CC BY
234
УДК 69.04
Гаврилов А.А., Морозов Н.А., Власов Ю.Л.
Оренбургский государственный университет E-mail: pialex@bk.ru
МЕТОДИКА РАСЧЕТА СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ КРАН-БАЛОК
Отдельные конструкции, находящиеся под действием преимущественно статической нагрузки, могут деформироваться и разрушаться вследствие наличия динамических воздействий, даже небольших по величине. Это связано с возникновением резонанса при приближении вынужденных частот колебаний конструкции к собственным частотам. При этом важно получить точные значения собственных частот, что для тонкостенных конструкций достигается учетом сдвигов не только от изгиба, но и от стесненного кручения.
Разработанная методика аналитического расчета собственных частот подвесных мостовых кранов, учитывает сдвиги срединной поверхности от изгиба и стесненного кручения. Учет сдвигов срединной поверхности позволяет сделать расчетную схему конструкции менее жесткой, что приближает ее к реальному объекту. Аналитические выражения для определения значений собственных частот колебаний позволяют прогнозировать изменения собственных частот в зависимости от параметров одно- и двухпролетных кран-балок.
Сравнение значений собственных частот, полученных по разработанной методике, со значениями, полученными при конечно-элементном анализе с помощью APM WinMachine и Autodesk Inventor, выявило, что расхождение между результатами расчетов не превышает 3% для изгиб-ных колебаний и 10% для крутильных, что связано с отсутствием учета внутреннего трения. Оказалось, что частоты вынужденных колебаний кран-балок довольно близки к их собственным частотам. Полученная методика используется для исключения возможности резонанса при конструировании кран-балок и их элементов.
Ключевые слова: кран-балка, колебания, собственная частота, форма колебаний, напряжение.
При оценке некоторых видов конструкций, например кран-балок, наряду с расчетом элементов на прочность, необходимо проведение динамического расчета. Одной из задач динамического расчета является определение собственных частот колебаний элементов. Это необходимо для исключения возможного совпадения частот собственных и вынужденных колебаний элементов конструкции. В качестве возбудителей колебаний, в данном случае, выступают подвижные элементы конструкции -электродвигатель и редуктор. Следовательно, за частоты вынужденных колебаний принимаются частоты вращения ротора электродвигателя. Для определения собственных частот могут применяться метод конечных элементов и аналитические выражения для расчета тонкостенных конструкций. В последнем случае, существуют два подхода - не учитывающий деформации сдвига срединой поверхности, имеющий простой расчетный аппарат, и учитывающий эти деформации. В работах [1], [6]—[11] показано существенное влияние учета сдвигов на значения собственных частот. В работе [4] предложены уравнения для расчета на прочность и собственные частоты тонкостенных неразрезных балок, которые могут применяться и для кран-балок.
Целью исследования является разработка методики расчета собственных частот кран-балок, учитывающей сдвиги срединной поверхности от изгиба и стесненного кручения.
При этом были поставлены задачи:
1. Используя уравнения колебаний неразрезных балок тонкостенного профиля, определить аналитические уравнения для расчета собственных частот колебаний кран-балок.
2. Провести сравнение значений собственных частот, определенных с помощью аналитических выражений, со значениями, полученными с использованием конечно-элементного анализа.
3. Оценить возможность совпадения собственных частот кран-балок с частотами их вынужденных колебаний.
На рисунках 1 и 2 представлены краны мостовые подвесные однобалочный одно- и двух-пролетные общего назначения.
Объектом исследования является тонкостенная неразрезная балка подъемного устройства, имеющая две оси симметрии. Производится определение собственных частот балки.
