CC BY
38
Under rational structure of a complex of the equipment it is offered to consider a version when the basic links of a complex of the equipment have all carry-menbHyw independence and the maximal productivity at the minimal operational expenses. With combinations of separate links and ways of interoperability between links of a complex of the mountain equipment probably to provide performance of necessary volumes of mountain works on a high degree of reliability.
Key words: comprehensive mechanization, seizure, separately, an array of carbonate
rocks.
Safronov Viktor Petrovich, doctor of technical science, professor, Safronov-vp@,list.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Zaytsev Yurii Vladimirovich, candidate of technical science, docent, yu-ra.zaytsev. 1975@list.ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 623.451.4.082.6
МЕТОДИКА РАСЧЕТА ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ МАТЕРИАЛА С УЧЕТОМ ЕГО МИКРОСТРУКТУРЫ В УСЛОВИЯХ ДИНАМИЧЕСКОГО НАГРУЖЕНИЯ
А.А. Акимов, М.С. Воротилин
Предложена методика расчета термомеханических параметров материала с учетом его микроструктуры, позволяющая решать задачи динамического нагружения в двух и трехмерной постановках.
Ключевые слова: математическая модель, термомеханические параметры материала, микроструктура, динамическое нагружение.
В работе [1] приведена математическая модель высокоскоростного деформирования твердого тела, учитывающая влияние исходного размера зерна на свойства материала, а также предложены зависимости, аппроксимирующие имеющиеся экспериментальные данные. Для предложенных зависимостей с использованием метода Монте - Карло определены значения констант (материал медь М1). После чего выполнены расчеты динамического нагружения пластин из меди с различной микроструктурой в одномерной постановке. Сопоставление результатов этих расчетов с известными экспериментальными данными позволило сделать вывод, что приведенная математическая модель и предложенные зависимости могут быть использованы при исследованиях процессов, протекающих при динамическом нагружении материалов с различной микроструктурой.
230
В тоже время одномерные алгоритмы и методики расчета мало пригодны для моделирования процессов, протекающих в конструкциях, имеющих сложную геометрию. Учитывая это, в настоящей работе предлагается методика расчета термомеханических параметров материала с учетом его микроструктуры, позволяющая решать задачи динамического на-гружения в двух и трехмерной постановках. Рассмотрим предлагаемую методику более подробно.
В основе данной методики лежит обобщенная математическая модель [1], описывающая поведение материала с учетом его микроструктуры при динамическом нагружении. Основные уравнения этой математической модели, а также аппроксимирующие зависимости приведены ниже.
1. Уравнение движения
рф
где р - удельная плотность; Ф - вектор скорости; г - время; Ур - ковари-
антная производная; оаР - тензор напряжений; еа - векторы базиса; а и Р - индексы, принимающие значения 1, 2, 3.
2. Уравнение неразрывности
— = -р йФ . Эг Р
3. Уравнение внутренней энергии
рЭ/ аре ар,
Эг
где еаР - тензор скоростей деформаций.
4. Компоненты тензора напряжений
аар=-5ар р + * ар,
где 8аР - символ Кронекера, *аР - девиатор тензора напряжений.
5. Компоненты производной девиатора тензора напряжений
*ар = ,Т)Геар -18ар!&/ V1 + *^Я^ + *^Я^,
V 3 )
где , Т) - зависимость модуля сдвига от размера зерна и температуры [1]; ЯаР - яумановские члены:
Я аР= 1 (Уфа-УаФр).
6. Компоненты тензора скоростей деформаций
е аР= 2 (УрФа+УаФр).
7. Давление
р = г (/ - / Н)/V + РН
231
где Г - коэффициент Грюнайзена; рн и Iн - давление и удельная внутренняя энергия на ударной адиабате.
8. Условие текучести Мизеса
sab sab = 2(ss (d, T ))2/3, где ss (d, T) - зависимость предела текучести от размера зерна и температуры [1].
9. Температура
T = To +1 / Cv,
где To - начальная температура; Cv - удельная теплоемкость материала.
10. Поврежденность материала
w = w(s, t).
11. Граничные условия:
а) свободная поверхность
(snn ) S g = (snt )s| g = 0.
где snn и snt - нормальное и касательное напряжения; g - граница раздела сред;
б) контактная поверхность
(snn ) S1 |g = (snn )S 2I g , (s nt) S1 |g = (s nt) S 2I g.
где S1 и S 2 - индексы, относящиеся к взаимодействующим телам.
Интегрирование приведенных выше дифференциальных уравнений согласно предлагаемой методике осуществляется методом конечных разностей. Данный метод является одним из наиболее простых, и в то же время, эффективных методов решения задач динамического нагружения материалов.
Однако, применение этого метода на практике, в частности, для моделирования контактных взаимодействий в конструкциях, имеющих сложную геометрию, затруднительно. Это связано с тем, что при динамическом нагружении, как правило, образуется множество контактных поверхностей взаимодействующих сред с различными свойствами. В такой ситуации применение классического подхода Master - Slave, в основе которого лежит перемещение одних граничных узлов по контактной поверхности, образованной другими граничными узлами, затруднительно (множественные разрушения, контакт в точке двух и более сред, неопределенность нормали и т. д.).
