Методы агрегирования операций в управлении проектами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Посилання на статтю_

Польшаков В.И. Методы агрегирования операций в управлении проектами / В.И. Польшаков, А.Н. Лашук // Управлшня проектами та розвиток виробництва: Зб.наук.пр. - Луганськ: вид-во СНУ iм. В.Даля, 2004. - № 3(11). - ^47-51._

УДК 65.01

В.И. Польшаков, А.Н. Лашук

МЕТОДЫ АГРЕГИРОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ В УПРАВЛЕНИИ ПРОЕКТАМИ

Рассматриваются задачи построения агрегированных описаний операций с нулевой ошибкой агрегирования. Рис. 1, ист. 3.

Ключевые слова: агрегирование, комплекс операций, ошибка агрегирования, эквивалентный объем комплекса.

В.1. Польшаков, А.М. Лашук

МЕТОДИ АГРЕГУВАННЯ ОПЕРАЦ1Й В УПРАВЛ1НН1 ПРОЕКТАМИ

Розглядаються завдання побудови агрегованих опиав операцм з нульовою помилкою агрегування. Рис. 1, дж. 3.

V.I. Polshakov, A.N. Lashuk

METHODS OF OPERATIONS AGGREGATION IN PROJECT MANAGEMENT

Tasks of construction the operations aggregated descriptions with zero aggregation mistake are considered.

Проблема и ее связь с важными научными и практическими задачами.

Центральной задачей в управлении проектами является задача формирования плана реализации проекта или задача календарного планирования. Как правило, эта задача связана с распределением ограниченных ресурсов по операциям проекта. Поэтому задачу календарного планирования называют часто задачей оптимального распределения ресурсов в проекте (комплексе операций). Эта задача в общем случае относится к сложным многоэкстремальным или комбинаторным задачам оптимизации. Точные эффективные методы получены только для небольшого числа частных постановок или для задач небольшой размерности. Поэтому для решения реальных задач календарного планирования развиваются два подхода [1].

Первый подход основан на использовании эвристических алгоритмов. Первая группа эвристических алгоритмов использует некоторые эвристические правила приоритетности операций при возникновении конфликтной ситуации, связанной с ограниченностью. Вторая группа эвристических алгоритмов использует идею локальной оптимизации, то есть улучшения некоторого начального решения. Второй подход основан на идее агрегирования, то есть уменьшения числа операций проекта путем замены нескольких операций одной операцией. Полученный агрегированный проект, как правило, допускает более

1

"УправлЫня проектами та розвиток виробництва", 2004, № 3(11)

эффективные методы решения (в силу меньшей размерности). Полученное агрегированное решение затем дезагрегируется в календарный план исходного проекта.

Анализ последних исследований и публикаций. Агрегирование, то есть представление сложной модели (описываемой большим числом параметров) в упрошенном (агрегированном) виде (описываемой небольшим числом параметров) не только эффективный метод решения задач большой размерности, но едва ли не единственный подход к принятию решений на высших уровнях управления. Главная причина агрегированного описания сложный моделей в том, что руководитель способен принимать эффективные решения, оперируя только небольшим числом существенных факторов (порядка 7-8) [2].

Отсюда следует, что подход к решению задач большой размерности на основе построения агрегированных моделей адекватен иерархическому построению организационных систем. Очевидно, что упрощенное описание является приближенным (ошибка агрегирования), однако, это упрощение окупается повышением эффективности принятия решений на основе агрегированных моделей.

Для любого агрегированного проекта ошибка агрегирования при заданном графике N(1) будет равна [3]:

Б

N (* )] =

х_та N (*)]

тт N (г)]

(1)

где Т^©] - минимальное время реализации проекта; Та^(!)] - минимальное время реализации агрегированного проекта при том же графике N0).

Постановка задания. Цель данной статьи состоит в том, чтобы на основании проведенных исследований и расчетов выявить, какой комплекс может допускать идеальное агрегирование, то есть приводить к нулю ошибку агрегирования.

Основной материал исследования. Рассмотрим несколько комплексов агрегированных операций, а именно - независимых и последовательных операций.

Для комплекса из п независимых операций, где Wi - объем ^ой операции, - скорость 1-ой операции (^ - вогнутые функции) все операции начинаются одновременно и заканчиваются также одновременно, причем скорости операций удовлетворяют соотношениям:

Л [щ ()]= I = й, (2)

где w(t) определяется из уравнения:

п

Н )Щ ] = N (*), (3)

7 = 1

где N0) - возможные ограничения на количество ресурсов, выделенных для реализации проекта; ^ - функция, обратная

2

"УправлЫня проектами та розвиток виробництва", 2004, № 3(11)

Момент завершения комплекса можна определить из условия:

Т

| w(t уи = 1.

0

При этом скорость агрегированной операции можно определить как решение уравнения (3), приняв ее объем за Wэ=1. Тогда для любого класса возможных ограничений на количество ресурсов, выделенных для реализации проекта, получим ТЭ[Ы(1)]= Тт^©], где Тт^(1)] - минимальное время реализации проекта при графике использования ресурсов N(1), а ТЭ[Ы(1)] - минимальное время реализации агрегированного проекта при том же графике N(1).

