CC BY
32
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
УДК 621:534.834;886.6
Хоменко Андрей Павлович,
д. т. н., профессор, ректор ИрГУПС, тел./факс: 8(3952) 63-83-11,
Елисеев Сергей Викторович, д. т. н., профессор, директор Научно-образовательного центра современных технологий, системного анализа и моделирования, тел./факс: 8-395-2-59-84-28, e-mail: eliseev_s@inbox.ru, Ермошенко Юлия Владимировна, к. т. н., декан заочного факультета ИрГУПС, тел.: 8(3952) 638-392
МЕТОДОЛОГИЧЕКИЕ ОСНОВЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ. МЕХАТРОННЫЕ ПОДХОДЫ (ЧАСТЬ I)
A.P. Khomenko, S. V. Eliseev, Yu. V. Ermoshenko
METHODOLOGIC BASIS OF DECISION OF DYNAMIC TASKS. MECHATRONIC APPROACHES (PART I)
Аннотация. Рассматриваются возможности упрощения построения математических моделей механических систем с несколькими степенями свободы на основе введения понятия об упругом компакте или квазипружины. Предложено использование передаточных функций в режимах зануления промежуточных масс. Статические свойства системы определяются из передаточной функции системы при комплексной переменной, равной нулю. Приведены примеры определения параметров упругих компактов из различных элементов типового набора.
Ключевые слова: приведенная жесткость, динамическая жесткость, упрощение механических колебательных систем, передаточная функция.
Abstract. Simplification possibilities of mechanical systems' mathematical models formation with several degrees offreedom on basis of definition elastic compact or quasispring introduction are considered. Transfer functions using in intermediate masses zeroing regimes is offered. Statical features of system are defined from transfer function of system at complex variable which is equal to zero. Examples of elastic compacts' parameters estimation from different elements of standard set are shown.
Keywords: reducing elasticity, dynamical elasticity, simplification of mechanical oscillation systems, transfer function.
Введение
При решении ряда задач динамики машин, связанных с оценкой действия внешних факторов ударной и вибрационной природы, что характерно, в частности, для разработки способов и средств виброзащиты и виброизоляции, большое значение приобретают вопросы выбора и обосно-
вания математических моделей. Традиционные походы основаны на использовании математического аппарата теоретической механики, теории механизмов и машин и закреплены в инженерной практике [1^4]. В меньшей степени внимание уделялось вопросам управления динамическим состоянием технических объектов, что стало особенно актуальным в связи с развитием динамики управляемых систем в целом и робототехники в частности, а в последние годы - мехатроники [5^8]. Необходимость разработки математического, алгоритмического и программного обеспечения в задачах управления сложными системами [9^11] стимулирует поиски новых возможностей в создании новых подходов, интегрирующих представления о динамических свойствах технических объектов в соответствии с возможностями системных технологий и аналитического аппарата теории автоматического управления [12, 13], теории цепей [14]. В этом плане, если иметь в виду приложение к динамике механических систем, показательны работы [15^17], во многом определившие направления и методы решения задач современной динамики машин. Символика структурных представлений технических объектов, динамическое состояние которых формируется различными воздействиями, связана с использованием структурных схем, отражающих многочисленные связи, имеющие принципиальное значение для обеспечения соответствующего динамического качества машин. Удобство структурных систем заключается в возможности объединения в рамках единого подхода связей функциональной и информационной природы, придавая цельность отражения основных свойств объекта управления в понятиях передаточных функций, что позволяет приводить задачи оценки динамического состояния к системе
типовых (или модельных) задач, технология решения которых достаточно разработана. В конечном итоге такие представления о методологических основах анализа и динамического синтеза систем дают возможность выделения изучаемого объекта на уровне общих представлений о динамической системе, имеющей входные и выходные сигналы, преобразование которых может быть сделано на основе тех или иных методологических позиций [18]. Существует достаточно большое разнообразие методов построения математических моделей объектов, позволяющих учитывать характерные особенности физической природы систем и их динамического состояния. К числу наиболее развитых подходов можно было бы отнести использование математических моделей в виде системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, в предположении, что такие модели могут с достаточной достоверностью отражать свойства малых колебательных движений [19, 20], хотя более детализированные представления связаны с учетом нелинейных свойств процессов [21^23].
I. Постановка задачи. Общие положения. В предлагаемой работе рассматриваются особенности отображения линейных динамических систем, математической моделью которых являются обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, в связи с возможными формами структурных интерпретаций, основанных на различных представлениях об элементах модели и способах их соединений.
Построение математической модели, если иметь в виду детали построения системы дифференциальных уравнений, представляет отдельный интерес и в первую очередь определяется физической природой процессов. Во всяком случае, возможна следующая классификация подходов, если учитывать физическую природу процессов.
1. Прохождение сигналов, то есть их передача через динамическую систему, что связано с изменениями сигналов и их характеристик. Подробности таких процессов рассматриваются в теории связи и процессов управления, например в [10, 18]. Математическая модель в данном случае отражает особенности процессов преобразования и передачи сигналов с учетом особенностей физической природы элементарных звеньев, составляющих систему. Последнее связано с особенностями измерения сигналов, их обработкой с целью рациональной передачи сигналов, а также учетом взаимодействия сигнала с динамической системой, привносящей изменения в параметры сигнала. Упомянутое направление тесно связано с теорией цепей, которая обобщается на передачу радиотех-
нических сигналов, а также на электронные, электрические и механические цепи [14, 24^26].
2. В решении задач управления динамическим состоянием объектов на основе идей технической кибернетики, использующих представления о различных видах связей, в частности обратных связей. Структурные подходы реализуются путем построения структурных схем систем автоматического управления [11, 20, 27]. Исходная математическая модель динамической системы, если иметь в виду технологию ее построения, формируется на основе соотношений между параметрами состояния (выходные сигналы), а также различными воздействиями, отражающими внутренние и внешние связи элементов системы между собой и внешней средой. В таких построениях учитываются принципы и закономерности, определяемые физической природой составляющих элементов, а также и более общие установки, опирающиеся на достигнутый уровень понимания особенностей функционирования сложных систем, в которых затруднено непосредственное восприятие проявлений общих законов механики. В таких системах существует своя система элементарных типовых звеньев и правил их соединения, что позволяет получить математическую модель динамической системы в целом, с последующим использованием аналитического аппарата теории автоматического управления.