Уравнения для определения собственных частот балки рассмотрены в [4]. Так как сечение балки бисимметрично, то уравнения для поперечных и крутильных колебаний независимы и имеют вид:
( 2 _ 2) 2 2 _ i ) sinPihshril; ^ _ Г А + 2(1- cosPihchril; ) = 0,
p\r\\p\ _Ari +А)
(1)
M1((_1)(P2 sin P2li + r2shr2li )sin P2li+1shr21i+1 + Mi ((r2 c0s P2li+1shr21i+1 + Р sin P2li+1chr21i+1 )sin P2lishr2li + + (r2 cos P2lishr2li + P2 sin M'ch2li)sin P2li+1shr2li+1 )+ Mi+1 (2 sin P1li+1 + r1shr1li+1)sin P2lishr2li = 0 (2)
Bi _1 (Р3
sin p3¡i _ ^sh^/i )sin p3¡i+1shr3¡i+1 + Bi ((>3 cos ^3/i+1shr3li+1 _ Гз sin ^3/г+1 chr3/г+1 )sin plish^li + + (3 cos Mshr3li _ r3 sin Mchr3li )sin -Рзli+1 shr3li+1 )+ Bi+1 (3 sin -РЗli+1 _ r3shr3li+1 )sin P3lishr3li = (3)
где р,, г,. - функции частот колебаний (г=1, 2, 3) [5], м-1;
I, ,/,+1 - длины г-го и (г+1)-го пролетов, м (рисунок 3);
ми - изгибающий момент в вертикальной плоскости в сечении на г-ой опоре, н ■ м ;
в,. - бимомент в сечении на г-ой опоре, н ■ м2;
Я = ^ ;
в ^
г - плотность материала, кг/м3; ¥- площадь поперечного сечения, м2; £22 - коэффициент формы, м-2; С - модуль упругости при сдвиге, Н/м2; w1 - собственная частота изгибных колебаний в вертикальной плоскости, рад/с2.
Уравнения вида (1), характеризующие из-гибные колебания в горизонтальной плоско-
сти, составляются для каждого пролета отдельно. Для рассматриваемого случая однопролет-ной балки и двухпролетной балки с равной длиной пролетов это уравнение принимает вид:
• ,,, (2 - Г!2 ) Г!2 -я) + ЯП Р^Щ* / 2 . V 2 + р 1 г\\р 1 -ят +я)
+ 2(- cos р 1 1скт11)= 0 . (4)
Уравнения (2) и (3) представляют собой уравнения трех моментов и трех бимоментов. Этих уравнений можно получить на одно меньше числа пролетов. При составлении уравнений следует считать, что моменты и бимомен-ты в опорных сечениях равны нулю. Тогда, для двухпролетной балки, уравнения сводятся к виду:
(( cosP2l2shr2l2 + Р2 sin P2l2chr2l2 )sinP2l1shr2l1 + + (r2 cosp2l1shr2l1 + p2 sinp2l1chr2l1 )sinp2l2shr2l2 = 0,
(5)
(3 cos P3li+1shr3li+1 _ r3 sin P3li+1chr3li+1 )sin P3lishr3li +
+ (3cosP3lishr3li _ Гз sinP3lichr3li)sinp,li+1sWi+1 = 0
(6)
Расчет производился с использованием системы MathCAD.
Сравнение полученных результатов производилось со значениями, полученными с использованием систем APM WinMachine и Autodesk Inventor. В первом случае использовался блок Beam, позволяющий производить расчет стержневых конструкций.
Расчетная схема балки приведена на рисунке 4. Рассматриваемые балки (рисунки 1 и 2) грузоподъемностью 5 тонн с профилем в виде двутавра типоразмера 30М имеют следующие
размеры: /=7,5 м; h=300 мм; 6=130 мм; t=15 мм; 5=9 мм.
Расчетные значения собственных частот для двухпролетной балки по формулам (4)-(6) и значения, полученные в APM WinMachine Beam, приведены в таблице 1.
Как видно из таблицы, разница между значениями не превышает 3% для изгибных колебаний и 10% для крутильных, что подтверждает возможность использования полученных аналитических формул для расчета кран-балок. Некоторое превышение значений
Рисунок 1. Кран мостовой подвесной однобалочный однопролетный общего назначения
Рисунок 2. Кран мостовой подвесной однобалочный двухпролетный общего назначения
I ¡+1
ш
V
1-1
X
г+1
Рисунок 3. Фрагмент неразрезной балки
а)
в)
и
а) однопролетная балка, б) двухпролетная балка, в) поперечное сечение Рисунок 4. Расчетная схема балки Таблица 1. Значения собственных частот колебаний двухпролетной балки (рад/с)
I
I
Ь
Номер формы Изгиб в вертикальной плоскости Изгиб в горизональной плоскости Крутильно-депланационные колебания
Расчет WinMachine Веат Расчет WinMachine Веат Расчет WinMachine Веат
1 111,5 112,4 59,5 60,7 967,0 998,2
2 174,6 175,6 163,6 167,4 1932,0 1998,1
3 445,6 449,6 319,8 328,1 2948,0 2995,7
4 527,0 542,4 527,0 542,4 3960,0 3997,8
5 989,3 1011,5 783,5 810,3 4954,0 4988,7
обусловлено отсутствием учета внутреннего трения.
