного ряда, по этим амплитудам и фазам нельзя спрогнозировать приливной уровень моря на произвольную дату. Согласно А. Т. Дудсону, в разложении потенциала приливообразующей силы в группе полусуточных приливов содержится 115 гармоник, а в группе суточных приливов — 158 гармоник. Следовательно, в оцененной нами полусуточной гармонике содержится результат сложной суперпозиции большого числа волн с полусуточным периодом (М2, Б2, N К2 и т. д.), а для суточной — результат наложения большого числа суточных приливных волн (Кь Оь Рь Ql и т. д.). То же самое справедливо и для мелководных гармоник, например, четвертьсуточная волна представляет собой результат суммирования волн М4, МБ4 и т. д. Также следует обратить внимание на то, что чаще всего наблюдения за уровнем моря выполняются по солнечному времени, и следовательно гармоники, выделяемые методом АНИИ, имеют периоды кратные солнечным суткам.
Для того, чтобы разделить суточную и полусуточную гармоники на четыре основные составляющие приливного колебания уровня моря (волны М2, Б2, К и О^ по оцененным методом АНИИ значениям амплитуд и фаз гармоник для двух разнесенных во времени суток, можно воспользоваться упомянутым во введении Парным методом. Этот метод, предложенный в работе [9], получил широкое распространение и в нашей стране [3-7, 10]. Результаты метода АНИИ могут быть источником условий для Парного метода. Кроме того, теоретически нет никаких препятствий для расширения Парного метода за счет разделения 1/3-, 1/4-, 1/6- и 1/8-суточных гармоник на составляющие прилива соответствующих периодов. Мы уверены, что результаты данной работы могут быть основой для создания более универсального Парного метода, позволяющего рассчитывать, в том числе гармонические постоянные для нелинейных приливных волн.
Авторы выражают признательность доценту кафедры физической географии и ландшафтного планирования СПбГУ к. г. н. Андрею Анатольевичу Бобкову за предоставленные материалы измерения уровня моря в полузамкнутом бассейне Сисяярви (губа Амбарная, Баренцево море).
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ-11-05-01211-а.
Литература
1. Руководство по морским гидрометеорологическим прогнозам. СПб.: Гидрометеоиздат, 1994. 525 с.
2. Максимов И. В. Основные приемы производства и камеральной обработки наблюдений над течениями в море. Л.; М.: Изд-во Главсевморпути, 1941. 330 с.
3. Соловейчик К. Н. Стандартные схемы для гармонического анализа одной и двух суточных серий наблюдений над течениями // Тр. ГОИН. 1955. № 30 (42). С. 171-183.
4. Дмитриева А.А. Методы расчета и предвычисления приливных течений. Л.: ЛГУ, 1963. 182 с.
5. Серегин М. П. Штурманские методы вычисления элементов прилива и приливо-отливных течений. М.: Морской транспорт, 1963. 135 с.
6. Альтшулер В. М. Практические вопросы анализа и расчета морских приливов. Л.: Гидро-метеоиздат, 1966. 311 с.
7. Лебедев В.Л. Руководство к практическим занятиям по расчету приливов. М.: Изд. МГУ, 1980. 66 с.
8. Бобков А. А., Стрелков П. П., Ильина А. Н. Приливная изменчивость океанологических условий сублиторали губы Ивановской // Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 7. 2010. Вып. 1. С. 86-99.
9. Doodson A. T., WarburgH. D. Admirality manual of tides. London: HMSO, 1941. 270 p.
10. Дуванин А. И. Приливы в море. Л.: Гидрометеоиздат, 1960. 390 с.
Статья поступила в редакцию 29 июня 2012 г.
УДК 528.721.122 (202)
Вестник СПбГУ. Сер. 7. 2012. Вып. 4
А. А. Симинеев, Е. И. Тарасова
ОБРАТНАЯ ФОТОГРАММЕТРИЧЕСКАЯ ЗАСЕЧКА: НАДЕЖНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
В настоящее время наиболее полным и достоверным источником первичной информации об объектах земной поверхности, природных явлениях и результатах деятельности человека являются цифровые и аналоговые снимки. Для географической привязки объектов, изображенных на них, необходимо знать элементы ориентирования снимков в пространстве. Задача определения элементов внешнего ориентирования (ЭВО) снимка является одной из основных задач фотограмметрии, и в специальной литературе известна как обратная засечка.
Элементы внешнего ориентирования (ЭВО) снимка обычно вычисляются из решения обратных [1]
х = х - г X-X,)+Ь,(У-у8)+с,(г-z8) 0 а3( X - Х8) + Ь3(У - У8) + с3^ - Zs )'
(1)
а2( X - Х8) + Ь2(У - У8) + с2( Z - Z8)
у = у0 - f-
0 ази - X8) + Ь3(У - У8) + с3^ - Z8)
или прямых зависимостей между координатами х, у точки снимка и координатами X, У, Z соответственной точки местности
я, (х - хп) + а (У - Уп) - , .X'
X = X, + ^ - Z8 -0--247 /0'-= X, + (Z - Z8)—,
сх(х - Х0) + с2(у - У0) - Cзf Z'
Ь, (х - хп) + Ь (У - Уп) - Kf , ,У'
У = + (z-Z8) -0-—/0'—= У8 + ^-Z8)—,
сх(х - Х0) + с2(у - У0) - Cзf Z'
(2)
где х0, у0 — координаты главной точки снимка; f— фокусное расстояние фотокамеры; X8, У8, Z8 — координаты точки фотографирования (линейные ЭВО); а, Ьi, сг (I = 1, 2, 3) — направляющие косинусы, являющиеся функциями угловых ЭВО снимка а, ш и к. Кроме того, уравнения (2) могут быть записаны в виде [2]
(X - X8)Z'-(Z - Z8) X ' = 0, (3)
(У- У8)Z'-(Z-Z8)У' = 0
© А. А. Симинеев, Е. И. Тарасова, 2012