Одним из возможных выходов из такой ситуации является подход, изложенный в работе [2]. Согласно этому подходу допускается проникновение узлов одной контактной поверхности в ячейки, расположенные на другой контактной поверхности. При этом для моделирования условия непроникания требуется обеспечить равенство нормальных составляющих
скорости в точке контакта. Такой подход позволяет решить одну из наиболее сложных проблем, возникающих при моделировании контактных взаимодействий, проблему перемещения граничных узлов.
В работе [3] был предложен алгоритм расчета параметров двух и более взаимодействующих сред в условиях динамического нагружения. Данный алгоритм основывался на модифицированном подходе Master -Slave, недостатки которого были рассмотрены ранее. Учитывая, что подход [2] позволяет устранить некоторые из недостатков подхода Master -Slave, алгоритм [3] был доработан. Ниже, на рисунке, приведена блок -схема предлагаемого алгоритма, а также дано описание его процедур.
Согласно этой блок-схеме алгоритм включает в себя несколько процедур:
1. Расчет промежуточных скоростей узлов на n +1/2 шаге по времени. На этом этапе не учитываются возможные соударения и скольжения контактных поверхностей.
2. Формирование списка граничных узлов для каждого пятна контакта. В этой процедуре для каждого пятна контакта формируется список граничных узлов. Основным критерием для формирования данного списка является возможность влияния одного граничного узла на скорость другого узла контактной поверхности.
3. Выбор пятна контакта из списка. Запускается цикл по обнаруженным пятнам контакта.
4. Построение системы уравнений для текущего пятна контакта. Для узлов каждого пятна контакта решается система уравнений, построенная на основе законов сохранения импульса, момента импульса, а также условия равенства скоростей в точке контакта. Ниже приведены уравнения такого рода системы для одного узла контактной поверхности.
m0 AJ0 + X тг AJj = 0; m0 [r0 x AJ0 ] + X тг [rj x AJj ] = 0; J 0 + AJ 0 = X Рг (J i +AJj),
где m - масса; r - радиус вектор; p - вес каждого узла; г - индексы узлов элемента контактной поверхности.
5. Расчет окончательных скоростей узлов на n +1/2 шаге по времени. На этом этапе определяются путем решения системы уравнений окончательные скорости узлов контактных поверхностей текущего пятна контакта.
6. Перемещение узлов расчетных областей. В соответствии с определенными ранее проекциями вектора скорости для каждого узла расчетных областей происходит вычисление его перемещения за время At.
7. Коррекция типа узлов расчетных поверхностей. После перемещения узлов расчетных областей корректируется их тип. При этом учитывается как возможность столкновения одной среды с другой, так и возможность отделения узла от контактной поверхности.
1 - Расчет промежуточных скоростей узлов на л? + 1/2 шаге по времени;
2 - Формирование списка граничных узлов для каждого пятна контакта;
3 - Выбор пятна контакта из списка;
4 - Построение системы уравнений для текущего пятна контакта;
5 - Расчет окончательных скоростей узлов на л? + 1/2 шаге по времени;
6 - Перемещение узлов расчетных областей;
7 - Коррекция типа узлов расчетных поверхностей.
и
©
Г
©
1
^ Конец
Блок-схема алгоритма
Таким образом, рассмотренная выше методика расчета термомеханических параметров материала позволяет описывать его поведение при динамическом нагружении с учетом микроструктуры.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант РФФИ 13-01-97510).
^ Начало ^
Г
О
г
©
г
©
1 Г
©
Г
©
Список литературы
1. Акимов А. А., Воротилин М.С. Математическая модель высокоскоростного деформирования материала с учетом влияния микросктрукту-ры на его свойства // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Вып. 12: Ч. 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. С. 108-115.
2. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Обзор контактных алгоритмов. Журнал Известия РАН, МТТ, 2002.
3. Акимов А.А., Воротилин М.С., Кирюшкин И.Н., Климов С.А., Сидоров Е.В., Чуков А.Н., Михайлин С.В. Математическое моделирование функционирования взрывных устройств. Тула: Изд-во Репро-Текст, 2007. 269 с.
Акимов Александр Александрович, д-р. техн. наук, проф., akim1973@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Воротилин Михаил Сергеевич, канд. техн. наук, доц., vms-vorotilinarambler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
CALCULATION TECHNIQUE OF THE THERMOMECHANICAL PARAMETERS
OF THE MATERIAL TAKING INTO ACCOUNT ITS MICROSTRUCTURE UNDER DYNAMIC LOADING
А.А. Akimov, М..S. Vorotilin
Calculation technique of the thermomechanical parameters of the material, which allows to calculate two-dimensional and three-dimensional tasks of dynamic loading.
Key words: mathematical model, thermomechanical parameters of the material, microstructure, dynamic loading.
Akimov Aleksandr Aleksandrovich, doctor of technical sciences, professor, akim19 73@mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Vorotilin Michail Sergeevich, candidate of technical sciences, docent, vms-vorotilinarambler. ru, Russia, Tula, Tula State University
