CC BY
127
Оригинальная статья / Original article УДК 618.5.015
http://dx.doi.org/10.21285/1814-3520-2017-12-123-137
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ НЕКОТОРЫХ РОБАСТНЫХ ФИЛЬТРОВ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
© В.М. Чубич, А.Э. Прокофьева
Новосибирский государственный технический университет, Российская Федерация, 630073, г. Новосибирск, пр-т К. Маркса, 20.
РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. При помощи разработанного программно-математического обеспечения провести сравнительный анализ некоторых робастных фильтров с целью выявления наиболее эффективных из них. МЕТОДЫ. Использованы методы Монте-Карло и компьютерного моделирования. РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ. Проведенные на примере стохастической дискретной модели прямолинейного равноускоренного движения объекта исследования позволили выполнить сравнительный анализ рассмотренных алгоритмов робастной фильтрации в условиях случайного и группированного характера аномальных измерений и выявить наиболее эффективные из них с позиции минимума усредненного квадратного корня среднеквадратичной ошибки. ВЫВОДЫ. Установлено, что среди рассмотренных фильтров наиболее устойчивым к обработке измерительных данных с аномальными наблюдениями является фильтр Изанлу (Izanloo) - Фейкуриана (Fakoorian) - Джазди (Yazdi) - Саймона (Simon). Ключевые слова: робастные фильтры, выбросы, фильтр Калмана, адаптивные фильтры, коррентропия, стохастическая линейная дискретная система
Формат цитирования Чубич В.М., Прокофьева А.Э. Сравнительный анализ некоторых робастных фильтров для нестационарных линейных дискретных систем // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2017. Т. 21. № 12. С. 123-137. DOI: 10.21285/1814-3520-2017-12-123-137
COMPARATIVE ANALYSIS OF SOME ROBUST FILTERS FOR NON-STATIONARY LINEAR DISCRETE SYSTEMS M.V. ^ubich, A.E. Prokofieva
Novosibirsk State Technical University,
20 K. Marks pr., Novosibirsk 630073, Russian Federation
ABSTRACT. The PURPOSE of the article is as follows: using the developed software compare some robust filters in order to identify the most effective of them. METHODS. The Monte Carlo method and computer modeling are used. RESULTS AND THEIR DISCUSSION. The studies based on the stochastic discrete model of the rectilinear uniformly accelerated motion of the object under investigation allowed to perform a comparative analysis of the researched robust filtering algorithms in the presence of either grouped or stochastic outliers and identify the most efficient ones in terms of the average root mean square error minimum. CONCLUSIONS. The Izanloo - Fakoorian - Yazdi - Simon filter is found to be the most robust among the studied filters to the processing of measurement data in the presence of outliers. Keywords: robust filters, outliers, Kalman filter, adaptive filters, correntropy, stochastic linear discrete system
For citation: Chubich M.V., Prokofieva A.E. Comparative analysis of some robust filters for non-stationary linear discrete systems. Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2017, vol. 21, no. 12, pp. 123-137. (In Russian) DOI: 10.21285/1814-3520-2017-12-123-137
Указатель обозначений
, Ь - дискретные моменты времени; х(к+\) - вектор состояния; ) - матрица состояния;
1Чубич Владимир Михайлович, доктор технических наук, заведующий кафедрой теоретической и прикладной информатики, e-mail: [email protected].
Vladimir M. Chubich, Doctor of technical sciences, Head of the Department of Theoretical and Applied Informatics, e-mail: [email protected]
2Прокофьева Алина Эдуардовна, магистрант, e-mail: [email protected] Alina E. Prokofieva, Master's Degree student, e-mail: [email protected]
ы(1к) - вектор управления;
) - матрица управления; w(tk) - вектор шума системы; Щ) - матрица возмущения; ^(tk+l) - вектор измерения; Щк+) - матрица наблюдения; - вектор шума измерений; ) - ковариационная матрица шума системы; +1) - ковариационная матрица шума измерений; х (t0) - математическое ожидание начального состояния; Р(^) - ковариационная матрица начального состояния;
X(^ I к - оценка одношагового предсказания для состояния х(ы), полученная по измерениям у(/),..., у(/)
P(tk+11 tк) - ковариационная матрица ошибки одношагового предсказания;
I tk+1) - оценка фильтрации для состояния х(ы) х(к+\), полученная по измерениям ),..., y(tk+l)
I tk+1) - ковариационная матрица ошибки фильтрации;
у(Ч+1 14+1) - оценка у(к+), полученная по измерениям ),...,y(tk+1) Е[•] - оператор математического ожидания;
- символ Кронекера; I - единичная матрица; ёе!А - определитель матрицы А ; ^А - след матрицы А ; (А);у - И диагональный элемент матрицы А ;
(а) - ]-й элемент вектора а;
а|| - евклидова норма вектора а.
