CC BY
27
^'ЛК 669- 42 ■ 621 778.28
М.Ь. Гитман
МЕТОДИКА РЕШЙНМЯ ЗАДАЧИ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ПРИ СТОХАСТИЧЕСКОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ
ABSTRACT
A great number of different technological processes г ^ characterized with dependent or independent stoch&sticu of Initial conditions.
A new approach to modelling these processes is propozed.
In solutionthe problem of stochastic optimization of technological processes of plastic metal working unn-.r jtochasticз of initial conditions some assumptions, suchas j:e probability theory, the theory of the experiments of plant art/ vised. This allows us to cfiange stochastic optimizer: inr problem by determination of nonlinear optimization problovi
The application of this method for the optimization i>f existing regimes for fcosessea of cyclic bending (levelling) ie proposed.
При выборе оптимальных параметров различных технологических процессов чаще всего приходится решать задачу в условиях неопределенности. Неопределенность понимается в том смысле, что параметры рассматриваемой системы имеют вероятностный,случайный
X £ P3R Т*£;Р.
Пусть СО,!" ,!■■> - исходное вероятностное пространство; здесь £>-множеотво событий, на которых определена вероятность к. (Считается, что класс событий !•- образует алгебру событий, т.е. содержит достоверное событие Смножество 05 и невозможное событие Смножество СО [ 1 ]- - Пусть даны некоторые случайные
функции f' (%(& '.h&)> где rrsIR ,0еП,г->еО,тд • Значения
вектор - функции х(в) зависят только от наблюдаемых событий i-
т.е. считается, что х(в) - измеримая Функция относительно i . В качестве критерия оптимизации Сцелевой Функции) рассмотрим
функционал F°{x(8)} :
Р°{х^(в )}=J f° (~х(б ),в )P(d& )^Sf°fx(9 ),в ) . (1)
Теперь общая постановка задачи стохастической оптимизации Формулируется как задача поиска I -измеримой вектор-Функции
х(&), минимизирующей функционал СО при ограничениях виде:
Р<{х(в У}^/1 (х (9)>e)TP(d& )=Mfi (х(9 ),ej<0,l = l,n (2)
для Р-почти всех О.
1с(в)ех(в), (3)
где X(в)-некоторое множество п-мерного пространства 0?,М~ математическое ожидание некоторой случайной величины.
Постановка задачи (.1 >-<"3> напоминает задачу нелинейного программирования. Отличия от последней состоят в следующем:
1) сложность вычисления Функционалов (х(& ) ж .; фор-
мально это сводится к вычислению интервала по мере Pf которая часто даже не задается в явном виде;
2) Функционалы Р*{х(&)},1=о7т часто оказываются негладкими Сне имеют непрерывных производных).
Для примера рассмотрим постановку задачи стохастической оптимизации при выборе режимов настройки роликоправильных машин (вертикальных перемещений роликов) для правки длинномерных про-Филей. Постановка и методика решения задачи правки рассмотрены в работе [2].
Элементарное событие в -это процесс правки при Фиксированных значениях всех исходных параметров. Назовем событием а подмножество О , которое представляет совокупность процессов правки при значениях случайных исходных характеристик из некоторой; заданного интервала. В частности, считается, что слученными
параметрами процесса являются предел текучести материала о п
я
начальная искривленность профиля к . Тогда совокупность пр<ч1>>с-сов правки при к «=£+ * ),о ,<у^ f 1 ) составляют подмножег г-
О О О в в 3
во А> а семейство подмножеств А определит F . P-это вероятность события л.
Вектор управления х(О) представляет настройку роликогцч!
вильнои машины, f°Сх(в),в) - модули конечной искривленности
профиля. К ограничениям С2> следует отнести уравнения, опиливающие процесс знакопеременного изгиба, ограничения на параметры управления, по прочности и т.д.
