CC BY
50
Наука и Образование
МГТУ им. Н.Э. Баумана
Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2017. № 05. С. 74-88.
Б01: 10.7463/0517.0001171
Представлена в редакцию: Исправлена:
© МГТУ им. Н.Э. Баумана
УДК 621.396.969.1
Определение угловых координат источника излучения в пассивном локаторе методом многоточечной фильтрации
11.04.2017 25.04.2017
Кузнецов В.Р.1'", Жураковский В.Н.2
1НИИСМ МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия 2МГТУ
им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия
В статье рассматривается задача сопровождения цели пассивным радиопеленгатором, базирующемся на борту космического аппарата, особенностью которой является наличие измерения только одного угла, по которому цель должна бать сопровождена. Основная проблема в такой задаче - наличие погрешности измерения и сторонних шумов, из-за чего может произойти срыв слежения наблюдаемой цели. Для решения этой проблемы, задача представляется в виде байесовской задачи рекуррентного оценивания. Далее описывается разработанный алгоритм, основывающийся на многочастичном фильтре, с помощью которого возможно получить решение поставленной задачи, и показывается его реализация. По результатам моделирования разработанный алгоритм показал быстроуменьшающуюся динамику квадрата ошибки сопровождения относительно идеальной траектории, что говорит о его состоятельности.
Ключевые слова: пассивный пеленгатор; сопровождение цели по углу; байесовская задача рекуррентного оценивания; многочастичный фильтр
Введение
Задача сопровождения цели является достаточно актуальной из-за ее большого практического применения во многих радиолокационных системах воздушного, морского, а также космического базирования. Решение данной задачи возможно двумя методами. В первом радары, датчики или антенны используются в активном режиме, излучая, при этом, собственные сигналы и измеряя расстояние до цели напрямую. В таком методе информация о расстоянии до цели получается с датчиков напрямую, однако, риск обнаружения радиолокационной системы, с которой наблюдается цель, при этом, достаточно высок [1]. Более того, в космических системах такой метод невозможно применить из-за большого расстояния до земной поверхности.
Во втором подходе для того, чтобы снизить риск обнаружения, датчики и антенные решетки используются в пассивном режиме, где доступны только угловые измерения це-
ли, а, зачастую, и вовсе только одно угловое измерение. Основная идея такого пассивного сопровождения цели заключается в использовании информации об углах для оценки ее неизвестного относительного положения [1-5]. Оценивание часто производят с помощью классических методов, основанных на применении фильтра Калмана. Их общая проблема заключается в том, что один линеаризованный фильтр может легко расходиться [6], но, например, в [7] она решается с помощью выбора различных систем координат. Другой подход к решению задачи пассивного сопровождения цели основывается на использовании гребенки фильтров Калмана, где каждый из фильтров настраивается на разную дальность [8], однако, в таком подходе имеет место сложная структурная и программная архитектура построения фильтра [9].
В данной статье предлагается решение задачи сопровождения на основе одного нелинейного фильтра - многоточечного фильтра (МЧФ), именуемого в иностранной литературе, как particle filter (PF) [10-12]. МЧФ базируется на вероятностном представлении состояния оцениваемой системы с помощью множества частиц (particles), которое делает возможным представление нелинейной модели измерения с помощью функций плотностей вероятностей [10]. Однако, у МЧФ существует проблема, которая заключается в том, что его быстродействие очень быстро уменьшается при увеличении размерности множества частиц. Ключевым вкладом для решении этой проблемы является применение методов маргинализации [13], адаптированных из [14], которые также были использованы в данной работе.
