Параметрическая идентификация стохастических линейных дискретных систем на основе робастной фильтрации Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Оригинальная статья / Original article УДК 618.5.015

http://dx.doi.org/10.21285/1814-3520-2018-2-84-94

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ РОБАСТНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

© В.М. Чубич1, А.Э. Прокофьева2

Новосибирский государственный технический университет, Российская Федерация, 630073, г. Новосибирск, пр-т К. Маркса, 20.

РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. На основе фильтров Сярккя - Нумменмаа и Изанлу - Фейкуриана - Джазди - Саймона разработать программно-математическое обеспечение для решения задачи параметрического оценивания моделей стохастических линейных дискретных систем при наличии аномальных наблюдений в измерительных данных. Исследовать робастные процедуры оценивания параметров с целью выявления наиболее эффективной из них. МЕТОДЫ. Метод квазиправдоподобного оценивания. РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ. На примере модели системы управления положением двигателя постоянного тока при различном характере расположения аномальных наблюдений показано, что без применения робастных фильтров задача оценивания неизвестных параметров решается плохо. Применение указанных робастных фильтров позволяет повысить качество оценивания как минимум на 1,8% при случайном и на 6,81% при группированном характере расположения аномальных измерений. ВЫВОДЫ. Установлено, что робастная процедура оценивания на основе фильтра Изанлу - Фейкуриана -Джазди - Саймона дает наиболее точные оценки параметров.

Ключевые слова: параметрическая идентификация, робастное оценивание, фильтр Калмана, фильтр Сярккя - Нумменмаа, фильтр Изанлу - Фейкуриана - Джазди - Саймона, стохастическая линейная дискретная система.

Информация о статье. Дата поступления 04 января 2018 г.; дата принятия к печати 08 февраля 2018 г.; дата онлайн-размещения 27 февраля 2018 г.

Формат цитирования: Чубич В.М., Прокофьева А.Э. Параметрическая идентификация стохастических линейных дискретных систем на основе робастной фильтрации // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2018. Т. 22. № 2. С. 84-94. DOI: 10.21285/1814-3520-2018-2-84-94

PARAMETRIC IDENTIFICATION OF STOCHASTIC LINEAR DISCRETE SYSTEMS BASED ON ROBUST FILTERING V.M. Ohubich, A.E. Prokofieva

Novosibirsk State Technical University,

20, K. Marks pr., Novosibirsk, 630073, Russian Federation

ABSTRACT. The PURPOSE of the article is to develop the program software for solving the parametric estimation problem of the models of stochastic linear discrete systems in the presence of outliers in measurement data based on Sarkka

- Nummenmaa and Izanloo - Fakoorian - Yazdi - Simon filters as well as to study robust procedures of parameter estimation in order to identify the most effective of them. METHODS. A quasi-likelihood estimation method is used in the study. RESULTS AND THEIR DISCUSSION. As exemplifies the model of a DC motor control system with different location of outliers, the problem of unknown parameter estimation cannot be solved without the use of robust filter. The application of the robust filters allows to improve the estimation quality by at least 1.8% under random location of outliers and by 6.81% under the grouped one. CONCLUSIONS. It is found that the robust estimation procedure based on the Izanloo

- Fakoorian - Yazdi - Simon filter provides the most accurate parameter estimates.

Keywords: parametric identification, robust estimation, Kalman filter, Sarkka - Nummenmaa filter, Izanloo - Fakoorian -Yazdi - Simon filter, stochastic linear discrete system

Article info. Received January 04, 2018; accepted February 08, 2018; available online February 27, 2018.

For citation: Chubich V.M., Prokofieva A.E. Parametric identification of stochastic linear discrete systems based on robust filtering. Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2018, vol. 22, no. 2, pp. 84-94. (In Russian). DOI: 10.21285/1814-3520-2018-2-84-94

1Чубич Владимир Михайлович, доктор технических наук, заведующий кафедрой теоретической и прикладной информатики, e-mail: chubich@ami.nstu.ru

Vladimir M. Chubich, Doctor of technical sciences, Head of the Department of Theoretical and Applied Informatics, e-mail: chubich@ami.nstu.ru

2Прокофьева Алина Эдуардовна, магистрант, e-mail: pae.1994@yandex.ru Alina E. Prokofieva, Master's Degree student, e-mail: pae.1994@yandex.ru

Введение

Идентификация динамической системы предполагает определение структуры и параметров математической модели, обеспечивающей наилучшее совпадение выходных переменных модели и системы при одинаковых воздействиях. На практике довольно часто экспериментальные данные содержат аномальные наблюдения, что может быть обусловлено отклонением распределения шума измерений от гауссовского. Применение алгоритмов, не принимающих во внимание появление таких наблюдений, может привести к смещению оценок и некорректному решению задачи оценивания.

