CC BY
348
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эя №<Ш 77 - 30569. Государственная регистрация №0421100025.155М 1994-0408_
Методы фильтрации на основе многоточечной аппроксимации плотности вероятности оценки в задаче определения параметров движения цели при помощи измерителя с нелинейной характеристикой 77-30569/238271
№ 10, октябрь 2011 автор: Микаэльян С. В.
УДК 621.396.969.1
МГТУ им. Н.Э.Баумана smikl@newmail.ru
Введение
Определение с максимально возможной точностью координат и скоростей объектов по последовательности измерений, формируемых радиолокационной или оптикоэлектронной системой, является центральной задачей любой системы слежения за целями в военной или гражданской сфере. Для ее решения разработано значительное число алгоритмов [1,2], базирующихся, в основном, на известном рекуррентном алгоритме фильтра Калмана, эффективно реализуемом на цифровых вычислителях. Однако считать окончательно решенной данную проблему до сих пор нельзя. Обусловлено это многими факторами, и одним из наиболее существенных является нелинейный характер моделей движения и измерений во многих практических задачах. Нелинейность появляется по многим причинам - в силу нелинейной связи систем координат, используемых в уравнениях объекта наблюдения и измерителя, из-за нелинейного характера самих уравнений. Нелинейные задачи возникают при построении адаптивных систем, реализуемых путем включения неопределенных параметров в оцениваемый вектор состояния [1]. Игнорирование нелинейностей и предельное упрощение ситуации может существенно снизить эффективность алгоритмов оценивания координат и скоростей в реальных системах слежения за целями.
На практике нелинейные алгоритмы оценивания применяются, но, в основном, ограничиваются простейшими вариантами, такими как расширенный фильтр Калмана.
При этом более мощные алгоритмы существуют, но применяются редко, поскольку требуют больших вычислительных затрат. Однако стремительный рост возможностей вычислительной техники на протяжении многих последних лет вполне позволяет использовать многие из этих алгоритмов на практике.
Ниже рассмотрены несколько вариантов алгоритмов нелинейной фильтрации, основанных на байесовском подходе к решению задачи оценивания для систем с дискретным временем. При этом центральной идеей этих алгоритмов является представление апостериорной плотности распределения оцениваемого вектора состояния в виде ансамбля взвешенных точек, регулярно или случайно распределенных в некоторой области фазового пространства. В настоящее время в западной литературе имеется значительное число публикаций по данной тематике, однако, в отечественной технической литературе она представлена достаточно слабо.
1. Байесовская процедура рекуррентного оценивания
Известная постановка задачи предполагает, что требуется получить оценку действительного вектора состояния некоторой динамической системы хк е К.п , где п е N -его размерность, заданного на множестве дискретных моментов времени, перечисляемых индексом к е N. Изменение х£ с течением времени описывается стохастическим уравнением
хк = /к (х£ -Ь Vк ) (1)
где - известная, в общем случае нелинейная, функция вектора состояния хк_у и случайной величины V£, задающей возмущающее воздействие. Наблюдается, при этом, другой случайный процесс z£ е К , задаваемый уравнением
ик к\ к? ”к
где нк - также известная и, в общем случае, нелинейная функция оцениваемого вектора Хк и случайной величины wк, задающей шум измерения. Предполагаются также известными все необходимые статистические характеристики возмущения \к и шума
w к.
Часто возмущения и шумы предполагаются аддитивными и, таким образом, рассматривается частный случай, предполагающий задание моделей оцениваемого и наблюдаемого процессов в виде:
/к {хк-1)+ Vк > (3)
Хк = 1к {Хк-і)+ V 2к = Кк {хк )+ wk • (4)
Согласно (1) Хк является марковским процессом и поэтому возможно другое описание его эволюции - через задание переходных плотностей вероятностей Р{хк I Х^), которые могут быть определены на основе (1) и статистических характеристик возмущения Vк . Выражение (2) позволяет определить условные плотности распределения вероятностей Р(г к 1 Хк) - функции правдоподобия, определяющие вероятность получения конкретных значений наблюдаемого процесса при заданном значении вектора состояния Х .