1. Постановка задачи
Рассмотрим задачу сопровождения наземного излучающего источника пассивным радиопеленгатором в следующей постановке. Космический аппарат (КА) движется в направлении, показанном на рисунке 1, со скоростью 3, которая, в общем случае, неравномерна. На борту КА установлена пассивная радиопеленгационная система, которая в момент времени t0 измеряет угловое направление принятого от наземного источника (цели)
сигнала yt^ = ^ + vt, где ^ - реальный целевой угол, а vt « 5(р - погрешность измерения этого угла. Через некоторое время At, в момент времени t, система измеряет направление нового принятого сигнала от того же источника yt = tyt + vt и должна ассоциировать его с уже имеющимся измерением y . Однако, из-за наличия погрешности измерения, которая
бывает достаточно значительной, а также наличия сторонних шумов, ассоциирование может не произойти, и это будет означать, что произошел срыв слежения наблюдаемой цели [5]. Для того, чтобы избежать срыва слежения, в данной статье предлагается алгоритм сопровождения цели по углу с ассоциированием не измеренных углов y , а оценок их измерений, получение которых реализуется с помощью МЧФ [2].
2. Байесовская задача рекуррентного оценивания
В данной статье постановка приведенной задачи представляется в виде байесовской задачи рекуррентного оценивания [3], которая заключается в получении оценки состояния X (в нашем случае угла), изменение которого описывается уравнением
= /((х^) + Ь(, 0)
наблюдая, при этом,
У, = К (х<) + V, , (2)
где , К - известные, в общем случае, нелинейные функции состояния х,_1 и х,;
^ и V, - статистические характеристики: аддитивные возмущающее воздействие и шум (погрешность) измерения соответственно.
г \
Рис. 1. Задача сопровождения цели по углу
С другой стороны, описание динамики состояния х( и наблюдения у, согласно (1) и (2), возможно также с помощью задания переходных плотностей вероятностей р (х( | х(_1) и условных плотностей вероятностей р (у{ | х(), которые могут быть определены на основе (1), (2) и статистических характеристик [2, 3].
Решением же рассматриваемой задачи будет получение условной плотности вероятности р (х( | у), где под у понимается последовательность измерений до момента времени t, т.е. у = {у },=1 . Предполагая известной такую плотность распределения вероятно-
стей на момент времени t - 1, можно экстраполировать ее на момент времени t при помощи уравнения Колмогорова-Чепмена:
Р (I Х-1 ) = j Р (xt I xt-1 )Р(xt-1 I Yt-1 ) dxt_!. (3)
После поступления нового измерения yt в момент времени t экстраполированная плотность вероятности (3) корректируется по правилу Байеса [3]:
p ( -t | Yt ) = p ( -t | yt, Yt- = Р (yt UtpY _1 ^ (- |Yt _1 ) = c> ( yt | -t ) p ( -t | Yt —, (4)
где величина с = p (yt | Yt_l ) = j p (yt | xt )p (xt | Yt_l ) dxt не зависит от xt и играет роль
нормализующей константы. Таким образом, общее решение рассматриваемой задачи оценивания представляется в виде процедуры «предсказание-коррекция» согласно (3) и (4) [2].
3. Алгоритм, основанный на многочастичном фильтре
Алгоритм МЧФ позволяет решить данную задачу представлением апостериорной плотности вероятности оцениваемой величины xt набором генерируемых точек (particles) ( i)N ( i)N
I%'t V-! с весами jW j , формируемых согласно алгоритму последовательной выборки по
значимости (sequential importance sampling) и регенерируемых (resampling) согласно алгоритму регенерации с систематической невязкой (residual systematic resampling) [10]. Набор таких взвешенных точек генерируется с помощью вспомогательной плотности распределения вероятностей q (xt-11 Yt-1 ), выбранной из условия
Vx : p ( xt_11 Yt-1 ) > 0 ^ q ( Xt_11 Yt-1 ) > 0, а затем с помощью сгенерированного набора аппроксимируется апостериорное распределение вектора состояния xt:
N
p (Xt_1| Yt-1 ) = S 4_AXt_1 -xh). (6)
i=1
С помощью (6) и решается общая задача, заданная (3) и (4), а весовые коэффициенты пересчитываются согласно процедуре [11]
Таким образом, в данном алгоритме на каждой последующей временной итерации рекурсивно обновляется набор взвешенных точек, по которым аппроксимируется апостериорное распределение вектора состояния. Для сходимости фильтра и избежания вырожденности выборки в статье было принято использовать алгоритм регенерации в совокупности со стратифицированной субоптимальной инициализацией [12]. Рассмотрим теперь более детально предложенный алгоритм, блок-схема которого показана на рисунке 2.