Традиционно для решения задачи параметрической идентификации стохастических динамических систем используется метод максимального правдоподобия. Это связанно с его такими хорошими асимптотическими свойствами как: несмещенность, состоятельность и эффективность [1, 2]. При этом соответствующий критерий идентификации записывается на основе уравнений классического фильтра Калмана и его численно устойчивых модификаций [3-7]. Проблема заключается в том, что, во-первых, фильтр Калмана не является устойчивым к появлению аномальных наблюдений и, во-вторых, большинство работ в области робастного оценивания ориентированы на построение статических моделей регрессионного анализа (см., например, [8, 9]). В связи с этим представляется полезным для теории и практики привлечение наиболее эффективных из многочисленных современных робастных модификаций фильтра Калмана, что позволит качественно решать задачи параметрического оценивания при наличии выбросов.

В [10] уже была предложена процедура робастного оценивания параметров моделей стохастических линейных дискретных систем на основе гибридного фильтра Джао (Jwo) -Чанга (Chung) - Вэнга (Weng) [11]. Проведенный авторами в [12] сравнительный анализ эффективности некоторых современных робастных фильтров показал, что указанный фильтр уступает фильтрам Сярккя (Särkkä) - Нумменмаа (Nummenmaa) [13] и Изанлу (Izanloo) - Фей-куриана (Fakoorian) - Джазди (Yazdi) - Саймона (Simon) [14]. Таким образом, возникает естественная идея использовать указанные фильтры при оценивании неизвестных параметров моделей стохастических линейных дискретных систем при наличии аномальных наблюдений, что и сделано в данной статье. Кроме того, на примере модели системы управления положения двигателя постоянного тока будет продемонстрирована целесообразность применения робастных фильтров Сярккя - Нумменмаа и Изанлу - Фейкуриана - Джазди - Саймона при решении соответствующих практических задач. Для расчетов использованы основные обозначения.

tk+1, tk - дискретные моменты времени;

x(tk+1) - вектор состояния;

Ф(^) - матрица состояния;

u(tk) - вектор управления;

xV(tk) - матрица управления;

w(tk) - вектор шума системы;

r(tk) - матрица возмущения;

y(tk+]_) - вектор измерения;

H(tk+1) - матрица наблюдения;

v(tk+1) - вектор шума измерений;

0(Чк) - ковариационная матрица шума системы; ЩД+О - ковариационная матрица шума измерений; Е [•] - оператор математического ожидания; 8и - символ Кронекера;

х(Ч0) - математическое ожидание начального состояния; Р(Ч0) - ковариационная матрица начального состояния; © - вектор неизвестных параметров;

х(Чк+1 | Чк) - оценка одношагового предсказания для состояния х(ы), полученная по измерениям у(0,..., У(Ч)

Р(Чк+11Ч) - ковариационная матрица ошибки одношагового предсказания;

х(Чк+11 Чк+1) - оценка фильтрации для состояния х(Чы), полученная по измерениям

Р(Чк+11 Чк+1) - ковариационная матрица ошибки фильтрации;

У(чк+11 Чк+1) - оценка У(чк+1), полученная по измерениям у(0,...,У(чк+1

I - единичная матрица;

detА - определитель матрицы А ;

(А)^ - j-й диагональный элемент матрицы А ;

(а) - j-й элемент вектора а; 1па - натуральный логарифм а .

Постановка задачи

Рассмотрим следующую управляемую, наблюдаемую и идентифицируемую модель стохастической линейной дискретной системы в пространстве состояний:

где х(Чк) - п -вектор состояния; ы(1к) - г -вектор управления;

) - Р -вектор шума системы; у(- т -вектор измерения; v(tk+l) - т -вектор шума измерений.