Наиболее полным решением рассматриваемой задачи будет получение условной плотности вероятности р{хк | ), где под ^ понимается вся последовательность
измерений до момента времени к, т.е ^ = {2г їм. Предполагая известной такую
плотность вероятности на момент времени к — 1, можно экстраполировать ее на момент к при помощи уравнения Колмогорова-Чепмена:
Р{хк 1 Хк—і) = I Р{хк 1 хк—і Мхк—1 1 Хк—1) ^к—ь (5)
После поступления нового измерения в момент времени к экстраполированная плотность вероятности р{хк | Х^) может быть скорректирована с использованием правила Байеса:
Р(хк 1 Хк ) = Р(хк 1 2 к > Хк—1)
Р(г к 1 хк, Ък—1 Мх к 1 Ък—1) Р(2 к 1 Хк—1) с — ■ Р(г к 1 хк )Р(хк 1 Хк—1і
(6)
где величина
с = р^к I хк-1)=I p(zk I хк )р(хк 1 хк-1 Ухк
не зависит от хк и играет роль нормализующей константы, которая на практике может быть определена из условия
I р(хк1 хк Ухк =1
Знание условной плотности распределения р(х£ | ) позволяет вычислить кон-
кретную оценку х^ в соответствии с выбранным критерием оптимальности.
Таким образом, принципиально имеется общее концептуальное решение рассматриваемой задачи оценивания в виде последовательной двухэтапной процедуры «предсказание-коррекция» согласно (5) и (6), однако непосредственное воплощение ее на практике оказывается, в общем случае, невозможным, поскольку требует обработки плотностей вероятности произвольного вида, что приводит к необходимости работы с бесконечномерными данными.
Практически применимые точные реализации указанного подхода получены лишь для ряда частных случаев, наиболее известным из которых является классический фильтр Калмана [3], основанный на аддитивной модели оцениваемого и наблюдаемого процессов с дополнительными предположениями о том, что уравнения (3) и (4) линейны, а Vк и wк - аддитивные белые гауссовы шумы. В этом случае распределения вероятностей оценок также оказываются гауссовыми, и решение рассматриваемой задачи удается свести к рекуррентной системе уравнений, оперирующих с первыми двумя моментами этих распределений. Для ограниченного класса нелинейных задач точные аналитические решения проблемы оценивания предложены Бенешем и Даумом [5].
При этом в реальных приложениях используются приближенные, квазиоптималь-ные методы, поскольку лежащие в основе точных решений предположения оказываются, как правило, невыполненными. Наиболее часто применяются методы, основанные на разложении в ряд Тейлора нелинейных функций, входящих в (1) и (2) (или (3) и (4)) в окрестности текущей оценки хк с последующим отбрасыванием членов ряда выше
некоторой, чаще всего первой, степени. Получающийся в последнем случае алгоритм получил название «расширенный фильтр Калмана» (РФК) [4].
Общим недостатком приближенных методов является то, что, в общем случае, невозможно заранее предугадать эффект от их применения и, как правило, требуется значительная работа по их адаптации к конкретной ситуации. Часто нужного результата удается добиться, иногда - нет, что является естественным стимулом для совершенствования существующих и разработки новых способов решения задачи оценивания, а также апробации их в конкретных приложениях.
Далее кратко представлены два подхода, использующие аппроксимацию плотностей вероятности оценки в виде ансамбля взвешенных точек. Общей характерной чертой данных подходов является отсутствие необходимости вычислять якобианы или производные более высоких порядков от нелинейных функций в уравнениях (1) и (2) (или (3) и (4)).
2. Ансцентный фильтр Калмана
Данный алгоритм позиционируется авторами [6], прежде всего, как замена РФК, с которым он сравним по вычислительной сложности. При этом он часто позволяет получить лучшие по точности оценки, поскольку реализует, по существу, не аналитическую, а статистическую линеаризацию нелинейностей. В названии здесь и далее использована транслитерация оригинального авторского названия Unscented Kalman Filter (UKF) поскольку прямой перевод на русский язык вряд ли целесообразен (unscented -«непахнущий»), а устоявшегося отечественного терминологического аналога пока нет.
Алгоритм предполагает аддитивные модели оцениваемого и наблюдаемого процессов согласно (3) и (4). В нем применяется аппроксимация распределений случайных величин xk ихk после соответствующих нелинейных преобразований гауссовскими
распределениями с аналогичными моментами первого и второго порядков, т.е. реализуется та же идея, что и в методе статистической линеаризации. При этом для расчета необходимых характеристик распределений величин x и z - математического ожидания и ковариационной матрицы, используется представление исходных случайных величин в виде набора взвешенных точек.
Для представления n -мерной величины X, с математическим ожиданием x и ковариационной матрицей Pxx используется ансамбль и 2n +1 точек - «сигма-точек»,
координаты
которых определяются по формулам [6]:
X0= х, Ж0= к /(и + к),
X' = х + (/(« + к )рхх 1 ^ Ж' = (и + к)/2, (7)
X'+” = Ї - (> + к )РП)', Ж'+и = (и + к) / 2,
где ' = 1...и, к є К - масштабный коэффициент, (](и + к)РХХ) . - ' -я строка матричного квадратного корня из [(и + к )РН ]■ Масштабный коэффициент введен для «тонкой настройки» аппроксимации моментов более высокого порядка и может быть использован для уменьшения ошибок преобразования. В случае гауссовой величины предлагается определять этот коэффициент на основе эвристического правила и + к = 3 .