На первом этапе алгоритма по первому измерению у выполняется инициализация начального множества точек и их весов, то есть генерируется множество из N точек {х'0} ^ ~ д(х^ | у ) с весами | . Если начальное множество с необходимыми весовыми коэффициентами уже было сгенерировано, то происходит обновление выборки Х\ = / ) + К и пересчет весовых коэффициентов
Что при инициализации, что при обновлении, необходима нормировка весов
так как сумма всех весовых коэффициентов должна равняться единице.
Обновление вы х\=г\х\-1) борки +к
1 = 1 + 1
к>:1
N
Начало
Инициализация
Обновление весомых коэффициентов
Нормировка иииивых коэффициентов
Регенерация выборки
1 1
Расчет оценок
и
К = Е
¿=1 N
Г=1
Рис. 2. Блок-схема алгоритма фильтрации МЧФ
Следующим важным этапом является этап регенерации множества точек, который позволяет избежать вырожденности выборки. Он показан на рисунке 3. Его суть заключается в том, что из множества, которое аппроксимируется, удаляются измерения с малыми весами, а измерения с, наоборот, большими весами заменяются группами измерений с меньшими весами. Необходимо отметить, что при регенерации множества, его объем должен остаться неизменным [7, 8].
Цикл вычисления весовых сумм
V=1* *
Цикл поиска и вычисления количества Ык и ы,
Расчет пороговых значений и начального значения случайного числа
3Ы N
Т
1 и
4
Т
10
Аи
(0)
и
0,1
N
Начало
Построение регенерирующей функции
, * е [Т;Т],
а
г'
1 - V - V
N - ы, - N1
иначе.
Цикл обновления выборки
= |_(* -Аи<;-1))N
Аи; =Аи;-1 + УN -
Конец
Рис. 3. Блок-схема алгоритма регенерации МЧФ
На первом этапе реализации алгоритма регенерации считаются пороговые значения весовых коэффициентов Т = ^, т = £. Далее, в множестве выбираются точки, веса которых оказались выше или ниже порога, и считаются их количества N и N соответственно. Если сумма N и N оказалась равной нулю, то алгоритм регенерации выполняться не должен. После выбора точек по данному критерию, рассчитываются суммарные веса
<
точек V для * > Т и V для * < Т, и строится функция регенера-
ции, по которой происходит непосредственное обновление весовых коэффициентов,
к', * е Т;Т,],
а =
1 - V, - VI -^-—, иначе.
N - N - N
Как можно заметить, обновление происходит для тех весовых коэффициентов, которые проходят по пороговому диапазону, что является особенностью алгоритма стратифицированной субоптимальной инициализации [11].
После обновления весовых коэффициентов, обновляется все множество точек ( l)N
{} . Для этого сначала генерируется начальное значение случайного числа по нор-
мальному распределению
Аи0 ~ и
, а затем пересчитываются точки во множестве согласно алгоритму систематической невязки, образуя, при этом, новое множество {х; } ^ = - Аи(] Х)) N +1. Здесь для каждого пересчитываемого значения измерения происходит обновление значения случайного числа по следующей формуле
Аи; =Аи;-1 + - *.
N
На последнем этапе происходит расчет необходимых оценок х{ = ^ *,
;=1
N
р; (х; | У,) = ^м>'к_1(х\ -х;), ; = 1,...,N и переход к следующей временной итерации ^ + 1.
