CC BY
202
Describes a method of measuring the reciprocating movement of the forearm when shotgun reloading at various design features of cartridge-feeder to quantify impact on ergonomics manual pump action shotguns.
Key words: pump-action shotgun, ergonomics.
Linkov Nikolay Vladimirovich, assistant, niklinkov71 @gmail. com, Russia, Tula, Tula State University
УДК 623.451.4.082.6
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЫСОКОСКОРОСТНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ МАТЕРИАЛА С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ МИКРОСТРУКТУРЫ НА ЕГО СВОЙСТВА
А.А. Акимов, М.С. Воротилин
Приведена модель высокоскоростного деформирования твердого тела, учитывающая влияние исходного размера зерна на предел текучести, а также упругие и прочностные свойства материала. Предложены зависимости, аппроксимирующие имеющие экспериментальные данные, а также методика определения констант, основанная на методе Монте-Карло.
Ключевые слова: математическая модель, высокоскоростное деформирование, зерно, свойства материала.
В настоящее время большое внимание при создании изделий, работающих в условиях ударного нагружения, уделяется исследованиям, связанным с изучением влияния микроструктуры материалов на их свойства: предел упругости, текучести, динамической прочности, коэффициент предельного удлинения, модуль сдвига и т.д. Это объясняется тем, что существующие на сегодняшний день технологии позволяют получать материалы с различными свойствами, которые напрямую влияют на характеристики изделий. При этом в значительной мере свойства материалов зависят именно от их первоначальной микроструктуры. К таким материалам, в частности, относится медь, которая используется во многих областях промышленности для изготовление элементов конструкции, работающих в условиях ударного нагружения. Изучению меди посвящено большое количество работ, однако наибольший интерес представляют те из них, в которых приведены результаты экспериментальных исследований по определению влияния микроструктуры на фундаментальные свойства данного материала. К таким работам можно отнести труды сотрудников ИПХФ РАН (г. Черноголовка), ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ» (г. Саров), Физико-
технический институт им. А.Ф. Иоффе РАН (г. Санкт - Петербург) и т.д. Следует также заметить, что существенное влияние на перечисленные выше свойства материала оказывает в процессе его динамического нагруже-ния рост температуры. Учитывая все вышеперечисленное, в настоящей работе предлагается обобщенная квазигидродинамическая модель, описывающая поведение материала при динамическом нагружении с учетом его первоначальной микроструктуры (размера зерна), а также возможного роста температуры в процессе деформирования. Ниже приведены основные уравнения и соотношения (более подробное их описание дано в работе [1]) предлагаемой математической модели.
1. Уравнение движения
рФ=УрН*).
Эt
где р - удельная плотность; Ф - вектор скорости; t - время; Ур - кова-
риантная производная; оаР - тензор напряжений; еа - векторы базиса; а и Р - индексы, принимающие значения 1, 2, 3.
2. Уравнение неразрывности
дt
3. Уравнение внутренней энергии
рЭ/ арёар ИЭt '
где еаР - тензор скоростей деформаций.
4. Компоненты тензора напряжений
оар=-5ар р + 5ар, где 5аР - девиатор тензора напряжений;
- символ Кронекера.
5. Компоненты производной девиатора тензора напряжений
&ар= 2|(д, Т)| еар-15ар1&/ V
+ 5 + 5 Яа
V 3 )
где | (д, Т) - зависимость модуля сдвига от размера зерна и температуры; ЯаР - яумановские члены:
ЯаР= | (УрФа-УаФр).
6. Компоненты тензора скоростей деформаций
е ар= 2 (УрФа+УаФр).
7. Давление
р = Г(I- 1н)/V + Рн , где Г - коэффициент Грюнайзена; рн и Iн - давление и удельная внутренняя энергия на ударной адиабате.
8. Условие текучести Мизеса
5ар5ар= 2(о5(ё, Т))2/з,
где о 5 (^, Т) - зависимость предела текучести от размера зерна и температуры.
9. Температура
Т = То + I / ^,
где То - начальная температура; ^ - удельная теплоемкость материала.
10. Поврежденность материала
ю = ю(о, I).
11. Граничные условия:
а) свободная поверхность
(о™) 5| у = 0, (о^х )5| у = 0,
где опп и опх - нормальное и касательное напряжения; у - граница раздела сред;
б) контактная поверхность
(опп ) 51 |у = (о пп ) 521 у, (опх ) 51 |у = (опх ) 5 21 у,
где 51 и 5 2 - индексы, относящиеся к взаимодействующим телам.
В перечисленные выше уравнения и соотношения обобщенной математической модели были введены функции, учитывающие влияние микроструктуры (размера зерна) и температуры на основные свойства материала. Рассмотрим эти функции, а также способы определение констант в них входящих более подробно.
В работе [2] приведены значения модуля сдвига для меди в диапазоне температура от 473 до 923 К. Изменение значений модуля сдвига носит практически линейный характер, однако с ростом температуры просматривается тенденция к более резкому снижению. Учитывая это, предлагается использовать полиноминальную зависимость для аппроксимации модуля сдвига. В ходе проведенных вычислений с использованием метода наименьших квадратов было установлено, что наилучшие результаты дает полином второй степени:
т( Т) = -1,8749Т2 - 0,0139Т+49,1194. (1)
На рис. 1 приведены аппроксимирующая зависимость (1) в диапазоне температура от 0 до 900 °С, а также экспериментальные значения из работы [2]. Максимальное отклонение расчетных значений от экспериментальных данных составило менее 2,5 %.