Предположим, что:

• случайные векторы w(Чк), v(tk+l) образуют белые гауссовские последовательности,

причем

У(tl),..., y(tk+l)

x(tk+l) = Ф^ ) x(tk ) + m )u(tk ) + Щ )w(tk ),

(1)

y(tk+l) = H(tk+l)x(tk+l) + v(tk+l), k = 0,1,...,N-l,

(2)

E [ w(tk )] = 0, E [w(tk )wT (ti )] = Q(tk )Sk

E [v(tk+,)] = 0, E [v(tk+y (ti+l)] = R(tk+l)Sk

E

w{tk)vT (ti)

= o,

для любых к, \ = 0,...,К-1;

• начальное состояние ) имеет нормальное распределение с параметрами

E[x(to)]= X{to), E (x{to) -X{to))(x{to)-X(to))T = P{to)

и не коррелирует с w(tk), при любых значениях переменной к;

• неизвестные параметры сведены в вектор © = ,...,^)еП0и могут входить в элементы матриц ), ), ), Н(^+х), ) в различных комбинациях.

Необходимо для моделей (1), (2) с учетом высказанных априорных предположений разработать на основе фильтров Сярккя - Нумменмаа и Изанлу - Фейкуриана - Джазди -Саймона программно-математическое обеспечение для решения задачи параметрического оценивания при наличии аномальных наблюдений в измерительных данных и провести численное исследование эффективности соответствующей вычислительной процедуры.

Робастные алгоритмы фильтрации

Фильтр Сярккя (Эагкка) - Нумменмаа (Ыиттептаа). Фильтр Сярккя - Нумменмаа позволяет находить не только оценки вектора состояния и соответствующие им ковариационные матрицы, но и оценку ковариационной матрицы шума измерений порядка т, считая ее диагональной.

Инициализация:

%! О = X (О, Р(д О=Р(0;

а(^\ О = ^а^.^атоХ О = (До> Pю,..., Дт0);

ь = цо.

Выполнять в цикле по k = о, N -1

x{tk+1 \ tk ) = Ф& )x{tk \ tk ) + ^{tk )u{tk );

P{tk+1 \ tk) = Ф{tk)P{tk \tk)ФT{tk) + r{tk)Q{tk)rT{tk);

£{h+1)=y{tk+1)+1) x{tk+l\ tk );

1

1

a{tk+1 \ tk+1) = ^ + al{tk \ tk + am {tk \ tk )

ßk+lt+l) = ß{tk\tk ). _ Выполнять в цикле по i = 1, L

Ri {tk+l) = diag

ßß{tk+1 \ tk+1) ßm {tk+1 \ tk+l)' al{tk+1 \ tk+1 ) am {tk+l\ tk+l)

B {tk+1) = H{tk+l)P{tk+1 \ tk )HT {tk+1) + Ri {tk+1); K {tk+1) = P{tk+l\ tk )HT {tk+l)B {tk+1)-1;

x'itk+1 \ tk+1 ) = +l\ tk) + Kitk+l)^ k +1/'

2

.

2

P'(h+11 *k+1 ) = [ - K (tk+1)H(tk+)] +J h). Выполнять в цикле по j = 1, m

ßß(tk+11 tk+1) = ßj(tk 1tk) +1 ((y(*k+1)-H(tk+1)x'(tk+11 tk+1))J

1 (H(tk+1)PJ(tk+11 tk+1)Hr(tk+1)^ .

Конец цикла по j

Конец цикла по i

%+1 Ю=xL(tk+1 Ю; P(tk+1 Ю=pL(tk+1 Uk+1);

^+1) = BL (tk+1); ß(tk+11 tk+1) = ßL (tk+11 tk+1).

Конец цикла по k

Фильтр Изанлу (Izanloo) - Фейкуриана (Fakoorian) - Джазди (Yazdi) - Саймона (Simon). Фильтр Изанлу - Фейкуриана - Джазди - Саймона основывается на критерии максимальной коррентропии и методе взвешенных наименьших квадратов, позволяющий уменьшать влияние аномальных наблюдений. Приведем алгоритм данного фильтра с использованием эквивалентных форм представления матричного коэффициента усиления и ковариационной матрицы ошибок фильтрации из [15].

Инициализация:

x(to| О = x (О, P(t010 = P(0;

а = а0.