Введение
Алгоритмы фильтрации и оценивания применяются при статистической обработке сигналов и предназначены для отделения полезной составляющей выходного сигнала от шума. Реальная система описывается стохастической линейной моделью в пространстве состояний с априорными предположениями о свойствах шумов системы и наблюдений. Для решения этой задачи обычно применяют фильтр Калмана [1-7], который позволяет находить несмещенные оценки состояний с минимальной дисперсией.
На практике довольно часто встречаются ситуации, связанные с наличием аномальных выбросов в измерительных данных, что может быть обусловлено отклонением распределения
шума измерений от гауссовского. В этом случае фильтр Калмана может давать смещенные оценки или вообще расходиться. В связи с этим целесообразно рассматривать робастные модификации фильтра Калмана, которые обеспечивают приемлемое качество оценок при отклонениях от вышеуказанных априорных предположений.
В настоящее время разработка новых робастных процедур оценивания и фильтрации по-прежнему привлекает большое внимание исследователей. Анализ постоянно растущего количества публикаций по данной проблеме позволяет выделить несколько подходов к улучшению устойчивости оценки состояния при наличии негауссовского шума измерений и выбросов в измерительных данных.
Первый поход заключается в применении адаптивных фильтров Калмана, которые на основе обработки измерительных данных способны не только находить оценки вектора состояния и соответствующие им ковариационные матрицы, но и восстанавливать статистические характеристики шумов системы и измерений. Существуют следующие способы построения адаптивных фильтров (классификация, по-видимому, впервые дана Р.К. Мехрой ^.К. Mehra) в [7]): байесовское оценивание (см., например, [8, 9]), метод максимального правдоподобия [10, 11], корреляционные и ковариационные методы [12, 13].
Второй подход основывается на аппроксимации негауссовской плотности распределения шума измерений суммой конечного числа взвешенных гауссовских плотностей [14, 15]. Примеры данных фильтров представлены в [16, 17].
Третьи подход - это фильтры, основанные на критерии коррентропии. Коррентропия определяется как статистическая метрика подобия между двумя случайными величинами [18, 19]. Коррентропия позволяет учитывать моменты второго и более высоких порядков. Примеры подобных фильтров даны в [20, 21].
В данной работе будут рассмотрены как достаточно известные алгоритмы робастной фильтрации, так и появившиеся относительно недавно, но имеющие, по нашему мнению, значительный потенциал. Будет проведен сравнительный анализ выбранных алгоритмов с целью выявления наиболее эффективных из них.
Постановка задачи
Рассмотрим следующую модель управляемой и наблюдаемой стохастической линейной дискретной системы в пространстве состояний:
= Ф^к) х(Ч) + ) + )^к ), (1)
у^к+1) = И^к+1)^к+1) + к = 0,1,...,К-1, (2)
где х(ц) - п -вектор состояния; п(ц) - г -детерминированный вектор управления; ) - р -вектор шума системы; у(^+х) - т -вектор измерения; ) - т -вектор шума измерений.
Предположим, что
• случайные векторы w(tk), образуют белые гауссовские последовательности,
причем
Е [ w(tк)] = 0, Е [ w(tk К )] = 0& )5к1, Е [г^+1)] = 0, Е [ у(Ч+У (О] = ,
E [ w(tk )vT (t )] = 0,
для любых к, i = 0,...,N-1;
• начальное состояние x(t0) имеет нормальное распределение с параметрами
x(t0), P(t0) и не коррелирует с w(tk), v(tk+l) при любых значениях переменной к.
Необходимо для математической модели (1), (2) с учетом указанных априорных предположений и при наличии выбросов в измерительных данных программно реализовать робастные алгоритмы фильтрации и провести сравнительный анализ работы данных алгоритмов.
Алгоритмы робастных фильтров
Фильтр Мухамеда (Mohamed) - Шварца (Schwarz). Фильтр Мухамеда - Шварца [11] считается одним из наиболее популярных робастных фильтров. Он получен на основе метода максимального правдоподобия в предположении, что ковариационные матрицы шумов системы и измерений - Q(tfe ) и R(ti+х) соответственно - неизвестны. Алгоритм фильтра предполагает выполнение следующих шагов. Инициализация:
► Задать начальные значения x(tol to) = x(to), P(to| to) = P(to);
Q (to) = Q(to). _
Выполнить в цикле по k = o, N -1 Одношаговое предсказание:
► На основе ранее полученных x(tk | tk) и p(tk | tk) вычислить
x(tk+i l tk ) = Ф& )x(tk | tk ) + )u(tk );
P(tk+11 tk ) = o(tk )P(tk | tk )ФТ^к )+r(tk )Q (tk )T ).