;=1
4. Реализация и моделирование алгоритма МЧФ
Описанный алгоритм, показанный на рисунках 2 и 3, был реализован на языке программирования С++ в виде системы классов, которую можно увидеть на рисунке 4. Для более эффективного использования программного обеспечения (ПО) при его реализации применялись шаблоны проектирования для встраиваемого ПО, предназначенного для сопровождения цели, которые приведены в [15]. Разработанная иерархия классов обеспечивает высокую гибкость, сопровождаемость и переносимость алгоритма. Далее она была встроена в алгоритм вторичной обработки реальной системы, базирующейся на цифровом сигнальном микропроцессоре, в виде отдельной единицы трансляции, представляющей собой самодостаточный программный модуль. Как видно, этот модуль состоит из инициализатора, регенератора и эстраполятора, которые являются композицией объекта сопровождения, имеющего свой открытый интерфейс.
<
Рис. 4. Классовая иерархия алгоритма сопровождения
Для оценки корректности разработанного модуля было проведено его моделирование методом Монте-Карло [5]. В качестве критерия точности, при этом, была выбрана величина среднего квадратического отклонения оценки сопровождаемого угла от его истинного значения. Данные для моделирования были получены в реальных экспериментальных условиях, а темп поступления и обработки данных был Т = 1 с. Генерировалось, при этом, N = 1000 точек.
В соответствии с характеристиками пеленгатора, погрешность измерения V была установлена 0.02 рад, а дисперсия погрешности измерения - 0.01 рад. На основе этих статистических характеристик было рассчитано априорное распределение, вид которого был принят гауссовым. Результаты моделирования при таких условиях можно увидеть на рисунках 5-9.
Как видно, в первом случае, представленном на рисунке 5, моделировалось сопровождение прямолинейно изменяющегося истинного угла. Здесь в качестве функции состояния £ () в (1) и закона обновления выборки использовалась функция
где а = 0,1, р = 1 при t = ^
£ (х-х) = ах-1 -Р,
1Д 10А-2
о^ г о, о <до
Бреллл ¡с]
- Измеренный угол - Отфильтрованный у гол — Реальный угол
Рис. 5. Моделирование работы алгоритма сопровождения при прямолинейном изменении истинного угла
1 1ПЛ_1
0,9 0,8 0,7 0,6 КО 0 5 0,4 0,3 0,2 0,1 0
,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 Время [с]
Рис. 6. Квадрат ошибки (КО) алгоритма сопровождения при прямолинейном изменении истинного угла
Во втором случае, показанном на рисунке 7, моделировалось непрямолинейное движение КА, а, следовательно, и непрямолинейное изменение истинного угла. Функция (х ч) здесь выбиралась равной
£ (X-1) = аХ « - Р^-х + *7Х-1 - £, где а = 1, р = 5, ^ = 1,^=1 при ? = ^ .
10л-2
0,2 0,3
Время [с]
Измеренный угол Отфильтрованный угол Реальныйугол
Рис. 7. Моделирование работы алгоритма сопровождения при полете по нелинейной траектории
1 1ПЛ
0,9 0,8 0,7 0,6 КО 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0
,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 Время [с]
Рис. 8. КО алгоритма сопровождения при полете по нелинейной траектории
Заключение
По результатам моделирования, показанным на рисунках 6 и 8, можно сказать, что решение поставленной задачи (3) и (4) достаточно хорошо достигается с помощью разработанного алгоритма, который базируется на МЧФ. Так, можно увидеть, что алгоритм достаточно быстро сходится даже при нелинейном изменении истинного угла, показывая, при этом, быстроубывающую динамику показателя квадрата ошибки, что говорит о целесообразности использования данного алгоритма в реальных системах. Однако, вычислительная сложность МЧФ, которая растет пропорционально количеству генерируемых частиц, требует дальнейших исследований и, возможно, оптимизации разработанного алгоритма, так как в системах реального времени использование вычислительных ресурсов, обычно, ограниченно. Поэтому продолжением представленной работы могут служить исследования поведения алгоритма при различном выборе количества генерируемых частиц в совокупности с использованием различных алгоритмов регенерации.