Для случайной величины у, являющейся результатом нелинейного преобразования у = g(х), где g : Кп ^ Кт, математическое ожидание у и ковариационная матрица Ру могут быть определены следующими образом:
2и
у = їґ • g (х')
г=0
Ру = ■ [г (хг)- у ][г (хг)- У ] •
г=0
Рассмотрим собственно алгоритм фильтрации [6]. Как уже упоминалось, модели оцениваемого процесса и измерений задается уравнениями (3) и (4). Возмущение объекта Vк и шум измерений wк представляют собой нормально распределенные случайные величины с нулевым средним и ковариационными матрицами, равными, соответственно, Ък и И к . Предполагая, что для (к -1) -го момента времени известны математическое ожидание и ковариационная матрица оцениваемого вектора, равные, соответственно, х к -1 и Рк —, вначале согласно (7) производится расчет ансамбля сигма-точек. Для предсказания на следующий момент времени к используются выражения:
x k|k-1 fk -1 (x k-1 )>
2n
Xk|k-1 = XWk-l • Xk|k-1, i=0
Pk|k-і=Qk-і+'!2nw/c-l •[x k|k -і- x k|k-і][x k|k-і- x k|k-і Г, i=0
2n
1 = XWk-l • hk-1(xk|k-1 )
z k|k-l ^Wk-l • hk
i=0
Обновление оценок в соответствии с новым измерением х к осуществляется по формулам:
xk|k xk|k-1 + Kk '(z k z k|k-1 ]>
Pk|k = Pk|k -1 - K k Sk Kk,
(9)
где
Кк = Р^к1,
^ к = ^ к +
Ри = Х^к-1 ‘ [)Ск|кк1 к хк|кк1 ][^(хк|кк1 )к 2к|кк1 Г,
г=0
Ри = Ж. • [^(хк|кк1)к 2к|кк1 ][^(хк|кк1)к 2к|кк1 Г •
г-0
Наиболее сложной вычислительной операцией алгоритма является вычисление матричного квадратного корня, однако для ее выполнения существуют достаточно эффективные численные процедуры.
3. Многочастичные фильтры (МЧФ)
В настоящее время активно развивается подход к решению задачи оценивания, в котором используется компьютерное моделирование используемых вероятностных распределений на основе метода статистических испытаний (метода Монте-Карло). Имеется значительное число конкретных реализаций этого подхода [8-12], называемого в англоязычной литературе Particle Filters (PF). Потенциально он дает возможность получить решение (в виде компьютерного алгоритма) практически любой конкретной за-
дачи оценивания - для различных нелинейностей, с неаддитивными и негауссовыми шумами и т.д. Главным недостатком является большая вычислительная сложность, поскольку для моделирования вероятностных распределений используются генерируемые при помощи датчика псевдослучайных чисел статистические выборки весьма большого объема - из сотен и тысяч «частиц» (particles). В настоящее время, однако, вычислительная техника уже позволяет применять алгоритмы МЧФ в реальных приложениях. Далее кратко рассмотрены некоторые детали, связанные с содержанием и применением данного подхода.
3.1. Алгоритмы МЧФ на основе метода последовательной выборки по значимости
Ключевой идеей является представление апостериорной плотности вероятности
оцениваемой величины xk при помощи набора точек \^гк |*=1 и их весов Wk ]П=1 формируемых согласно методу существенной выборки [7] или выборки по значимости (importance sampling). Данный метод предусматривает, что оцениваемый методом Монте-Карло интеграл вида
I = |f (x )p(x )dx,
G
где p(x) интерпретируется как плотность вероятности некоторой случайной величины, бывает целесообразно путем замены p(x) = w(x )q(x) привести к виду
I = Jf (x )w(x)q(x )dx, (10)
G
где q(x) также интерпретируется как плотность вероятности некоторой вспомогательной случайной величины. При этом должно выполняться необходимое условие
Vx: p(x) >0 ^ q(x) >0, (11)
вследствие чего можно определить w(x):
p(x)
q(x)
Вспомогательное распределение, задаваемое плотностью q(x), называется «рас-
пределением значимости». Условие (11) не определяет этого распределения однозначно, что дает возможность использовать выбор q(x) для решения дополнительных задач. В частности, на этом основан один из способов уменьшения дисперсии оценки интеграла (10) [7], оцениваемого как
/ * 1 if (x Ц*)=1 if x W,
N i=l N i=l
где {xi N j - случайная выборка, формируемая в соответствии с распределением q(x),
а {V1 = w(xl )jjN1 - веса ее элементов.
