CC BY
32
7/)П11 ВЕСТНИК _7/2011 МГСУ
ПОСТРОЕНИЕ КАЛЕНДАРНЫХ ПЛАНОВ НА ОСНОВЕ АГРЕГИРОВАНИЯ КОМПЛЕКСА РАБОТ
CONSTRUCTION OF TIME SCHEDULE ON THE BASIS OF AGGREGATION OF THE COMPLEX
OF WORKS
C.A. Баркалов, O.B. Будков, A.E. Кравцов S. A. Barkalov, O. V. Budkov, A. Ye. Kravtsov
ВГАСУ
В статье представлен порядок построения календарных планов с использованием агрегирования комплекса работ. Рассмотрены формальные определения агрегирования и наиболее частотные ошибки агрегирования в задачах календарного планирова-
The article presents the procedure of time schedule construction with the use of aggregation of the complex of works. Formal definitions of aggregation and the most frequency errors of aggregation in the problems of time schedule are proposed.
Агрегирование, то есть представление сложной модели (описываемой большим числом параметров) в упрощенном (агрегированном) виде (описываемой небольшим числом параметров)? не только эффективный метод решения задач большой размерности, но едва ли не единственный подход к принятию решений на высших уровнях управления. И дело здесь не в том, что ограничены наши возможности в решении задач большой размерности. Главная причина агрегированного описания сложных моделей в том, что руководитель (лицо, принимающее решение) способен принимать эффективные решения, оперируя только небольшим числом существенных факторов (порядка 7 - 8 факторов).
Отсюда следует, что подход к решению задач большой размерности на основе построения агрегированных моделей адекватен иерархическому построению организационных систем. Очевидно, что упрощенное описание является приближенным (ошибка агрегирования), однако это упрощение окупается повышением эффективности принятия решения на основе агрегированных моделей. Большой интерес представляют случаи идеального агрегирования, то есть агрегирования с нулевой ошибкой. Дадим формальные определения агрегирования и ошибки агрегирования в задачах календарного планирования.
Определение 1. Агрегированием комплекса операций называется его представление в виде комплекса с меньшим (как правило, значительно меньшим) числом операций.
Это определение обобщает определение агрегирования, данное в [1, 2], где под агрегированием понималось представление комплекса операций в виде одной операции.
Пусть задан класс М возможных ограничений N(t) на количество ресурсов, выделенных для реализации проекта. Обозначим Tm[N(t)] - минимальное время реализации
ВЕСТНИК 7/2011
проекта при графике использования ресурсов N(1), а Ta[N(t)] - минимальное время реализации агрегированного проекта при том же графике N(1). Разность
Т [N(*)]
N «)] =
1 -
Тт [Nк)]
определяет ошибку агрегирования при заданном графике N(1). Ошибку агрегирования для всех возможных графиков N(1) е М будем оценивать выражением
8 = шал 8 Г N (t)!.
Определение 2. Агрегирование с нулевой ошибкой называется идеальным. Приведем примеры идеального агрегирования комплекса операций. Пример. Рассмотрим комплекс из п независимых операций. Обозначим '' - объем 1-ой операции, ^(и) - скорость 1-ой операции. Пусть 1 - вогнутые функции. В этом случае, как доказано В.Н. Бурковым [3], все операции начинаются одновременно и заканчиваются также одновременно, причем скорости операций удовлетворяют соотношениям
лО =/[ы,0)] = итфЩ, I = 1,п , где определяется из уравнения
Ё^ [*^) V] = N(t), (1)
I=1
^ - функция, обратная
Момент завершения комплекса определяется из условия
| МО
л = 1.
0
Определим скорость агрегированной операции а ее объем примем за = 1. Очевидно, что для любого N(1) имеем ^[N(0] = Тт^(0], то есть е = 0.
Пример. Рассмотрим комплекс из п последовательных операций объема '¡,
I = 1, п и скоростями ^(и^ = Р1Ди1). Определим агрегированную операцию с объемом ТТ, ^ V
гу = / - и скоростью = Ди). Нетрудно показать, что для любого N(1) имеет
а Р,-
место Ta[N(t)] = Тт[Щ)], то есть е = 0.
На основании этих примеров можно утверждать, что если комплекс состоит из однородных операций (операций, скорости которых удовлетворяют соотношениям 1 = Р11", где f вогнутые функции) и имеет последовательно параллельную структуру), то такой комплекс допускает идеальное агрегирование в одну операцию. Существует класс зависимостей 11(и1), при которых возможно идеальное агрегирование любого комплекса операций. Это так называемые степенные зависимости вида
£(и) = и", а < 1, I = 1, п .
Для случая степенных зависимостей доказано, что существует агрегированное представление комплекса в виде одной операции объема и со скоростью 1 = и", такое, что для любого N(1) имеет место Тт^(0] = ^[N(0] [1]. Таким образом, задача
7/2011 ВЕСТНИК
_1/20ц_мгсу
сводится к определению объема агрегированной операции (этот объем назван эквивалентным объемом комплекса).