Список литературы
1. Фарина А., Студер Ф. Цифровая обработка радиолокационной информации. Сопровождение целей: пер. с англ. / Под ред. А.Н. Юрьева. М.: Радио и связь, 1993. 319 с. [Farina A., Studer F. Radar data processing. Vol. 1-2. Letchworth: Research Studies Press; N.Y.: Wiley, 1985-1986.].
2. Микаэльян С.В. Методы фильтрации на основе многоточечной аппроксимации плотности вероятности оценки в задаче определения параметров движения цели при помощи измерителя с нелинейной характеристикой // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2011. № 10. Режим доступа: technomag.bmstu.ru/doc/238271.html (дата обращения 15.03.2017).
3. Karlsson R., Gustafsson F. Recursive Bayesian estimation: bearings-only applications // IEEE Proc. - Radar, Sonar and Navigation. 2005. Vol. 152. No. 5. Pp. 305-313. DOI: 10.1049/ip-rsn:20045073
4. Hendeby G., Karlsson R. Target tracking performanceevaluation - a general software environment for filtering // IEEE Aerospace Conference (Big Sky, Montana, USA, March 3-10): Proc. N.Y.: IEEE, 2007. Pp. 1-13. DOI: 10.1109/AERQ.2007.353044
5. Doucet A., Johansen A.M. A tutorial on particle filtering and smoothing: Fifteen years later // The Oxford Handbook of Nonlinear Filtering. Oxf.; N.Y.: Oxf. Univ. Press, 2011. Pp. 656-704.
6. Шахтарин Б.И. Фильтры Винера и Калмана: учеб. пособие. М.: Гелиос АРВ, 2008. 408 с.
7. Aidala V., Hammel S. Utilization of modified polar coordinates for bearings-only tracking // IEEE Trans. on Automatic Control. 1983. Vol. 28. No. 3. Pp. 283-294.
DOI: 10.1109/TAC.1983.1103230
8. Peach N. Bearings-only tracking using a set of range-parameterised extended Kalman filters // IEE Proc. - Control Theory and Applications. 1995. Vol. 142. No. 1. Pp. 73-80.
DOI: 10.1049/ip-cta:19951614
9. Wei Xue, Ying-Qing Guo, Xiao-Dong Zhang. A bank of Kalman filters and a robust Kalman filter applied in fault diagnosis of aircraft engine sensor // 2nd Intern. Conf. on Innovative Computing, Information and Control: ICICIC'07 (Kumamoto City Intern. Center, Kumamoto, Japan, September 5-7, 2007): Proc. Wash.: IEEE, 2007. P. 10.DOI: 10.1109/ICICIC.2007.3
10. Andrieu C., Doucet A. Particle filtering for partially observed Gaussian state space models // J. of the Royal Statistical Society. Ser. B: Statistical Methodology. 2002. Vol. 64. No. 4. Pp. 827-836. DOI: 10.1111/1467-9868.00363
11. Morelande M.R. A marginalised particle filter for bearings-only tracking // IEEE Intern. Conf. on Acoustics, Speech and Signal Processing: ICASSP'2013 (Vancouver, Canada, May 26-31, 2013): Proc. N.Y.: IEEE, 2013. Pp. 6298-6302. DOI: 10.1109/ICASSP.2013.6638877
12. Tiancheng Li, Villarrubia G., Shu-dong Sun, Bajo J. Resampling methods for particle filtering: Identical distribution, a new method and comparable study // Frontiers of Information Technology & Electronic Engineering. 2015. Vol. 16. No. 11. Pp. 969-984.
DOI: 10.1631/FITEE.1500199
13. Nordlund P.-J., Gustafsson F. Sequential Monte Carlo filtering techniques applied to integrated navigation systems // American Control Conference: ACC'2001. Vol. 6 (Arlington, Virginia, USA, June 25-27, 2001): Proc. N.Y.: IEEE, 2001. Pp. 4375-4380.