3. Сложные технические системы, как некоторое обобщение широкого класса объектов, в которых реализуются идеи автоматического управления, не исключают существования систем, отличающихся однородностью происходящих в них процессов. Такими примерами могут служить электрические цепи, а также механические колебательные системы.
По отношению к механическим колебательным системам, которые составляют основу существующих машин различного назначения, можно вполне обоснованно использовать возможности выделения самостоятельного класса структурных моделей, которым могут быть сопоставлены эквивалентные в динамическом отношении системы автоматического управления [12, 13, 15]. Математическая модель такой динамической системы составляется на основе известных законов механики и принимает вид системы линейных дифференциальных уравнений (или приводится к таковым путем соответствующих упрощений). По отношению к системам автоматического управления (п. 2) механические системы являются более простыми, так как не содержат звеньев, связанных с изменениями сигналов, их преобразованиями и передачей (то есть информационные связи как отдельный
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
вид операций в структурных схемах и математической модели не отображаются).
Поскольку существенные для функционирования системы процессы связаны с формированием сил и соответствующих параметров движения как такового, система элементарных звеньев, использование которых позволяет определить структуру динамической системы, будет иметь специфичный вид, также как правила их соединения [12^13]. Рассмотренный подход адекватен подходам, развиваемым в теории цепей, в частности в электрических цепях, использующих систему правил соединения элементарных звеньев, основанных на законах Кирхгофа [14, 25].
4. Отдельным направлением в построении структурных моделей динамических систем является использование специальных электронных и электрических устройств для создания схем решения дифференциальных уравнений на аналоговых и цифро-аналоговых вычислительных машинах [10, 28]. В этом случае также на основе динамической системы могут быть сформированы представления о наборе типовых элементарных звеньев. В данном случае имеются в виду различные типы решающих электронных усилителей, позволяющих вести дифференцирование, интегрирование, суммирование сигналов, их инверсию и согласование по параметрам входных и выходных нагрузок.
Таким образом, если принимать во внимание возможности обобщения представлений о динамических системах, в которых внешние воздействия любой природы и передача сигналов рассматриваются как некоторая единая общность по отношению к динамической системе, то структурные схемы при одной и той же динамической системе могут иметь существенные различия. Последние проявляются в том, что различными выбираются системы элементарных типовых звеньев и правила их соединения. При этом передаточные функции динамической системы могут быть одинаковыми. Вместе с тем интерес представляет технология построения передаточных функций системы (их может быть несколько при наличии нескольких входных и выходных сигналов). Каждая из структурных интерпретаций обладает своими особенностями и отражает свойства системы, определяемые целями и задачами управления динамическим состоянием.
Предлагаемая дифференциация представлений может рассматриваться как некоторая интеграционная основа мехатроники, если предполагать необходимость обоснования существования некоторого общего механизма появления движения как формы реализации некоторого процесса
или акта планирования действии в рамках искусственного интеллекта.
II. Общие свойства математических моделей процессов преобразования сигналов. В
процессе движения системы величины, определяющие ее состояние и называемые обобщенными координатами системы, взаимосвязанно изменяются во времени. Соотношения, сохраняющиеся в каждый момент времени между обобщенными координатами системы и ее входным сигналом, образуют в общем случае систему уравнений движения. В качестве выходного сигнала системы обычно используется одна из ее обобщенных координат или некоторая функция этих координат. Таким образом, выходной сигнал рассматривается как одна из неизвестных функций в системе уравнений движения.
Поскольку система уравнений движения должна быть полной, то путем исключения не интересующих нас обобщенных коорди-нат может быть получено одно уравнение движения, связывающее выходной сигнал с входным. Число обобщенных координат, которому должно быть равно число независимых уравнений движения, определяет число степеней свободы.
Если обозначить входной сигнал через y0 (t) , а выходной сигнал через y(t), то с математической точки зрения действие динамической системы сводится к реализации некоторой зависимости между вели-чинами y(t) и y0 (t), которую можно записать в общем виде:
D[y(t)] = Do [y0(t)], (1)
где D и D0 - некоторые операторы, применяемые к функциям y(t) и y0 (t) . Конкретный вид операторов определяется уравнениями движения рассматриваемой системы.
Оператор D называется линейным и обладает следующими основными свойствами:
Dl Л (t) D[yk (t)],
_ k J k (2)
D[cy(t)] = cD[y(t)], c = const.
Первое из соотношений (2) определяет принцип суперпозиции (наложения), что позволяет общее решение линейного уравнения представить в виде суммы линейно независимых частных решений. Известно, что производная любого порядка и интеграл любой кратности, примененные к какой-либо функции, являются линейными операторами по отношению к этой функции; линейные комбинации подобных линейных операторов представляют собой также линейные операторы, из которых и образуются линейные дифференци-
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
альные уравнения. Отметим, что линейные системы должны удовлетворять следующим условиям:
- параметры системы, от которых зависят коэффициенты, входящие в уравнения движения, не должны зависеть от обобщенных коор-динат системы, являющихся искомыми функциями времени, а также от их производных;
- параметры системы не должны зависеть от времени.
Выполнение первого условия является обязательным, так как в противном случае уравнение становится нелинейным и будет описывать движение нелинейной системы. Соблюдение второго условия определяет класс линейных систем, так как при нарушении этого условия уравнение остается линейным, но с переменными коэффициентами. Целесообразно, однако, системы, движение которых описывается линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами, выделить в отдельный класс так называемых параметрических систем.
III. Уравнения движения. Классический подход. С учетом изложенного уравнением движения линейной динамической системы является линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Применительно к реальным системам обыкновенное дифференциальное уравнение соответствует описанию процессов, временем распространения которых через систему (т. е. временем передачи сигнала от входа к выходу системы) можно пренебречь. При этом пространственная протяженность системы не имеет принципиального значения, и она трактуется как система с сосредоточенными параметрами.