Рассматривается класс задач стохастической оптимизации, м
которых стохастическими являются только начальные условия. В
этом случае, если плотность распределения решения удастся оценить через плотность распределения начальных условий, задача стохастической оптимизации сведется к задаче нелинейного программирования, решение которой может быть найдено достаточно просто [3].
Рассмотрим методику вычисления целевой функции <при необходимости и ограничений) при независимых начальных условиях.
Согласно определению интеграла по вероятностной мере
Р°(1с(в))=Ит иС’>.х(* ),Аь)Г(Ак (4)
п-»оо к )
где А - рврдрнн и £• вынь" непересекаямпие* подмножества 1};
О — ^ О —
/ (х(О).А^), (А^е-А) ^ , и-, случайной Функции / (х(в ),в),
к к
т.е. (х(0 ЬА^^предст-лвлчют собой последовательность простых
Функций, сходящуюся к /° (х(& ),&} .
Если предположить, что появление определенных значений начальных параметров а,Ъ,...,с - независимые события, тогда ве-
роятность Р<А > появления события 4 определяется как произве-
Ь с
дение соответствующих вероятностей Р ,Р ' ' [3] :
I з I
'V ?-•?........5 <*>
Теперь соотношение <4> можно переписать в виде : пт г ____________________________
Г°Гх ига Е Е- - • &’°(х(е),Ак?’°£ у . .р®, (6)
! 'Де
4.-» ,?=) г=?
п
Р*?=Р (а*=Да, ),{-) .п; 2 р*?-> ;
1 4 4=1 г
, _ т ,
Р°=РСЬеДЬ .)^=1,п: Г Р^-Г; Г7 )
^ Л
__ Г
р^)-7седс ;,г=Гп; 5: рс=>.
е 1=Г
Приближенное значение целевой Функции может быть определено согласно соотношению :
__ пт ■г
г° (1Г(в))^ат е Е-• • Е/°^(е>-ль;р^р .-р^, (в;
Л-т.....г г = 1 к 1 3 1
Для построения Р° (х(9)) прежде всего необходимо
п,та. ... -г
установить зависимость /° (х,А^) от вектора управления х(&) при
определенных фиксированных значениях а,Ь, ,с <в большинстве практически важных задач явное выражение таких Функций отсутствует). Воспользуемся методом математического планирования второго порядка [4], позволяющим по "экспериментальным точкам" (имеется в виду численный эксперимент) с помощью метода наименьших квадратов построить интерполяционную модель второго порядка Функции цели /°(х,А^) . Математическое планирование
эксперимента позволяет построить модель вида [4] :
f° (x,AJt)=P0+fi 1 +fi2x2+ . . . . (9)
"Экспериментальные точки" получены из решения соотоетствую-
щей задачи при заданном векторе управления ~x(Q) и фиксированных параметрах а,Ь,->с- Дпя определения неизвестных коэффициентов
(t Ср=0,'г*) может быть использован композиционный центральный
план. С учетом ССО целевую Функцию <8> можно выразить в виде :
Рп,«. . . .^)=Г0*Г 1Х1+Г2Х2+-■ '+rvXiXJ+' ■ -+ГгЖ8 ’ (Ю)
где коэффициенты у^ (р~0,т) определяются значениями ft^(p=0>r) и
видом функционала СЮ.
■Чнллої 1чным образом может быть определен детерминированный аналог ограничений.
Таким образом, в случае независимых начальных условий задача стохастического программирования свелась к задаче нелинейного программирования, для решения которой можно использовать, например, метод деформируемого многогранника в сочетэним с м«.~-тсдом штрафных функций [31■
Возвращаясь к примеру с правкой длинномерных изделий на ро^ лшопрдпи.пьныу m=)iiimh/4v, можно считать предел текучести материала’ <,> j и начальную искривленность профиля с к > случайными я О
оличинами, причем <у х J, Если раз-
бить интервалы изменения о и м на подинтервалы
s О
, mi п. «аж-, ... J г rain max, тт. і
в >as J=T в ; ’*0 1=тх0 ’
гд© Асу ~[су^ Дк_ *>? тогда СЮ примет вид :
з з & О 0 0
__ п ж ___________
z г f°(x>K>op°!opKf (п>
в J __ J *4 Л w J
где
J=1
. ___ яг
Р =Р (X £ 'pXt=1;
J О J=is
. ___ n
РС*=Р(о’ еДO' ),i=1,n; £ P^=J.