В рассматриваемом подходе к решению задачи нелинейной фильтрации соответствующий выбор распределения значимости дает возможность реализовать алгоритм «последовательной выборки по значимости» (sequential importance sampling - SIS), являющийся основой для построения большинства разновидностей МЧФ.
Пусть, в соответствии с методом выборки по значимости, апостериорное распределение вектора состояния аппроксимируется взвешенным набором случайных
/ i W
точек {7k_j г=1, выбранных согласно вспомогательной плотности вероятности
q(xk_! | _!)
N
р(х1_! I Ък_1) « -1 - X1 -1) (12)
/=1
При этом, очевидно
N ( \
д(х1-11 ък_1)« Х^(х1-1- х1 -1) (13)
/=1
На 1 -ом шаге для аппроксимации плотности вероятности используется набор то-
(
чек г=1. Применив (12) на основе (5) и (6) получим
р(х 11 ък Ьс • р(х к1 х 1 ^К-ь^х 11 х 1 -1) (14)
/=1
С другой стороны
Рх \\Ък) = Ж' - )
(15)
Предположим, что плотность вероятности ^(х11 ) удовлетворяет условию
я(ч1 х1)=| ^1 х1-1. *1 Мх1-11 ^1-1 )лх1-1- (16)
Приравнивая (14) и (15) с учетом (13) и (16) получим рекуррентное уравнение связывающее значения весовых коэффициентов на 1 -ом и (1 -1) -ом шаге:
Ж = с - чти р(2
і рк-\ х - )р(х1к \ х к -і) ч{х- \ х--1,2 - )
Нормализующая константа с на практике не рассчитывается, а для пересчета весовых коэффициентов используется следующая двухэтапная процедура:
цгі _ Ж' 1 ! Х- )р(х- ! х--1) (17)
?(х* \ X--1>)
ж/
К = ^ •
Ж (18)
/=1
Выбор функции значимости, удовлетворяющей условию (16) неоднозначен. Часто принимается
ц{х-\ хі-и ) = Р(Х-\ х--1 )і (19)
* 11=
что приводит к наиболее простой практической реализации фильтра, поскольку в данном варианте формирование новых выборочных точек производится путем непосредственного применения уравнения измерений (2) к элементам выборки предыдущего шага, а формула (17) упрощается до
Ж = ж- - р(ч\х!к).
С алгоритмом последовательной выборки по значимости связана одна серьезная проблема - показано [9], что дисперсии весов точек аппроксимирующей выборки с течением времени могут только увеличиваться. Практически это приводит к тому, что
после некоторого числа итераций веса всех точек, за исключением одной, становятся пренебрежимо малыми, в результате чего аппроксимация плотности распределения оцениваемой величины перестает быть корректной. Данная проблема получила название «вырождение выборки».
Количественно степень вырождения может быть оценена величиной «эффективного размера выборки», определяемого формулой [10]
1
i=1
Максимальное значение N — N соответствует случаю одинаковых весов
efmax
Wi — —, а минимальное Neff — 1 - случаю, когда вес одной из точек выборки ра-
N fmin
вен 1, а всех остальных - 0.
Для предотвращения вырождения выборки используются процедуры регенерации выборки (resampling). Для проведения регенерации разработаны различные алгоритмы, как детерминированные, так и рандомизированные [10]. В процессе регенерации из аппроксимирующей выборки удаляются точки с малыми весами, а точки с большим весом заменяются группами точек с меньшим весом таким образом, чтобы сохранились объем выборки и выборочная функция распределения. Операция регенерации может производиться как на каждой итерации, так и по необходимости, когда эффективный размер выборки (20) уменьшается до некоторого порогового значения. Скорость вырождения выборки может быть уменьшена за счет соответствующего выбора функции q(x^ | Z) [9], однако использование той или иной процедуры регенерации является характерной чертой всех многочастичных алгоритмов фильтрации, использующих метод последовательной выборки по значимости (МЧФ-ПВЗ). На рисунке 1 приведена блок-схема простого варианта алгоритма МЧФ-ПВЗ, основанного на выборе функции значимости в соответствии с (17).
Рисунок 1 - Блок схема алгоритма МЧФ-ПВЗ
Существует множество модификаций алгоритмов данного типа [10,11], обеспечивающих улучшение качества работы фильтра в тех или иных ситуациях за счет более адекватного рассматриваемой задаче выбора функции значимости и/или усовершенствования алгоритма регенерации.