Фильтрация:
► С учетом поступившего X^J найти .%+!| и P(tk+i| tk+i)
+i)=y(tk+i)-H(tk+1)-%+i| tk );
1 к
в (tk J=—- E^t+>T (ti+i); к +1 i=o
R(tk+i) = B(tk+i)- H(tk+i)P(tk+i | tk)HT(tk+i); B(tk+i) = H(tk+i)P(tk+i | tk )HT (tk+i)+RR(tk+i);
K (tk+i) = P(tk+i| tk )HT (tk Ж(Ч+i);
x(tk+i| tk+1) = X(tk+l| tk ) + K(tk
P(tk+1 | tk+1 ) = [I - K(tk+1)H(tk+1)] P(tk+11 tk );
Q (tk+1)=k (tk+!) B (tk+!) Kt (tk
Конец цикла
Фильтр Джао (Jwo) - Чанга (Chung) - Вэнга (Weng). Фильтр Джао - Чанга -Вэнга [22] на качественно новом уровне объединяет идеи работы [11] с другим, не менее распространенным, подходом из [13] и предполагает с учетом реальных измерительных данных
корректировку ковариационных матриц ошибки вектора состояния и шума измерений. Если же параметры фильтра Хр и Хк задать равными 1, то фильтр Джао - Чанга - Вэнга сводится к
традиционному фильтру Калмана. Инициализация:
Х(д О = X (О, Р(^| О = Р(0;
%) = R(to), = 1.
Выполнять в цикле по k - 0, N -1 Одношаговое предсказание:
x(tk .11 tk ) -Ф& ) x(tk I tk )+^(tk )u(tk );
P(tk.11 tk)-К (ф&)P(tk I tk)фт(tk)+r(tk)Q(tk)rT(tk)).
Фильтрация:
z(h .l) - y(tk .l)-н(tk .1)% .lI tk ); B(tk .l)-Щк .l)P(tk .11 tk )нт (tk .l). R (tk );
1 k
в (tk .l) -—г +>r (ti.l); k . 1 i-0
tr
KR -
[B(tk.l)] ,
tr[B(tk.l)] ;
щ .l) -К R^(tk );
B(tk.l) -н(tk.l)P(tk.l I tk)нг(tk.l).iR(tk.l); K(tk.l) - P(tk.11 tk)нT(tkЖ(Ч.l);
К - max
tr
B (tk+1)
tr [ B(tk+1)]
x(tk.l| tk .1) - xt .lI tk ) . K (tk k .1/' P(tk.1 I tk .1
)-[ I - k (tk .lMtk .l)] P(tk .11 tk ). Конец цикла
Фильтр Сярккя (Эагкка) - Нумменмаа (Ыиттептаа). Фильтр Сярккя - Нуммен-маа [23] получен на основе вариационного байесовского оценивания [24] в предположении, что ковариационная матрица шума измерений порядка m считается диагональной и
неизвестной.
Инициализация:
Х(д О = X (О, Р(^| О = P(to);
а(^\ О = (alo,a2o,...,amo), to) = (Alo, Ao,..., Д^Х
L = L,.
Выполнять в цикле по k - 0, N -1 Одношаговое предсказание:
x(tk.11 tk ) -Ф^ )x(tk I tk ))u(tk );
P(tk.11 tk)-Ф(îk)P(tk I tk)ФГ^)+Г&)Q(tk)rT(tk).
Фильтрация:
s(tk .1)=y(tk .1)—H(tk .1)-% .1К );
О . , . i
«(tk .1 | tk .1) =^- + «1(tk | tk Х"^" + «m (tk | tk ) J ;
ßk.lltk.l)=ß(tkltk )• _ Выполнять в цикле по i = 1, L
R i (tk .i) = diag
Г ß(tk.lltk+l) ßm(tk+l|tk+l)^
«1(/к+х1 ¿к+О «да (/к+х1 Ч
В (О=н(ОР&+11 /к )Н (О+К' (О; К (/к+1)=Р(/к+11 /к )Н (/к+1)В (/к+1)-1;
•Ч^+11 Ч+1 ) = +1К ) + К'('к+1);
Рг(/к+1 \ ^к+1 ) = [ - К (гк+1)Н(/к+1)] +1! ч).
Выполнять в цикле по j = 1, да
0(/к+1 \/к+1) = 0(/к \/к) + \((У(Ч+1)-н(/к+1)-X'(/к+1 \ /к+1)+ \(Н(/к+1)Рг(/к+1 \/к+1)НГ(/к+1).
Конец цикла по \
Конец цикла по /
х(/к+1 \ 1-к+1) = х (/к+1 \ Iк+1);
Р(/к+1 \/к+1) = Р' (/к+1 \ /к+1);
0+1 \ ^к+1)=0 (ч+1 \ ^к+1).
Конец цикла по к
Фильтр Платаниотиса (РШап'ю^в) - Андруцоса (Androutsos) - Венецанопулоса (Venetsanopoulos). Фильтр Платаниотиса - Андруцоса - Венецанопулоса [16] основывается на довольно распространенном подходе и рассматривает аппроксимацию негауссовской плотности распределения шума измерений суммой двух взвешенных гауссовских плотностей:
/ Щ+1)) = (1 - е) N(0, +1))+е N(0, Л +1)), где е - коэффициент загрязнения выборки (обычно он варьируется между 0,01 и 0,25 ), а Л -коэффициент масштаба выборки (варьируется между 10 и 1000). Если коэффициент загрязнения выборки е = 0, то фильтр Платаниотиса - Андруцоса - Венецанопулоса сводится к стандартному фильтру Калмана.