Выполнять в цикле по k = 0, N -1

-(tk.i I tk) = Ф&)-(tk I tk). ^(tk)u(tk);

P(tk .i It, ) = Ф& )P(tk I tk )ФГ (tk ) .r(tk )Q(tk )Гг (tk );

g(tk .i)=y(tk .i)-H(tk .i)% .iI tk );

L(tk .i) = exp

' g7(tk.i)R-l(tk,)g(tk.i)>

2ct2

J

B(tk+l) = H(tk+l)P(tk+l \tk)L(tk+1)H^ (tk+l) + R(tk+1);

K(tk+l) = P(tk+1 \ tk )L(tk+1)HT (tk+1) B-1^); x(tk+1 \ tk+1) = x(tk+1\ tk ) + K (t

k +1 Ж+1);

P(tk+1 \ tk+1)

= [ I - K (tk+1)H(tk+1)] P(tk+1 \ tk ).

Конец цикла

Оценивание неизвестных параметров

Оценивание неизвестных параметров математической модели будем осуществлять по данным наблюдений S в соответствии с критерием максимального правдоподобия х.

Обозначим через Yf = [[(^), ..yT(tN)] выходной сигнал, соответствующий входному сигналу UN-1 =[T (t0),.., uT (N.1)] .Тогда S = {U0N-1,Y1N }.

В силу того, что измерительные данные содержат аномальные наблюдения, будем вычислять квазиправдоподобные оценки [16], решая оптимизационную задачу:

0 = arg min Г % (0; S)] = arg min Г-Ln L (0; S)].

©GOq ©GOQ

(3)

Здесь

Nm 1 n-1 1 N-i

E) = — ln2^ + (tk+i)B~l(tk+l)s(tk+i) + -findet B(tkJ,

22 k=0 2 k=0

где £(tfe+1) и B(t^+1) определяются либо по уравнениям фильтра Сярккя - Нумменмаа, либо по уравнениям фильтра Изанлу - Фейкуриана - Джазди - Саймона.

Численные результаты эксперимента и их обсуждение

Используя робастные фильтры Джао - Чанга - Вэнга, Сярккя - Нумменмаа и Изанлу -Фейкуриана - Джазди - Саймона, исследуем эффективность процедуры параметрической идентификации на примере модели системы управления положением, состоящей из антенны и двигателя постоянного тока [17].

Пусть первая компонента вектора состояния отвечает за угловое положение антенны, вторая - за ее угловую скорость; входным сигналом является напряжение на входе усилителя постоянного тока, управляющего двигателем; с помощью потенциометра измеряется угловое положение, и выполняются все априорные предположения, высказанные при постановке задачи. Тогда модели состояния и наблюдения в дискретные моменты времени определяются соотношениями:

X1(tk+1)" X2(tk+1)

1

1 _(1 - е-в ) в )

о

x1(tk) X2(tk)

— (T -1 +1 е^в ) в1 в1 в1

— (1 - е^ ) в( )

u(tk ) +

w(tk );

y(tk+1) = [1 0]

x1(tk J X2(tk+1).

+ v(tk+1)„ к = 0,1,...,N -1.

Здесь в, в - неизвестные параметры и Q0 = {1 < в1 < 10, 0 < в2 < 1}.

Положим

R(tk+1) = R = 0.1, X ( to) =

N = 100

о о

u{tk) = 12, k = 0,..., N -1, T = 0.1, Q(^) = Q = 0.01,

, P(to) =

и выберем значения параметров алгорит-

0.01 0 0 0.01

мов фильтрации в соответствии с табл. 1.

Для ослабления зависимости результатов оценивания от выборочных данных проведем M = 100 независимых запусков системы, а полученные оценки неизвестных параметров усредним. О качестве параметрической идентификации будем судить по значению относительной ошибки оценивания 8в, вычисляемой по следующей формуле:

s=

(в; )2 + (в*-в; )2

(в;)2+в

i*\2

где (6^, 62ф) - усредненная оценка неизвестных параметров, полученная в соответствии с тем или иным методом оценивания по всем запускам (6*, 6*) - истинные значения параметров.