Уравнения в частных производных физически соответствуют учету волновых процессов, происходящих в элементах системы, что требует иных подходов [29].
Рассмотрим пример линейной системы, движение которой описывается дифференциальным уравнением второго порядка вида
йу
й2у ^ .
ао ~ТТ + + а2 у = /,
7,2 ' "1 ^ ' ^ (3)
йг ш
где у - обобщенная координата; а0, ау, а2 - постоянные коэффициенты, зависящие от параметров системы; /- известная функция времени г. В частности, механические колебательные системы с несколькими степенями свободы могут рассматриваться при построении математических моделей как совокупность простейших или базовых моделей, каждая из которых имеет уравнение движения вида (3). Таким же образом выглядят и парциальные системы при построении структурных схем виброзащитных систем [12, 13], а также структур-
ные интерпретации механических [26] и электрических [25] цепей.
Применительно к динамической системе заданная функция времени / представляет собой входной сигнал. В качестве выходного сигнала принимается обобщенная координата положения объекта у (или величина, ей пропорциональная), поскольку относительно нее составлено уравнение (3).
Линейный дифференциальный оператор в общем случае имеет вид
ш ш ш ш , .ч
О = ап-+ ап ,-- + ...а,— + а0 = У а,—г, (4)
п Лп п-1 йгп-1 1 ш 0 ,=0 кйгк
где а0, а,, ..., ап - постоянные коэффициенты; порядок высшей производной определяет порядок оператора. Хотя оператор О приобретает конкретный вид, будучи применен к какой-либо функции переменной г, тем не менее, операторы О обладают самостоятельными свойствами, благодаря которым использование операторов может сокращать промежуточные преобразования. Эти свойства заключаются в том, что
1) произведение линейных операторов является также линейным оператором, т. е. О1О2 ... Оп = О;
2) результат перемножения операторов не меняется при изменении порядка последовательности сомножителей, т. е. О1О2 = О2О,;
3) О2 [О, (у)] = О2О, (у) = О(у), где О = О2О1 = О1О2;
4) в процессе промежуточных преобразований операторное выражение О(у) может рассматриваться как произведение собственно оператора О на функцию у.
Эти свойства достаточно очевидны, так как производная любого порядка является линейным оператором. В дополнение отметим также, что порядок наивысшей производной в операторе О0 не может быть выше порядка наивысшей производной оператора О, если под у подразумевается выходной сигнал физически реализуемой системы; оператор левой части уравнения движения О(у) сохраняется неизменным по отношению к любой выходной величине у, являющейся линейным оператором от обобщенной координаты системы.
Состояние сложной системы в любой момент времени определяется несколькими обобщенными координатами; их число равно числу степеней свободы системы. В общем случае определение числа степеней свободы системы и соответствующих удобных обобщенных координат не всегда является простой задачей. Отметим, что сложную систему во многих случаях можно представить состоящей из простейших взаимосвязанных систем - звеньев. Поэтому в наиболее общем случае движение сложной линейной системы с
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
сосредоточенными параметрами описывается системой дифференциальных уравнений вида
АД У\) + А2( У2) + ••• + А* (У*) = У01>
£21 (У1 ) + ^2( У2) + ••• + £>2* (У* ) = У 02 , (5)
Ds1 ( Ух) + Ds 2 ( У 2) + ••• + Dss ( Js ) = У 0s • В этих уравнениях ух,y2,...ys — обобщенные координаты системы, у01,y02,...y0s — входные сигналы (внешние силы, действующие на систему).
В наиболее общем случае звеньев второго порядка операторы Dik имеют вид
d
d
dt2 dt
(6)
А1У1 + А 2 У2 + •••+= Из системы уравнений (7) можно найти уравнение для любой координаты ук путем исключения всех остальных. Процедура исключения упрощается, если в процессе промежуточных вычислений операторы £гк рассматривать как некоторые коэффициенты при неизвестных у^. При этом, воспользовавшись теорией определителей, получим
yk =
Ak А^0
А
А
где
А k =
Dn D12- D1s
А = D21 D22 ••• D2 s
Ds1 Ds 2 ••• Dss
D11 А2» • А,—1 x0 Ak+1 • •• As
D21 D22- • D2k—1 0 D2k+1 ••• As
Ds1 Ds 2 • • Dsk—1 0 Dsk+1 • • Dss
(8)
(9)
Л1кЛ 0-
(10)
где ак, , и укк - постоянные коэффициенты, зависящие от параметров системы, причем некоторые из них могут иметь нулевые значения. Члены с индексами г ^ к соответствуют существующим в системе внутренним связям.
Не ограничивая общности, можно принять, наприм^ У01 = Уо, У02 = Уоз = ••• = Уо* = 0 , так как в силу линейности уравнений (5) действие всех внешних сил У0г можно рассматривать как результат наложения друг на друга действий каждой из этих сил порознь. Учитывая также перечисленные выше свойства операторов можно переписать уравнения (5) в виде
£11 У1 + £12 У 2 + ••• + АЛ = Уо,
£21 У1 + £22 У 2 + ••• + А.Л = 0 (7)
Очевидно, определители А и А1к являются линейными операторами А = £ и Ак = £0к , так что в результате для координаты Ук полу-чаем линейное дифференциальное уравнение вида
£(Ук) = £0к (У0) (11)
Полученный результат показывает, что левая часть уравнения для любой координаты Ук одна и та же, причем порядок оператора £ будет п < 2* . Оператор £0к, стоящий в правой части уравнения, для каждой координаты имеет свое значение, но порядок оператора £0к всегда меньше, чем порядок оператора £.
Нетрудно убедиться в том, что по отношению к величинам у'к = £к (Ук), где £к - линейный оператор произвольного порядка, уравнение (11) примет вид
Б( Ук) = £0 к (У0), £0 к = ААк • Таким образом, левая часть уравнения не меняется, тогда как оператор £'0к в правой части уравнения может оказаться любого порядка, зависящего от порядка оператора £к. Однако для величины Ук , являющейся выходным сигналом физически реализуемой системы, оператор £к не может быть порядка выше второго, и тогда порядок оператора £'0к будет не выше, чем порядок оператора £.