Инициализация:
х(/о ю=• (а Р(/о К)=Р(0;
= (1— ео ), = ео;
Л = К
Выполнять в цикле по k = o, N — 1 Одношаговое предсказание:
-(tk .11 tk ) = Ф^ ) x(tk|tk )+Y(tk )u(tk );
P(tk .1 |tk ) = Ф(tк )P(tk|tk )ФГ (tk ) .r(tk )Q(tk )ГГ (tk )•
Фильтрация:
s(tk+l) - y(tk+l)-H(tk+l) x(tk+lI (k);
Bl(tk.l) -H(tk+l)P(tk+l I tk)HT(tk+l) + R(tk+l); B2(tk+l) -H(tk+l)P(tk+l I tk )Hr (tk+l)+^R(tk+l);
с-
(1 -s)
rvjexp^-1 sT (tk+l)Bl-1(tk+l)s(tk+1) j
(2n)m> 2 ( det Bl(tk+l) )1
/0 w2Л) * 4V/2 exp(-1 sT(+l)B21(tk+l)s((k+l) 1 (2n)ml2 (det B2(tk+l)y V 2 j
m =
l
pexp ^ sT ((k+l) B;1((k+l)s((k+l) j
c
i -1,2;
(2n)m' 2 ( det B, (tk+1))
B(tk+l) = (Bi(tk+i) + s(tk+i)sT(tk+i) ) + «2 (B2(tfe+J + e(tk+0 zT(tk+i) );
K(tk+i) = P(tk+ii tk)HT(tk+i)B-1(tk+i);
x(tk+i 1 tk+i) = x(tk J tk) + K (t
k+i
)s(t
k+i/>
P(tk+i i tk+i
) = [ I - K (tk+i)H(tk+i)] P(tk+ii tk).
Конец цикла
Фильтр Изанлу (Izanloo) - Фейкуриана (Fakoorian) - Джазди (Yazdi) - Саймона (Simon). Фильтр Изанлу - Фейкуриана - Джазди - Саймона [21] относится к современным и перспективным робастным процедурам фильтрации. Он основывается на критерии максимальной коррентропии и методе взвешенных наименьших квадратов. Приведем алгоритм данного фильтра с использованием эквивалентных форм представления матричного коэффициента усиления K(tk+l) и ковариационной матрицы ошибок фильтрации P(ti+1 |ti+1) из [25].
Инициализация:
x(to |to) = x(t0), P(t0 |t0) = P(t0);
o = on.
Выполнять в цикле по k - 0, N -1 Одношаговое предсказание:
x(tk+l I tk )-Ф^ ) x(tkItk )+^(tk )u(tk );
P(tk.11 tk)-Ф(tk)P(tk I tk)ФГ(tk)+r(tk)Q(tk)rr(tk).
Фильтрация:
s((k+l) - y(tk+l)-Щ+l) +lI (k );
L(t ) - exp Í s((k+l)T R-1((k+l)s((k+l) 1, L(tk+l) - exp 0 2 ;
I )
B(tk.l) -H((k.l)P((k.l I (k)L((k.l)HT((k.l) + R(tk.l); K(tk.l) = P(tk.l I tk)L(tk.l)HT(tk.l)B-1(tk.l);
x(tk .1I (k+l) -x(tk.11 tk ) + K(t
k .1 )s(t
P((k.1 I (k .1 ) -[I -K(tk+l)H(tk+l)]P(tk.11 (k). Конец цикла
Отметим, что выбор значения параметра а0 играет существенную роль в поведении рассматриваемого фильтра. При < ^да уравнения фильтр сводятся к уравнениям традиционного фильтра Калмана. Поскольку явного способа определения параметра < не существует, можно подобрать оптимальное значение параметра, производя серию экспериментов с различными значениями параметра <г0.
Численные результаты эксперимента и их обсуждение
Проведем сравнительный анализ представленных робастных фильтров на примере прямолинейного равноускоренного движения объекта под влиянием внешней среды.
Будем считать, что первая компонента вектора состояния отвечает за положение объекта, вторая - за его скорость, третья - за ускорение. Измеряется (причем с некоторой ошибкой) скорость объекта и выполняются все априорные предположения, высказанные при постановке задачи. В этом случае модели состояния и наблюдения в дискретные моменты времени определяются соотношениями:
x1(tk+1)" " 1 At At2/2" " x1(tk) " " Wl(tk ) "
X2(tk+1) = 0 1 At _ X2(tk ) + W2(tk )
X3(tk+1) _ 0 0 1_ _ X3(tk ) _ _ W3(tk ) _
(3)
y(t.+i) = [0 1 0]
xi( tk+i) " X2(tk+1) X3(tk +1)
+ v(tk+Д k = 0,1,...,N -1.