Известны несколько методов определения эквивалентного объема. Первый метод основан на решении задачи распределения ресурсов при заданном уровне ресурсов N. Если Тш1п^) - минимальное время реализации проекта, то эквивалентный объем проекта определяется выражением
Wэ = Tmin(N)•Na.
Второй метод основан на решении задачи минимизации затрат при заданном сроке реализации проекта. При этом зависимость затрат на 1-ую операцию от ее продолжительности определяется выражением
( \ . т-
т а
1г
Если sm1n(T) - величина минимальных затрат, то эквивалентный объем проекта определяется выражением
ф = Т1-а .
э шт
Опишем еще один метод определения эквивалентного объема, основанный на геометрической аналогии. Для этого введем понятие размерности комплекса операций.
Определение 3. Размерностью комплекса операций называется максимальное число независимых операций.
На рис. 1 приведен пример комплекса, имеющего размерность 3.
Рис. 1
Множество состояний комплекса размерности т можно изобразить в виде некоторой области ш-мерного фазового пространства. Для этого определим множество M путей, покрывающих сеть, то есть таких, что каждая вершина сети принадлежит хотя бы одному пути. Как известно, минимальное число таких путей равно размерности комплекса [3]. Обозначим 01 - множество вершин сетевого графика, принадлежащих пути ц1 (если вершина принадлежит нескольким путям, то оставляем ее только в одном из множеств 01). Пути ц1 выделены на рис. 1 толстыми дугами. Поставим в соответствие каждому пути ц1 координатную ось у1 фазового пространства, а последовательности вершин к е ц1 последовательность отрезков длины Wk на оси у1 (рис. 2). Точка 0 соответствует начальному состоянию комплекса (ни одна операция не начата), а точка А - конечному состоянию (все операции завершены). Чтобы отобразить зависимости
ВЕСТНИК 7/2011
между операциями различных путей, «вырежем» из параллелограмма на рис. 2 соответствующие области. Полученная область полностью описывает множество возможных состояний комплекса. Любому процессу выполнения операций соответствует траектория, соединяющая т. 0 ст. А и проходящая в области возможных состояний.
Определим расстояние между любыми двумя точками y1 и y2 следующим обра-
[ч а
m и >
Ш - у/
j)
В [1] показано, что эквивалентный объем комплекса операций равен длине кратчайшей траектории, соединяющей т.0 с т. А.
Опишем алгоритм определения кратчайшей траектории, использующий геометрическую аналогию.
Проводим прямую, соединяющую т.0 с т. А. Эту прямую можно описать параметрически в виде
y,(t) = tH,,
где Hi = ^ Wk (см. рис. 2). Определяем минимальное t, начиная с которого прямая
выходит за пределы области возможных состояний. Геометрически это означает, что кратчайшая траектория должна проходить через отрезок BD на рис. 2. Как известно, в этом случае треугольники OBC и ACD должны быть подобными. Это позволяет определить координаты точки D на рис. 2 или соответственно фронт работ F на рис. 1.
Далее процедура повторяется. Определяем минимальное t, начиная с которого траектория выходит за пределы области возможных состояний, далее определяем соответствующую точку на границе области (из условия подобия треугольников) и т.д., пока не получим траекторию, состоящую из отрезков прямых, целиком лежащую в области возможных состояний.
7/2011
ВЕСТНИК _МГСУ
На втором этапе происходит корректировка полученной траектории, а именно, рассматриваем три последовательных точки излома траектории и корректируем, если это необходимо, положение средней точки из условия подобия треугольников.
Пример. Рассмотрим комплекс из 5 операций (рис. 3, нижние числа в вершинах
равны объемам операций). Пусть а=%, то есть ^(и^ = , I — 1,5 .
Рис. 3
Задачу определения кратчайшей траектории удобно решать в параллельной системе координат (рис. 4). В этой системе любой точке фазового пространства состояний соответствует фронт Р, то есть линия, проходящая через соответствующие координаты этой точки на параллельных координатных осях уь у2 и у3.
Рн = 0
= А
\Р1
Рис. 4
Из рис. 4. видно, что кратчайшая траектория обязательно пройдет через фронты Р! и Р2, причем между фронтами траектория будет отрезками прямой линии. Рассмотрим три последовательных фронта Бн, Б1 и Б2. Из условия подобия треугольников имеем уравнение
24 -х у/я + (24 - 2)2 '
Рассматривая три последовательных фронта Рь Р2 и Рк, получаем аналогично
ВЕСТНИК МГСУ
7/2011
25
24 - 2
у/9 + (24 - х)2
(3)
Получили систему двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными. Ее решение можно получить на основе итерационного алгоритма. Берем начальное значение x0 и из уравнения (3) определяем z0. На основе z0 определяем x1 из уравнения (2), затем z1 и т.д. Для определения начального значения x0 рассматриваем три фронта - F0, F1 и Fк.