При расчете в Autodesk Inventor применяется оболочечный конечный элемент, при этом не выделяются отдельно крутильные и изгиб-ные формы колебаний. Для анализа результатов все частоты сведены в таблицу 2.
Возбудителем вынужденных колебаний является вращающийся ротор электродвигателя. Частоты вынужденных колебаний для различных видов электродвигателей приведены в таблице 3.
Как видно из таблицы, ряд значений частот вынужденных колебаний близок к значениям собственных частот. Своевременное обнаружение таких совпадений позволяет избежать ре-
зонанса при работе кран-балки. Значения из таблицы 1 для наглядности сведены к графику (рисунок 5).
Частоты собственных крутильных колебаний (таблица 1) значительно превышают частоты вынужденных, поэтому они на графике не представлены. В диапазон частот, при которых потенциально система может войти в резонанс, попадают все первые частоты изгибных колебаний в горизонтальной плоскости и частота первой формы изгибных колебаний в горизонтальной плоскости.
В случае однопролетной балки (рисунок 4а) определение частот колебаний производится по методике для стержня с шарнирным закреплением концов [3].
Таблица 2. Сравнение значений собственных частот (рад/с)
Номер Аналитический Расчет Расчет
формы колебаний расчет в APM WinMachne Beam в Autodesk Inventor
1 59,5 60,7 59,12
2 111,5 112,4 110,7
3 163,6 167,4 169,7
4 174,6 175,6 175,3
5 319,8 328,1 314,8
6 445,6 449,6 443,2
7 527,0 542,4 522,5
8 567,4 569,0 551,3
9 783,5 810,3 766,5
10 967,0 998,2 941,0
11 989,3 1011,5 979,2
Таблица 3. Частоты вращения валов электродвигателей
Число полюсов Синхронная частота вращения, об/мин Частота при полной нагрузке
n, об/мин n, Гц 2пп, рад/с
2 3000 2900 48,3 303,7
4 1500 1450 24,2 151,8
6 1000 960 16,0 100,5
8 750 720 12,0 75,4
10 600 575 9,6 60,2
Таблица 4. Значения собственных частот колебаний однопролетной балки (рад/с)
Номер формы Изгиб в вертикальной плоскости Изгиб в горизональной плоскости
Расчет WinMachine Beam Расчет WinMachine Beam
1 106,7 109,7 59,5 60,7
2 435,1 438,7 163,6 167,4
3 986,2 987,1 319,8 328,1
4 1692,0 1754,9 527,0 542,4
5 2552,0 2742,1 783,5 810,3
1200
1 2 3 4 5
Форма колебаний
Рисунок 5. График распределения собственных частот (линия 1 - частоты изгибных колебаний в горизонтальной плоскости, линия 2 - частоты изгибных колебаний в вертикальной плоскости, пунктирные
линии - значения частот вынужденных колебаний)
Учитывая особенности закрепления балки, будут определяться только частоты собственных колебаний в вертикальной плоскости, так как значения в горизонтальной соответствуют частотам, определенным ранее. Частоты крутильных колебаний гораздо больше частот вынужденных, поэтому не рассчитываются. Уравнения для определения частот:
Л2A34 - A14A32 = 0 , (7)
где А.. - элементы матрицы уравнения состояния тонкостенного стержня [3].
Результирующие значения частот сведены в таблицу 4.
Как и для случая двухпролетной балки, полученные результаты для однопролетной балки отличаются от значений собственных частот определенных в системе WinMachine Beam не более 7%.