(4)
Примем N = 100. Положим, следуя [20], At = 0.1, q(tk ) =
0.01 0 0
0 0.01 0
0 0 0.01
" 0" " 0.01 0 0 "
R(tk+1) = 0.01, x (t0) = 0 , P(t0) = 0 0.01 0 и выберем значения параметров в при
1 0 0 0.01
веденных алгоритмах фильтрации в соответствии с табл. 1.
Смоделируем с помощью программной среды Matlab выборку с аномальными данными, задав коэффициент загрязнения выборки s = 0.1 и дисперсию шума аномальных наблюдений R (tk+j) = 10000R(ti+J. Рассмотрим два варианта расположения аномальных измерений.
Предположим сначала, что обрабатываются данные со случайным характером аномальных измерений. Приведем графическое представление результатов фильтрации на рис. 1, 2, где y(tk+j) = H(ti+j)x(tk+l | ti+J и x(tk+l | ti+1) вычисляется в соответствии с определенным алгоритмом фильтрации.
Для ослабления зависимости результатов оценивания от выборочных данных проведем M = 100 различных запусков системы. О качестве оценки будем судить по значению усредненного квадратного корня среднеквадратичной ошибки (Root Mean Square Error), которое будем вычислять для каждой компоненты вектора состояния по следующей формуле:
RMSE =
V
2 M N-1 2
^ xij+1) - x/(tk+1I h+1))
MN
j=1 k=0
Здесь под x/(4+1) и X/(tk+11 ti+1) понимаются, соответственно, значения /-й компоненты
вектора состояния и оценки фильтрации, полученные при у-м запуске системы. Численные результаты фильтрации представлены в табл. 2.
Из табл. 2 видно, что наиболее эффективно аномальные измерения обрабатывает фильтр Изанлу - Фейкуриана - Джазди - Саймона.
Таблица 1
Значения параметров робастных фильтров
Table 1
_Values of robust filter parameters_
Фильтр / Filter Значения параметров фильтра / Values of filter parameters
Фильтр Мухамеда - Шварца / Mohamed - Schwarz filter Q(t>) = "0.03 0 0 " 0 0.03 0 0 0 0.03
Фильтр Джао - Чанга - Вэнга / Jwo - Chung - Weng filter R(t0 ) = 0.05
Фильтр Сярккя - Нумменмаа / Sarkka - Nummenmaa filter ai0 =ß0 =1, i = 1,..., m; ¿0 = 4
Фильтр Платаниотиса - Андруцоса - Венецанопулоса / Plataniotis - Androutsos - Venetsanopoulos filter e0 = 0.1, \ = 10000
Фильтр Изанлу - Фейкуриана - Джазди - Саймона / Izanloo - Fakoorian - Yazdi - Simon filter 0-0 = 5
b
a
Рис. 1. Графическое представление y(tk+х) и y(tk+l) при случайном характере аномальных измерений: a - yMS (4+i) - фильтр Мухамеда - Шварца; b - yJCW (tk+1) - фильтр Джао - Чанга - Вэнга Fig. 1. Graphical representation of y(tM) and y(tk+J under random abnormal measurements: a - yMS (ti+j) - Mohamed - Schwarz filter; b - yJcir {tk+x) - Jwo - Chung - Weng filter
Рис. 2. Графическое представление y(tk+г ) и y(ft+1 ) при случайном характере аномальных измерений: a - Ут (1) - фильтр Сярккя - Нумменмаа; b - уРАv(tk+j) - фильтр Платаниотиса - Андруцоса -Венецанопулоса; c - yIFYS (tk+l ) - фильтр Изанлу - Фейкуриана - Джазди - Саймона Fig. 2. Graphicalrepresentation of y(tk+x) and y(tk+j) at random abnormalmeasurements: a - Psn (1 ) - Sarkka - Nummenmaa filter; b - yPAv {tk+x ) - Plataniotis - Androutsos - Venetsanopoulos filter;
c - yiFjs (h+\ ) - Izanloo - Fakoorian - Yazdi - Simon filter
Пусть теперь аномальные измерения располагаются группами. В силу того, что фильтры Мухамеда - Шварца и Джао - Чанга - Вэнга основываются на «накопившейся» информации об измерительных данных, целесообразно рассмотреть ситуацию, когда аномальные измерения содержатся (в том числе) в первых наблюдениях. Учитывая сказанное, расположим аномальные измерения тремя группами: по три измерения в первой и последней группах и четыре - во второй. Обработаем измерительные данные рассмотренными фильтрами и приведем графическое представление результатов фильтрации на рис. 3, 4.
Снова проведем 100 различных запусков системы, подсчитаем усредненный квадратный корень среднеквадратичной ошибки и представим численные результаты фильтрации в табл. 3.