3.2. Алгоритмы МЧФ, не требующие регенерации
Одним из наиболее реальных путей для преодоления вычислительной сложности алгоритмов МЧФ и их практического внедрения является применение многопроцессорных вычислительных средств и соответствующее распараллеливание вычислительных процедур. Основные этапы алгоритмов МЧФ достаточно хорошо подходят для реализации с помощью параллельных вычислительных архитектур, однако необходимость проведения регенерации порождает при этом существенные трудности.
В настоящее время разработан ряд алгоритмов, не требующих регенерации. Пла-
той за это является отказ от процедуры последовательной выборки по значимости и, соответственно, невозможность выполнения пересчета весов по рекуррентной схеме (17)-(18). Предполагается, что имеется возможность сформировать выборку случайных точек, представляющих апостериорное распределение непосредственно в соответствии с функцией значимости д(хк | ^). Расчет ненормированных весов при этом осуществляется по формуле
и_р( и\%к )р{х!к; хк ,1 )
Ли; хк \ ък-1) ’
wk =
Примером данного класса алгоритмов является так называемый «гауссовский многочастичный фильтр» (ГМЧФ) - 'Gaussian Particle Filter' (GPF) в англоязычной литературе [12], блок-схема которого представлена на рисунке 2.
Рисунок 2 - Блок схема алгоритма ГМЧФ В алгоритме предполагается, что апостериорная плотность распределения вероят-
ностей близка к гауссовой и, соответственно, он предназначен для использования в случаях сравнительно малых нелинейностей. Распределение значимости выбирается исходя из особенностей решаемой задачи, может также использоваться гауссово распределение, с математическим ожиданием и ковариацией, определяемыми экстраполированными значениями оценок. Существуют модификации ГМЧФ, в которых экстраполяция оценок осуществляется с помощью соответствующего шага алгоритма АФК (8), а моделирование по методу Монте-Карло используется только на этапе обновления оценок (вместо (9)).
4. Сопровождение низкоскоростной цели по дальности в многоцелевой РЛС при высоком уровне шума
В качестве примера возможного применения нелинейных методов оценивания рассмотрим задачу сопровождения по дальности в РЛС с цифровой обработкой информации, входящей в состав системы управления артиллерийским огнем. Для решения задачи встречи необходимо экстраполировать координаты цели на значительный интервал времени, в связи с чем предъявляются повышенные требования к точности определения параметров ее движения и, прежде всего, скорости - даже для низкоскоростных и неманевренных целей.
Естественным требованием к такой РЛС в настоящее время является возможность одновременного сопровождения нескольких целей, находящихся на различных дальностях. Возможная схема реализации цифрового блока слежения по дальности приведена на рисунке 3.
На вход вычислительного устройства информация подается с АЦП в виде дискретных отсчетов комплексной огибающей принятого сигнала формируемых фазовым детектором (ФД) в аналоговой части приемного тракта. Поступающие данные последовательно обрабатываются алгоритмом согласованного фильтра. В случае, когда в качестве зондирующего сигнала используются немодулированные импульсы длительностью , такая обработка реализуется сумматором, производящим накопление сигнала
в течении этого времени. Результаты накопления }=1 последовательно записываются в буфер, используемый для хранения данных предварительной обработки сигнала в необходимом диапазоне дальностей. Иначе можно сказать, что в буфер заносятся результаты обработки входного сигнала «гребенкой» согласованных фильтров настроен-
ных на некоторое множество дальностей (стробов) О}"= ^, покрывающих требуемый диапазон с фиксированным шагом, соответствующим длительности зондирующего импульса М.
Рисунок 3 - Функциональная схема цифрового измерителя дальности
Определение параметров движения каждой из сопровождаемых целей осуществляется при помощи следящего алгоритма, включающего в себя вычислитель дальности (ВД) и следящий фильтр дальности (СФД). На каждом такте работы алгоритма ^ вычислитель дальности определяет измеренное значение дальности Ок на основе совместной обработки нескольких отсчетов в буферном ОЗУ, в простейшем случае - двух, поскольку при указанном способе его заполнения входной сигнал может попасть только в два соседних строба. Индексы стробов т и т +1, подлежащих обработке выбираются на основе имеющихся предыдущих оценок дальности [)к_1 и скорости _1.
Далее будет предполагаться, что эти индексы всегда выбираются верно. Измеренное значение дальности при этом вычисляется как
(21)
где О = (От + От+!)/2 - дальность, соответствующая границе между стробами, От, От+1 -дальности выбранных стробов, АО = От+1 _ От - размер строба.