Таблица 1

Значения параметров робастных фильтров

Table 1

_Values of robust filter parameters_

Фильтр / Filter Значения параметров фильтра / Values of filter parameters

Фильтр Джао - Чанга - Вэнга / Jwo - Chung - Weng filter R(to) = 0.2

Фильтр Сярккя - Нумменмаа / Sarkka - Nummenmaa filter «10 = ß10 = 1, Lo = 4

Фильтр Изанлу - Фейкуриана - Джазди - Саймона / Izanloo - Fakoorian - Yazdi - Simon filter Ö-0 =1

С помощью программной среды Matlab смоделируем выборки с аномальными измерениями, расположенными случайным образом, задав коэффициент загрязнения выборки у = 0.1 и дисперсию шума аномальных наблюдений RA = 1000Я, считая, что истинные значения параметров 6* = 4.6,6* = 0.787. Для решения оптимизационной задачи (3) воспользуемся

алгоритмом обобщенного поиска по образцу, реализованного в функции patternsearch пакета расширения Toolbox Global Optimization системы Matlab [18]. Численные результаты расчетов представлены в табл. 2.

Таблица 2

Численные результаты параметрической идентификации (случайный характер аномальных измерений)

Table 2

Numerical results of the parametric identification

(random outliers)

Фильтр / Filter в'р вср в2

Фильтр Калмана / Kalman filter 1.7217 0.3068 0.625

Фильтр Джао - Чанга - Вэнга / Jwo - Chung - Weng filter 4.8849 0.8376 0.062

Фильтр Сярккя - Нумменмаа / Sarkka - Nummenmaa filter 4.8010 0.8258 0.044

Фильтр Изанлу - Фейкуриана - Джазди - Саймона / Izanloo - Fakoorian - Yazdi - Simon filter 4.7798 0.8203 0.039

Приведем графическое представление результатов параметрической идентификации на основе фильтра Калмана и фильтра Изанлу - Фейкуриана - Джазди - Саймона в пространстве откликов (на примере одной реализации входного сигнала) на рис. 1, где = И(^+1) 1 и 1 вычисляется в соответствии с определенным алгоритмом фильтрации.

Фильтр Калмана I Kalman filter

Фильтр Изанлу - Фейкуриана - Джазди - Саймона I Izanloo - Fakoorian - Yazdi - Simon filter

a b

Рис. 1. Графическое представление y(tk+х) и y(tk+t) при случайном характере аномальных измерений: a - фильтр Калмана; b - фильтр Изанлу - Фейкуриана - Джазди - Саймона Fig. 1. Graphical representation of y(tk+l) and y(tk+l) under random outliers: a - Kalman filter; b - Izanloo - Fakoorian - Yazdi - Simon filter

Изменим характер расположения аномальных измерений, разместив их двумя группами - по пять наблюдений в каждой, и смоделируем новые выборки измерений. Обработаем измерительные данные предложенными робастными процедурами и приведем численные результаты параметрической идентификации в табл. 3. Графическое представление результатов параметрической идентификации в пространстве откликов (на примере одной реализации входного сигнала) приведем на рис. 2.

Таблица 3

Численные результаты параметрической идентификации (группированный характер аномальных измерений)

Table 3

Numerical results of parametric identification _(grouped outliers)_

Фильтр / Filter ê°p Q op 2 se

Фильтр Калмана / Kalman filter 1.9345 0.3410 0.579

Фильтр Джао - Чанга - Вэнга / Jwo - Chung - Weng filter 5.2076 0.8872 0.132

Фильтр Сярккя - Нумменмаа / Sarkka - Nummenmaa filter 4.8901 0.8358 0.063

Фильтр Изанлу - Фейкуриана - Джазди - Саймона / Izanloo - Fakoorian - Yazdi - Simon filter 4.7829 0.8180 0.040

Рис. 2. Графическое представление y(tk+г) и y(tk+г) при случайном характере аномальных измерений: a - фильтр Калмана; b - фильтр Изанлу - Фейкуриана - Джазди - Саймона Fig. 2. Graphical representation of y(tk+l) and y(tk+l) under random outliers: a - Kalman filter; b - Izanloo - Fakoorian - Yazdi - Simon filter

Анализ содержимого табл. 2 и 3 показывает, что задача оценивания параметров при помощи традиционного фильтра Калмана решается плохо (относительные ошибки оценивания составляют 62,5% и 57,9%, соответственно, при случайном характере аномальных измерений и группированном характере). Применение фильтра Сярккя - Нумменмаа позволяет повысить качество оценивания на 1,8% при случайном характере аномальных измерений и на 6,81% при группированном характере по сравнению с фильтром Джао - Чанга - Вэнга. Применение фильтра Изанлу - Фейкуриана - Джазди - Саймона повышается качество оценивания на 2,3% и 9,2% соответственно.