В общем виде, независимо от сложности системы, ее уравнение движения в наиболее общем случае имеет вид
£( У) = £0( У0), (12)
где
D = a
d__ dtn
+ a
dn—1 1 dtn—1
+ ••• + a„
dm d m—1
D0 = b0 — + b1 —T + ••• + bm •
(13)
m—1
dtm 1 dtn
При этом т < п, если у - выходной сигнал
физически реализуемой системы и У0 - входной
сигнал. Все коэффициенты аг и Ьг вещественны, поскольку являются функциями параметров системы.
Вид оператора £ не зависит от того, какая из обобщенных координат системы или какой линейный оператор от нее используется в качестве выходного сигнала; при этом меняется только оператор £0 правой части уравнения. Более того, оператор £ не меняется и при изменении входа в систему; это вытекает из неизменности главного определителя А системы уравнений (5) при выборе любой из функций У0г в качестве входного сигнала.
Такие представления согласуются с тем обстоятельством, что формальное математическое решение линейного уравнения (12), как известно,
2
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
определяется суммой двух решений: общего решения уравнения (12) без правой части, т. е. общего решения однородного уравнения В(у) = 0 , и частного решения неоднородного уравнения (12).
Применительно к конкретной динамической системе входной у0 и выходной у сигналы имеют определенные размерности, не всегда одинаковые. Поэтому коэффициенты а, и Ъ, также имеют надлежащие размерности. Введением относительных
о
величин у =-У- и у0 =—0-, где у0 и у0 - некото-
У *о
рые базовые значения величин у, и у0, уравнение (12) приводится к универсальному виду с коэффициентами а' = а,у0 и Ъ = Ъ,у0, которые имеют размерность времени в (п -/)-й степени.
Эта общность математического исследования стала основанием широко развитой в настоящее время области прикладной математики - математического моделирования [28].
Решение усв (*) соответствует движению системы в отсутствие внешнего сигнала, т. е. собственному свободному движению системы. Общий вид функции усв (*), очевидно, не зависит от вида функции у0 ), но определяется свойствами лишь самой системы, кото-рые проявляются в свойствах корней характеристического уравнения системы. Характеристическое уравнение получается из оператора В системы (левая часть
ёк
уравнения (12)) путем замены в нем —-на р и имеет вид
а0 рп + а1 рп-1 +... + ап = 0. (14)
Если, например, все корни характеристического уравнения (14) различны, то
Усв (*) = Ё с
,рк*
(15)
к=1
где рк - корни уравнения (14) и Ск - произвольные постоянные.
При наличии кратных корней соответствующее общее выражение для усв (*) также известно и также содержит п произвольных постоянных Ск. Частное решение ууст (*) зависит от
вида функции у0 ), определяющей внешнее воздействие на систему, и соответствует вынужденному или установившемуся движению (режиму, состоянию) системы.
Необходимо отметить, что хотя общее решение усв (*) имеет стандартные формы, как, например, (15), совершенно не зависящие от внеш-
них сигналов у0 ), частные его виды могут быть
достаточно разнообразны. Частный вид этого решения зависит от свойств корней характеристического уравнения системы (14), а также от начальных условий и начального значения у0 (0), поскольку от них зависят значения произвольных постоянных Ск.
Решение, являющееся результатом наложения двух решений, из которых одно соответствует режиму свободных колебаний системы ув (*), а
другое - ууст (*) - установившемуся режиму, носит название переходного процесса. Протекание переходного процесса зависит также и от вида функции у0(*). Согласно (15), свободные колебания системы будут затухать, если вещественные части корней рк характеристического уравнения отрицательны. При этом система теоретически при * перейдет в установившийся режим, совершенно не зависящий от начальных условий. Следует заметить, что в теории управления иногда переходным процессом называют только функцию
усв (*).
Выходной сигнал у(*), получающийся в течение переходного процесса, является наиболее полной характеристикой динамических свойств системы, имеющих важнейшее значение в теории управления. Представление о динамических свойствах системы с достаточной полнотой может быть составлено в результате ее исследования в некоторых стандартных условиях [30].
Первое условие заключается в нулевых параметрах начального состояния системы. Система находится в покое, если все ее звенья находятся в покое. При этом для звена второго порядка начальные значения его обобщенной координаты и ее первой производной равны нулю; для звена первого порядка равно нулю начальное значение его обобщенной координаты. Это соответствует требованию непрерывности указанных величин. Следует подчеркнуть, что для системы, находящейся в покое, начальные условия по производным любого порядка могут иметь отличные от нуля значения.
Второе условие определяет стандартную форму входного сигнала, которая принимается в виде единичной функции времени у0 (*) = 1(*).
Выходной сигнал системы, получающийся при соблюдении указанных стандартных условий (начальное состояние системы - покой, входной сигнал - единичная функция), называется переходной функцией системы к(0.
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
Ж ( р) =4-( р)
(16)
у0(р) у0ьк (р) Для рассматриваемого класса линейных систем уравнение движения в наиболее общем случае имеет вид
( лп лп-1 \
лп
- + а.
Ж"
■ + ...а„
у(*) =
Ъ
же
и ¿т-1
+ Ъ1-г + -Ът
жт1
у 0(*). (17)
Так как в начальный момент система находится в покое, уравнение (16) в операционной форме запишется следующим образом: В( р) у( р) = Д,( р) у,( р),
где
В(р) = а0 рп + а рп-1 +... + ап, А>( р) = Ъ рт + а1 рт1 +... + Ъп
причем т < п .
Из(17) получаем
Ж (р) =
А>( р)
В(р) ■
(18)
(18')
(19)
Таким образом, передаточная функция Ж (р) не зависит от вида входной величины, ха-
Детализированные представления о переходных процессах в динамической системе нашли отражение в работе [31].