¡1, ГПа |
40--------
1
■
30-----—-
20--------
10-------
0 200 400 600 800 Т,°С
Рис. 1. Зависимость модуля сдвига от температуры
В работах [3, 4] приведены данные по изменению пределов упругости, текучести и прочности в зависимости от температуры и размера зерна (медь М1). Анализ этих данных позволяет сделать вывод о том, что для их описания необходимо использовать более сложные, чем в первой случае, аппроксимирующие функции. В частности, речь идет о зависимостях, в которые входят тригонометрические и логарифмические функции. В таких случаях применение метода наименьших квадратов становится практически невозможно. Учитывая это, в настоящей работе был использован метод Монте-Карло, который хорошо зарекомендовал себя при нахождении значений констант в зависимостях, имеющих сложную форму. Так, для описания изменения предела текучести и предела прочности от температуры были использованы зависимости, в основе которых лежала обратная тангенциальная функция. Ниже приведена зависимость, аппроксимирующая изменение предела текучести от температуры:
о5 ( Т) = 253,3 +160,0 аг^(1,173-0,00577Т). (2)
Входящие в зависимость (2) константы были определены с использованием метода Монте-Карло, при этом среднее отклонение расчетных значений от экспериментальных данных составило 4,2 МПа. На рис. 2 приведены экспериментальные данные, описывающие изменение предела текучести от температуры, а также график, построенный по зависимости (2). Наблюдается удовлетворительное совпадение результатов расчетов и значений, полученных экспериментальным путем.
МПа
300—
200
100
0-1-----
0 200 400 600 800 Т,°С
Рис. 2. Зависимость предела текучести от температуры
Аналогичные расчеты были проведены для предела прочности. Ниже приведена аппроксимирующая зависимость, а на рис. 3 показаны экспериментальные данные и график функции о ( Т). Так же, как и в предыдущем случае, наблюдается удовлетворительное совпадение результатов расчетов и значений, полученных экспериментальным путем:
о5 ( Т) = 409,0 + 242,7 81^(1,916-0,00701Т). (3)
Рис. 3. Зависимость предела прочности от температуры
Для учета влияния микроструктуры материала на его свойства в математическую модель были добавлены зависимости пределов упругости и текучести от размера зерна. В данном случае аппроксимирующие зависимости строились на основе логарифмических функций. Ниже приведена такого рода зависимость, позволяющая описывать изменение предела упругости от размера зерна, а на рис. 4 представлены ее график и экспери-
112
ментальные данные работы [4]:
оНЕЬ (С) = 94232,9- 93232,91П(1 + 0,975d)0,00576. (4)
О 20 40 60 30 100 С?,МКМ
Рис. 4. Зависимость предела упругости от размера зерна
В работе [4] приведена формула, связывающая предел упругости и предел текучести материала. С учетом данной формулы зависимость, аппроксимирующая предел текучести, будет иметь следующий вид:
о $ (С) = 102427,0 - 101340,11п(1 + 0,975d)0,00576. (5)
Зависимости (4) и (5) позволяют корректировать значения величин, рассчитанные по формулам (1) - (3) с учетом размеры зерна. Дополнительно, учет влияния микроструктура на свойства материала будет осуществляться в уравнении состояния путем коррекции давления, вследствие изменения удельной плотности и внутренней энергии деформируемого тела [1].
Таким образом, предлагаемая обобщенная математическая модель позволяет описывать поведение материала при динамическом нагружении с учетом его микроструктуры (размера зерна) и возможного роста температуры.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант РФФИ 13-01-97510).
Список литературы
1. Математическое моделирование функционирования взрывных устройств / А. А. Акимов [и др.] // Тула: Изд-во «Репро-Текст», 2007. 269 с.
2. Петров А.И., Разуваева М.В. Оценка активационных параметров в меди при переходе от экспоненциальной к степенной зависимости скоро-
сти ползучести от напряжения // Журнал технической физики. 2011. Т. 81. Вып. 10. С. 36 - 39.
3. Полухин П.И., Гун Г.Я., Галкин А.М. Сопротивление пластической деформации металлов и сплавов. М.: Металлургия, 1983. с. 352.
4. Гаркушин Г.В., Разоренов С.В., Игнатова О.Н. Влияние внутренней структуры меди М1 на упругопластические и прочностные свойства при ударно-волновом нагружении // Сборник статей международной конференции «Забабахинские научные чтения - 2007». Снежинск. 2007. С. 5 -15.
Акимов Александр Александрович д-р. техн. наук, проф., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Воротилин Михаил Сергеевич, канд. техн. наук, доц., [email protected],, Россия, Тула, Тульский государственный университет
MATHEMATICAL MODEL OF THE MATERIAL HIGH-SPEED DEFORMATION SUBJECT THE INFLUENCE OF MICROSTRUCTURE ON ITS PROPERTIES
А.А. Akimov, М.S. Vorotilin
The model of high-speed deformation of a solid body which takes into account the influence of the initial grain size at the yield strength and at elastic and strength properties of the material. The mathematical relationships for approximation of the experimental data, the method of the constants determination based on the Monte Carlo method.
Key words: mathematical model, high-speed deformation, grain, material properties.
Akimov Aleksandr Aleksandrovich doctor of technical sciences, docent, professor, [email protected], Russia, Tula, Tula State University,
Vorotilin Michail Sergeevich, candidate of technical sciences, docent, docent, [email protected], Russia, Tula, Tula State University