Заключение

В работе исследована эффективность процедуры параметрической идентификации стохастических дискретных систем на основе устойчивых к аномальным наблюдениям фильтров Изанлу - Фейкуриана - Джазди - Саймона, Сярккя - Нумменмаа и Джао - Чанга - Вэнга.

На примере модели системы управления положением двигателя постоянного тока при различном характере расположения аномальных наблюдений было показано, что робастная процедура оценивания на основе фильтра Изанлу - Фейкуриана - Джазди - Саймона дает наиболее точные оценки параметров.

В дальнейших исследованиях будет разработан алгоритм активной параметрической идентификации линейных дискретных систем на основе фильтра Изанлу - Фейкуриана -Джазди - Саймона.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ по государственному заданию (проект № 2.7996.2017/8.9).

Библиографический список

1. Боровков А.А. Математическая статистика. Новосибирск: Наука, 1984. 472 с.

2. Ивченко Г.И., Медведев Ю. И. Математическая статистика. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2014. 352 с.

3. Gupta N.K., Mehra R.K. Computational aspects of maximum likelihood estimation and reduction in sensitivity function calculations // IEEE transactions on automatic control. 1974. Vol. 19. № 6. P. 774-783.

4. Astrom K. J. Maximum likelihood and prediction errors methods // Automatica. 1980. Vol. 16. Р. 551 -574.

5. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователей / пер. с англ. М.: Наука, 1991. 432 с.

6. Денисов В.И., Чубич В.М., Черникова О.С., Активная параметрическая идентификация стохастических линейных дискретных систем во временной области // Сибирский журнал индустриальной математики. 2003. Т. 6. № 3. С. 70-87.

7. Цыганова Ю.В., Куликова М.В. Об эффективности методах параметрической идентификации линейных дискретных стохастических систем // Автоматика и телемеханика. 2012. № 6. С. 34-51.

8. Maronna R.A., Martin D.R., Yohai V.J. Robust statistics. Theory and methods. England: John Wiley Sons, 2006. 400 p.

9. Huber P. J., Ronchetti E.M. Robust statistics. New Jersey: John Wiley Sons, 2009. 371 с.

10. Чубич В.М., Черникова О.С., Долгов А.А. Робастное оценивание параметров моделей гауссовских линейных дискретных систем на основе гибридного фильтра // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2017. Т. 21. № 4. С. 100-107. DOI: http://dx.doi.org/10.21285/1814-3520-2017-4-100-107

11. Jwo D.-J. Chung F.-C., Weng T.-P., Thomas C. Adaptive Kalman filter for navigation sensor fusion // Sensor Fusion and its Applications. In TechOpen, 2010. P. 66-90.

12. Чубич В.М., Прокофьева А.Э. Сравнительный анализ некоторых робастных фильтров для нестационарных линейных дискретных систем // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2017. Т. 21. № 12. С. 123-137. DOI: http://dx.doi.org/10.21285/1814-3520-2017-12-123-137

13. Izanloo R., Fakoorian S.A., Yazdi H.S., Simon D. Kalman filtering based on the maximum correntropy criterion in the presence of non- Gaussian noise // Annual Conference on Information Science and Systems (CISS), Princeton, USA: proccedings. 2016. P. 500-505.

14. Sarkka S., Nummenmaa A. Recursive noise adaptive Kalman filtering by variational Bayesian approximations // IEEE Transactions on Automatic control. 2009. Vol. 54. P. 596-600.

15. Kulikova M.V. Square-root algorithms for maximum correntropy estimation of linear discrete-time systems in presence of non-Gaussian noise // Systems & Control Letters. 2017. Vol. 108. P. 8-15.

16. Мудров В.И., Кушко В.Л. Методы обработки измерений. Квазиправдоподобные оценки. М.: Радио и связь, 1983. 304 с.

17. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления / Пер. с англ. М.: Мир, 1977. 650 с.

18. Гольдштейн А.Л. Оптимизация в среде MATLAB. Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2015. 192 с.

References

1. Borovkov, А.А. Matematicheskaya statistika [Mathematical statistics]. Novosibirsk: Science Publ., 1984, 472 p. (In Russian).