Изложенные выше особенности подхода в оценке свойств динамической системы, приведенной к виду (1), создают возможности постановки вопроса о выборе различных форм структурных интерпретаций связей в системе, что предопределяется свойствами линейного оператора. Для дальнейших исследований важным обстоятельством является выделение в классическом подходе характеристического уравнения (7) и возможностей использования теории определителей для нахождения необходимых связей между выбранными входными и выходными сигналами. Последнее, в конечном итоге, приводит к определению некоторых важных понятий.
IV. Операционные методы. Большое значение в развитии структурных методов представления динамических систем имеет понятие передаточной функции. Передаточной функцией системы называют отношение изображения ее выходной величины к изображению входной величины при условии, что система в начальный момент времени находится в покое. Такое определение не зависит от применяемого вида изображения. Обозначив передаточную функцию через Ж(р), имеем
уьк (р)
рактеризуя собственную систему. Из сопоставления уравнений (17) и (18') следует, что знаменатель передаточной функции, приравненный нулю, дает характеристическое уравнение системы В( р) = 0.
Передаточную функцию можно интерпретировать как ьк - изображение переходной функции И(*) [10]. Действительно, переходная функция представляет собой выходной сигнал системы у(*) = И(*), получаемый при условии, что в начальный момент система находится в покое, а входным сигналом является единичная функция, т. е. у0(*) = 1(*).
При этом у0ьк (р) = 1ьк (р) = А(р) = 1 и по (16) находим
Ж(р) = Йьк (р) = рй(р). (20)
Сравнивая (20) с (19), получаем
ж(р)_ д,(р)
И(*)=И (р) = -
рВ( р)
(21)
Если в начальный момент система находится в покое, а входной сигнал имеет вид
у0 (*)=у0 (р), то для выходного сигнала получим
у(*)=у( р) = Ж (р) у0 (р) = рй (р) у0 (р). (22)
Наконец, если переходная функция системы И(*) известна, то при заданном входном сигнале у0 ) выходной сигнал у(*) может быть сразу получен на основании формулы (22) и свертки интеграла [18]:
1 *
у(0 = И(*-г)у0{г)Жг. (23)
Напомним, что формулы (16)^(23) применимы лишь при условии, что система в начальный момент времени находится в покое.
Как было отмечено выше, представления о линейных операторах и возможностях их использования для определения динамических свойств системы при стандартных внешних сигналах позволило развить технологии структурных интерпретаций исходных физических систем, состоящих, в свою очередь, из некоторых типовых звеньев или элементов. Взаимодействие элементов определяет структуру системы с точки зрения выделения существующего механизма взаимодействия элементов между собой и возможностей преобразования схемы взаимодействия с целью получения необходимых характеристик, например передаточных функций, поскольку все операции рассматриваются в области преобразований Лапласа (Ь) или Карсона (ЬК) [18, 30]. Понятие пере-
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
даточной функции позволяет ставить вопрос о существовании нескольких вариантов построения набора элементов или типовых звеньев.
Исходным в таком подходе можно считать метод «расщепления» линейного оператора (в классическом подходе к решению линейного дифференциального уравнения) на блоки в виде операторов второго порядка. В физическом смысле это интерпретируется возможностями колебательного звена и свойствами линейного оператора в целом.
Оператор второго порядка, если иметь в виду принцип его формирования, может быть разложен на два простых оператора первого порядка. Выход на операторы более высокого порядка (три и более) обычно не практикуется в связи со сложностью физических интерпретаций. По существу, учет особенностей линейного оператора определил один из подходов в формировании структурных отображений или структурных моделей, которые могут рассматриваться как аналоги математических моделей в форме дифференциальных уравнений. В данном случае структурная модель строится на основе базовых типовых звеньев с операторами второго порядка. Эти звенья могут соединяться между собой по определенным правилам, что позволяет использовать теорию определителей. В свою очередь, базовое колебательное звено может быть разложено на два более простых звена в зависимости от корней характеристического уравнения второго порядка.
Таким образом, выделение элементарной базы на приведенной выше основе можно рассматривать как один из возможных вариантов формирования представлений о простых составляющих сложных систем и особенностях взаимодействия элементов между собой. Однако такой подход не является единственным и зависит от физической природы исходных систем.
V. Основы структурных представлений. При структурном подходе к рассмотрению систем большую роль играет понятие звена направленного действия. Звено, направленного действия, или направленное звено, может быть системой любой сложности, отличительное свойство которой заключается в том, что выходная величина звена у(() зависит от входной величины у0 ) . При этом обратное воздействие выхода на вход отсутствует в том смысле, что присоединение к выходу звена направленного действия какого-либо другого звена не изменяет передаточной функции первого звена. Физическая природа звена может быть какой угодно. Таким образом, система может быть классифицирована по соответствующему ей уравнению движения, связывающему выходной и
входной сигналы. Для направленного звена характерно также то, что между изображениями его выходного и входного сигналов при нулевом начальном состоянии имеет место соотношение (22), являющееся результатом алгебраизации уравнения движения звена. Отметим, что любой системе оказывается возможным сопоставить структурную схему, состоящую из простых звеньев направленного действия, соединенных друг с другом тем или иным способом. Выбор отдельных звеньев и способа их соединения ограничивается общим требованием: связь между выходной и входной величинами структурной схемы должна совпадать с уравнением движения системы. Поэтому структурная схема может иметь условный смысл и даже не соответствовать физической природе рассматриваемой реальной системы, которой она сопоставляется.
VI. Основные способы соединения звеньев направленного действия. Разнообразные схемы соединения направленных звеньев можно свести к трем основным способам: последовательному, параллельному и соединению с обратной связью.
Последовательное соединение направленных звеньев показано на рис. 1. В данном случае имеем У(Р) = Щ(р)у0(р), у2(р) = Щ(р)у(р),..., Уп( р) = Щ ( Р) Уп-1( Р).
ЦТ(р) Щр> IV (р)
(24)
>0
>1 У: .V.-!