DOI: 10.1109/ACC.2001.945666
14. Schon T., Gustafsson F., Nordlund P.-J. Marginalized particle filters for mixed linear/nonlinear state-space models // IEEE Trans. on Signal Processing. 2005. Vol. 53. No. 7. Pp. 2279-2289. DOI: 10.1109/TSP.2005.849151
15. Weihua Liu, Yongjia Zhao, Xiaoyong Lei. Design and implementation of target tracking software development environment // 12th Intern. Conf. on Fuzzy Systems and Knowledge Discovery: FSKD 2015 (Zhangjiajie, China, August 15-17, 2015): Proc. N.Y.: IEEE, 2015.
Pp. 2261-2265. DOI: 10.1109/FSKD.2015.7382304
Science ¿Education
of the Baurnan MSTU
Science and Education of the Bauman MSTU, 2017, no. 05, pp. 74-88.
DOI: 10.7463/0517.0001171
Received: 11.04.2017
Revised: 25.04.2017
© Bauman Moscow State Technical Unversity
Determination of Target Angular Coordinates in Passive Locator via Particle Filter
V.R. KllZnetSOV1'*, V.N. ZhlirakOVSky2 "kuznetso^-rigmailju
1Research Institute of Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia 2Bauman Moscow State Technical University,
Moscow, Russia
Keywords: passive direction finder; bearings-only target tracking; recursive Bayesian estimation
method; particle filter
The article deals with solving a problem of the passive angle track on target from a spacecraft (SC) via measuring one angle. A main idea of the passive track is to use the angle data to estimate the unknown position of a target. For estimation, methods based on the Kalman filter and its modifications are often used. However, here there is a problem that the linearized filters can easily diverge, when maneuvering. Therefore, in this paper, we propose to solve the problem of passive one angle track on target using a nonlinear particle filter (PF).
The problem under consideration is represented as a Bayesian one of the recursive estimation that is aimed at estimating a state dynamics of the observed angle. It is described through defining the transient and conditional probability densities, and its general solution is represented as a procedure "prediction-correction". The PF algorithm allows solving such a problem by representing a posteriori probability density of the estimated value by a set of generated points with weights generated according to the algorithm of sequential importance sampling and regenerated according to the algorithm of regeneration with systematic residual resampling. In such an algorithm at each subsequent time iteration there is a recursively updated set of weighted points according to which the posterior distribution of the state vector is approximated.
The article in detail describes a developed algorithm of passive tracking and gives its diagrammatic representation. The flowchart diagram can be divided into the following steps: initialization, regeneration, filtering, and extrapolation. The first provides initial generation of a set of points and weights, regeneration allows avoiding the degeneracy of the set, and filtering enables direct estimates. Extrapolation, however, plays a separate important role in correcting the given functional laws. Further, the class hierarchy software implementation is shown as one combined flexible, portable module.
The developed module has been simulated using the real experimental data for the cases of linear and nonlinear variation of the true angle. The accuracy of tracking a target was evaluated by a criterion of the squared estimation error of the measured angle against the true one. Based
on the results of the simulation, a conclusion can be drawn that the proposed algorithm is sufficiently fast convergent, which indicates that its using is expedient.
References
1. Farina A., Studer F. Radar data processing. Vol. 1-2. Letchworth: Research Sudies press; N.Y.: Wiley, 1985-1986. (Russ. ed.: Farina A., Studer F. Tsifrovaia obrabotka radiolokatsionnoj informatsii. Soprovazhdenie tselej. Moscow: Radio i Sviaz' Publ., 1993. 319 p.).
2. Mikaelyan S.V. Filtering methods based on multipoint approximation of the estimation probability density in defining the target motion rate parameters with nonlinear sensor. Nauka i obrazovanie. MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU], 2011. № 10. Available at: http://technomag.bmstu.ru/doc/238271.html, accessed 15.03.2017(in Russian).