Весовой коэффициент Ж принимает значения в диапазоне от _ 1 до 1 и вычисляется по формуле [2]
(22)
где ит ,ит+і - значения сигналов, соответствующих анализируемым стробам дальности.
Относительно ит ,ит+1 примем, что с выходов фильтров берется амплитуда накопленного за время А комплексного сигнала, поступающего с фазового детектора, в соответствии с чем
где ис и и^ — значения косинусной и синусной составляющих накопленного сигнала соответственно.
Обе квадратуры, в общем случае, представляют собой суммы сигнальной и шумовой составляющей. В [2] показано, что при малом уровне шума подобный 2-стробовый измеритель дальности обладает хорошей линейностью, однако увеличение шума приводит к деформации дискриминационной характеристики для каждой пары стробов, проявляющейся, прежде всего, в уменьшении ее крутизны. Поскольку при слежении за подвижным объектом пара стробов, используемых для вычисления поправки постоянно меняется, результирующая характеристика измерителя становится существенно нелинейной, приобретая «ступенчатый» вид. На рисунке 4 приведена полученная методом компьютерного моделирования зависимость математического ожидания значения измеренной по формуле (21) дальности Б от действительной дальности Б для двух различных уровней шума. При моделировании принималось
(23)
(24)
где I = т, т +1, пс, П - нормальные случайные величины с нулевым математическим
2
ожиданием и одинаковой дисперсией <7п (шум), £г- - неслучайная величина (сигнал),
определяемая только величиной перекрытия сигнального импульса с анализируемыми стробами дальности.
Размер строба здесь и далее АО = 60 м.
х 104
1,014
1,008
5
'С
1,002 0,996
0,996 1,002 1,008
£), м
Рисунок 4 - Характеристика вычислителя дальности
Такая ступенчатая форма результирующей характеристики вычислителя дальности может привести к существенным систематическим ошибкам в определении параметров движения наблюдаемых целей при смене пары используемых стробов, прежде всего, в случае малой радиальной составляющей скорости. При необходимости экстраполяции движения цели на значительный промежуток времени подобные ошибки могут быть недопустимыми. Далее рассматриваются варианты реализации СФД на основе различных методов оценивания с точки зрения минимизации ошибок, вызванных подобной формой характеристики ВД.
В качестве отправной точки для проведения сравнительного анализа был использован вариант построения СФД на основе классического фильтра Калмана (КФК). При этом модель движения цели имеет вид
хк = г • хк _1 + Ц_1> (25)
или в развернутом виде
Ок і с1Т Ок -1 0
= +
V _ 0 і V -і _ 1 Л
где Д и V — дальность и радиальная скорость цели, соответственно, dT — интервал времени между поступлениями измерений, — возмущение скорости — нормальный белый шум с нулевым средним и дисперсией <Уу .
Модель измерений
Щ = 2° = Д + £ = [1 0]-Х, +%,
где - шум измерений - нормальный белый шум с нулевым средним и дисперсией Г2.
Приведенные модели использовались для построения фильтра, формирование измерений производилось непосредственно по уравнениям (21)-(24). Результаты статистического моделирования приведены на рисунке 5 в виде временных зависимостей, отражающих поведение следующих величин:
- среднеквадратической \£(^) и максимальной по модулю £ ошибок оценки
' ' | \ywax
дальности (рисунок 5а), определяемых по формулам:
Ы,
и
Г^тахк
_ Д
соответственно, где N - число испытаний, - оценка дальности на к -ом временном шаге в / -ом испытании, а Д - соответствующая истинная дальность;
- среднеквадратической (еу) и максимальной по модулю £ ошибок оценки
' ' | тах
радиальной скорости (рисунок 5б), определяемых аналогичным образом с заменой оценок и значений дальности Ди на соответствующие оценки и значения радиальной скорости Vй и V;
- средней ошибки измерения дальности Sd (рисунок 5 в) и радиальной скорости Бу (рисунок 5г), определяемых как выборочные средние отклонений соответствующих
оценок от истинных значений.
Число испытаний при проведении моделирования N = 100, уровень шума 7п = 0,4. На графиках средних значений ошибок пунктиром нанесены оценки границ диапазона от ( — 7 ) до 7 для соответствующих величин.
Рисунок 5 - Результаты моделирования СФД на основе КФК
Из приведенных результатов видно, что оценивание дальности и скорости по алгоритму КФК сопровождается значительными ошибками, причем систематическая составляющая ошибок заметно превосходит случайную. При этом ошибки имеют характер колебаний, обусловленных сменой пары стробов, используемых в ВД, размах которых превышает 15 м по дальности (рисунок 5б) и 3 м/с по скорости (рисунок 5г). При экстраполяции параметров движения цели на характерное для артиллерийских систем время от 10 до15 с результирующая погрешность может стать недопустимо большой.