Рис. 1. Принципиальная схема последовательного соединения
Из этих уравнений следует у( р) = Уп (р) = Щ (р)Щ (р)..Щ (р) Уо (р) =
= Щпосл (р)Уо(р\
где передаточная функция п последовательно соединенных звеньев
Щосл (р) = Щ1(р)Щ2(р)..Щ„ (р). (25) Параллельное соединение звеньев показано на рис. 2.
Рис. 2. Принципиальная схема параллельного соединения
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
у( р) =
где Ж3( р) =
1 - Жг (р)Ж (р) Ж (р)
у,( р) = Жз( р) у,( р), (28)
1 - Жг (р)Ж (р)
Выходные величины звеньев суммируются, и их сумма образует общую выходную величину системы; из рис. 2 видно, что
у (р) = у (р) + у 2 (р) + ... + уп (р) = Ж пар (р) у0 (р), (26)
где передаточная функция п параллельно соединенных звеньев
Жпар (р) = Ж (р) + Ж2(р) +... + Жп (р). (27)
Схема с обратной связью представлена на рис. 3. Выходная величина первого звена подается на вход второго звена (отмеченного индексом г), выходная величина которого подается на вход первого звена в сумме с входной величиной системы х0. Для рассматриваемого соединения имеем
у (р) = ж (р)[у (р) + у0'( р)] =
= Ж ( р) у,( р) + Ж (р)Жг ( р) у ( р),
откуда
Ж (р)
Если в выражениях (20) и (27) принять
ж (р) = ж (р) = япосл (р)
г V/-'/ ^ , Л ? посл \г / т-» / ч р (р) Рпосл (р)
Ж (р) = Япар (р) Р (р)'
пар /
то легко убедиться, что
Рпосл (р) = Р(р)РДр)...Р, (р)
и
Рпар (р) = Р(р)Р2(р)- Рп (р). Следовательно, при последовательном и параллельном соединении одних и тех же направленных звеньев любой сложности получаются разомкнутые системы, обладающие одним и тем же характеристическим уравнением.
В случае соединения с обратной связью можно предположить, что звено Кг (р) состоит из двух последовательно соединенных звеньев. Схема будет иметь вид, изображенный на рис. 4а.
В качестве выходного сигнала можно использовать как величину у2, так и величину у1. Соответственно получается
Ж (р) = у1( р) = Ж1( р) = взамл( р)
у0{р) 1 - Ж1(р)Ж2(р)Кз(р) Р.замА (р) '
Жзам. 2 (р) =-
у2( р)
Ж1( р)Ж2( р)
Язам.2( р)
р) 1 - ЖДр)Ж2(р)Жз(р) Р зам .2 (р)
и
Рис. 3. Принципиальная схема соединения с обратной связью
Схемы со специально примененной обратной связью получили широкое распространение в технике связи и управления [10^13, 18, 20, 27, 32].
Соединенные обратной связью звенья образуют замкнутую систему (рис. 3), поскольку выходная величина у через звено обратной связи заводится снова на вход системы. Соответствующая замкнутой системе передаточная функция (28) обозначена Ж3см (р).
В общем случае любой сложности линейное звено имеет передаточную функцию вида (19). Как следует из выражений (25), (16) и (28), для систем, образованных из таких звеньев и соединенных любым из перечисленных способов, получается передаточная функция того же вида (19).
При Жг (р) = ЯМ^ (г = 1,2,3) получим
Р(р)
Рам 1(р) = Рзам.2 (р) = Р ФК (рЖ (р) --Я1( рШ рШ р),
Язам .1 ( р) = Я1 (р)Р2 ( р)Р3 ( р), Я зам.2 И =
= Ш рШ р)Ръ( р).
Таким образом, характеристическое уравнение остается неизменным, с какого звена замкнутой системы ни брать выходную величину. Такое положение справедливо при любом числе звеньев.
Знаменатель передаточной функции остается тем же самым и в том случае, если входной сигнал перенести на вход любого из звеньев замкнутой системы, в чем нетрудно убедиться, рассмотрев схему рис. 4б.
а)
б)
Рис. 4. Принципиальная схема системы с обратной связью
Если передаточная функция разомкнутой
системы имеет вид Щ(р) = ^^р , то передаточная
Р( р)
функция той же системы, замкнутой через инвертор, дается выражением
Щ(р) д(р)
Щ (р) =
зам \г /
(29)
1 + Щ (р) д(р) + Р(р)
Характеристическое уравнение замкнутой системы можно найти, приравняв нулю знаменатель этого выражения:
а( р)+Р( р)=о. (зо)
Это уравнение отличается от уравнения Р( р) = 0 для разомкнутой системы. Отсюда следует, что процессы в замкнутой системе могут протекать иначе, чем в разомкнутой.
Отметим одно формальное обстоятельство, которое, однако, приводит к существенному практическому выводу. Пусть имеется система, уравнение движения которой в изображениях имеет вид
у (р) = Щ (р) Уо( р). (31)
Очевидно, равенство не нарушится прибавлением к его левой и правой частям одного и того же выражения, например
У (р) + К (р )Щ (р) У (р) =
= Щ (р) Уо( р) + ж (р )Щ (р) У (р), где Жг (р) - некоторая функция р . Тогда
где
У(р) = Щ \ рЬо( р) + Уо\ р)]> Щ Ч р) = Щ (р)
(32)
1+Щг (р)Щ (р)
Уо'( р) = Щг (р) У (р). (33)
Отсюда следует, что любое звено может быть представлено в виде некоторого другого звена, охваченного соответствующей обратной связью. Возможность такого представления, причем в большой степени произвольного, используется при построении структурных схем математических моделей.
VII. Элементарные звенья структурных схем. Сопоставление подходов в представлении
уравнений движения линейных систем позволяет заключить, что любой системе можно сопоставить эквивалентную в динамическом отношении систему, состоящую из простейших звеньев, соединенных определенным образом, обладающих некоторыми стандартными динамическими свойствами. Подобное простейшее звено естественно называть элементарным.