І S <=!■*
Следует отметить, что в данном случае нет необходимости в определении детерминированного аналога ограничений, так как
ограничения в виде равенств рредетавляют собой уравнения, описывающие поведение материала в процессе правки,и уже использовались при получении соотношения С10Х Ограничения в виде неравенств наложены на параметры вектора управления и являются в данной задаче детерминированными.
В случае зависимых начальных условий нарушается условие С5>. Все дальнейшие предпосылки остаются справедливыми. При этом возникает задача оценки плотности распределения решения через плотность распределения начальных параметров.
Если случайным является только одно начальное условие, то плотность распределения решения можно оценить с помощью следующей леммы [5].
.Лемма: Если имеется случайная величина ? ,а у=/(&) - непрерывно-дифференцируемая функция С /' (х)&0 ; г)=/(% ) >, то плот-
ности Р^(х) и (у) связаны следующей Формулой :
(12)
Если начальных параметров, распределенных стохастически, несколько, то можно предложить следующий путь решения задачи.
совокуп нос ть
- решение,
Пусть х=(£ )~ случайная величина в
12 Т1
зависимых начальных условий};
У=(ПГ)г...
Г.)
т
которое представляет собой случайную величину в К‘ с делением вероятностей, которые однозначно определяются
распре-распре-
делением величины X
причем
X Р' (X ^ > Кп
. .,з: )0х= -Г Р )Лу=1,
П 7? 7 ТИ
к™
(К ,»- • . 1=1,т , т£п .
( КЗ)
Произведя замену переменных, выразим Ру (х},.. ):
Р^СУу ■ через
(14)
да.,%)
где 1=------------—
0(Г) ,. . . ,Г) )
1 та
-*4П
-якобиан обратного преобра-
зования.
Осталось определить Р^(х.,...,х ) - вероятность совместного
’ I п
появления определенного комплекса начальных условий . В зависимости от вида распределения плотность распределения опредвлявт-
си по-разному. Так, в случае «-мерного нормального распределения согласно [6] получим :
Р,; (х . .,х Ь / п
/------п------------
У((2°пГ’'.ае±[\гъ])
Зк
(15)
> е.трГ-0,5° £ £ Л ('гг. -х . )“ (х, -ас, ) ],
3 = 1 Ь=1
хз^къу[хъз3=[хзь]
где г
зь ЬЗ
ГРх,=о\ 3=& (дисперсия),
3 3.
cov<x .х }, .^Мковариация) 3 *
,3,к=1,п.
Вштш
}. Приведена постановка и дан возможный вариант методики решения задачи стохастической оптимизации технологических процессов обработки металлез при стохастическом распределении зависимых и независимых начальных условий.
2■ Рассматривается постановка и методика решения задачи стохастической оптимизации на примере выбора рациональных режимов правки длинномерных профилей.
Литература
1. Ермолаев Ю.М Методы стохастического программирования. М: Наука, 1976.
2. Трусов П.В., Гитман МБ. Методика и результаты исследований напряженно-деформирозаного состояния при правке прокатных профилей // Изв.вузов. Чер. металлургия. 1982. Я 6.
3. Химмельблау Д Прикладное нелинейное программирование. М:
Мир. 1975.
4. Адлер Ю.П.,Маркова Е.В.,Грановский Ю.П. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М: Наука. 1976.
3. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М: физматгиз.
1988.
6. Корн Г.К. Корн Т.К. Справочник по математике. М: Наука.
1974.
Пермский политехнический институт