Таблица 2
Численные результаты процедуры фильтрации (случайный характер аномальных измерений)
Table 2
Numerical results of the filtering procedure (random abnormal measurements)_
Фильтр / Filter RMSE1 RMSE2 RMSE3 RMSE
Фильтр Мухамеда - Шварца / Mohamed - Schwarz filter 5,5811 1,7219 0,9305 5,9143
Фильтр Джао - Чанга - Вэнга / Jwo - Chung - Weng filter 1,7303 0,8468 2,2873 2,9904
Фильтр Сярккя - Нумменмаа / Särkkä - Nummenmaa filter 1,8366 0,7226 0,5827 2,0579
Фильтр Платаниотиса - Андруцоса -Венецанопулоса / Plataniotis -Androutsos - Venetsanopoulos filter 3,4003 1,2808 0,6573 3,6925
Фильтр Изанлу - Фейкуриана -Джазди - Саймона / Izanloo - Fakoo-rian - Yazdi - Simon filter 0,6691 0,0949 0,4458 0,8096
Рис. 3. Графическое представление y(tk+г ) и y(tk+l ) при группированном характере аномальных измерений: a - yMS(j) - фильтр Мухамеда - Шварца; b - JW (h+1 ) - фильтр Джао - Чанга - Вэнга
Fig. 3. Graphical representation of y(tk+j) and y(tk+l ) under grouped abnormal measurements: a - y ms ( 4+1 ) - Mohamed - Schwarz filter; b - yJ(W (tk+l ) - Jwo - Chung - Weng filter
Таким образом, фильтр Изанлу - Фейкуриана - Джазди - Саймона снова оказался наиболее эффективным.
Резюмируя, отметим, что среди рассмотренных адаптивных фильтров (первые три фильтра) наиболее устойчивым к обработке измерительных данных с аномальными наблюдениями оказался фильтр Сярккя - Нумменмаа. Однако его применение ограничивается тем фактом, что ковариационная матрица шума измерений должна быть диагональной. Фильтр Платаниотиса - Андруцоса - Венецанопулоса показал довольно низкое качество оценивания. К недостаткам данного фильтра можно также отнести и то, что на практике довольно сложно по измерительным данным определить точные значения коэффициентов засорения и мас-
штаба выборки, которые оказывают влияние на качество оценивания. Фильтр на основе критерия максимальной коррентропии (Изанлу - Фейкуриана - Джазди - Саймона) показал высокую эффективность и на данной модельной структуре превзошел все другие рассмотренные робастные фильтры.
Дополнительно подчеркнем, что подобные исследования проводились и на других модельных примерах. Полученные результаты позволяют рекомендовать исследователям фильтр Изанлу - Фейкуриана - Джазди - Саймона как весьма эффективный.
О 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 о 10 20 30 40 50 60 70 ВО 90 100
a b
20-1-1-1-1-1-1-1-1-1-
15 10 5 О -5 -10
-15 h (
_2о_'_1_1_1__1_1_1_1_
О 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
С
Рис. 4. Графическое представление y(tk+х) и y(tk+l) при группированном характере аномальных измерений: a - ySN (tt+j) - фильтр Сярккя - Нумменмаа; b - уРАv (tk+х) - фильтр Платаниотиса - Андруцоса - Венецанопулоса; c - y^s (tk+1) - фильтр Изанлу - Фейкуриана - Джазди - Саймона Fig. 4. Graphical representation of y(tk+j) and y(tt+1) under grouped abnormal measurements: a - yS!f (tk+j) - Sarkka - Nummenmaa filter; b - yPAv(tk+j) - Plataniotis - Androutsos - Venetsanopoulos filter;
c - yiFjs (h+\) - Izanloo - Fakoorian - Yazdi - Simon filter
Таблица 3
Численные результаты процедуры фильтрации (группированный характер аномальных измерений)
Table 3
Numerical results of the filtering procedure (grouped abnormal measurements)
Фильтр / Filter RMSE1 RMSE2 RMSE3 RMSE
Фильтр Мухамеда - Шварца / Mohamed - Schwarz filter 5,1874 2,2088 1,0490 5,7348
Фильтр Джао - Чанга - Вэнга / Jwo - Chung - Weng filter 2,5022 0,9920 0,6584 2,7711
Фильтр Сярккя - Нумменмаа / Särkkä - Nummenmaa filter 1,8989 0,8135 0,6169 2,1560
Фильтр Платаниотиса - Андруцоса -Венецанопулоса / Plataniotis -Androutsos - Venetsanopoulos filter 4,8289 1,6808 0,7200 5,1635
Фильтр Изанлу - Фейкуриана -Джазди - Саймона / Izanloo - Fakoo-rian - Yazdi - Simon filter 0,6476 0,1324 0,4562 0,8032
Заключение
В работе были рассмотрены некоторые робастные алгоритмы фильтрации. Проведен сравнительный анализ эффективности рассмотренных алгоритмов фильтрации для стохастических линейных дискретных систем при наличии выбросов в измерительных данных.
Было установлено, что фильтр Изанлу - Фейкуриана - Джазди - Саймона наиболее успешно обрабатывает измерительные данные при наличии выбросов в них. По-видимому, вторым по эффективности из рассмотренных фильтров является фильтр Сярккя - Нуммен-маа.
