Построение календарного плана при рекомендательных зависимостях между работами

Баркалов С.А.; Сенюшкин А.В.; Янин А.Г.

ш

^ СИСТЕМНЫМ АНАЛИЗ, УПРАВЛЕНИЕ

И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ (в строительстве)

УДК 69.003.13

Баркалов С.А. - доктор технических наук, профессор E-mail: sbarkalov@nm.ru Сенюшкин А.В. - аспирант Янин А.Г. - аспирант

Воронежский государственный архитектурно-строительный университет

ПОСТРОЕНИЕ КАЛЕНДАРНОГО ПЛАНА ПРИ РЕКОМЕНДАТЕЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЯХ МЕЖДУ РАБОТАМИ АННОТАЦИЯ

В статье приводится алгоритм решения задачи построения календарного плана с минимальной продолжительностью проекта. Известны четыре типа зависимостей между работами при совмещенном выполнении: «старт-финиш», «старт-старт», «финиш-финиш» и «финиш-старт». В статье рассматриваются зависимости «финиш-старт» как наиболее распространенные.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: календарный план, работа, жесткая зависимость,

рекомендательная зависимость.

Barkalov S.A. - doctor of technical science, professor Senyushkin A.V. - post-graduate student Yanin A.G. - post-graduate student

Voronezh State University of Architecture and Civil Engineering TIME SCHEDULE CONSTRUCTION UNDER VOLUNTARY DEPENDENCES BETWEEN WORKS

ABSTRACT

The article deals with the algorithms for solution the problem of constructing the time schedule with minimum duration of the project. Four dependences between works under simultaneous implementation are known: start-finish, start-start, finish-finish, finish-start. The article considers dependences finish-start as the most common ones.

KEYWORDS: time schedule, work, rigid dependence, voluntary dependence.

Известны четыре типа зависимостей между работами при совмещенном выполнении: «старт-финиш», «старт-старт», «финиш-финиш» и «финиш-старт» [1, 2], причем следует отметить, что наиболее часто встречаются зависимости «финиш-старт». Эти зависимости имеют обязательный характер, то есть должны выполняться неукоснительно (недаром их еще называют жесткими зависимостями). Однако на практике нередки ситуации, когда эти зависимости носят не обязательный, а рекомендательный характер. Другими словами, они могут нарушаться, но их нарушение ведет к определенным потерям: либо к увеличению продолжительности работ, либо к росту затрат на реализацию проекта. Следует отметить, что обычные жесткие зависимости можно формально вести к зависимостям рекомендательного типа, если ввести большие потери или значительное увеличение продолжительности работы при их нарушении. Зависимости рекомендательного типа будем называть также мягкими (в отличие от жестких зависимостей).

Итак, пусть имеется проект из n работ, мягкие зависимости между которыми описаны сетевым графиком (рис. 1). В дальнейшем будем рассматривать наиболее распространенные зависимости «финиш-старт». Вершины сетевого графика соответствуют работам проекта. В верхней половине вершины указан номер работы, а в нижнем - ее продолжительность. Дуги соответствуют мягким зависимостям между работами. Для каждой дуги заданы два числа и bij. Первое число Яу >0 определяет увеличение продолжительности работы j, если зависимость (i;j) нарушается, то есть если работа j начата до окончания работы i. Второе число by >0 определяет увеличение затрат на выполнение работы j, если зависимость (i,j) нарушается.

Для описанной модели возможны различные постановки задач.

Рис. 1

Задача 1. Пусть заданы только числа а^ (можно считать, что все Ьу =0). Требуется определить календарный план с минимальной продолжительностью проекта.

Задача 2. Пусть заданы только числа Ьу (можно считать, что все а^ =0). Требуется определить календарный план с минимальными дополнительными затратами.

Задача 3. Пусть заданы оба числа а^ и Ьщ. Определить календарный план, при котором проект выполняется за время Т, а увеличение затрат минимально.

Заметим, что сетевой график при мягких зависимостях может иметь контуры, в отличие от сетевого графика при жестких зависимостях.

Пример 1. Рассмотрим задачу 1 на примере сетевого графика рис. 1 (учитываем, только первые числа у дуг, определяющие только увеличение продолжительностей работ). Оптимальный сетевой график приведен на рис. 2.

Продолжительность проекта составляет Т=13 (пунктиром показаны зависимости, которые нарушаются).

Рис. 2

Пример 2. Рассмотрим теперь задачу 2, полагая, что все а^ =0. Пусть Т=14.

Оптимальный сетевой график приведен на рис. 3 (критические пути выделены толстыми дугами).

Рис. 3

Дополнительный рост стоимости проекта составляет 8=6.

Рассмотрим алгоритм решения задачи построения календарного плана с минимальной продолжительностью проекта.

Присваиваем всем работам сетевого графика начальные индексы i = 1,n [3].