При построении фильтров в соответствии с нелинейными методами оценивания принимались во внимание следующие обстоятельства:
- модель измерений, описываемая уравнениями (21)-(24), является достаточно сложной;
- при этом, для построения замкнутой модели требуется знать текущий уровень
шума на выходах фильтров, что не всегда возможно.
По указанным причинам, непосредственное использование уравнений (21)-(24) в качестве модели измерений является, по меньшей мере, затруднительным, однако приведенные на рисунке 4 характеристики достаточно хорошо аппроксимируются ломаными линиями, описываемыми функцией:
нв {о, к) = и0 {о)+{о - и0 )• к,
где О0 {о) - опорная дальность, которую можно определить как
о
(26)
Оо {оУ
АО
+ 0,5
•АО,
(27)
а К - некоторая крутизна характеристики.
Крутизна К зависит от уровня шума во входном сигнале и, соответственно, неизвестна, однако в нелинейной постановке задачи ее можно включить в оцениваемый вектор состояния и реализовать, таким образом, адаптивный фильтр дальности и скорости цели. Таким образом, в данном случае вектор оцениваемых параметров
хк = О Ук Кк ^. Модель процесса линейна и соответствует (25), а в развернутом виде
ок 1 "1 СТ 01 ок-1 "01
Ук = 0 1 0 Ук-1 + 4%
Кк _ 0 0 1 Кк-1 1 к - К 1
где к величинам, описанным выше, добавляется 4 - возмущение модели крутизны, относительно которого принято допущение, что оно также представляет собой нормальный белый шум с нулевым математическим ожиданием и дисперсией .
В нелинейной модели измерений используется эмпирическая характеристика вычислителя дальности, задаваемая формулами (26)-(27)
:? = Ио О, Кк )+&.
Результаты моделирования вариантов реализации СФД на основе нелинейных методов оценивания приведены на рисунках 5-8.
Рисунок 6 - Результаты моделирования СФД на основе РФК
Рисунок 7 - Результаты моделирования СФД на основе АФК
Рисунок 8 - Результаты моделирования СФД на основе ГМЧФ
Рисунок 9 - Результаты моделирования СФД на основе МЧФ-ПВЗ
Моделирование проводилось при тех же условиях, что и в случае КФК. В многочастичных алгоритмах (МЧФ-ПВЗ и ГМЧФ) использовались выборки объемом 1000 точек.
Из приведенных результатов видно, что:
- по сравнению с КФК во всех случаях наблюдается, прежде всего, значительное уменьшение систематической ошибки оценивания, хотя она и проявляется в моменты перехода от одной пары стробов к другой в вычислителе дальности;
- наилучшие, с точки зрения уменьшения систематической ошибки, результаты дает алгоритм АФК (систематическая ошибка по дальности в установившемся режиме не превышает 5 м, а по скорости - 0,5 м/с);
- похожие по характеру поведения ошибки результаты получены при применении алгоритма МЧФ-ПВЗ, алгоритмы РФК и ГМЧФ показали несколько худшие результаты, хотя и заметно лучше, чем КФК;
- случайные ошибки оказываются, в целом, несколько больше, чем при применении КФК, что можно объяснить расширением вектора оцениваемых параметров за счет включения в него крутизны характеристики измерителя дальности;
- многочастичные алгоритмы обладают более длительным периодом установления, на протяжении которого в некоторых реализациях могут наблюдаться значительные отклонения от точного значения оцениваемой величины, дополнительные исследования показывают, что данный факт существенно зависит от объема используемой выборки - при проведении испытаний с объемом выборки 500 точек наблюдались отдельные срывы сопровождения;
- применение алгоритмов, учитывающих нелинейность измерителя дальности, позволяет существенно повысить точность сопровождения, при этом использование более сложных методов, чем РФК, может быть вполне оправдано, так, например, лучшие результаты в целом в данном приложении показал алгоритм АФК, а в установившемся режиме - алгоритм МЧФ-ПВЗ.
Список литературы
1. Фарина А., Студер Ф. Цифровая обработка радиолокационной информации. Сопровождение целей: Пер. с англ. / Под ред. А.Н. Юрьева - М.: Радио и связь, 1993. -319 с.
2. Оценивание дальности и скорости в радиолокационных системах. Часть 2 /
В.И.Меркулов, А.И. Перов, В.В. Дрогалин - М.: «Радиотехника», 2007. - 304 с.