В дальнейших исследованиях будет разработан алгоритм оценивания неизвестных параметров моделей стохастических линейных дискретных систем на основе фильтров Изанлу -Фейкуриана - Джазди - Саймона и Сярккя - Нумменмаа.
Библиографический список
1. Медич Дж. Статистически оптимальные линейные оценки и управление / пер. с англ. М.: Энергия, 1973. 440 с.
2. Сейдж Э., Мелс Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении / пер. с англ. М.: Связь, 1976. 496 с.
3. Maybeck P.S. Stochastic models, estimation, and control. Vol. 1. New York: Academic press, 1979. 423 p.
4. Балакришнан А. Теория фильтрации Калмана / пер. с англ. М.: Мир, 1988. 168 с.
5. Огарков М.А. Методы статестического оценивания параметров случайных процессов. М.: Энергоатомиздат, 1990. 208 с.
6. Grewal M.S., Andrews A.P. Kalmanfiltering: theory and practice using MATLAB. New Jersey: John Wiley & Sons, 2008. 575 p.
7. Mehra R. Approaches to adaptive filtering // IEEE Trans. On Automatic Control. 1972. Vol. 17. № 5. P. 693-698.
8. Bavdekar V.A., Deshpande A.P. and Patwardhan S.C. Identification of process and measurement // Journal of Process Control. 2011. Vol. 21. P. 585-601.
9. Gao W., Li J., Zhou J., Li Q. Adaptive Kalman filtering with recursive noise estimator for integrated SINS/DVL systems // The journal of navigation. 2015. Vol. 68. P. 140-161.
10. Mehra R. Identification of stochastic linear dynamic systems using Kalman filter representation // AIAA Journal. 1971. Vol. 9. № 1. P. 28-31.
11. Mohamed A.H. Schwarz K.P. Adaptive Kalman filtering for INS/GPS // Journal of Geodesy. 1999. Vol. 73. P. 193-203.
12. Mehra R. On the identification of variances and adaptive Kalman filtering // IEEE Trans. On Automatic Control.
1970. Vol. 15. № 2. P. 175-184.
13. Xia Q., Rao M., Ying Y., Shen X. Adaptive fading Kalman filter with an application // Automatica. 1994. Vol. 30. № 8. P. 1333-1338.
14. Sorenson H.W., Alspach D.L. Recursive Bayesian Estimation Using Gaussian Sums // Automatica. 1971. Vol. 7. P. 465-479.
15. Lo J. T.-H. Finite-Dimensional Sensor Orbits and Optimal Nonlinear Filtering // IEEE Transactions on information theory. 1972. Vol. 18. № 5. P. 583-588.
16. Plataniotis K.N., Androutsos D., Venetsanopoulos A.N. Nonlinear filtering of non-Gaussian noise // Journal of Intelligent and Robotic Systems. 1997. Vol. 19. P. 207-231.
17. Kotecha J.H., Djuric P.M. Gaussian Sum Particle Filtering // IEEE Transactions on signal processing. 2003. Vol. 51. № 10. P. 2602-2612.
18. Liu W., Pokharel P., Principe J. Correntropy: properties and applications in non-Gaussian signal processing // IEEE Transactions on signal processing. 2007. Vol. 55. № 11. P. 5286-5298.
19. Liu W., Pokharel P., Xu J., Seth S., Principe J. Correntropy for random variables: properties and applications in statistical inference // Information theoretic learning: Renyi's entropy and kernel perspectives. New York: Springer. 2010. Vol. 10. P. 385-413.
20. Chen B. Liu X., Zhao H., Principe J. Maximum correntropy Kalman filter // Automatica. 2017. Vol. 76. P. 70-77.
21. Izanloo R., Fakoorian S.A., Yazdi H.S., Simon D. Kalman filtering based on the maximum correntropy criterion in the presence of non- Gaussian noise // Annual Conference on Information Science and Systems (CISS), Princeton, USA: proccedings. 2016. P. 500-505.
22. Jwo D.-J. Chung F.-C., Weng T.-P., Thomas C. Adaptive Kalman filter for navigation sensor fusion // Sensor Fusion and its Applications. In TechOpen, 2010. P. 66-90.
23. Särkkä S., Nummenmaa A. Recursive noise adaptive Kalman filtering by variational Bayesian approximations // IEEE Transactions on Automatic control. 2009. Vol. 54. P. 596-600.
24. Gelman A., Stern H.S., Dunson D.B., Vehtari A., Rubin D.B. Bayesian data analysis. New York: CRC Press, Taylor & Francis Group, 2014. 639 p.
25. Kulikova M.V. Square-root algorithms for maximum correntropy estimation of linear discrete-time systems in presence of non-Gaussian noise // Systems & Control Letters. 2017. Vol. 108. P. 8-15.
References
1. Meditch J.S. Stochastic Optimal Linear Estimation and Control. New York: McGraw-Hill, 1969, 384 p.
2. Sage A.P., Melsa J.L. Estimation Theory with Applications to Communications and Control. New York: McGraw-Hill,
1971, 752 p.