2. Ivchenko G.I., Medvedev Yu.I. Matematicheskaya statistika [Mathematical statistics]. Moscow: LIBROKOM Publ., 2014, 352 p. (In Russian).

3. Gupta N.K., Mehra R.K. Computational aspects of maximum likelihood estimation and reduction in sensitivity function calculations // IEEE transactions on automatic control. 1974, vol. 19, no 6, pp. 774-783.

4. Astrom K.J. Maximum likelihood and prediction errors methods // Automatica. 1980, vol. 16, pp. 551-574.

5. Ljung L. System Identification: Theory for the User, 1987, 225 р. (Russ. ed.: Identifikacija sistem. Teorija dlja pol'zovatelej. Moscow, Nauka Publ., 1987, 225 р.)

6. Denisov V.I., diubich M.V., Chernikova S.O. Active parametric identification of stochastic linear discrete systems in a time domain. Sibirskij zhurnal industrial'noj matematiki [Siberian Journal of Industrial Mathematics], 2003, vol. 6, no 3, pp. 70-87. (In Russian).

7. Tsyganova Yu.V., Kulikova M.V. On efficient parametric identification methods for linear discrete stochastic systems. Avtomatika i telemehanika [Automation and Remote Control], 2016, no 6, pp. 34-51. (In Russian).

8. Maronna R.A., Martin D.R., Yohai V.J. Robust statistics. Theory and methods. England: John Wiley Sons, 2006, 400 p.

9. Huber P. J., Ronchetti E.M. Robust statistics. New Jersey: John Wiley Sons, 2009, 3071 p.

10. d"iubich M.V., Chernikova S.O., Dolgov A.A. Robust estimation of parameters of Gaussian models linear discrete systems based on hybrid filter. Vestnik Irkutskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta [Proceedings of Irkutsk State Technical University], 2017, vol. 21, no. 4, pp. 100-107. (In Russian). DOI: http://dx.doi.org/10.21285/1814-3520-2017-4-100-107

11. Jwo D.-J. Chung F.-C., Weng T.-P., Thomas C. Adaptive Kalman filter for navigation sensor fusion // Sensor Fusion and its Applications. In TechOpen, 2010, pp. 66-90.

12. СЬшЬю! V. M., Prokofeva A.E. Comparative analysis of some robust filters for non-stationary linear discrete systems.

Vestnik Irkutskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta [Proceedings of Irkutsk State Technical University], 2017, vol. 21, no. 12, pp. 123-137. (In Russian). DOI: http://dx.doi.org/10.21285/1814-3520-2017-12-123-137

13. Izanloo R., Fakoorian S.A., Yazdi H.S., Simon D. Kalman filtering based on the maximum correntropy criterion in the presence of non- Gaussian noise. Annual Conference on Information Science and Systems (CISS), Princeton, USA: proceedings, 2016, pp. 500-505.

14. Sarkka S., Nummenmaa A. Recursive noise adaptive Kalman filtering by variational Bayesian approximations. IEEE Transactions on Automatic control, 2009. Vol. 54, pp. 596-600.

15. Kulikova M.V. Square-root algorithms for maximum correntropy estimation of linear discrete-time systems in presence of non-Gaussian noise. Systems & Control Letters, 2017, vol. 108, pp. 8-15.

16. Mudrov VI, Kushko V.L. Metody obrabotki izmereniy. Kvazipravdopodobnyye otsenki [Methods for measurement processing. Quasi-like estimates]. Moscow: Radio and communication Publ., 1983, 304 p. (In Russian).

17. Kwakernaak H., Sivan R. Linear optimal control systems, 1972, 595 p. (Russ. ed.: Linejnye optimal'nye sistemy up-ravlenija. New York, John Wiley Sons Publ., 1972, 595 p.)

18. Goldstein A.L. Optimizacija v srede MATLAB [Optimization in MATLAB environment]. Perm: Publishing house of Perm national research polytechnic university, 2015, 192 p. (In Russian).

Критерии авторства

Чубич В.М., Прокофьева А.Э. имеют на статью равные авторские права и несут равную ответственность за плагиат.

Authorship criteria

Chubich V.M., Prokofieva A.E. have equal copyrights for the article and bear equal responsibility for plagiarism.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Conflict of interests

The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.