3. Шахтарин Б.И. Фильтры Винера и Калмана. - М.: Гелиос АРВ, 2008. - 408 с.
4. Шахтарин Б.И. Нелинейная оптимальная фильтрация в примерах и задачах. -М.: Гелиос АРВ, 2008. - 344 с.
5. Daum F. Nonliner Filters: Beyond the Kalman Filter // IEEE A&E Systems Magazine, Vol. 20, No. 8, August 2005, pp. 57-69.
6. Julier S.J., Uhlmann J.K. A New Extension of the Kalman Filter to Nonliner Systems // Proc. of AeroSence: The 11th Int. Symp. on Aerospace/Defence Sensing, Simulation and Controls., 1997.
7. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. - М.: Наука, 1973. - 312 с.
8. Gordon N.J., Salmond D.J., and Smith A.F.M. Novel approach to nonlinear/nonGaussian Bayesian state estimation // IEE Proceedings-F, vol. 140, no. 2, pp. 107-113, 1993.
9. Doucet A., Godsill S. and Andrieu C. On sequential Monte-Carlo sampling methods for Bayesian filtering // Statistics an Computing, vol. 10, no. 3, pp. 197-208, 2000.
10. Arulampan S., Maskell S., Gordon N. and Clapp T. A tutorial on particle filters for on-line nonlinear/non-Gaussian Bayesian tracking // IEEE Transactions on Signal Processing, Vol. 50, No. 2, February 2002, pp. 174-188.
11. Ristic, B., Arulampalam, S. and Gordon, N. Beyond the Kalman Filter: Particle Filters for Tracking Applications. Artech House. Boston, 2004.
12. Kotecha J., Djuric P. Gaussian Particle Filtering // IEEE Transactions on Signal Processing, Vol. 51, No. 10, October 2003, pp. 2592-2601.
Filtering methods based on multipoint approximation of the estimation probability density in defining the target motion rate parameters with nonlinear sensor 77-30569/238271
# 10, October 2011 author: S. Mikaelyan S.V.
The article considers nonlinear filtering methods based on approximation of estimation probability density by means of a set of weighed points in phase space. The given methods are applied to one problem of a target tracking with nonlinear radar sensor. The article provides results of modeling the algorithms in comparison with widely used classical and extended Kalman filtering algorithms.
Publications with keywords: target tracking, nonlinear sensor, unscented Kalman filter, particle filters
References
1. Farina, A., F. Studer digital processing of radar data. Tracking of targets: Trans. from English. / Ed. AN St. George's - M.: Radio and Communication, 1993. - 319.
2. Estimation of range and velocity in radar systems. Part 2 / VI Merkulov, AI Perov, V. Dro-galin - Moscow, "Radio", 2007. - 304.
3. Shakhtarin BI Wiener filters and Kalman. - M.: Helios ART, 2008. - 408.
4. Shakhtarin BI Nonlinear optimal filtering of examples and problems. - M.: Helios ART, 2008. - 344.
5. Daum F. Nonliner Filters: Beyond the Kalman Filter / / IEEE A & E Systems Maga-zine, Vol. 20, No. 8, August 2005, pp. 57-69.
6. Julier S.J., Uhlmann J.K. A New Extension of the Kalman Filter to Nonliner Systems / / Proc. of AeroSence: The 11th Int. Symp. on Aerospace / Defence Sensing, Simulation and Controls., 1997.
7. IM Sobol The numerical Monte Carlo methods. - Moscow: Nauka, 1973. - 312.
8. Gordon N.J., Salmond D.J., and Smith A.F.M. Novel approach to nonlinear / non-Gaussian Bayesian state estimation / / IEE Proceedings-F, vol. 140, no. 2, pp. 107-113, 1993.
9. Doucet A., Godsill S. and Andrieu C. On sequential Monte-Carlo sampling methods for Bayesian filtering // Statistics an Computing, vol. 10, no. 3, pp. 197-208, 2000.
10. Arulampan S., Maskell S., Gordon N. and Clapp T. A tutorial on particle filters for on-line nonlinear/non-Gaussian Bayesian tracking // IEEE Transactions on Signal Processing, Vol.
50, No. 2, February 2002, pp. 174-188.
11. Ristic, B., Arulampalam, S. and Gordon, N. Beyond the Kalman Filter: Particle Fil-ters for Tracking Applications. Artech House. Boston, 2004.
12. Kotecha J., Djuric P. Gaussian Particle Filtering / / IEEE Transactions on Signal Processing, Vol. 51, No. 10, October 2003, pp. 2592-2601.