3. Maybeck P.S. Stochastic Models, Estimation, and Control. Vol. 1 New York: Academic press, 1979, 423 p.
4. Balakrishnan A. V. Kalman Filtering Theory. Berlin: Springer, 1984, 222 p.
5. Ogarkov М.А. Metody statisticheskogo otsenivaniya parametrov sluchainykh. [Methods for Statistical Estimation of Random Processor Parameters]. Moscow: Energoatomizda Publ., 1990, 208 p. (In Russian)
6. Grewal M.S., Andrews A.P. Kalman Filtering: Theory and Practice Using MATLAB. New Jersey: John Wiley & Sons, 2008, 575 p.
7. Mehra R. Approaches to Adaptive Filtering. IEEE Trans. On Automatic Control. 1972, vol. 17, no. 5, pp. 693-698.
8. Bavdekar V.A., Deshpande A.P. and Patwardhan S.C. Identification of Process and Measurement. Journal of Process Control. 2011, vol. 21, pp. 585-601.
9. Gao W., Li J., Zhou J., Li Q. Adaptive Kalman Filtering With Recursive Noise Estimator For Integrated SINS/DVL Systems. The Journal of Navigation. 2015, vol. 68, pp. 140-161.
10. Mehra R. Identification of Stochastic Linear Dynamic Systems Using Kalman Filter Representation // AIAA Journal. 1971, vol. 9, no. 1, pp. 28-31.
11. Mohamed A.H. Schwarz K.P. Adaptive Kalman Filtering for INS/GPS. Journal of Geodesy. 1999, vol. 73, pp. 193-203.
12. Mehra R. On the Identification of Variances and Adaptive Kalman Filtering. IEEE Trans. On Automatic Control. 1970, vol. 15, no. 2, pp. 175-184.
13. Xia Q., Rao M., Ying Y., Shen X. Adaptive Fading Kalman Filter with an Application. Automatica. 1994, vol. 30, no. 8, pp. 1333-1338.
14. Sorenson H.W., Alspach D.L. Recursive Bayesian Estimation Using Gaussian Sums. Automatica. 1971, vol. 7, pp. 465-479.
15. Lo J. T.-H. Finite-Dimensional Sensor Orbits and Optimal Nonlinear Filtering. IEEE Transactions on information theory. 1972, vol. 18, no. 5, pp. 583-588.
16. Plataniotis K.N., Androutsos D., Venetsanopoulos A.N. Nonlinear Filtering of Non-Gaussian Noise. Journal of Intelligent and Robotic Systems. 1997, vol. 19, pp. 207-231.
17. Kotecha J.H., Djuric P.M. Gaussian Sum Particle Filtering. IEEE Transactions on signal processing. 2003, vol. 51, no. 10, pp. 2602-2612.
18. Liu W., Pokharel P., Principe J. Correntropy: Properties and Applications in Non-Gaussian Signal Processing // IEEE Transactions on Signal Processing. 2007, vol. 55, no. 11, pp. 5286-5298.
19. Liu W., Pokharel P., Xu J., Seth S., Principe J. Correntropy for Random Variables: Properties and Applications in Statistical Inference. Information Theoretic Learning: Renyi's Entropy and Kernel Perspectives. New York: Springer. 2010, vol. 10, pp. 385-413.
20. Chen B. Liu X., Zhao H., Principe J. Maximum Correntropy Kalman Filter. Automatica. 2017, vol. 76, pp. 70-77.
21. Izanloo R., Fakoorian S.A., Yazdi H.S., Simon D. Kalman Filtering Based on the Maximum Correntropy Criterion in the Presence of Non-Gaussian Noise. Annual Conference on Information Science and Systems (CISS), Princeton, USA: Proceedings. 2016, pp. 500-505.
22. Jwo D.-J. Chung F.-C., Weng T.-P., Thomas C. Adaptive Kalman Filter for Navigation Sensor Fusion. Sensor Fusion and its Applications. In TechOpen, 2010, pp. 66-90.
23. Särkkä S., Nummenmaa A. Recursive Noise Adaptive Kalman Filtering by Variational Bayesian Approximations. IEEE Transactions on Automatic Control. 2009, vol. 54, pp. 596-600.
24. Gelman A., Stern H.S., Dunson D.B., Vehtari A., Rubin D.B. Bayesian Data Analysis. New York: CRC Press, Taylor & Francis Group, 2014, 639 p.
25. Kulikova M.V. Square-root Algorithms for Maximum Correntropy Estimation of Linear Discrete-Time Systems in Presence of Non-Gaussian Noise. Systems & Control Letters. 2017, vol. 108, pp. 8-15.
Критерии авторства
Чубич В.М., Прокофьева А.Э. имеют на статью равные авторские права и несут равную ответствен-
Authorship criteria
Chubich M.V., Prokofieva A.E. have equal author's rights and bear equal responsibility for plagiarism.
ность за плагиат.
Конфликт интересов
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Conflict of interests
The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.
Статья поступила 17.11.2017 г.
The article was received 17 November 2017