В основе структурного подхода в теории управления и связи лежат следующие положения:
1) любую линейную систему можно представить в виде соединенных друг с другом элементарных линейных звеньев;
2) каждое элементарное звено является направленным;
3) имеется небольшое число различных типов элементарных звеньев, образующих полную систему (т. е. достаточную для оставления структурной схемы любой системы данного класса);
4) используемой основой классификации элементарных звеньев являются их динамические свойства, то есть характер математической зависимости выходной величины от входной.
В теории автоматического управления понятия замкнутых и разомкнутых систем важны и определяют возможности специальных методов определения динамических свойств различных систем [20]. Отметим, что для выходных сигналов как разомкнутой, так и замкнутой систем с нулевыми начальными условиями, уравнение движения в изображениях имеет вид в соответствии с (18).
Левая часть этого уравнения представляет собой известный полином 0(р), умноженный на искомое изображение выходного сигнала, а правая часть - известный полином Бо (р), умноженный на известную функцию Уо (р), являющуюся изображением входного сигнала.
Очевидно, уравнение останется без изменения, если истинная система будет заменена некоторой специальной разомкнутой системой, имеющей то же самое характеристическое уравнение. Изображение входного сигнала Уи ) этой системы имеет вид Уи(р) = Бо(р)Уо(р). Тогда переда-
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
точная функция нашей специальной системы примет вид
У(р) _ 1
W ( р) = -
(34)
1 1
1
p p - a (p - b)2 +a7
(37)
Уи (р) П(р)
Если система в начальном состоянии не находится в покое, то в правой части уравнения (18) появится дополнительный известный многочлен от р , коэффициенты которого содержат заданные начальные значения. В этом случае всю правую часть следует принять за изображение условного входного сигнала той же искусственной системы с передаточной функцией (34).
Таким образом, вопрос динамического соответствия друг другу искусственной и заданной систем будет решен, если обе системы будут обладать передаточной функцией (34).
Как известно, полином 0(р) п -й степени может быть представлен в виде
£>(р) = ао(р - рг)(р - р2)...(р -рп), (35) где ао - коэффициент при рп и рх, р2,..., рп -корни характеристического уравнения
Б( р) = о. (36)
В зависимости от свойств корней характеристического уравнения (36) отдельные множители в (35) могут иметь различный вид. При наличии нулевого корня встретится множитель р ; при наличии вещественных корней проявляются множители вида р - а ; для комплексно-сопряженных корней характерны множители вида (р -Ь)2 + со2 (сопряженные корни обозначены р12 = Ь ± ]с).
В общем случае величина а может иметь и отрицательное, и положительное значение; величина Ь - и отрицательное, и положительное, и нулевое значения. Если тот или иной корень кратный, то соответствующего вида множитель будет входить в (35) в степени, равной порядку кратности корня [30, 33]. Таким образом, передаточная функция искусственной системы представляет собой произведение, сомножители которого имеют знаменателем любой из перечисленных выше множителей, а числителем - любую постоянную величину.
Как было принято для рассматриваемого класса систем, передаточная функция последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций отдельных звеньев. Следовательно, линейная система с любым характеристическим уравнением в виде полинома может быть представлена как система, состоящая из последовательно соединенных звеньев с передаточными функциями всего трех видов
Если звенья с указанными передаточными функциями (37) физически осуществимы, то возможно построение реальных моделей любых линейных систем рассматриваемого класса. Подобные модели можно назвать математическими, так как они, вообще говоря, могут и не отражать сущности физических процессов, происходящих в моделируемой системе. С другой стороны, такая модель может быть построена для экспериментального решения дифференциального уравнения. Для полного моделирования исходного уравнения движения системы (18), очевидно, необходимо ввести в структурную схему звено, отображающее правую часть уравнения
Уо'( Р) = Do( Р) Уо( P)-
Для реальных систем рассматриваемого класса выражение D0(p)y0(p) соответствует изображению суммы производных различных порядков (включая и нулевой) входного сигнала, поэтому возникает необходимость введения звеньев, осуществляющих умножение на постоянный множитель, дифференцирование и суммирование, характерных для мехатроники.
Детальное рассмотрение перечисленных видов звеньев, которые принято называть элементарными, связано с учетом их характерных динамических свойств. Для этого определяются переходные функции каждого звена, т. е. изучаются движения звеньев в стандартных условиях: входной сигнал является единичной функцией 1(t) при нулевых начальных условиях.
В таком ракурсе элементарные звенья рассмотрены, к примеру, в работах [18, 20], что характерно, в целом, для структурных методов в теории автоматического управления, а также для теории связи [10, 18]. Использование передаточных функций для оценки динамических свойств замкнутых систем предполагает анализ не только характеристического P(p) частотного уравнения (знаменатель передаточной функции), но и частотного уравнения Q(p) числителя передаточной функции, что приводит к расширению состава элементарных звеньев в теории автоматического управления [20]. В своей развитой форме кроме усилительных, интегрирующих звеньев, апериодических и колебательных звеньев рассматриваются дифференцирующие (форсирующие) звенья первого и второго порядков, запаздывающие звенья, а также элементы и устройства систем автоматического управления, представляющие собой
результат сборки более сложных устройств с использованием правил соединения элементов. Построенная структурная схема (или структурная модель) является графическим аналогом системы дифференциальных уравнений движения исходной системы, которая в соответствии с задачами исследования и оценки свойств может подвергаться преобразованиям, допускающим переносы связей и эквивалентные замены элементов [20]. При выходе на непланарные системы в ряде случаев возможны эквивалентные преобразования, однако, в большей степени они характерны для технологий преобразования в рамках теории цепей, в частности, электрических и механических [25,26]. Отметим, что преобразования структурных схем чаще всего применяются, если иметь в виду развитые формы, в динамических системах 1 -го и 2-го видов, в которых не акцентируется внимание на размерности и физической природе сигналов в соответствии со свойствами (или передаточными функциями элементарного звена). Однако если выбор элементарных звеньев построен на соблюдении определенных требований (например, для входов всех звеньев сигнал является смещением, а для выходов - силой), то при формировании соединений элементов в более сложные блоки (агрегаты) последующие преобразования на уровне общей схемы, могут иметь существенные отличия. Собственно в этом и состоит специфика структурных интерпретаций в теории цепей, что предполагается рассмотреть во 2-й части статьи, которая содержит результаты исследований о возможностях интеграций аппарата теории автоматического управления и теории цепей в мехатронике виброзащитных систем.