Рассматриваем каждую работу i. Обозначим через Qi - множество работ, предшествующих работе i, то есть в сетевом графике существует дуга (j, i) для je Qi. Обозначим через mi - число дуг, заходящих в вершину i (число элементов множества Qi). Рассмотрим все подмножества из mi элементов (их

число равно 2т ). Для каждого подмножества, содержащего вершины Ri с Qi, вычисляем:

ti (R ) = т. + max 1 + У aji . (1)

г m j ^ j (1)

Определяем новый индекс вершины i:

1 = тЩ (Ri). (2)

Ri

Алгоритм заканчивается, когда все индексы установятся. Конечность алгоритма следует из того, что последовательность индексов для каждого i является возрастающей. С другой стороны, индексы 1 ограничены величиной:

T =. т. + У ati.

1 1 л

jeQi

Пример 3. Рассмотрим сетевой график (рис. 4).

1 шаг. ti=2, t2=3, t3=l, t4=4, t5=2, t6=3.

2 шаг. Рассматриваем вершину 1. В нее заходит одна дуга (2, 1). Если

соответствующую зависимость не учитывать, то продолжительность работы увеличится на 2 единицы и будет равна 1^=4. Если же зависимость (2, 1) учитывать (считать жесткой), то момент окончания работы будет равен 1^=2+3=5. Поэтому выгоднее зависимость (2, 1) не учитывать.

Имеем 1 = шт (4;5) = 4.

Рассматриваем вершину 2. В нее заходит также только одна дуга (6;2). Если соответствующую зависимость не учитывать, то момент окончания работы 2 будет равен 12=3+3=6. Если не учитывать, то 11=т6+т2=6. Обе величины равны, поэтому 12 = 6.

Рассматриваем работу 3. В нее также заходит только одна дуга (2, 3). Если соответствующую зависимость не учитывать, то 13 = Х3 + а23 = 5, а если учитывать, то

13 = 12 + х3 = 6 +1 = 7.

Выбираем минимальное время 13 = шт(5;7) = 5 .

Рассматриваем работы 4. В данном случае в величину 4 заходят две дуги (2;4) и (3;4). Поэтому имеются 4 варианта.

Обе зависимости (2, 4) и (3, 4) не учитываем. Продолжительность работы увеличивается на а24 + а34 = 8 + 6 = 14 и момент ее окончания 1 = 4 +14 = 18 .

Учитываем только одну зависимость (2,4). Продолжительность работы 4 увеличивается на а34 = 16, а момент ее окончания равен 1 = 12 +Т4 + а34 = 4 + 6 + 6 = 16 .

Учитываем только зависимость (3,4). Продолжительность работы увеличивается на а24 = 8, а момент ее завершения равен 1 = 13 + х4 + а24 = 5 + 8 + 4 = 17 .

Учитываем обе зависимости (2, 4), (3, 4). Продолжительность работы не увеличивается, а момент ее завершения равен

1 = шах( 12; 13) + х4 = 6 + 4 = 10 .

Выбираем вариант с минимальной величиной 1, то есть 14 = шт( 18,16,17,10) = 10 .

Рассматриваем работу 5. В нее также заходят две дуги (2, 5) и (4, 5), поэтому рассматриваем четыре варианта. Обе зависимости не учитываем. Имеем

1 = х5 + а25 + а45 = 2 + 4 + 7 = 13 . Учитываем зависимость (2, 5). Имеем

1 = ^5 + а45 +12 = 2 + 7 + 6 = 15 .

Учитываем зависимость (4, 5). Имеем 1 = х5 + а25 +14 = 2 + 4 +10 = 16 . Учитываем обе зависимости (2, 5) (4, 5). Имеем 1 = шах( 12 ; 14) + х5 = 2 +10 = 12.

Выбираем четвертый вариант 15 = 12 .

Рассматриваем работу 6. В вершину 6 заходят три дуги (1,6) (3,6) и (5,6), в данном случае имеем 23=8 вариантов. Все три зависимости не учитываем. Имеем 1 = ^6 + а16 + а36 + а56 = 3 + 6 + 5 + 3 = 17 Учитываем зависимость (1,6). Имеем 1 = ^6 + а36 + а^6 +11 = 3 + 5 + 3 + 4 = 15.

Учитываем зависимость (3,6). Имеем 1 = ^6 + ам + а^6 +13 = 3 + 6 + 3 + 5 = 17.

Учитываем зависимость (5,6). Имеем 1 = %6 + а^ + а36 +15 = 26 .

Учитываем зависимости (1,6) и (3,6). Имеем 1 = Т6 + а56 + шах( 11; 13) = 3 + 3 + 5 = 11.

Учитываем зависимости (1,6) и (5,6). Имеем 1 = Т6 + а36 + шах( 11; 15) = 3 + 5 +12 = 20 .

Учитываем зависимости (3,6) и (5,6).

Имеем 1 = Т6 + а16 + шах( 13; 15) = 21.

Учитываем все три зависимости (1,6), (3,6) и (5,6). Имеем 1 = шах( 11; 13; 15) + х6 = 15 .

Выбираем пятый вариант 16 = 11.

Проверим корректировку индексов вершин в том же порядке.

Рассматриваем вершину 1. Имеем одну заходящую дугу и значит два варианта

12 = шт(х 1 +а21;х1 +12) = 4 .