х 25
Имеем из условия подобия треугольников
Из этого уравнения находим x0: х0 =
49 - х 4242 + 9 25 • 49
25 + л/32 + 242 '
Рис. 5
Изображение комплекса операций в параллельной системе координат позволяет в ряде случаев выписать выражение для эквивалентного объема в аналитическом виде. На рис. 5 представлен комплекс из 8 операций размерности 3. При этом объемы операций на каждой координатной оси yi умножены на нормирующий множитель а^ так что фронты F0 и Fк являются параллельными прямыми. Пунктирные стрелки на рис. 5 показывают зависимости между операциями, принадлежащими различным координатным осям. Пусть все пунктирные стрелки имеют направление слева направо, то есть начало дуги лежит левее ее конца. В этом случае прямая линия, соединяющая начальный фронт с конечным, является допустимой траекторией, и поэтому эквивалентный объем равен
\а
+ ж2 + ж3 /а + (ж4 + ж5 + ж6 у1 + (ж7 + у
Литература
1. Баркалов С. А. Теория и практика календарного планирования в строительстве. - Воронеж : ВГАСА, 1999. - 216 с.
0
7/)П11 ВЕСТНИК _^/2OTT_МГСУ
2.Курочка П.Н. Моделирование задач организационно-технологического проектирования.
- Воронеж : ВГАСУ, 2004. - 204 с.
3.Бурков В.Н., Новиков Д.А. Как управлять проектами. - М.: Синтег, 1997. - 188 с.
4.Баркалов С.А., Бурков В.Н., Гилязов Н.М. Методы агрегирования в управлении проектами. М.: ИПУ РАН, 1999. - 55 с.
5.Бурков В.Н., Заложнев А.Ю., Новиков Д.А. Теория графов в управлении организационными системами. - М.: СИНТЕГ, 2001. - 265 с.
6.Баркалов С.А., Маилян А.Л. О выборе управленческого решения в условиях неопределенности // Научный вестник Воронеж. гос. арх.-строит. ун-та. Строительство и архитектура. -2009. - 4 (16). - С. 124-129.
7.Набиуллин И.Ф., Суровцев И.С. Формирование оптимального плана закупок // Научный вестник Воронеж. гос. арх.-строит. ун-та. Строительство и архитектура. - 2010. - 4 (20). - С. 156162.
8. Баркалов С.А., Бурков В.Н., Голенко-Гинсбург Д.И., Сидоренко Е.А. Алгоритм оптимального распределения ресурсов внутри проекта // ВЕСТНИК Воронеж. гос. техн. ун-та. - 2010.
- Т. 6, № 10. - С. 65-68.
9. Баркалов С.А., Бурков В.Н., Сычев А.П., Хицков Д.Э. Задача выбора стратегий организационной системы в условиях неопределенности // ВЕСТНИК Воронеж. гос. техн. ун-та. - 2010. -Т. 6, № 8. - С. 175-179.
Literature:
1. Barkalov S. A. Theory and practice of time scheduling in building construction. - Voronezh : VGASA, 1999. - 216 pp.
2. Kurochka P. N. Modelling of the problems of organizational and technological design. - Voronezh : VGASU, 2004. - 204 pp.
3. Burkov V. N., Novikov D. A. How to manage the projects. - Moscow : Sinteg, 1997. - 188 pp.
4. Barkalov S. A., Burkov V. N., Gilyazov N.M. Methods of aggregation in project management. - M. : IPU RAN, 1999. - 55 pp.
5. Burkov V. N., Zalozhnev A. Yu., Novikov D. A. Theory of graphs in orzanization system management. - Moscow : Sinteg, 2001. - 265 pp.
6. Barkalov S. A., Mailyan A. L. On selection of management decision under uncertainty // Nauchny Vestnik VGASU. Stroitelstvo i arkhitektura. - 2009. - 4 (16). - p. 124-129.
7. Nabiullin I. F., Surovtsev I. S. Formation of optimal purchase plan // Nauchny Vestnik VGASU. Stroitelstvo i arkhitektura. - 2009. - 4 (16). - p. 124-129.
8. Barkalov S. A., Burkov V. N., Golenko-Ginsburg D. I., Sidorenko Ye. A. An algorithm of the optimal resource distribution in projects // Vestnik VGTU. - 2010. - Vol. 6, № 10. - p. 65-68.
9. Barkalov S. A., Burkov V. N., Sychev A. P., Khitskov D. E. The problem of selection of strategies of organization system under uncertainty // Vestnik VGTU. - 2010. - Vol. 6, № 10. - p. 175-179.
Ключевые слова: проект, агрегирование, календарный план, комплекс работ.
Keywords: project, aggregation, time schedule, complex of works.
[email protected] Статья представлена Редакционным советом «Вестника МГСУ»