Заключение
Динамические свойства различных технических объектов, если иметь в виду возможности линейных моделей, чаще всего оцениваются на основе рассмотрения реакций на некоторые типовые или стандартные сигналы или внешние воздействия. Наиболее развитыми и применяемыми в инженерной практике являются подходы, основанные на операционных методах (преобразования Лапласа, Карсона, Фурье и др.), позволяющих оценочные процедуры соотносить с переходными и передаточными функциями. Линейные операторы, лежащие в основе подходов, допускают структурные интерпретации, связанные с учетом особенностей построения динамических систем, в том числе особенности физической природы, возмож-
ности физической реализации и другие. Структурные интерпретации линейных операторов много-вариантны и отражают специфические свойства реальных связей, а сами структурные формы представления связей системы и возможностей построения структур носят относительный характер. Последнее связано с тем, что динамические системы определенной физической природы могут подчиняться в своих локальных связях и проявлениях определенным физическим законам, такими, например, как законы Кирхгофа для электрических цепей и законы Ньютона для механических систем, состоящих из пассивных элементов (без дополнительных источников энергии).
Развитие мехатронных подходов в задачах динамического синтеза сложных технических систем, например, робототехнических, требует учета особенностей структурных представлений линейных операторов, допускающих совместимость взаимодействия систем и элементов различной природы (продолжение в № 1-2013).
Исследования выполнены по гранту в рамках федеральной целевой программы «Научные и педагогические кадры инновационной России» на 2012-2013 г.г. (XLVII. Мероприятие 1.3.2 - естественные науки) № 14.132.21.1362.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Артоболевский И. И. Теория механизмов и машин. М. : Наука, 1975. 638 с.
2. Фролов К. В., Попов С. А. Теория механизмов и машин. М. : Высш. шк., 1987. 465 с.
3. Левитский Н. И. Колебания в механизмах. М. : Наука, 1988. 358 с.
4. Кинематика, динамика и точность механизмов : справочник / Крейнин Г. В. и др. М. : Машиностроение. 1984., 216 с.
5. Елисеев С. В., Хоменко А. П., Засядко А. А. От динамики управляемых систем к мехатронике // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2008. № 2(18). С. 10-14.
6. Вукобратович М. Управление манипуляцион-ными роботами : пер. с сербскохорватск. М. : Наука, 1985. 384 с.
7. Onwuboly G. C. Mechatronics. Principles and Applications // Elsivier Butter Worth Heinemann. Linacre House. Jordan Hill, Oxford. Birlington. Uk. 2005. 644 p.
8. Подураев Ю. В. Основы мехатроники. М. : МГТУ «СТАНКИН», 2000. 80 с.
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
9. Елисеев С. В., Свинин М. М. Математическое и программное обеспечение в исследованиях ма-нипуляционных систем. Новосибирск : Наука. 1992. 296 с.
10. Теоретические основы связи и управления / А.А. Фельдбаум и др. М. : Физматгиз. 1962. 934 с.
11.Емельянов С. П., Коровин В. К. Новая теория обратной связи. М. : Наука. 1999. 472 с.
12.Елисеев С. В., Резник Ю. Н., Хоменко А. П., Засядко А. А. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов. Иркутск : Изд-во ИГУ. 2008. 523 с.
13.Елисеев С. В., Резник Ю. Н., Хоменко А. П. Мехатронные подходы в динамике механических колебательных систем. Новосибирск : Наука. 2011. 394 с.
14.Бакалов В. П., Дмитриков В. Ф., Крук Б. И. Основы теории цепей. М. : Радио и связь. 1998. 460 с.
15. Коловский М. З. Автоматическое управление виброзащитными системами. М. : Наука, 1976. 320 с.
16.Черноусько Ф. Л., Болотник Н. Н., Градецкий В. Г. Манипуляционные роботы: динамика, управление, оптимизация. М. : Наука, 1989. 368 с.
17.Фролов К. В., Фурман Ф. А. Прикладная теория виброзащитных систем. М. : Машиностроение. 1985. 286 с.
18. Фельдбаум А. А. Основы теории оптимальных автоматических систем. М. : Наука, 1966. 623 с.
19.Вейц В. Л., Царев Г. В. Динамика и моделирование электромеханических приводов. Саранск : Изд-во Мордов. ун-та, 1992. 226 с.
20.Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 1. Линейные системы. М. : Физматлит, 2003. 288 с.
21.Блехман И. И. Вибрационная механика. М.: Наука, 1994. 394 с.
22. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. М. : Изд-во иностр. лит-ры, 1952. 264 с.
23.Мельников Г. И. Динамика линейных механических и электромеханических систем. Л. : Машиностроение, 1976. 200 с.
24.Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. М. : Советское радио, 1981. 671 с.
25.Атабеков Г. И. Основы теории цепей. СПб. : Лань. 2006. 402 с.
26.Дружинский И. А. Механические цепи. Л. : Машиностроение, 1977. 247 с.
27.Иващенко И. И. Автоматическое регулирование. Теория и элементы систем. М. : Машиностроение, 1993. 632 с.
28.Тетельбаум И. М., Шнейдер Ю. Р. Практика аналогового моделирования динамических систем. М. : Энергоатомиздат, 1987. 384 с.
29.Цзе Ф. С., Морзе И. Е., Хинкл Р. Т. Механические колебания : пер. с англ. М. : Машиностроение, 1976. 508 с.
30.Лурье А. И. Операционное исчисление и его приложения к задачам механики. М. : ГИТТЛ. 1951. 432 с.
31.Гарднер М. Ф., Бэрнс Дж. Л. Переходные процессы в линейных системах с сосредоточенными постоянными. М. : ГИТТЛ, 1949. 530 с.
32.Хэммонд П. Х. Теория обратной связи и ее применения. М. : Изд-во иностр. лит-ра, 1960. 316 с.