Для комплекса из п последовательных операций объема W¡ 1=1, п и скоростями ^(и^р^и^ получаем агрегированную операцию с объемом

Таким образом, видно, что ошибка агрегирования (е) при заданном графике N(1) равна нулю как для комплекса с п независимыми операциями, так и для комплекса из п последовательных операций, то есть е = 0.

На основании этих расчетов можно утверждать, что если комплекс состоит из однородных операций (операции, скорости которых удовлетворяют соотношениям ^р^, где ^ - вогнутые функции) и имеет последовательно параллельную структуру, то такой комплекс допускает идеальное агрегирование в одну операцию.

Существует класс зависимостей ^(и) при которых возможно идеальное агрегирование любого комплекса операций. Это так называемые степенные

зависимости вида ^(и) = и® , а<1, I = 1,п .

Для случая степенных зависимостей существует агрегированное представление комплекса в виде одной операции объема Wэ и со скоростью f=uа такое, что для любого ^^ имеет место Тт^©] = Та^(ЭД. Таким образом, задачу можна свести к определению объема агрегированной операции (объем называют эквивалентным объемом комплекса).

Наиболее подходящим в данном случае считается метод определения эквивалентного объема, основанный на геометрической аналогии.

Представим комплекс, имеющий размерность 3 (максимальное число независимых операций), где в соответствие каждому пути ^ поставим координатную ось у фазового пространства, а последовательности вершин к е ^ последовательность отрезков длины Wk на оси у (рис. 1).

п Ш.

и ск

Та^(1)]= ^[N(1)].

и скоростью ша=Т(и). В данном случае для любого N(1) имеет место

3

"УправлЫня проектами та розвиток виробництва", 2004, № 3(11)

Рис. 1. Геометрическая интерпретация комплекса операций

Точка О соответствует начальному состоянию комплекса (ни одна операция не начата), а точка А - конечному состоянию (операции завершены). Чтобы отобразить зависимости между операциями различных путей, нужно вырезать из

О W4 Н1

параллелограмма на рисунке соответствующие области. Полученная область полностью описывает множество возможных состояний комплекса. Любому процессу выполнения операций соответствует траектория, соединяющая т. О с т. А и проходящая в области возможных состояний. Тогда расстояние между любыми двумя точками у-| и у2 можна определить следующим образом:

А

2 )=

т

I

V. I=

у}

у2

1 / а

\а

(5)

У

В [3] показано, что эквивалентный объем комплекса операций равен длине кратчайшей траектории, соединяющей т. О с т. А .

Тогда алгоритм определения кратчайшей траектории, использующий геометрическую аналогию будет следующий. Проводим прямую, соединяющую т. О с т. А . Эту прямую можно описать параметрически в виде:

Уг ()= * * Щ, (6)

где Н = ■ Далее определяем минимальное ^ начиная с которого прямая

к^Мг

выходит за пределы области возможных состояний. Геометрически это означает, что кратчайшая траектория должна проходить через отрезок ВС на

4

"УправлЫня проектами та розвиток виробництва", 2004, № 3(11)

С2 С2

унке 1. Как известно, в этом случае треугольники OBD и ACD должны быть "подобными. Это позволяет определить координаты точки D.

Далее процедура повторяется. Определяем минимальное ^ начиная с которого траектория выходит за пределы области возможных состоянии, далее определяем соответствующую точку на границе области (условия подобия треугольников) и т.д., пока не получим траекторию, которая состоит из отрезков прямых и целиком лежит в области возможных состояний.

На втором этапе происходит корректировка полученной траектории, то есть, рассматриваются три последовательных точки излома траектории и корректируется если это необходимо, положение средней точки из условия подобия треугольников.

Выводы по данному исследованию. В работе было установлено эффективность решения задач респределения ресурсов на основе агрегирования. Было рассмотрено методы решения агрегированных задач с небольшим числом агрегированных операций, позволяющих сводить ошибку агрегирования к нулю. Было доказано, что ошибка агрегирования равна нулю как для комплекса с п независимыми операциями, так и для комплекса из п последовательных операций.

Перспективы дальнейших разработок в данном направлении. В дальнейшем предполагается рассмотреть задачу оптимизации комплекса операций по стоимости на основе методов агрегирования для оптимального распределения ресурсов по проектам.

ЛИТЕРАТУРА

1. Товб А.С., Ципес Г.Л. Управление проектами: стандарты, методы, опыт. - М.: ЗАО "Олимп-Бизнес", 2003. - 240 с.

2. Разумихин Б.С. Задача об оптимальном распределении ресурсов. - АиТ, №7, 1965.

3. Бурков В.Н., Квон О.Ф., Цитович Л.А. Модели и методы мультипроектного управления. - М.: СПУ РАН, 1998. - 62 с.

Стаття надмшла до редакцп 25.07.2004 р.

5

"УправлЫня проектами та розвиток виробництва", 2004, № 3(11)