На основании проведенного исследования были сделаны следующие выводы:
1. Разработана методика аналитического расчета собственных частот кран-балок, учитывающей сдвиги срединной поверхности от из-
гиба и стесненного кручения. Получены значения собственных частот для одно- и двухпро-летных кран-балок. Учет сдвигов срединной поверхности делает расчетную схему конструкции менее жесткой, что приближает ее к реальному объекту.
2. Сравнение значений собственных частот, полученных по разработанной методике, со значениями, полученными при конечно-элементном анализе, показывает близость результатов. Частоты, полученные с помощью аналитических выражений, ближе к результатам, полученным при выборе оболочечного конечного элемента. Полученные аналитические выражения можно рекомендовать для анализа состояния конструкции.
3. Проведенный расчет показал, что частоты вынужденных колебаний кран-балок довольно близки к их собственным частотам. Своевременное обнаружение таких совпадений позволяет избежать резонанса в системе, например, путем изменения типа электродвигателя.
31.10.14
Список литературы:
1. Бейлин, В.А. Определение частот свободных изгибно-крутильных колебаний тонкостенных криволинейных стержней с учетом деформации вращения сечений / Е.А. Бейлин, Г.В. Лазарева // Л.: Ленингр. инж.-строит. инст. - 1985. - 13 с.
2. Власов, В.З. Тонкостенные упругие стержни. - М.: Физматгиз, 1959. - 568 с.
3. Гаврилов, А.А. Влияние геометрических характеристик на значения частот свободных изгибных колебаний тонкостенных прямолинейных стержней / А.А. Гаврилов, Л.И. Кудина, Г.В. Куча, Н.А. Морозов // Вестник ОГУ. - 2011. - №5. -С. 146-150.
4. Гаврилов, А.А. Прочность и жесткость тонкостенных стержней при изгибных колебаниях / А.А. Гаврилов, Н.А. Морозов // Вестник ОГУ. - 2012. - №4. - С. 253-257.
5. Гаврилов, А.А. Расчет прочности тонкостенных стержней при изгибных колебаниях с помощью фиктивных нагрузок / А.А. Гаврилов, Н.А. Морозов, Ю.Л. Власов // Вестник ОГУ. - 2014. - №1. - С.167-170.
6. Гребенюк, Г.И. Расчет и оптимизация неразрезной балки тонкостенного профиля / Г.И. Гребенюк, А.А. Гаврилов, Е.В. Яньков // Известия вузов. Строительство, №7. - Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2013. - C. 3-11.
7. Куча, Г.В. Прочность и жесткость тонкостенных стержней при изгибных колебаниях / Г.В. Куча, И.И. Мосалева // Вестник ОГУ. - 2012. - №9. - С. 107-110.
8. Корбут, Б.А. О динамической теории тонкостенных криволинейных стержней / Б.А. Корбут, Г.В. Лазарева // Прикладная механика. - 1982. - T.XXIII. №5. - С. 98-104.
9. Мещеряков, В.Б. Влияние сдвигов и внутреннего трения на спектры частот свободных колебаний тонкостенных стержней / В.Б. Мещеряков // Тр. МИИТ. - Вып. 343. - Транспорт, 1971.
10. Мещеряков, В.Б. О влиянии сдвигов на работу тонкостенных стержней / В.Б. Мещеряков // Инж. Журнал. 1965. -Т. 5, вып. 1.
11. Серегин, С.В. Влияние пластинчатых свойств тонкостенных стержней, смоделированных системой связанных пластин, на частоты и формы собственных колебаний / С.В. Серегин // Вестник МГСУ. - 2014. - №3. - С. 92-98.
Сведения об авторах:
Гаврилов Александр Александрович, ассистент кафедры машиноведения Оренбургского государственного университета, e-mail: pialex@bk.ru
Морозов Николай Анатольевич, доцент кафедры машиноведения Оренбургского государственного университета, e-mail: moroz.off.nick@yandex.ru
Власов Юрий Леонидович, доцент кафедры машиноведения Оренбургского государственного университета, e-mail: ulvlasov@mail.ru
460018, г. Оренбург, пр-т Победы, 13, ауд. 20404, тел (3532) 372513