3. Karlsson R., Gustafsson F. Recursive Bayesian estimation: bearings-only applications. IEEE Proc. - Radar, Sonar and Navigation, 2005, vol. 152, no. 5, pp. 305-313. DOI: 10.1049/ip-rsn:20045073
4. Hendeby G., R. Karlsson R. Target tracking performance evaluation - a general software environment for filtering. IEEE Aerospace Conf. (Big Sky, Montana, USA, March 3-10): Proc. N.Y.: IEEE, 2007. Pp. 1-13. DOI: 10.1109/AER0.2007.353044
5. Doucet A., Johansen A.M. A tutorial on particle filtering and smoothing: Fifteen years later. The Oxford Handbook of Nonlinear Filtering. Oxf.; N.Y.: Oxf. Univ. Press, 2011. Pp. 656-704.
6. Shakhtarin B.I. Fil'try Vinera i Kalmana [Kalman and Viner Filters]. Moscow: Gelios ARV Publ., 2008. 408 p. (in Russian).
7. Aidala V., Hammel S. Utilization of modified polar coordinates for bearings-only tracking. IEEE Trans. on Automatic Control, 1983, vol. 28, no. 3, pp. 283-294.
DOI: 10.1109/TAC.1983.1103230
8. Peach N. Bearings-only tracking using a set of range-parameterised extended Kalman filters. IEE Proc. - Control Theory and Applications, 1995, vol. 142, no. 1, pp. 73-80.
DOI: 10.1049/ip-cta:19951614
9. Wei Xue, Ying-Qing Guo, Xiao-Dong Zhang. A bank of Kalman filters and a robust Kalman filter applied in fault diagnosis of aircraft engine sensor. 2nd Intern. Conf. on Innovative Computing, Information and Control: ICICIC'07 (Kumamoto City Intern. Center, Kumamoto, Japan, September 5-7, 2007): Proc. Wash.: IEEE, 2007. P. 10. DOI: 10.1109/ICICIC.2007.3
10. Andrieu C., Doucet A. Particle filtering for partially observed Gaussian state space models. J. of the Royal Statistical Society. Ser. B: Statistical Methodology, 2002, vol. 64, no. 4, pp. 827-836. DOI: 10.1111/1467-9868.00363
11. Morelande M.R. A marginalised particle filter for bearings-only tracking. IEEE Intern. Conf. on Acoustics, Speech and Signal Processing: ICASSP'2013 (Vancouver, Canada, May 26-31, 2013): Proc. N.Y.: IEEE, 2013. Pp. 6298-6302. DOI: 10.1109/ICASSP.2013.6638877
12. Tiancheng Li, Villarrubia G., Shu-dong Sun, Bajo J. Resampling methods for particle filtering: Identical distribution, a new method and comparable study. Frontiers of Information Technology & Electronic Engineering, 2015, vol. 16, no. 11, pp. 969-984. DOI: 10.1631/FITEE.1500199
13. Nordlund P.-J., Gustafsson F. Sequential Monte Carlo filtering techniques applied to integrated navigation systems. American Control Conference: ACC '2001. Vol. 6 (Arlington, Virginia, USA, June 25-27, 2001): Proc. N.Y.: IEEE, 2001. Pp. 4375-4380.
DOI: 10.1109/ACC.2001.945666
14. Schon T., Gustafsson F., Nordlund P.-J. Marginalized particle filters for mixed linear/nonlinear state-space models. IEEE Trans. on Signal Processing, 2005, vol. 53, no. 7, pp. 2279-2289. DOI: 10.1109/TSP.2005.849151
15. Weihua Liu, Yongjia Zhao, Xiaoyong Lei. Design and implementation of target tracking software development environment. 12th Intern. Conf. on Fuzzy Systems and Knowledge Discovery: FSKD 2015 (Zhangjiajie, China, August 15-17, 2015): Proc. N.Y.: IEEE, 2015. Pp. 2261-2265. DOI: 10.1109/FSKD.2015.7382304
